Chương II. Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit Công thức logarit
1. Lí thuyết
a. Định nghĩa: Cho 2 số dương a, b với a 1. Số x thỏa mãn đẳng thức ax =b được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là log b a
x
a = =b x log ba
b. Các tính chất: Với a,b0; a 1 ta có
log 1a =0 log aa =1
alog ba =b log aa α =α.log a αa =
2. Các quy tắc tính a. Lôgarit của một tích
- Định lí 1: Với các số dương a, x, y và a 1 ta có:
a
( )
a alog x.y =log x+log y - Chú ý: Định lí 1 có thể mở rộng cho tích của n số dương:
( )
a 1 2 n a 1 a 2 a n
log x .x ...x =log x +log x + +... log x
(
a, x ,i 1,ni = 0; a1)
b. Lôgarit của một thương
- Định lí 2: Với các số dương a, x, y và a 1 ta có:
a a a
log x log x log y
y = −
c. Lôgarit của một lũy thừa
- Định lí 3: Lôgarit của một lũy thừa bằng tích của số mũ với lôgarit của cơ số.
α
a a
log b =α.log b
(
a, b0; a 1, α)
- Đặc biệt: a n 1 a
log b log b
=n
3. Công thức đổi cơ số, lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên.
- Định lí 4: Cho 3 số dương a, b, c với a1, c 1 , ta có: a c
c
log b log b
log a
=
- Đặc biệt:
( )
( )
α
a
b
a a
log b 1 b 1 log a
log b 1log b α 0 α
=
=
- Lôgarit thập phân: Là lôgarit cơ số 10. Kí hiệu: log x10 =log x - Lôgarit tự nhiên: Là lôgarit cơ số e. Kí hiệu: log xe =ln x - Chú ý: Tìm số các chữ số của một lũy thừa:
Bài toán: Số aα có bao nhiêu chữ số?
Số các chữ số của aα chính là log aα + 1 (phần nguyên aα cộng 1) - VD: Số 320 có log320 + = 1 10 chữ số.
4. Các ví dụ VD1. Tìm x biết a. log x2 =3
b. 3x =4
c. log x3 =4log a3 +7log b3
(
a, b0)
Lời giải:
a. log x2 = =3 x 23 =x 8 b. 3x = =4 x log 43 =x 2log 23
c. log x3 =4log a3 +7log b3 log x3 =log a3 4 +log b3 7
(
4 7)
3 3
log x log a .b
= =x a .b4 7
VD2. Cho log 52 =a. Tính log 1250 theo a. 4
Lời giải:
Ta có 4 22
( )
4 2( )
4log 1250 log 5 .2 1log 5 .2
= = 2
(
2 4 2) (
2)
1 1 1
log 5 log 2 4log 5 1 2a
2 2 2
= + = + = +
Vậy 4 1
log 1250 2a
= +2 .
VD3. Cho log 153 =a và log 103 =b. Tính
log 503 theo a và b.
Lời giải:
Ta có: 1
( )
2
3 3 3
3 3
log 50=log 50= 2log 5.10 =2log 5+2log 10 Ta thấy: log 153 = +a 1 log 53 = a log 53 = −a 1
Thay lại ta được: log 503 =2 a 1
(
− +)
2blog 503 =2a+2b−2VD4. Cho a=log 32 , b=log 53 , c=log 27 . Tính log14063 theo a, b, c Lời giải:
Ta có:
2
7 7 7
140 2
7 7 7 7
log 63 log 3 .7 1 2log 3 log 63
log 140 log 2 .5.7 1 2log 2 log 5
= = = +
+ +
+) log 3 log 3.log 27 = 2 7 =a.c +) log 57 =log 5.log 33 7 =b.a.c
Thay vào ta được: log14063 1 2ac 1 2c abc
= +
+ + 5. Luyện tập
Bài 1. Tính a. log21
8 b. 1
4
log 2 c. log34 3 Bài 2. Tính
a. 4log 52 b. 27−log 29 c. 9log 32
Bài 3. Tính
a. 1 7 7 7 3
A log 36 log 14 3log 21
=2 − −
b.
2 2
3 3
log 24 1log 72 B 2
log 18 1log 72 3
= −
−
Bài 4. Tìm x biết
a. log x5 =2log a5 −3log b5
(
a, b0)
b. 1 1 1
2 2 2
2 1
log x log a log b
3 5
= −
(
a, b0)
Bài 5. So sánh các cặp số sau a. log 53 và log 4 7
b. log 102 và log 305 Bài 6.
a. log 52 =a và log 53 =b. Tính log 56 theo a và b
b. Cho log 3 a2 = ; log 35 =b. Hãy biểu diễn log 456 theo a và b.
