Công thức tính GTNN - GTLN của hàm số chi tiết nhất – Toán 12

(1)

Công thức tính GTNN - GTLN của hàm số chi tiết nhất 1. Lí thuyết

- Định nghĩa: Cho hàm số ^y⁼^{f x}

( )

xác định trên tập D

a. Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số ^y⁼^{f x}

( )

trên D nếu

( )

f x M x D và tồn tại x0D : f x

( )

0 =M - Kí hiệu là:

( )

M=max f xD

b. Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số ^y⁼^{f x}

( )

trên D nếu

( )

f x M x D và tồn tại ^x₀^^{D : f x}

( )

₀ ⁼^m

- Kí hiệu là:

( )

m=min f xD

2. Các bước tìm GTLN - GTNN của hàm số trên D hoặc trên một khoảng xác định.

- Tìm TXĐ: D

- Tính y '. Tìm những điểm mà y '=0 và y ' không xác định - Lập bảng biến thiên

- Dựa vào bảng biến thiên và kết luận GTLN; GTNN - Lưu ý: GTLN, GTNN của hàm số phải là số hữu hạn

+ Trong một vài TH (thường là hàm phân thức) GTLN, GTNN hữu hạn nhưng đạt tại x= . Khi đó ta cũng kết luận là hàm số không có GTLN (GTNN).

3. Cách tính GTLN và GTNN trên một đoạn

a. Định lí: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có GTLN và GTNN trên đoạn đó.

b. Quy tắc tìm GTLN, GTNN trên đoạn

 

^{a b}^;

- Tìm các điểm x , x ,...x₁ ₂ _n trên khoảng

( )

^a;b mà tại đó ^{f ' x}

( )

⁼⁰^hoặc^{f ' x}

( )

^không

xác định

- Tính f a ,f x ,f x

( ) ( ) ( )

1 2 ,...f x

( ) ( )

n ,f b .

- Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên.

- Kết luận:

 

( )

max f xa;b =M và

 

( )

min f xa;b =m

(2)

- Chú ý: Đối với hàm phân thức y ^ax ^b cx d

= +

+ . Khi tìm GTLN và GTNN của hàm này trên đoạn



^m;n



^.

+) Nếu ^d



^m;n



− c thì hàm số không có GTLN và GTNN +) Nếu ^d



^m;n



− c thì GTLN và GTNN sẽ đạt tại các đầu mút.

4. Các ví dụ

VD1. Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:

a. 1

y x 3

= − + x trên khoảng

(

^0;^+

)

b. x ₂

y= 4 x

+ trên khoảng

(

^{− +}^;

)

Lời giải:

a. Trên khoảng

(

^0;^+

)

^{, ta có:}^{y' 1} ¹₂

= −x ; y'=  =0 x 1 Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy

( )

min y0; y 1 1

+ = = − và không tồn tại GTNN.

b.

( ) ( )

2 2 2

2 2

4 x 2x 4 x

y '

4 x 4 x

+ − −

= =

+ + .

y '=  = 0 x 2

-1

(3)

Bảng biến thiên:

x _− ₋₂ 2 +

y ' − 0 + 0 − y 0

1

−4

1 4

0 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy ^{max y} ^{y 2}

( )

¹

= = 4 và ^{min y} ^y

( )

² ¹

= − = −4 VD2. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:

a. y=x³ +3x² −9x−7 trên đoạn



⁻^4;3



b. y=x⁴−4x² +3 trên đoạn

 

^1;3

Lời giải:

a. Ta có y '=3x² +6x−9

 

x 1 4;3

y' 0

x 3 4;3

 =  −

=  

= −  −



Tính: ^y

( )

^{− =}⁴ ^{13; y}

( )

^{− =}³ ²⁰

( ) ( )

y 1 = −12; y 3 =20 Suy ra

 4;3

max y 20

− = và

 4;3

min y 12

− = −

b. Ta có y '=4x³−8x

( )    

 

2

x 0 1;3

y ' 0 4x x 2 0 x 2 1;3

x 2 1;3

 = 

=  − =  = − 

 = 



Tính ^{y 1}

( )

⁼^{8; y}

( )

² ⁼^{15; y 3}

( )

⁼¹²⁰

Vậy  1;3

min y=8 và

 1;3

max y=120

(4)

5. Luyện tập

Bài 1. Tìm GTLN và GTNN của hàm số:

a. y=2x³−3x²−12x+8 trên đoạn



⁻^3;3



b. y=x⁴−2x² +3 trên đoạn



⁻^2;0



c. x 1

y x 2

= −

− trên đoạn



⁻^{4; 4}



Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:

a. y ¹ sin x

= trên đoạn ^{π 5π}; 3 6

 

 

 

b. y=x³−3x² −9x+35 trên các đoạn



⁻^{4; 4}



^và



⁻^5;3



Bài 3. Tìm GTLN, GTNN các hàm số sau:

a.

x2 3x 3

y x 1

− +

= − b. 1 ₄

1 x+

Bài 4. Tìm hai số có hiệu là 13 sao cho tích của chúng bé nhất.

Bài 5. Một chất điểm chuyển động theo phương trình x=6t² −t³. Tính thời điểm t (giây) mà tại đó chất điểm có vận tốc lớn nhất.