Công thức nguyên hàm đổi biến đầy đủ, chi tiết nhất – Toán 12

4. Công thức nguyên hàm đổi biến đầy đủ, chi tiết nhất

1. Lý thuyết

Định lí 1: Nếu



^{f u du}

( )

^{=F u}

( )

^+C và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì

( ( ) ) ( ) ( ( ) )

f u x u ' x dx=F u x +C



Hệ quả: Nếu ^{u=ax+b a}

(

^0

)

^{thì ta có f ax}

(

^{b dx}

)

^{1F ax}

(

^b

)

^C

+ = a + +



- Ở phương pháp này người ta chia ra các dạng như sau:

+ Dạng 1:Hàm số cần tính tích phân có hoặc biến đổi được biểu thức và đạo hàm của biểu thức đó:



f u x u ' x dx

( ( ) ) ( )

Phương pháp giải:

Bước 1: Đặt ^{t=u x}

( )

^{dt =u ' x dx}

( )

Bước 2: Thay vào nguyên hàm ta được



f u x .u ' x dx

( ( ) ) ( )

=



f t dt

( )

. Đưa về bảng nguyên hàm cơ bản

Bước 3: Sau đó thay trả lại biến x.

Dấu hiệu đặt:

Dạng hàm số Đặt

f (ax+b) .xdxn



^{t=ax+  =b dt a.dx}

n m

n 1

x dx

ax ⁺ b

 

 + 

 



n 1 n

t=ax ⁺ + b dt =a(n 1)x dx+

2 n

f (ax +b) xdx



^{t=ax2 + b dt =2ax.dx}

n f (x).f (x)dx



^{t= n f (x) =tn f x}

( )

^{ntn 1−dt =f ' x dx}

( )

trừ một số trường hợp đổi biến dạng 2.

f (ln x) dx1



x ^{t=ln x =dt 1}_x^dx

f (a b ln x)1dx + x



^{t= +a b ln x =dt b}_x^dx

x x

f (e )e dx



^{t=ex dt=e dxx}

f (cos x).sin xdx



^{t=cos x = −dt sin xdx.}

f (sin x).cos xdx



^{t=sin x =dt cos xdx.}

2

f (tan x). 1 dx cos x



^{t tan x dt 12 d dt} (1 tan x)dx.²

cos x

=  =  = +

2

f (cot x). 1 dx sin x



^{t cot x dt 12 dx dt} (1 cot x)dx.²

sin x

=  = −  = − +

2 2

f (sin x;cos x).sin 2xdx



²

2

t sin x dt sin 2xdx t cos x dt sin 2xdx

 =  =

 =  = −

 f (sin xcos x)(sin x cos x)dx



^{t=sin x cos xdt=}

(

^{cos x sin x dx}

)

Dạng 2: Đặt x= (t).

(

^{2 2}

)

²ⁿ

f a −x x dx



^{x=a.sin tdx=a.cos t.dt}

(

^{2 2}

)

²ⁿ

f a +x x dx



^{x a.tan t dx adt}₂

cos t

=  =

(

^{2 2}

)

²ⁿ

f x −a x dx



^{x a dx a sin t}₂ ^dt

cos t cos t

=  =

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính các nguyên hàm sau:

a) I=



2x 1dx− b) I=



x(x² +1) dx³ 

c) 3 2

I 2xdx

x 4

=



+

Lời giải a) I=



2x 1dx−

Đặt 2x 1− =  =t t² 2x 1− 2tdt=2dxtdt =dx Vậy ^{I t.td t dt2 t3 C 1}

(

^{2x 1}

)

^{2x 1 C.}

3 3

=



=



= + = − − + b) I=



x(x² +1) dx³ 

Đặt ² 1

t x 1 dt 2xdx dt xdx

= +  =  2 = Vậy 3 1 t⁴

(

x² 1

)

⁴

I t . dt C C

2 8 8

=



= + = + +

c) 3 2

I 2xdx

x 4

=



+

Đặt t= ³ x² +  =4 t³ x² + 4 3t dt² =2xdx Vậy

2

2 3 2 2

3t 3 3

I dt 3tdt t C (x 4) C.

t 2 2

=



=



= + = + +

Ví dụ 2: Tính các nguyên hàm sau:

a) ln x

I dx

=



x

b) I=



sin x cos xdx⁴ c) I=



e^{sin x}cos xdx d) I _x^dx

e 2

=



+

Lời giải

a) ln x

I dx

=



x

Đặt dx

ln x t dt

=  = x

Vậy

2 2

t ln x

I tdt C C

2 2

=



= + = + ^. b) I=



sin x cos xdx⁴

Đặt t=sin x =dt cos xdx Vậy

5 5

4 t sin x

I t dt C C

5 5

=



= + = +

c) I=



e^{sin x}cos xdx

Đặt t=sin x =dt cos xdx

Vậy I=



e dt^t = + =e^t C e^{sin x} +C^.

d)

( )

x

x x x

dx e

I dx

e 2 e e 2

= =

+ +

 

Đặt t=e^x dt=e dx^x Khi đó:

(

¹

)

^{1 1 1}

I dt dt

t t 2 2 t t 2

 

=



+ =



 − + 

1 1 t

ln t ln t 2 C ln C

2 2 t 2

=  − +  + = + +

Vậy

x x

1 e

I ln C.

2 e 2

= +

+