8. Công thức nguyên hàm hàm số mũ đầy đủ, chi tiết nhất
1. Lý thuyết
Nguyên hàm của hàm số sơ cấp Nguyên hàm của hàm số hợp f(ax + b)
x x
e dx=e +C
e +x dx = 1e +x +C( )
x
x a
a dx C a 0,a 1
=ln a +
x
x 1
dx . C
a ln a
a +
+
= +
Phương pháp giải:
Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản hoặc phương pháp đổi biến, nguyên hàm từng phần.
Nguyên hàm từng phần chứa hàm số mũ:
Dạng 1. I=
P x e( )
ax b+ dx, trong đó P(x) là đa thức. Ta đặt( )
ax b
u P x dv e + dx
=
=
.
Dạng 2. sin x x
I e dx
cos x
=
. Ta đặtx
sin x u cos x
dv e dx
=
=
.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tính nguyên hàm của hàm số sau:
a) I=
e dx3x b) I= (
2x −4 dxx)
c) 3x 1
2
I e 1 dx
x
−
=
− Lời giải
a)
3x 3x 3x
3x 2 2 2 2 e
I e dx e dx .e C C
3 3
=
=
= + = +b) I
(
2x 4 dxx)
2x 4x C 2x 22x Cln 2 ln 4 ln 2 2ln 2
=
− = − + = − +c) 3x 1 3x 1 3x 1
2 2
1 dx 1 1
I e dx e dx e C
x x 3 x
− − −
=
− =
−
= + +Ví dụ 2: Tính nguyên hàm của hàm số sau:
a)
( )
2x
x x
I e dx
e 1 e 1
=
+ +b) I=
(
x2 −1 e dx)
xLời giải
a)
( )
2x
x x
I e dx
e 1 e 1
=
+ +( )
x
x
x x
e .e dx
e 1 e 1
=
+ +Đặt t= ex + =1 t2 ex + 1 2tdt=e dxx Khi đó 2
2
t 1
I .2tdt
t .t
=
− =2
t2t−2 1dt2
2 1 1 dt t
=
− =2 t +1t+CVậy
x
x
I 2 e 1 1 C
e 1
= + + +
+
b)Ta có:
(
2)
xI =
x −1 e dx Đặt2 x x
du 2xdx
u x 1
v e dx dv e dx
= − =
= =
Khi đó I=
(
x2 −1 e dx)
x =(
x2 −1 e)
x −
2x.e dxxĐặt J=
2x.e dxxĐặt u 2xx du 2dxx
dv e dx v e
= =
= =
Khi đó J=2x.ex −
2.e dxx =2x.ex −2ex +CVậy I=
