Các công thức nguyên hàm mở rộng đầy đủ, chi tiết nhất – Toán 12

2. Các công thức nguyên hàm mở rộng

1. Lý thuyết

Nguyên hàm của hàm hợp f(ax + b)

Công thức tổng quát: f (ax b)dx ¹F(ax b) C

+ = a + +



Một số công thức thường gặp 1 (ax b) 1

(ax b) dx . C ( 1)

a 1

 + +

+ = +   −



 +



_ax¹_+b^{dx = 1}_a^{ln | ax+b | C+}

x 1 x

e^{ +}dx = e^{ +} C

 +

 

^{a +x dx=} _^1.a_{ln a}^{ +x +C}

( )

cos(ax b)dx 1sin ax b C

+ =a + +

 

^{sin(ax+b)dx= −1}_a^{cos ax}

(

^+b

)

^+C

( )

¹

( )

tan ax b dx ln | cos ax b | C

+ = −a + +



c

(

^{ax b dx}

)

¹ln | sin ax

(

b | C

)

ot + =a + +



2

1 1

dx cot(ax b) C sin (ax b) = −a + +



+



_{co (s}² _ax¹ _+b)^{dx= 1}_a^tan(ax+b)+C

Một số công thức nguyên hàm nâng cao

2

1 1 x 1

dx ln C

x 1 2 x 1

= − +

− +

 

_x²¹_−a^{2 dx=} _2a^{1 ln x}_x⁻₊^a_a ^+C

2

1 dx arctan x C

x 1 = +



+



_x²¹_+a^{2 dx= 1}_a^arctanx_a ^+C (với a > 0)

2

1 dx arcsin x C 1 x

= +



−



_a²¹_−x^{2 dx=arcsinx}_a ^+C (với a > 0)

2 2

1 dx ln x x 1 C

x 1

= +  +



 2 2 ^{2 2}

1 dx ln x x a C

x a

= +  +





2 x 2 1

1 x dx 1 x arcsin x C

2 2

− = − + +

 

^{a2 −x dx2 = x}₂ ^{a2 −x2 + a}₂^2arcsinx_a ^+C

2 x 2 1 2

x 1dx x 1 ln x x 1 C

2 2

 =   +  +

 

^{x2 a dx2 = x}₂ ^{x2 a2 a}₂^{2ln x+ x2a2 +C}

ax ax

2 2

e (a cos bx bsin bx)

e cos bxdx C

a b

= + +



+ ^ax e (a sin bx^{ax 2} b cos bx)²

e sin bxdx C

a b

= − +



+

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính các nguyên hàm sau:

a) ¹ dx

2x 1−



b)



sin 2xdx² c) ₂ ¹ ₂ dx

sin x.cos x



Lời giải

a) ^{1 dx}

(

^{2x 1}

)

^12dx

2x 1

= − −



−



( ) ( )

1 1 2 1

2x 1 2

1. C 2x 1 C 2x 1 C

2 1 1

2

− − +

= + = − + = − +

− +

b) ² 1 cos 4x

sin 2xdx dx

2

= −

 

1 1 1 1

cos 4x dx x sin 4x C

2 2 2 8

 

=



 −  = − +

c) 2 2 2 2

1 4

dx dx

sin x.cos x = 4sin x.cos x

 

( )

2

4 1

dx 4. cot 2x C 2cot 2x C

sin 2x 2

=



= − + = − +

Ví dụ 2: Tính các nguyên hàm sau:

a) ₂1

I dx

x 4

=



+

b) J =



1 x dx− ²

Lời giải

a) Đặt x 2 tan t dx ^2dt₂ cos t

=  =

Khi đó x x

tan t t arctan

2 2

=  =

Ta có: I ¹₂ . ²₂ dt 4 tan t 4 cos t

=



+

(

2

) (

²

)

1 1 1

.2 tan t 1 .dt dt t C

2 2

4 tan t 1

= + = = +



+



Vậy 1 x

I arctan C

2 2

= + .

b) Đặt x = sin t với t ; dx cos tdt 2 2

  

 −  =

Khi đó t = arcsin x

Ta có: J=



1 sin t cos tdt− ² =



cos t cos tdt cos tdt2

=



¹

(

1 cos 2t dt

)

=2



+ t sin 2t

2 4 C

= + + t 1

sin t cos t C

2 2

= + +

Vậy 1 1 ²

J arcsin x x 1 x C

2 2

= + − + .