Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ, chi tiết nhất – Toán 12

3. Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ, chi tiết nhất

1. Lý thuyết

Định lí: Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

u x v' x dx=u x v x − u ' x v x dx

 

Hay



udv=uv−



vdu Phương pháp:

Cách 1: Sử dụng định lý trên

Bước 1. Chọn u, v sao cho f(x)dx = udv (chú ý dv = v'(x)dx).

Sau đó tính v=



dv và du = u'.dx.

Bước 2. Thay vào công thức và tính



vdu^.

Chú ý. Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân



vdu dễ tính hơn



udv. Ta thường gặp các dạng sau Dạng 1. ^{I P x}

( )

^{sin x dx}

cos x

 

=  

 



, trong đó P(x) là đa thức. Ta đặt

( )

u P x sin x

dv dx

cos x

 =

  

 = 

 



.

Dạng 2. ^I=



^{P x e}

( )

^{ax b+ dx}, trong đó P(x) là đa thức. Ta đặt

( )

ax b

u P x dv e ⁺ dx

 =

 =

 .

Dạng 3. ^I=



^{P x ln mx}

( ) (

^{+n dx}

)

, trong đó P(x) là đa thức. Ta đặt

( ) ( )

u ln mx n dv P x dx

= +



 = .

Dạng 4. I ^{sin x} e dx^x cos x

 

=  

 



^{. Ta đặt}

x

sin x u cos x

dv e dx

  

 = 

  

 =

.

Thứ tự ưu tiên đặt u: “Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” và dv phần còn lại. Nghĩa là nếu có ln hay logax thì chọn u=lnx hay u log x_a ¹ .ln x

= = ln a và dv = còn lại. Nếu không có ln; log thì chọn u = đa thức và dv = còn lại. Nếu không có log, đa thức, ta chọn u = lượng giác,….

Cách 2: Sử dụng bảng Loại 1: Ví dụ:



x e dx^{3 x}

(Đạo hàm) u

(Nguyên hàm) dv

x³ + e^x

3x² - e^x

6x + e^x

6 - e^x

0 e^x

Vậy



x e dx^{3 x} =x e^{3 x} −3x e^{2 x} +6xe^x −6e^x +C Loại 2: Nguyên hàm lặp. Ví dụ:



cos xe dx^x

(Đạo hàm) u

(Nguyên hàm) dv

cos x + e^x

- sin x - e^x

- cos x



^{+ ex}

(Dừng lại)

Vậy



^{cos xe dxx =cos xex − −}

(

^{sin x e}

)

^{x + −}



^{cos xe dxx}

( )

x 1 x

cos xe dx cos x sin x e





=2 + ^.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính các nguyên hàm

a) I=



xe dx^x b) I=



x ln xdx Lời giải

a) I=



xe dx^x

Đặt ^{u x} _x ^du _x^dx

dv e dx v e

= =

 

 

= =

 

Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có

x x x

I=



xe dx=xe −



e dx ^{=xex −ex +C.} b) I=



x ln xdx

Đặt ₂

du dx

u ln x x

dv xdx x

v 2

 =

= 

 

 = 

  =



Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có:

2 2 2

1 1 1 1

I x ln xdx x ln x xdx x ln x x C

2 2 2 4

=



= −



= − + ^.

Ví dụ 2: Tính các nguyên hàm sau:

a) I=



x cos xdx² b) I=



sin x.e dx^x Lời giải

a) I=



x cos xdx²

Đặt

2 du 2xdx

u x

v sin x dv cos xdx

 =  =

 =  =



Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có:

2

2 s

I=



x cos xdx=x inx−



2x sin xdx

Đặt K=



2x sin xdx=2 x sin xdx



Đặt ^{u x du dx}

dv sin xdx v cos x

= =

 

 =  = −

 

K=2 x sin xdx



= −2x.cos x+2 cos xdx



2x.cos x 2sin x C

= − + +

Vậy I=x sin x² +2x.cos x−2sin x−C b) I=



sin x.e dx^x

Đặt x x

u sin x du cos xdx

dv e dx v e

= =

 

 =  =

  .

Khi đó I=e sin x^x −



cos xe dx^x =e sin x^x −J^.

Tính J=



cos xe dx^{x . Đặt }_^u_dv⁼₌^{cos x}_{e dx}^{x }_^du_v=^{= −}_e^{x sin xdx} Suy ra J=e cos x^x +



sin xe dx^x =e cos x^x +I.

Do đó ^{I=e sin xx − =J e sin xx −}

(

^{e cos xx +I}

)

x x

2I e sin x e cos x

 = − .

Vậy ^{I 1}

(

^{e sin xx e cos xx}

)

^C

=2 − + .