50 bài toán về công thức lũy thừa, logarit (có đáp án 2022) – Toán 12

(1)

Các dạng bài tập về công thức lũy thừa – logarit I. LÝ THUYẾT

a. Lũy thừa

+ Lũy thừa với số mũ nguyên an =a.a....a,(n thừa số)

Ở đây n ⁺, n 1 . Quy ước a¹ =a .

(

^a ^{0 : a}

)

⁰ ^1,a ⁿ ¹_n

a

 = − = với n ⁺

+ Số căn bậc n

Với n lẻ và b : Có một căn bậc n của b là ⁿ b . Với n chẵn

b < 0: Không tồn tại căn bậc n của b.

b = 0: Có một căn bậc n của b là 0.

b > 0: Có hai bậc n của b là ⁿ b. + Tính chất căn bậc n

Giả thiết rằng mỗi biểu thức sau đều có nghĩa:

n ab = n a. b;n

n n

n

a a

b = b;

( )

ⁿ ^a ^m ⁼ ⁿ ^{a ;}^m

n ma =nma ;

n

n a =a , khi n lẻ

n

n a = a , khi n chẵn + Lũy thừa số mũ hữu tỷ

(2)

( )

m n m

an = a , a 0 + Lũy thừa số thực

rn

a^ nlim a

= → ( là số vô tỉ, rn là số hữu tỉ và lim rn = ) + Tính chất

a .a a ;a a ;

a

  +  −

=  =

( )

^a^ ^ ⁼^a^{ }^. ^;

( )

^ab ^ ⁼^{a .b ;}^ ^

a a

b b ;

 

  = 

  

a b

b a

− 

  = 

   

   

Nếu a > 1 thì a^ a^ khi và chỉ khi    Nếu a < 1 thì a^ a^ khi và chỉ khi    b. Logarit

+ Định nghĩa:

Cho 0 a 1,b  0 . Ta có:  =log b_a a^ =b.

- Lôgarit thập phân: log b₁₀ =log b=lg b. - Lôgarit tự nhiên: log b_e =ln b.

+ Các công thức:

(3)

a a

log a=1,log 1 0=

log ba

a =b,log (a )a ^ = 

a 1 2 a 1 a 2

log (b .b )=log b +log b

1

a a 1 a 2

2

log b log b log b

b = −

Đặc biệt : với a,b 0,a 1  log_a ¹ log b_a b = −

a a

log b^ = log b

Đặc biệt: _aⁿ 1 _a

log b log b

= n

c a

c

log b log b

log a

= Đặc biệt: _a

c

log c 1

log a

= và _a

a

log b = 1 log b

 với  0. II. CÁC DẠNG BÀI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1. Rút gọn biểu thức và tính giá trị của biểu thức A. Phương pháp

Cách 1. Sử dụng định nghĩa và tính chất của lũy thừa và lôgarit

* Rút gọn biểu thức và tính biểu thức của lũy thừa.

+ Lũy thừa với số mũ nguyên an =a.a....a,(n thừa số)

Ở đây n ⁺, n 1 . Quy ước a¹ =a .

(

^a ^{0 : a}

)

⁰ ^1,a ⁿ ¹_n

a

 = − = với n ⁺

+ Số căn bậc n

Với n lẻ và b : Có một căn bậc n của b là ⁿ b . Với n chẵn

b < 0: Không tồn tại căn bậc n của b.

b = 0: Có một căn bậc n của b là 0.

b > 0: Có hai bậc n của b là ⁿ b.

(4)

+ Tính chất căn bậc n

n ab = n a. b;n n

n

a a

b = b;

( )

ⁿ ^a ^m ⁼ ⁿ ^{a ;}^m

n ma =nma ;

n n

a =a , khi n lẻ

n n

a = a , khi n chẵn + Lũy thừa số mũ hữu tỷ

( )

m

m n n

a = a , a 0 + Lũy thừa số thực

rn

a^ lim an

= → ( là số vô tỉ, r_n là số hữu tỉ và lim r_n = ).

+ Tính chất

a .a a ;a a ;

a

  +  −

=  =

( )

^a^ ^ ⁼^a^{ }^. ^;

( )

^ab ^ ⁼^{a .b ;}^ ^

a a

b b ;

 

  = 

  

(5)

a b

b a

− 

  = 

   

   

* Rút gọn biểu thức và tính biểu thức của logarit.

+ Định nghĩa:

Cho 0 a 1,b 0   . Ta có:  =log b_a a^ =b.

- Lôgarit thập phân: log b₁₀ =log b=lg b. - Lôgarit tự nhiên: log b_e =ln b.

+ Các công thức:

a a

log a 1,log 1 0= =

log ba

a =b,log (a )a ^ = 

a 1 2 a 1 a 2

log (b .b )=log b +log b

1

a a 1 a 2

2

log b log b log b

b = −

Đặc biệt : với a,b 0,a 1  log_a ¹ log b_a b = −

a a

log b^ = log b

Đặc biệt: _aⁿ 1 _a

log b log b

= n

c a

c

log b log b

log a

= Đặc biệt: _a

c

log c 1

log a

= và _a

a

log b = 1 log b

 với  0. Cách 2. Sử dụng máy tính cầm tay.

B. Ví dụ minh họa

Câu 1. Cho a là số thực dương. Giá trị của biểu thức

2

P a= 3 a bằng A.

5

a6. B. a⁵. C.

2

a3. D.

7

a6.

(6)

Lời giải Chọn D

Với a0, ta có

2 2 1 7

3 3 2 6

P a= a a a= =a .

Câu 2. Rút gọn biểu thức

( )

^{3 1} ^{3 1}

4 5 5 2

a P a .a

− +

− −

= .

A. _P=₂. B. P=a². C. _{P 1}= . D. P=a. Lời giải

Chọn C

Ta có:

( )

^{3 1} ^{3 1} ⁽ ^{3 1}⁾⁽ ^{3 1}⁾ ²

4 5 5 2 4 5 5 2 2

a a a

P 1

a .a a a

− + − +

− − − + −

= = = = .

Cách 2: sử dụng máy tính cầm tay Nhập vào máy tính:

.

Sau đó bấm CALC thay một giá trị bất kì thỏa mãn a 0 và a 1 và các đáp án phải khác nhau. Ta chọn A=3. Khi đó ta có kết quả.

.

Câu 3. Với  là một số thực bất kỳ, mệnh đề nào sau đây sai?

A. 10 10²

 = . B.

( )

¹⁰^ ² ⁼

( )

¹⁰⁰ ^^.

C. ¹⁰^ ⁼

( )

¹⁰ ^^.

(7)

D.

( )

¹⁰^ ² ⁼¹⁰^²^.

+) Có 10 10²

 =  với mọi , nên A đúng.

+) Có

( )

¹⁰^ ² ⁼

( )

¹⁰⁰ ^^{với mọi }, nên B đúng.

+) Có ¹⁰^ ⁼

( )

¹⁰ ^^{với mọi }, nên C đúng.

+) Ta có

( )

¹⁰^ ² ⁼¹⁰²^ ^¹⁰^². Do đó D sai.

Câu 4. Biểu thức ^P⁼ ^{x . x . x}³ ³ ² ⁶ ⁵

(

^x^⁰

)

viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ là

A.

8

P =x3. B.

5

P =x6. C.

1

P =x3. D. P=x³.

Lời giải Chọn A

Ta có:

( )

1 5 3 1 5 8

2 2

3 3 6 2 3 6 3

P=x x  .x =x .x .x =x .

Câu 5. Tính giá trị biểu thức

1 3 1

4 4 2 3

A 1 16 2 .64

625

−

  −

=  + − . A. 14.

B. 12.

C. 11.

(8)

D. 10.

Lời giải Chọn B

Ta có

1

1 3

( 4).4 4.4 2 6.3

A 5 2 2 .2

− − −

= + − = +5 2³ −2⁰ =12.

Câu 6. Cho a là số thực dương và a1. Giá trị của biểu thức ^M⁼

( )

^a¹⁺ ² ¹⁻ ²^bằng

A. a .² B. a^{2 2}. C. a. D. ¹. a Lời giải

Chọn D

Ta có: ^M⁼

( )

â¹⁺ ² ¹⁻ ² ⁼â^{1 2}⁻ ⁼â⁻¹ ⁼¹_a ^{. Vậy}^M ⁼ ¹_a^.

Câu 7. Cho a0,a1, biểu thức 3

D=log aa có giá trị bằng bao nhiêu?

A. −3. B. 3 . C. ¹

3. D. ¹

−3. Lời giải

Chọn C

Ta có: a3 a

1 1

D log a log a

3 3

= = = .

Câu 8. Với a và b là hai số thực dương, a1. Giá trị của a^{log b}^a ³ bằng A.

1

b . 3 B. ¹b

3 . C. 3b. D. b³.

Áp dụng công thức: a^{log b}^a =b Ta có: a^{log b}^a ³ =b³.

Câu 9. Tính giá trị của a^log ^a⁴ với a 0,a1.

A. 16 . B. 8 . C. 4. D. 2.

(9)

Lời giải Chọn A

Ta có: a^log â⁴ =a^{2log 4}â =a^{log 4}â ² =16.

Câu 10. Cho a là số thực dương khác 4. Tính

3 a 4

I log a 64

 

=  

 . A. I ¹

= −3. B. I= −3. C. I=3. D. I ¹

= 3.

Lời giải Chọn C

3 3

a a

4 4

a a

I log log 3

64 4

   

=  =    = .

Câu 11. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?

A. ^{ln 2e}

( )

² ^{= +}² ^{ln 2}^.

B. ln ² ln 2 1

  =e −

   . C. ln 4e = +1 ln 2. D. ^{ln e}

( )

⁼¹^.

ln 4e ln 4 ln e ln 2 1

= + = +2

Câu 12. Tính giá trị của biểu thức: a²

(

¹⁰ ²

)

a ³b

( )

²

P log a b log a log b

b

  −

= +  + .

A. 3 . B. 1. C. 2 . D. 2.

Lời giải

(10)

Chọn B Ta có:

( ) ( )

2 3

10 2 2

a b

a

P log a b log a log b

b

  −

= +  +

2 2 1

3

10 2

a a

b

log a log b log a log b 2log b

= + + − − = +5 log b_a + −2 log b 6 1._a − =

Dạng 2. So sánh các lũy thừa, logarit A. Phương pháp giải.

Cách 1. Sử dụng tính chất của lũy thừa, lôgarit a. So sánh các lũy thừa

Nếu a > 1 thì a^ a^ khi và chỉ khi    Nếu a < 1 thì a^ a^ khi và chỉ khi    b. So sánh các logarit

a a

a 1 b c 0 log b log c

0 a 1 0 b c

 

  

    

  



Cách 2. Sử dụng máy tính casio B. Ví dụ minh họa

Câu 1. Cho a 1 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A.

2 3 a

a 1. B. ³

5

a 1

a

−  .

C.

1

a3  a . D. ₂₀₁₆¹ ₂₀₁₇¹

a  a .

(11)

Vì cơ số a 1 nên ta có a^m aⁿ mn. Xét phương án A: ³ ^a² a²³ ¹ a ³¹ a⁰

a

− −

= =  phương án A sai.

Xét phương án B: 5− 3 0 a ⁵⁻ ³ a⁰ =1hay ³

5

a 1

a

−  phương án B đúng.

Xét phương án C:

1 1

3 2

1 1

a a

3 2  hay

1

a3  a phương án C sai.

Xét phương án C: 2016 2017 a²⁰¹⁶ a²⁰¹⁷ ₂₀₁₇¹ ₂₀₁₆¹

a a

     phương án D sai.

Vậy phương án đúng là phương án B

Câu 2. Cho   ^ ^ với  , . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A.   . B.   . C.  = . D.   . Lời giải

Chọn A

Do  1 nên       ^ ^ .

Câu 3. Cho số thực a thỏa mãn a³ a^. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 0 a 1. B. a0. C. a1. D. a=1. Lời giải

Chọn A

Ta có a³ a^ mà 3  nên 0 a 1  . Câu 4. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.

7 6

4 4

3 3

− −

   

   

    . B.

6 5

2 2

3 3

− −

   

   

    .

(12)

C.

5 6

3 3

4 4

   

   

    . D.

6 7

3 3

2 2

   

   

    . Lời giải

Chọn C Vì cơ số là 3

4, 0 ³ 1 4

   

 

 . Do đó 5 < 6 nên

5 6

3 3

4 4

   

   

    là mệnh đề đúng.

Câu 5. Nếu

3 2

a a và log_b ³ log_b ⁴ 4  5thì

A. 0 a 1,0   b 1. B. 0 a 1,b 1.  

C. a 1,b 1.  D. a 1,0  b 1.

Ta có ³ ² 3  2 nên

3 2

a a khi 0 a 1.

Ta lại có ³ ⁴

4  5nên log_b ³ log_b ⁴

4  5khi b 1. Vậy 0 a 1,b 1.  

Câu 6. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A. log x  0 x 1. B. log x₃    0 0 x 1.

C. ₁ ₁

3 3

log alog b  a b 0

D. ₁ ₁

3 3

log a=log b = a b 0.

(13)

Ta có log x  0 x 10⁰nên _{x 1} là khẳng định đúng.

0

log x3    0 0 x 3 nên 0 x 1là khẳng định đúng.

1 1

3 3

log a log b  b a 0 nên khẳng định C sai.

D đúng do tính đơn điệu của hàm số ₁

3

y=log x III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1. Tính giá trị biểu thức

1 3 1

4 4 2 3

A 1 81 2 .64

16

−

  −

=  + −

 

A. 15. B. 28. C. -11. D. 10.

Câu 2. Cho biểu thức ^{f x}

( )

⁼ ³ ^{x x x}⁴ ¹² ⁵ . Khi đó giá trị của ^{f 2,7}

( )

^bằng:

A. 0,027 . B. 27. C. 2,7 . D. 0, 27 .

Câu 3. Tính giá trị của biểu thức

( )

3 3

2 2

3 3 2 0

2 : 4 3 1 K 9

5 .25 0,7 . 1 2

−

− −

−

+    

= +    

A. ²

3. B. ⁸

3. C. ⁵

3. D. ³³

13 . Câu 4. Trong các biểu thức sau, biểu thức nào không có nghĩa?

A.

( )

^1,3 ⁻³⁴^. ^B.

( )

⁻³ ²³^. ^C.

( )

⁻² ⁻³^. ^D.

( )

² ²³^.

Câu 5. Với các số thực a, b bất kỳ, mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.

a

a b b

5 5

5

= − .

B.

a a b b

5 5

5 = .

(14)

C.

a ab b

5 5

5 = . D.

a

a b b

5 5

5

= + .

Câu 6. Cho số thực x và số thực y0 tuỳ ý. Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. 3 .3^x ^y =3^{x y}⁺ . B.

( ) ( )

⁵^x ^y ⁼ ⁵^y ^x^.

C.

x x

y y

4 4

= 4 . D.

( )

^2.7 ^x ⁼ ^{2 .7}^x ^x^.

Câu 7. Cho a là số thực dương tùy ý và a khác 1, đặt

( )

7 7

2 7

A a .a a

= . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. A= 7. B. _{A 1}= . C. A=a. D.

7

A 2

= a . Câu 8. Cho a0; b0. Viết biểu thức

2

a3 a về dạng a^m và biểu thức

2

b : b về 3

dạng bⁿ. Ta có m− =n ? A. ¹

3. B. 1

2. C. 1. D. −1.

Câu 9. Cho số thực a dương và m,n . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. ^a^{m n}⁺ ⁼

( )

^a^m ⁿ^.

B.

m m n

n

a a

a

+ = .

C. a^{m n}⁺ =a .a^m ⁿ. D. a^{m n}⁺ =a^m +n

(15)

Câu 10. Cho số dương a và m,n . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. a .a^m ⁿ =a^{m n}⁻ . B. ^{a .a}^m ⁿ ⁼

( )

^a^m ⁿ^.

C. a .a^m ⁿ =a^{m n}⁺ . D. a .a^m ⁿ =a^m.n.

Câu 11. Cho a là số dương tuỳ ý, ⁴ a³ bằng A.

4

a . 3 B.

4

a⁻3. C.

3

a . 4 D.

3

a⁻4. Câu 12. Tính giá trị của biểu thức P=2^{log a}² +log aa

( )

^b

(

^a ^^0,a ^¹

)

^.

A. P= −a b B. P=2^a +b. C. P= +a b. D.

P=2a+b.

Câu 13. Cho a là số thực dương khác 1. Tính P=log_a a .

A. 1

P= 2. B. P= −2. C. P=2. D. P=0.

Câu 14. Cho a,b0. Nếu ln x=5ln a+2ln b thì x bằng

A. a⁵ +b. B. a b⁵ . C. 10a b . D.

a5

b . Câu 15. Với a là số thực dương tùy ý, ^{log 8a}

( )

⁻^{log 3a}

( )

^bằng

A. ⁸

3. B. log 8₃ . C. log⁸

3. D. ^{log 5a}

( )

^.

Câu 16. Cho

(

^{2 1}⁻

) (

^m ^ ^{2 1}⁻

)

ⁿ. Khi đó:

A. mn. B. mn. C. m=n. D. mn. Câu 17. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?

A. log 5₃ 0.

B. log2 x22016 log2 x22017

+  + .

(16)

C. log_0,30,80. D. log 4₃ log₄ ¹

3

    .

Câu 18. Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. log x 1   0 x 10. B. ln x  0 x 1.

C. log x₄ ² log y₂   x y 0. D. log x₁ log y₁ x y 0

 

    . Đáp án:

1. B 2. C 3. D 4. B 5. A 6. C 7. B 8. C 9. C 10. C 11. C 12. C 13. A 14. B 15. C 16. A 17. C 18. C