Bài 3. Lôgarit A. Lý thuyết
I. Khái niệm về lôgarit 1. Định nghĩa
Cho hai số dương a; b với a ≠ 1 . Số α thỏa mãn đẳng thức aα = b được gọi là logarit cơ số a của b và kí hiệu là logab.
log ba a b
Ví dụ 1.
a) log3 27 = 3 vì 33 = 27.
b) 4 1
log 2
16
vì 2 1
4 16
.
– Chú ý: Không có logarit của số âm và số 0.
2. Tính chất
Cho hai số dương a và b; a ≠ 1. Ta có các tính chất sau đây:
loga1 = 0; logaa = 1
log ba
a b; log (a )a Ví dụ 2.
4 4
2 log 3 log 3 2 2 1
4 4 3
9
33 3
log 1 log 3 3
27
II. Quy tắc tính logarit 1. Logarit của một tích
– Định lí 1. Cho ba số dương a; b1 ;b2 với a ≠ 1. Ta có:
a 1 2 a 1 a 2
log (b .b ) log b log b Logarit của một tích bằng tổng các logarit.
Ví dụ 3.
2 2 2 2
1 1
log 12 log log 12. log 4 2
3 3
– Chú ý:
Định lí 1 có thể mở rộng cho tích n số dương:
a 1 2 n a 1 a 2 a n
log (b .b ....b ) log b log b ....log b ( a; b1; b2; ..; bn > 0; a ≠ 1)
2. Logarit của một thương
– Định lí 2. Cho ba số dương a; b1 ;b2 với a ≠ 1. Ta có:
1
a a 1 a 2
2
log b log b log b
b
Logarit của một thương bằng hiệu các logarit.
Đặc biệt: a 1 a
log log b
b ( a > 0; b > 0; a ≠ 1)
– Ví dụ 4. 5 5 575 5
log 75 log 3 log log 25 2
3
3. Logarit của một lũy thừa.
– Định lí 3. Cho hai số dương a; b và a ≠ 1 . Với mọi số α, ta có:
a a
log b log b
Logarit của một lũy thừa bằng tích của số mũ với logarit của cơ số.
– Đặc biệt: a n 1 a
log b log b
n – Ví dụ 5.
6
7 7
5
3 3
log 3 6log 3 log 4 1log 4
5
III. Đổi cơ số.
– Định lí 4. Cho ba số dương a; b; c với a ≠ 1 ; c ≠ 1, ta có:
c a
c
log b log b
log a
– Đặc biệt:
a
b
a a
log b 1 (b 1)
log a
log b 1log b ( 0)
Ví dụ 6. Tính giá trị các biểu thức sau:
a)
1 125
log 8
5
b) log 3. log 4...log 82 3 7 Lời giải:
a) Ta có: 3
3
1 5 5
125
log 8 log 8 1log 2
3
1
5 5 5 5
1 1
.3log 2 log 2 log 2 log
3 2
1 5
125
log 8 log 1
2 1
5 5
2.
b) Ta có: log 3. log 4...log 82 3 7
2 2 2
2
2 2 2
2
log 4 log 5 log 8 log 3. . ....
log 3 log 4 log 7 log 8 3
IV. Logarit thập phân. Logarit tự nhiên.
1. Logarit thập phân
Logarit thập phân là logarit cơ số 10.
log10b thường được viết là logb hoặc lgb.
2. Logarit tự nhiên
– Logarit tự nhiên là logarit cơ số e.
logeb được viết là lnb.
B. Bài tập tự luyện Bài 1. Tính:
a) alog a8 với a > 0.
b) 3log 3 2log 58 16
4 .
c) a4 loga210. Lời giải:
a) alog a8 aloga128 a2log 8a
alog 8a
282 64b) Ta có: 3log83 + 2log165
3 4 2 2
2 2
2 2
3 2
3log 3 2log 5 log 3 log 5
3 4
log 3 1log 5 2
Do đó
8 16 2 2
8 16
2 2 2
2(log 3 1log 5) 2. 3log 3 2 log 5
3log 3 2 log 5 2
log 9 log 5 log 45
4 2 2
2 2 45
c) a4 loga210a42log 10a a2 log 10a
alog 10a
2 102 100Bài 2. Tính
a) 1log 367 log 14 3log7 7 3 21
2 ;
b) 3log 2 log 25 log 33 9 3 ;
c) 3 b 4
log ab .log a ( a > 0; b > 0 và a; b đều khác 1).
Lời giải:
a) 1log 367 log 14 3log7 7 3 21
2
1 3
2 3
7 7 7
7 7 7
7 7
log 36 log 14 log 21 log 6 log 14 log 21
6 1
log log 2
14.21 49
b) 3log 2 log 25 log 33 9 3
2 1 2
3 2
3 3
3
3 3 3
3 3
log 2 log 5 log 3 log 8 2log 5 2log 3
2
log 8 log 5 2.1
= log340 – 2
c) 3 b 4
log ab .log a
1 2
3
b a b
a
log b . 4log a 3.2log b.log a 6
Bài 3. Biết log72 = m . Tính giá trị của biểu thức log49 28 theo m?
Lời giải:
Ta có:
49 72 7
2
7 7 7
7
log 28 log 28 1log (4.7) 2
1 1 1
log 4 log 7 log 2 .1
2 2 2
1 1
log 2 m
2 2
