Bài 1. Lũy thừa A. Lý thuyết
I. Khái niệm lũy thừa
1. Lũy thừa với số mũ nguyên Cho n là một số nguyên dương.
Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a.
an = a.a.a… a (n thừa số a) Với a ≠ 0, ta có: a0 = 1 và n 1n
a a
.
Trong biểu thức am ; ta gọi a là cơ số, số nguyên m là số mũ.
– Chú ý:
00 và 0–n không có nghĩa.
Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự của lũy thừa với số mũ nguyên dương.
Ví dụ 1. Tính giá trị biểu thức:
3 3
2 4
1 1 1
A . 8 4 . 2 .
2 3 27
Lời giải:
3 3
2 4
1 1 1
A . 8 4 . 2 .
2 3 27
2
3 1 3 1
A 2 . 8 .16 3 .
4 27
1 1
A 8.8 .16 27.
16 27
A = 64 + 1 + 1 = 66.
2. Phương trình xn = b.
Đồ thị của hàm số y = x2k + 1 có dạng tương tự đồ thị hàm số y = x3 và đồ thị hàm số y = x2k có dạng tương tự đồ thị hàm số y = x4.
Từ đó, ta có kết quả biện luận số nghiệm của phương trình xn = b như sau:
a) Trường hợp n lẻ:
Với mọi số thực b, phương trình có nghiệm duy nhất.
b) Trường hợp n chẵn:
Với b < 0, phương trình vô nghiệm.
Với b = 0 , phương trình có một nghiệm x = 0.
Với b > 0, phương trình có hai nghiệm đối nhau.
3. Căn bậc n
a) Khái niệm: Cho số thực b và số nguyên dương n ( n 2) . Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu an = b.
Ví dụ 2. Căn bậc ba của 27 là 3.
Căn bậc bốn của 256 là 4 và – 4.
– Từ định nghĩa và kết quả biện luận về số nghiệm của phương trình xn = b; ta có:
Với n lẻ và b : Có duy nhất một căn bậc n của b, kí hiệu là n b . Với n chẵn và :
+ b < 0 : không tồn tại căn bậc n của b.
+ b = 0: có một căn bậc n của b là số 0.
+ b > 0: có hai căn trái dấu; kí hiệu giá trị dương là n b ; còn giá trị âm là n b. b) Tính chất của căn bậc n
Từ định nghĩa ta có các tính chất sau:
n n n
n
n n
m n m
n
a . b ab
a a
b b
a a
n
n a; khi n le a a ;khi n chan
n k a nka
Ví dụ 3. Rút gọn các biểu thức:
a) 3 9.3 3;
b) 4 ( 5) 4 . Lời giải:
a) 39.3 3 39.( 3) 3 27 3 b) 4 ( 5) 4 5 5.
4. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ.
– Cho số thực a dương và số hữu tỉ m
r n ; trong đó m ; n ; n2. Lũy thừa của a với số mũ r là số ar xác định bởi:
m
r n n m
a a a . Ví dụ 4.
1 3 3 3 2 3
27 27 3.
9 9 27
5. Lũy thừa với số mũ vô tỉ.
Cho a là một số dương, α là một số vô tỉ. Ta thừa nhận rằng, luôn có một dãy số hữu tỉ (rn) có giới hạn là α và dãy số tương ứng
arn có giới hạn không phụ thuộc vào việc chọn dãy số (rn).– Ta gọi giới hạn của dãy số
arn là thừa số của a với số mũ α, kí hiệu là aα.rn
a nlim a
với n
nlim r
.
– Chú ý: Từ định nghĩa, ta có: 1 1; ( ). II. Tính chất lũy thừa với số mũ thực.
Cho a; b là những số thực dương, α, β là những số thực tùy ý. Khi đó, ta có:
a . a a
a a
a
a a .(ab) a . b
a a
b b
Nếu a > 1 thì a a khi và chỉ khi α > β.
Nếu a < 1 thì a a khi và chỉ khi α < β.
Ví dụ 5. Rút gọn biểu thức:
5 2 4 5
3 1 3 1
a . a A
a
với a > 0.
Lời giải:
Với a > 0 ta có:
5 2 4 5 5 2 4 5 6
4 3 1 ( 3 1).( 3 1) 2
3 1
a . a a a
A a
a a a
.
Ví dụ 6. So sánh các số 2 3 1
3
và 2 2
3
. Lời giải:
Ta có: 3 1 2 và 2
0 1
3 Suy ra:
2 3 1
3
<
2 2
3
. B. Bài tập tự luyện Bài 1. Tính
a)
3 3
2 2
2 . 32 ; b)
2 2
3 3
125 : 27 ; c)
2 3
3 2
1 0,16
8
. Lời giải:
a)
3 3 3 3
2 2 2 2
3 3
2 . 32 (2.32) 64
64 8 512
b)
2 2 2
3 3 125 3
125 : 27
27
2 2 2
3 125 3 125 5 25
27 27 3 9
c)
2 3
3 2
1 0,16
8
3 3 3
2 2 3 2
3 16 16 4 508
8 8 4
100 100 10 125
.
Bài 2. Cho a, x là những số thực dương. Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ:
a)
2 3 3
a . a
; b)
2 1
3 4
x . x .2 x
; c)
1 6 a : a5 3. Lời giải:
a)
2 2 1 2 1 1
3 3 3 3 3 3 3
a . a a .a a a
;
b)
2 1
3 4
x . x .2 x
1 2 1 1 1
2 3 4 6 4
1 1 5
6 4 12
x . x x . x
x x
c)
1 5 1 5 1 1
6 a : a5 3 a : a6 3a63 a2 . Bài 3. So sánh các số sau:
a) 3 2
10
và 3 5 2
10
; b)
1 3
4
và 4 2 1 . Lời giải:
a) Vì 3
0 1
10 và 2 52. Suy ra:
3 2
10
>
3 5 2
10
b) Ta có:
3
1 3
4 4
Vì 4 > 1 và 3 2 1 nên 4 3 4 2 1 Hay
1 3
4
< 4 2 1 .
