Toán 12 Bài 1: Lũy thừa | Hay nhất Giải bài tập Toán lớp 12

Bài 1: Lũy thừa

Hoạt động 1 trang 49 Toán lớp 12 Giải tích: Tính (1,5)⁴; ^^2₃^^3;

 

(1,5)⁴ = 5,0625

2 3 8

3 27

   

 

 

 

Hoạt động 2 trang 50 Toán lớp 12 Giải tích: Dựa vào đồ thị của các hàm số y

= x³ và y = x⁴ (H.26, H.27), hãy biện luận theo b số nghiệm của các phương trình x³ = b và x⁴ = b.

Lời giải:

Số nghiệm của phương trình x³ = b là số giao điểm của hai đồ thị hàm số y = b và y = x³.

Dựa vào Hình 26 ta có đồ thị hàm số y = x³ luôn cắt đường thẳng y = b tại một điểm duy nhất với mọi b nên phương trình x³ = b luôn có nghiệm duy nhất với mọi b.

Số nghiệm của phương trình x⁴ = b (1) là số giao điểm của hai đồ thị hàm số y = b và y = x⁴.

Dựa và Hình 27 ta có:

+ Với b < 0 hai đồ thị hàm số trên không giao nhau, vậy phương trình (1) vô nghiệm.

+ Với b = 0, hai đồ thị hàm số tiếp xúc nhau tại (0,0), vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 0.

+ Với b > 0, hai đồ thị hàm số cắt nhau tại hai điểm phân biệt, vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Hoạt động 3 trang 52 Toán lớp 12 Giải tích: Chứng minh tính chất

n a. bn  n ab Lời giải:

Đặt ⁿ a x; bⁿ  y. Khi đó: xⁿ = a; yⁿ = b.

Ta có (x.y)ⁿ = xⁿ.yⁿ = a.b. Vậy xy là căn bậc n của ab.

Suy ra ⁿ ab x.y ⁿ a. bⁿ

Hoạt động 4 trang 54 Toán lớp 12 Giải tích: Hãy nhắc lại các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương.

Lời giải:

Với a, b là các số thực; m, n là các số nguyên dương, ta có:

* Các tính chất về đẳng thức:

1. a^m. aⁿ = a^{(m + n)}

2. a^m : aⁿ = a^{(m - n)} (m ≥ n).

3. (a^m)ⁿ = a^m.n 4.

a m

b

  

  =

m m

a

b (b ≠ 0) 5. (ab)^m = a^m.b^m

* Các tính chất về bất đẳng thức Với a > 1 thì a^m > aⁿ  m > n.

Với 0 < a < 1 thì a^m > aⁿ m < n.

0 < a < b thì a^m > b^m

Hoạt động 5 trang 55 Toán lớp 12 Giải tích: Rút gọn biểu thức

 

_{ }

5 3 4 5

a

a 0 . a .a

 

  

Lời giải:

Ta có:

 

5 3 4 5 5 3 4 5

a a

a .a a

   

      a^{3 1}₁ a²

a a a.

   

Hoạt động 6 trang 55 Toán lớp 12 Giải tích: So sánh các số 3 8

4

  

  và 3 3

4

  

  . Lời giải:

Ta có: 3

0 1

 4 và 8 3 nên số 3 8

4

  

  >

3 3

4

  

  . Bài tập

Bài 1 trang 55 Toán lớp 12 Giải tích: Tính:

a)

2 2

5 5

9 .27 ; b)

3 3

4 4

144 : 9 ;

c) ^{1 0,75}





16

 

  

 

  ;

d)









Lời giải:

a)

2 2

5 5

9 .27 ^







  

 

5.52 2

3 3 9.

  

b)

3 3

4 4

144 : 9 ^





 

3 3

4 4 4

16 2

 

4.34 3

2 2 8

  

c) ^{1 0,75}





16

 

  

 

  ^

   

3 5

4. 2.

4 2

2 2

 

 

   2³ 2⁵= 8 + 32 = 40

d)









3 2

2 3

1 1

25 8

 

   

   

   

   

 

3 2 3.

2.2 3

5 2



 

  

3 2

5 2

  = 125 – 4 = 121.

Bài 2 trang 55 Toán lớp 12 Giải tích: Cho a, b là những số thực dương. Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ:

a)

1

a . a ; 3

b)

1 1

3 6

b .b . b ; 2

c)

4 3 3

a : a ; d)

1 3 b : b . 6

Lời giải:

a)

1

a . a3

1 1 1 1 5

3 2 3 2 6

a .a a ^ a

  

b)

1 1

3 6

b .b . b2

1 1 1 1 1

1

3 6 2 3 6

b .b .b2 b ^{ }

 

b1 b

 

c)

4 3 3

a : a

4 1 4 1

3 3 3 3

a : a a ^

 

a1 a

 

d)

1 3 b : b 6

1 1

3 6

b : b



1 1 1

3 6 6

b ^ b

 

Bài 3 trang 56 Toán lớp 12 Giải tích: Viết các số sau theo thứ tự tăng dần:

a)

3

3,75 1 1

1 ;2 ; 2



  

   .

b)

1 1

0 3 5

98 ; ;32

7

 

   . Lời giải:

a)

3

3,75 1 1

1 ;2 ; 2



  

  

Ta có: 1^3,75 1; ¹ 1

2 2

 

 

3 1 3 1 . 3 3

1 2 2 2 8

2

    

     

  

Vì 1

2  1 8 nên ta có:

3

1 3,75 1

2 1

2



     

 

Vậy sắp xếp các số đã cho theo thứ tự tăng dần ta được:

3 1 3,75 1 2 ;1 ;

2



  

   .

b)

1 1

0 3 5

98 ; ;32

7

 

  

Ta có: 98⁰ 1;

3 1 7

7 3

  

  

1

 

5 1

5 5 5

32  2 2 2 2

Vì 1 2 ⁷

  3nên ta có:

1 1

0 5 3

98 32

7

 

   

 

Vậy sắp xếp các số đã cho theo thứ tự tăng dần ta được:

1 1

0 5 3

98 ;32 ; 7

 

   .

Bài 4 trang 56 Toán lớp 12 Giải tích: Cho a, b là những số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:

a)

4 1 2

3 3 3

1 3 1

4 4 4

a a a

a a a





 

  

 

 

  

 

;

b)

 

 

1

4 1

5 5

5

2

2 3 3

3

b b b

b b b









;

c)

1 1 1 1

3 3 3 3

2 2

3 3

a b a b

a b

 



 ;

d)

1 1

3 3

6 6

a b b a

a b



 .

Lời giải:

a)

4 1 2

3 3 3

1 3 1

4 4 4

a a a

a a a





 

  

 

 

  

 

4 1 4 2

3 3 3 3

1 3 1 1

4 4 4 4

a .a a .a a .a a .a





 



4 1 4 2

3 3 3 3

1 3 1 1

4 4 4 4

a a

a a

 

 

 



 

2 a a 1 a a

a 1 a 1 a

 

  

 

b)

 

 

1

4 1

5 5

5

2

3 2 3 3

b b b

b b b









1 4 1

5 5 5

2 1 2

3 3 3

b b b

b b b





 

  

 

  

  

 

1 4 1 1

5 5 5 5

2 1 2 2

3 3 3 3

b .b b .b b .b b .b





 



1 4 1 1

5 5 5 5

2 1 2 2

3 3 3 3

b b

b b

 

 

 



b 1 1 b 1

  



c)

1 1 1 1

3 3 3 3

2 2

3 3

a b a b

a b

 





1 1 2 2

3 3 3 3

2 2

3 3

a b a b

a b

   

  

 





1 1

 

3 3 3

a .b^{ } a.b ^

 

 

1 1

ab ab

 

d)

1 1

3 3

6 6

a b b a

a b





1 1 1 1

3 2 3 2

1 1

6 6

a .b b .a

a b

 



1 1 1 1

3 3 6 6

1 1 3 3

1 1

6 6

a b b a

a b

a b

 

  

 

 



 

 

Bài 5 trang 56 Toán lớp 12 Giải tích: Chứng minh rằng:

a)

2 5 3 2

1 1

3 3

   

   

    ; b) 7^{6 3} 7^{3 6}. Lời giải:

a) Ta có: 2 5  2 .5²  20 3 2  3 .22  18

Vì 20 > 18 nên 20 18 hay 2 53 2

Lại có 0 ¹ 1

 3 Do đó:

2 5 3 2

1 1

3 3

   

   

    (đpcm).

b) Ta có: 6 3 6 .3²  108 3 6 3 .62  54

Vì 108 > 54 nên 108 54 hay 6 3 3 6 Lại có 7 > 1

Do đó: 7^{6 3} 7^{3 6}.