Tài liệu dạy thêm - học thêm chuyên đề lũy thừa với số mũ tự nhiên - THCS.TOANMATH.com

SH6.CHUYÊN ĐỀ 1-TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN CHỦ ĐỀ 1.5-LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN PHẦN I.TÓM TẮT LÍ THUYẾT.

1. Lũy thừa bậc n của số a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a

^{. ...}

an a a a ( n 0); a gọi là cơ số, n gọi là số mũ.

2.Nhân hai luỹ thừa cùng cơ sốa a^{m n}. a^{m n}

3.Chia hai luỹ thừa cùng cơ số a^m:aⁿ a^{m n}



^{a0,m n}



Quy ước a⁰1



^a0



4.Luỹ thừa của luỹ thừa

 

^{am n am n}

5. Luỹ thừa mộttích

 

^{a b. ma bm m.}

6. Một số luỹ thừa của 10:

- Một nghìn: 1000 10 ³ - Một vạn: 10 000 10 ⁴ - Một triệu: 1000000 10 ⁶ - Một tỉ: 1000000 000 10 ⁹

Tổng quát: nếu n là số tự nhiên khác 0 thì: 10ⁿ 1000...00 7. Thứ tự thực hiện phép tính:

Trong một biểu thức có chứa nhiều dấu phép toán ta làm như sau:

- Nếu biểu thức không có dấu ngoặc chỉ có các phép cộng, trừ hoặc chỉ có các phép nhân chia ta thực hiện phép tính theo thứ tự từ trái sang phải.

- Nếu biểu thức không có dấu ngoặc, có các phép cộng, trừ ,nhân ,chia, nâng lên lũy thừa, ta thực hiện nâng lên lũy thừa trước rồi thực hiện nhân chia,cuối cùng đến cộng trừ.

- Nếu biểu thức có dấu ngoặc

 

^,

 

^,

 

ta thực hiện các phép tính trong ngoặc tròn trước, rồi đến các phép tính trong ngoặc vuông, cuối cùng đến các phép tính trong ngoặc nhọn.

PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI.

Dạng 1. THỰC HIỆN TÍNH, VIẾT DƯỚI DẠNG LŨY THỪA I.Phương pháp giải.

Sử dụng công thức:

n thừa số

1) ⁿ . ...

n

a a a a ( n 0); a gọi là cơ số, n gọi là số mũ.

2)a a^{m n}. a^{m n}

3) a^m:aⁿ a^{m n}



^{a0,m n}



Quy ước a⁰ 1



^a0



4)

 

^{am n am n}

5)

 

^{a b. m a bm m.}

II.Bài toán.

Bài 1. Viết các tích sau dưới dạng luỹ thừa 2.2.2.2.3.3.3.3

A. 2⁴.3⁴ A. 2³.3² A. 4².4³ A. 2⁴.3⁴ 2Bài 2.Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) 3 : 3^{4 2} b) 2 .2^{4 2} c)

 

^{24 2}

Lời giải

a) 3 : 3^{4 2}3² 9 b) 2 .2^{4 2}16.4 64 c)

 

^{24 2 28256}

Bài 3. Viết các tích sau đây dưới dạng một luỹ thừa của một số:

a) A8 .32^{2 4} b) B27 .9 .243^{3 4} Lời giải

a) A8 .32^{2 4} 2 .2^{6 20}2²⁶ b) B27 .9 .243 3^{3 4}  ²² Bài 4. Viết kết quả phép tính dưới dạng một lũy thừa:

a) 64 : 2³ b)243 : 3⁴ c)625 : 5³

d) 7 : 343⁵ e)100000 :10³ f) 11 :121 ⁵ g) 243 : 3 : 3³ h) 4 : 64 :16⁸

Lời giải

a) 64 : 2³2 : 2^{6 3}2³ b) 243 : 3⁴3 : 3^{5 4}3¹ c)625 : 5³5 : 5^{4 3}5¹ d) 7 : 343 7 : 7⁵  ^{5 3}7² e) 100000 :10³10 :10^{5 3}10² f) 11 :121 11 :11⁵  ^{5 2}11³ g) 243 : 3 : 3 3 : 3 : 3 3³  ^{5 3}  ¹ h) 4 : 64 :16 4 : 4 : 4 4⁸  ^{8 3}  ⁴

Bài 5.Tìm các số mũ n sao cho luỹ thừa 3ⁿ thảo mãn điều kiện: 25 3 ⁿ250 Lời giải

Ta có: 3² 9,3³27 25,3 ⁴ 81,3⁵243 250 nhưng 3⁶ 243.3 729 250 

thừa số a

Vậy với số mũn3, 4,5 ta có 25 3 ⁿ250 Bài 6 : Thực hiện phép tính:

a) 5.2²18 : 3 b) 17.85 15.17 2 .3.5  ³ c) 2 .17 2 .14³  ³ d) ^20_^{30 }



^{5 1}



^2_

e) ^75



^3.524.23



^{f) 2.523: 71054 : 33}

g) 150 50 : 5 2.3  ² h) 5.3²32 : 4² Lời giải

a) 5.2²18 : 3 5.4 18 : 3

 

20 6

14

b) 17.85 15.17 2 .3.5  ³ 17.85 15.17 120

  

 

17. 85 15 120

  

17.100 120

 

1700 120

  1580 c) 2 .17 2 .14³  ³

 

2 17 143

 

2 .33

 8.3 24



d) ^20_^{30 }



^{5 1}



^2_

20 30 42

   

 

20 30 16

   20 14 6

   e) ^75



^3.524.23



 

75 3.25 4.8

  

 

75 75 32

   75 75 32 32

  



f) 2.5²3: 71⁰54 : 3³ 2.25 3:1 54 : 27

  

50 3 2

  

51

g) 150 50 : 5 2.3  ² 150 10 2.9

   150 10 18 142

  



h) 5.3²32 : 4² 5.9 32 :16

  45 2 43

 

 Bài 7: Thực hiện phép tính.

a)27.75 25.27 2.3.5  ² b) 12 : 400 : 500



 



125 25.7







c)13.17 256 :16 14 : 7 2021   ⁰ d) 2.3 : 3 182 3. 51:17²  

 

e)15 5 .2 : 100.2 ^{2 3}

 

f) 5 .2^{2 3}12.5 170 :17 8  Lời giải

a) 27.75 25.27 2.3.5  ²

 

27. 75 25 150

  

27.100 150

 

2700

b) 12 : 400 : 500



 



125 25.7







 

 

12 : 400 : 500 125 175

    

 

 

12 : 400 : 500 300

 

 

12 : 400 : 200 12 : 2 6



 

c) 13.17 256 :16 14 : 7 2021   ⁰ 221 16 2 1

   

206

d) 2.3 : 3 182 3. 51:17²  

 

6 182 3.3

   6 182 9

  

197 e) 15 5 .2 : 100.2 ^{2 3}

 

15 25.8: 200

 

15 200 : 200

  15 1 14

 



f) 5 .2^{2 3}12.5 170 :17 8  1000 60 10 8

   

942

Bài 8: Thực hiện phép tính.

a) 2³5 : 5^{3 2}12.2² b) 5. 85 35 : 7 : 8 90







 5 .2² c) 2. 7 3 : 3 : 2



 ^{3 2}



²99100 d) 2 : 2^{7 2}5 : 5 .2^{4 3 4}3.2⁵ e)

 

^{3 .3 : 35 7 105.247 : 73 f) 3 . 52}_

 

^{23 :11}_^{242.103}

g)



^{6200762006}



^{: 62006 h)}



^{5200152000}



^{: 52000}

i)



^{7200572004}



^{: 72004 j)}



^{577 . 65}

 

^{88 . 26}

 

^442



k)



^{757 . 59}

 

^{45 . 3 .3 96}

 

^{3  2}



^l) 



^{5 .22 3}7 .2 : 2 .6 7.2²



  ⁵ Lời giải

a) 2³5 : 5^{3 2}12.2² 8 5 12.4

   8 5 48 51

  



b) 5. 85 35 : 7 : 8 90







 5 .2²

 

5 85 5 : 8 90 50

    

 

5 80 : 8 90 50

  

5.100 50 450

 

 c) 2. 7 3 : 3 : 2



 ^{3 2}



²99100

 

2. 7 3 : 4 99 100

    

 

2. 4 : 4 99 100

  

2.100 100 100

 



d) 2 : 2^{7 2}5 : 5 .2^{4 3 4}3.2⁵

5 4 5

2 5.2 3.2

  

 

4 4

2 . 2 5 6 2

  



e)

 

^{3 .3 : 35 7 105.247 : 73}

12 10 4 2

3 : 3 5.2 7

  

2 4 2

3 5.2 7

  

9 5.16 49

   9 80 49 40

  



f) ^{3 . 52 }

 

^{23 :11}^{242.103}

 

9. 25 3 :11 16 2.1000

    

 

9. 22 :11 16 2000

  

9.2 16 2000

   2 2000 2002

 

 g)



^{6200762006}



^{: 62006}

 

2006 2006

6 6 1 : 6

 

h)



^{5200152000}



^{: 52000}

 

2000 2000

5 5 1 :5

 

2006 2006

6 .5 : 6 5





2000 2000

5 .4 : 5 4





i)



^{7200572004}



^{: 72004}

2004 2004

7 (7 1) : 7

 

2004 2004

7 .8: 7 8



j)



^{577 . 65}

 

^{88 . 26}

 

^442





^{57 7 . 65}

 

^{8 8 . 16 166}

  

   



^{57 7 . 65}

 

^{8 8 .06}



0

  

 k)



^{757 . 59}

 

^{45 . 3 .3 96}

 

^{3  2}





^{75 7 . 59}

 

^{4 5 . 27 276}

  

   



^{75 7 . 59}

 

^{4 5 .06}



0

  



l) 



^{5 .22 3}7 .2 : 2 .6 7.2²



  ⁵



25.8 49.2 : 2 .6 7.2



⁵

   



200 98 : 2.6 7.32



  

306 224 82

 

 Bài 9 : Thực hiện phép tính.

a) ^142_^50



^{2 .10 2 .53  3}



^_ ^{b) 375 : 32}



^^4



^5.3242



^



^14

c)



210 : 16 3. 6 3.2 



 ²







3 d) ^{500}_^{5. 409}_ ^



^{2 .3 213 }



^2_^{1724}_

Lời giải:

a) ^142^50



^{2 .10 2 .53  3}



^ 142 50 2 .53 

    142 5.(10 8)

  

142 10 132

 



b) ^{375 : 32}



^^4



^5.3242



^



^14

 

 

375 : 32 4 45 42 14

     

 

 

375 : 32 4 3 14

   

 

375: 32 7 14

  

375: 25 14

  15 14 1  c)



210 : 16 3. 6 3.2 



 ²







3

 



210 : 16 3. 6 12



3

     

 



210 : 16 3.18



3

  



^{210 : 70}



³

 

3 3 0

  

d) ^{500}_^{5. 409}_ ^



^{2 .3 213 }



^2_^{1724}_

 



²



500 5 409 8.3 21  1724

     

 



²



500 5. 409 24 21  1724

     

 

 

500 5. 409 9 1724

   

 

500 5.400 1724

  

500 276 224

  

Bài 10: Thực hiện phép tính.

a) ^80



^4.523.23



^{b) 5 : 56 42 .23 212017}

c) ⁵³2. 56 48 : 15 7 







 d) 23.75 5 .10 5 .13 180 ²  ² 

e) 36.4 4. 82 7.11 : 4 2016







²  ⁰ f)^{303 3. 655}



^ ^



^{18: 2 1 .4}



^{35 :10}



⁰

Lời giải:

a) ^80



^4.523.23



 

80 4.25 3.8

  

 

80 100 24

   80 76 4

  

b)5 : 5^{6 4}2 .2^{3 2}1²⁰¹⁷

2 5

5 2 1

   25 32 1

56

  

 c)⁵³2. 56 48 : 15 7 









 

125 2. 56 48 : 8

  

 

125 2. 56 6

  

125 2.50 25

 



d)23.75 5 .10 5 .13 180 ²  ²  23.75 25.(10 13) 180

   

23.75 25.23 180

  

23.100 180

 

2300 180 2480

 

 e)36.4 4. 82 7.11 : 4 2016







²  ⁰

 

²

36.4 4. 82 77 : 4 1

   

 

4 36 25 : 4 1

  

11 1 10

 



f)^{303 3. 655}



^ ^



^{18: 2 1 .4}



^{35 :10}



⁰

 

 

303 3. 655 640 5

   

 

 

303 3. 655 640 5

   

303 3.10

  263 Bài 11: Tính giá trị của biểu thức: A2002.20012001 2001.20022002 Lời giải:

2002.20012001 2001.20022002

A 

   

2002. 20010000 2001 2001. 20020000 2002

A   



⁴

 

⁴



2002. 2001.10 2001 2001. 2002.10 2001

A   

4 4

2002.2001.10 2002.2001 2001.2002.10 2001.2002

A   

0 A

Bài 12: Tính:

a) A 2 2²2³2⁴ ... 2¹⁰⁰ b) B  1 5 5²5³ ... 5¹⁵⁰ c) C 3 3²3³ ... 3¹⁰⁰⁰

Lời giải:

a) A 2 2²2³2⁴ ... 2¹⁰⁰

2 3 4 100

2A2.2 2 .2 2 .2 2 .2 ... 2     .2

2 3 4 5 101

2A2 2 2 2  ... 2



^{2 3 4 5 101}

 

^{2 3 4 100}



2A A  2 2 2 2  ... 2  2 2 2 2  ... 2

2 3 4 5 101 2 3 4 100

2 2 2 2 ... 2 2 2 2 2 ... 2

A           

2101 2 A  Vậy A2¹⁰¹2

b) B  1 5 5²5³ ... 5¹⁵⁰

2 3 150

5B1.5 5.5 5 .5 5 .5 ... 5     .5

2 3 4 151

5B 5 5 5 5  ... 5



^{2 3 4 151}

 

^{2 3 150}



5B B  5 5 5 5  ... 5   1 5 5 5  ... 5

2 3 4 151 2 3 150

4B 5 5 5 5  ... 5   1 5 5 5  ... 5 4B51511

5151 1 B 4

c) C 3 3²3³ ... 3¹⁰⁰⁰

2 3 1000

3C3.3 3 .3 3 .3 ... 3    .3

2 3 4 1001

3C3 3 3  ... 3



^{2 3 4 1001}

 

^{2 3 1000}



3C C  3 3 3  ... 3  3 3 3  ... 3

2 3 4 1001 2 3 1000

2C3 3 3  ... 3  3 3 3  ... 3 2C310013

31001 3 C 2

Dạng 2.SO SÁNH CÁC LŨY THỪA I.Phương pháp giải.

Để so sánh hai lũy thừa ta thường biến đổi về hai lũy thừa có cùng cơ số hoặc có cùng số mũ (có thể sử dụng các lũy thừa trung gian để so sánh)

Với a b m n N, , ,  ta có:a b aⁿ bⁿ n N^* ( 1)

m n

m n a a a 0

a hoặc a1thì a^ma m nⁿ



. 0



Với A B, là các biểu thức ta có : n n 0

A B   A B

m n

A  A  m n và A1 m n và 0 A 1

II.Bài toán.

Bài 1. So sánh:

a) 333¹⁷và 333²³ b) 2007¹⁰và 2008¹⁰ c)



^{2008 2007}



^2009và



^{1998 1997}



¹⁹⁹⁹

Lời giải

a) Vì 1 17 23  nên 333¹⁷và 333²³ b) Vì 2007 2008 nên 2007¹⁰và 2008¹⁰

c) Ta có :



^{2008 2007}



²⁰⁰⁹1²⁰⁰⁹1



^{1998 1997}



^{199911999 1}

Vậy



^{2008 2007}



^2009



^{1998 1997}



¹⁹⁹⁹

Bài 2. So sánh

a)2³⁰⁰ và 3²⁰⁰ e)99²⁰ và 9999¹⁰

b)3⁵⁰⁰ và 7³⁰⁰ f)11¹⁹⁷⁹ và 37¹³²⁰

c)8⁵và 3.4⁷ g)10¹⁰và 48.50⁵

d)202³⁰³và 303²⁰² h)1990¹⁰1990⁹và 1991¹⁰ Lời giải

a) Ta có : ^2300

 

^{23 1008100}

 

¹⁰⁰

200 2 100

3  3 9

Vì 8¹⁰⁰ 9¹⁰⁰2³⁰⁰3²⁰⁰

b) Tương tự câu a) ta có : ^3500

 

^{35 100243100}

 

¹⁰⁰

300 3 100

7  7 343

Vì 243¹⁰⁰343¹⁰⁰nên 3⁵⁰⁰ 7³⁰⁰ c) Ta có : 8⁵ 2¹⁵ 2.2¹⁴3.2¹⁴ 3.4⁷ 8⁵3.4⁷

d) Ta có : ^202303



^2.101



^3.101



^{2 .1013 3}

 

^{101 8.101.1022}



^101



^808.101



¹⁰¹

 

^2.101

  

¹⁰¹



¹⁰¹

202 2 2 2

303  3.101  3 .101  9.101

Vì 808.101² 9.101² nên 202³⁰³303²⁰²

e) Ta thấy : ⁹⁹²99.101 9999 

 

99^{2 10} 9999¹⁰99²⁰9999¹⁰

f) ta có : ^{111979111980}

 

^{113 6601331660 (1)}

 

⁶⁶⁰

1320 2 660

37  37 1369 (2)

Từ (1) và (2) suy ra : 11¹⁹⁷⁹37¹³²⁰

g) Ta có : 10¹⁰ 2 .5^{10 10}2.2 .5^{9 10} (*)

   

5 4 5 10 9 10

48.50  3.2 . 2 .5 3.2 .5 (**) Từ (*) và (**) 10¹⁰ 48.50⁵

h) Có : 1990¹⁰1990⁹ 1990 . 1990 1⁹



 



1991.1990⁹

10 9

1991 1991.1991

Vì 1990⁹1991⁹nên 1990¹⁰1990⁹ 1991¹⁰ Bài 3. Chứng tỏ rằng : 5²⁷ 2⁶³5²⁸

Lời giải

Ta có : 2⁶³128⁹

27 9

5 125 63 27

2 5

  (1)

Lại có: 2⁶³ 512⁷

28 7

5 625 63 28

2 5

  (2)

Từ (1) và (2) 5²⁷ 2⁶³5²⁸ Bài 4.So sánh:

a)107⁵⁰ và 73⁷⁵ b)2⁹¹và 5³⁵

Lời giải

a) Ta thấy : ^{1075010850 }



^4.27



^{50 2100 150.3 (1)}

 

⁷⁵

75 75 225 150

73 72  8.9 2 .3 (2)

Từ (1) và (2) 107⁵⁰ 2^{100 150}.3 2^{225 150}.3 73⁷⁵ b)2⁹¹2⁹⁰32¹⁸

35 36 18

5 5 25

91 18 18 35

2 32 25 5

   

Vậy 2⁹¹5³⁵

Bài 5. So sách các cặp số sau:

a) A27⁵vàB243³ b) A2³⁰⁰và B3²⁰⁰ Lời giải

a) Ta có ^{A275 }

 

^{33 5 315}

 

^{35 3 315}

B  Vậy AB

b) A2³⁰⁰ 2^3.1008¹⁰⁰ 200 2.100 100

3 3 9

B  

Vì 8 9 nên 8¹⁰⁰9¹⁰⁰

 A B

Bài 6.So sánh các số sau:

a)199²⁰ và 2003¹⁵ b) 3³⁹ và 11²¹ Lời giải

a) ^{1992020020 }

 

^{2 .53 2 202 .560 40}

^{200315 200015 }

   

^{2.103 15 2 .54 3 15 2 .560 45}

Vậy 2003¹⁵ 199²⁰

b) ^{339 340 }

 

^{32 20 920 1121}

Bài 7. So sánh 2 hiệu: 72⁴⁵72⁴⁴ và 72⁴⁴72⁴³ Lời giải

 

45 44 44 44

72 72 72 . 72 1 72 .71

 

44 43 43 43

72 72 72 . 72 1 72 .71 Vậy 72⁴⁵72⁴⁴72⁴⁴72⁴³ Bài 8.So sánh các số sau:

a) 9⁵và 27³ b) 3²⁰⁰và 2³⁰⁰ c) 3⁵⁰⁰ và7³⁰⁰

d) 3.4⁷và 8⁵ e) 202³⁰³ và 303²⁰² Lời giải

a) Ta có: ^95

 

^{32 5310}

^273

 

^{33 339}

Vì 3¹⁰3⁹nên 9⁵ 27³

b) Ta có: ^3200

 

^{32 100 9100}

 

¹⁰⁰

300 3 100

2  2 8

Vì 9¹⁰⁰8¹⁰⁰ nên 3²⁰⁰2³⁰⁰ c) Ta có:^3500

 

^{35 100243100 d) Ta có:85}

 

^{23 5215}

15 14 14 7

2 2.2 3.2 3.4

 

¹⁰⁰

300 3 100

7  7 343

Vì 243¹⁰⁰343¹⁰⁰3⁵⁰⁰7³⁰⁰

Vậy 8⁵3.4⁷

e) Ta có:^202303

 

^{2023 101; 303202}

 

^{3032 101}

Ta so sánh 202³ và303² 202³2 .101.101^{3 2} 303² 3 .101^{2 2} Vậy 303²⁰²< 2002³⁰³ Bài 9: So sánh

a) A  1 2 2² ... 2⁴ và B2⁵1 b) C  3 3²3³ ... 3¹⁰⁰ và 3¹⁰¹ 3 D 2 Lời giải:

a) A  1 2 2² ... 2⁴

2 4

2A1.2 2.2 2 .2 ... 2 .2   

2 3 5

2A 2 2 2  ... 2



^{2 3 5}

 

^{2 4}



2A A  2 2 2  ... 2   1 2 2  ... 2

2 3 5 2 4

2 2 2 ... 2 1 2 2 ... 2 A         

25 1 A  Vậy AB

b) C 3 3²3³ ... 3¹⁰⁰

2 3 100

3C3.3 3 .3 3 .3 ... 3    .3

2 3 4 101

3C3 3 3  ... 3



^{2 3 4 101}

 

^{2 3 100}



3C C  3 3 3  ... 3  3 3 3  ... 3

2 3 4 101 2 3 100

2C3 3 3  ... 3  3 3 3  ... 3 2C31013

3101 3 C 2 Vậy C D

Dạng 3. TÌM SỐ CHƯA BIẾT TRONG LŨY THỪA I. Phương pháp giải. Khigiải bài toán tìm x có luỹ thừa phải:

Phương pháp 1: Biến đổi về các luỹ thừa cùng cơ số . Phương pháp 2: Biến đổi về các luỹ thừa cùng số mũ . Phương pháp 3: Biến đổi về dạng tích các lũy thừa.

II. Bài toán.

Bài 1. Tìm x, biết.

a) 2 .4 128^x  b)2^x26 6 c) 64.4^x 4⁵

d)27.3^x 243 e)49.7^x 2041 g) 3^x 81

h)3 .3^{4 x} 3⁷ k)3^x25 26.2 ²2.3⁰ Lời giải

a) Ta có: 2 .4 128^x  2^x 128 : 42^x 322^x 2⁵ x 5.

b) Ta có: 2^x26 6 2^x  6 262^x 322^x 2⁵ x 5.

c) Ta có: 64.4^x 4⁵4 .4^{3 x} 4⁵4^x34⁵       x 3 5 x 5 3 x 2.

d) Ta có: 27.3^x 2433^x 243: 273^x  9 3^x 3² x 2.

e) Ta có: 49.7^x 24017^x 2401: 497^x497^x 7² x 2.

g) Ta có: 3^x 813^x 3⁴ x 4.

h) Ta có: 3 .3^{4 x} 3⁷ 3^x 3 : 3^{7 4}3^x 3⁴ x 4.

k) Ta có: 3^x25 26.2 ²2.3⁰3^x 26.1 2.1 25  3^x 3¹ x 1.

Bài 2.Tìm x N ,biết.

a) 3 .3 243^x  b) 2 .16^{x 2}1024

c) 64.4^x 16⁸ d) 2^x 16

Lời giải

a) Ta có: 3 .3 243^x  3^x 243 : 33^x 813^x 3⁴ x 4.

b) Ta có: 2 .16^{x 2} 10242^x 1024 :16²2^x1024 : 2562^x  4 2^x 2² x 2.

c) Ta có: ^{64.4x 1684 .43 x }

 

^{42 84x3416  x 3 16 x 16 3  x 13.}

d) Ta có: 2^x 162^x 2⁴ x 4.

Bài 3.Tìmx, biết.

a)



^7x11



^{32 .55 2200 b) 2019 1}

4 2019

x

x

 



c)



^2x1



^{416 d)}



^2x1

 

^{4 2x1}



⁶

e) 39 3 ² 15

2  x  2 g)



^2x1



^3125

Lời giải

a) Ta có:



^7x11



^{32 .55 2200}



^7x11



^{332.25 200 }



^7x11



^31000



^7x11



^3103

7x 11 10 7x 21 x 3

      

b) Ta có: ^{2019 1}



²⁰¹⁹



^{2 4}



²⁰¹⁹



^{2 22 2019 2 2021.}

4 2019

x x x x x

x

            



c) Ta có:



^2x1



^{4 16}



^2x1



^{4 }

 

^{2 42x  1 2.}

TH 1: 3

2 1 2 2 3

x   x  x 2.

TH 2: 1

2 1 2 2 1

x    x   x 2 .

Vậy 3

x 2 hoặc 1 2 . x

d)

             

 

4 6 4 6 4 2 4

2

2 1 0

2 1 2 1 2 1 2 1 0 2 1 1 2 1 0

1 2 1 0

x x x x x x x

x

  

  

                 

2 1 0 0,5

2 1 1 0

2 1 1 1

x x

x x

x x

   

 

 

    

      

 

Vậy x 0,5;x0;x 1.

e) Ta có:

 

²

2 2 2 2 2 2

39 3 15 39 3 15 3 39 15 3 12 4 2 2.

2  x  2  2  x  2  x  2  2  x  x  x     x g) Ta có:



^2x1



^3125



^2x1



^{3532x  1 5 2x  5 1 2x  4 x 4 : 2 x 2.}

Bài 4: Tìm x biết:

a,



^3x1



^10



^3x1



^{20 b, x}



^6x



^2003



^6x



^{2003 c, 5x5x2650}

Lời giải

a) Ta có:



^3x1



^{10 }



^3x1



^{20 }



^3x1



^20



^3x1



^{10 0}

  

¹⁰



¹⁰

 

¹⁰

1 1 3 3

3 1 0 2

3 1 3 1 1 0 3 1 1

3 1 1 3 1 1 03

x x

x x x x x

x x x

   

 

   

  

                

 

b) Ta có: ^x



^6x



^2003



^6x



^2003x



^6x



^{2003 }



^{6 x}



^20030



^{6 x}



²⁰⁰³



^{x 1}



^{0 6}_x^{ }_{1 0}^{x 0 x}_x^₁⁶

        

c) Ta có: ^{5x5 .5x 2 6505 1 25x}



^



^{6505x255x52 x 2}

Bài 5: Tìm x biết:

a, 2^x22^x 96 b, 2^x1.3^y 12^x c) 10 : 5^{x y} 20^y Lời giải

a) Ta có:

 

2 5

2^x 2^x962 .4 2^x  ^x 962 . 4 1^x  963.2^x 962^x322^x 2  x 5 b) Ta có: ^{2x1.3y 12x 2x1.3y 2 .32 x}



^{xx 1 2y }



^xy11

Vậy x y 1.

c) Ta có:10 : 5^{x y} 20^y 10^x 20 .5^{y y}10^x 100^y 10^x 10^2y  x 2 .y Dạng 4. MỘT SỐ BÀI TẬP NÂNG CAO VỀ LŨY THỪA

I.Phương pháp giải.

Phương pháp 1: Để so sánh hai luỹ thừa ta thường đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ .

- Nếu hai luỹ thừa cùng cơ số ( lớn hơn 1) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn.



¹



m n

a a a  m n

- Nếu hai luỹ thừa cùng số mũ (lớn hơn 0) thì lũy thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn .



0



n n

a b n  a b

Phương pháp 2: Dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu của phép nhân ,

A B B C  thì A C .



⁰



AC BC C   A B II.Bài toán.

Dạng 1: So sánh hai số lũy thừa.

Bài 1. So sánh các lũy thừa: 3²ⁿ và 2³ⁿ Lời giải

Ta có: ^{32n }

 

^{32 n 9n}

 

³

23ⁿ  2 ⁿ8ⁿ

Vì 9ⁿ 8ⁿ nên 3²ⁿ 2³ⁿ

Dạng 2: So sánh biểu thức lũy thừa với một số (so sánh hai biểu thức lũy thừa)

- Thu gọn biểu thức lũy thừa bằng cách vận dụng các phép tính lũy thừa, cộng trừ các số theo quy luật.

- Vận dụng phương pháp so sánh hai lũy thữa ở phần B.

- Nếu biểu thức lũy thừa là dạng phân thức: Đối với từng trường hợp bậc của luỹ thừa ở tử lớn hơn hay bé hơn bậc của luỹ thừa ở mẫu mà ta nhân với hệ số thích hợp nhằm tách phần nguyên rồi so sánh từng phần tương ứng.

Với a m n K, , , N*. Ta có:

- Nếu m n thì a a

K K

m n

   và a a

K K

m n

   . - Nếu m n thì a a

K K

m n

   và a a

K K

m n

   .(còn gọi là phương pháp so sánh phần bù)

* Với biểu thức là tổng các số có dạng 1₂

a (với a N *) ta có vận dụng so sánh sau:

2

1 1 1 1 1

1 1

a a  a  a a

 

Bài 1. Cho S   1 2 2²2³ ... 2⁹. So sánh S với 5.2⁸. Lời giải

Ta có: S   1 2 2²2³ ... 2⁹

2 9 10

2S  2 2 .... 2 2 210 1

 S 

Mà 2¹⁰ 1 2¹⁰ 4.2⁸5.2⁸ Vậy S 5.2⁸.

Bài 2.So sánh hai biểu thức A và B, biết: 10¹⁵₁₆ 1 10 1 A 

 và 10¹⁶₁₇ 1 10 1 B 

 Lời giải

Ta có: 10¹⁵₁₆ 1 10 1 A 



15 16 10 1 10 10.

10 1

A   

     = 10¹⁶₁₆ 10 10 1



 = 10¹⁶₁₆1 9 1 ₁₆9

10 1 10 1

   

  .

16 17 10 1 10 1 B 



16 17 10 1 10 10.

10 1

B   

     = 10¹⁷₁₇ 10 10 1



 = 10¹⁷₁₇1 9 1 ₁₇9

10 1 10 1

   

  .

Vì 10¹⁶ 1 10¹⁷1 nên ₁₆9 ₁₇9 10 1 10 1

  ^{16 17}

9 9

1 1

10 1 10 1

   

 

10A10B hay AB

Bài 3.So sánh hai biểu thức C và D, biết: 2²⁰⁰⁸₂₀₀₇ 3

2 1

C 

 và 2²⁰⁰⁷₂₀₀₆ 3

2 1

D 

 Lời giải

Ta có: 2²⁰⁰⁸₂₀₀₇ 3

2 1

C 



2008 2008 2008

2007 2008 2008 2008

1 1 2 3 2 3 2 2 1 1

2C 2 2 1 2 2 2  2 1 2 2

           . 2007

2006

2 3

2 1

D 



2007 2007 2007

2006 2007 2007 2007

1 1 2 3 2 3 2 2 1 1 1

2D 2 2 1 2 2 2  2 2 2

          

Vì 2²⁰⁰⁸– 2 2 ²⁰⁰⁷ – 2 nên ₂₀₀₈1 ₂₀₀₇1

2 2 2 2

 

2008 2007

1 1

1 1

2 2 2 2

   

 

 1 1

2C 2D hay C D . Vậy C D .

Dạng 3: Từ việc so sánh lũy thừa, tìm cơ số (số mũ) chưa biết.

* Với các số tự nhiên m x p, , và số dương a. + Nếu a1 thì:a^ma^xa^p  m x p. + Nếu a1 thì:a^ma^x a^p  m x p.

* Với các số dương a b, và số tự nhiên m, ta có:a^m b^m  a b. Bài 3. Tìm các số nguyên n thoã mãn: 3⁶⁴n⁴⁸5⁷².

Lời giải

Ta giải từng bất đẳng thức 3⁶⁴n⁴⁸ và n⁴⁸5⁷².

Ta có: ^{n48 364}

     

^{n3 16 3 4 16 n3 16 81 16n3  81}

4

 n (với n) (1).

Mặt khác ^{n48 5 72}

     

^{n2 24 5 3 24 n2 24 125 24 125n2}

11 n 11

    (với n^{) (2).}

Từ (1) và (2)  4 n 11 .

Vậy n nhận các giá trị nguyên là: 5;6;7;8;9;10;11.

Bài 4. Tìm x N , biết:

a) 16^x 128⁴. b) ^{1 2 18}

18 0

5 .5^{x x} .5^x 100...0 : 2

chu so

   ^. Lời giải

a) Ta có:16^x128⁴

   

^{24 x  27 424x2284x28 x 7}



0,1, 2,3, 4,5,6



 x .

b) Ta có: ^{1 2 18}

18 0

5 .5^{x x} .5^x 100...0 : 2

chu so

  

5^3x310 : 2^{18 18}5^3x35¹⁸3x 3 18 x 5



0,1, 2,3, 4,5



 x .

Bài 5: Tìm số tự nhiên x y, sao cho 10^x  y²143. Lời giải

Ta có: 10^x  y²14310^x143 y² Nếu x  0 y 12thỏa mãn.

Nếu x 0 10^x có chữ số tận cùng là 0. Khi đó, 10^xcó chữ số tận cùng là3. Mà y² là số chính phương nên không thể có tận cùng bằng 3. Do đó không tồn tại x y, thỏa mãn.

Vậy x0;y12.

Bài 6: a) Số 5⁸ có bao nhiêu chữ số?

b) Hai số 2²⁰⁰³ và 5²⁰⁰³ viết liền nhau được số có bao nhiêu chữ số?

Lời giải a) Ta có:

8 4 2 2 2

8 8 8

5 (5 ) 625 600 360000 10 100000000 100000000

5 400000

256 250

2

   

   

360000 58 400000.

   Do đó 5⁸ có 6 chữ số.

b) Giả sử 2²⁰⁰³ có a chữ số và 5²⁰⁰³ có b chữ số thì khi viết 2 số này liền nhau ta được (a b ) chữ số.

Vì 10^a12²⁰⁰³10^a và 10^b15²⁰⁰³10^b 1 1 2003 2003

10^a.10^b 2 .5 10 .10^{a b}

  

2 2003

10^{a b } 10 10^{a b}

   . Do đó: 2003      a b 1 a b 2004 . Vậy số đó có 2004 chữ số.

Bài 7:Tìm số 5 các chữ số của các số n và m trong các trường hợp sau:

a) n 8 . 15^{3 5}. b) m 4 . 5^{16 25}. Lời giải

a) Ta có:

   

 

3 5

3 5 3 9 5 5

4 5 5 5 5

8 . 15 2

. . 3.5 2 . 3 . 5 2 . 3 . 2.5 1 6.243 .10 3888. 10

n  

  

Số 3888.10⁵ gồm 3888 theo sau là 5 chữ số 0 nên số này có 9 chữ số.

Vậy số n có 9 chữ số.

b) Ta có:

   

16 25 2 16 25

32 25 7 25 25 25

4 . 5 2 . 5

2 .5 2 . 2 .5 128.10 .

m 

  

Số 128.10²⁵ gồm 128 theo sau là 25 chữ số 0 nên số này có tất cả 28 chữ số.

Vậy số m có 28 chữ số.

Dạng 4: Sử dụng lũy thừa chứng minh chia hết Bài 1: Chứng minh rằng:

a. A  1 3 3² ... 3¹¹chia hết cho 4 b. B16⁵2¹⁵chia hết cho 33

c. C 5 5²5³ ... 5⁸ chia hết cho 30 d. D45 99 180  chia hết cho9

e. E  1 3 3²3³ ... 3¹¹⁹chia hết cho 13 f. F 10²⁸8 chia hết cho 72

g. G8⁸2²⁰ chia hết cho 17

h. H  2 2²2³ ... 2⁶⁰ chia hết cho 3,7,15 i. I  1 3 3²3³ ... 3¹⁹⁹¹ chia cho 13 và 41 j. J 10ⁿ18n1chia hết cho 27

k. K 10ⁿ72n1 chia hết cho 81 Lời giải

a. A  1 3 3² ... 3¹¹chia hết cho ⁴



1 3



3 . 1 3²

 

... 3 . 1 3¹⁰

 

A      

2 10

4 3 .4 ... 3 .4 A   



^{2 10}

  

4. 1 3 ... 3 4 đpcm

A    

b. B16⁵2¹⁵chia hết cho 33

 

^{24 5 215}

B 

20 15

2 2

B 

 

15 5

2 . 1 2

B 

 

2 .33 3315 đpcm B 

c. C 5 5²5³ ... 5⁸ chia hết cho 30



^{5 52}

 

^{5 . 5 52 2}



... 5 . 5 5⁶



²



C      

2 6

30 5 .30 ... 5 .30

C   



^{2 6}

  

30. 1 5 ... 5 30 đpcm

C    

d. D45 99 180  chia hết cho 9

Ta có: 45 9;99 9;180 9   nên D45 99 180 9   (đpcm) (tính chất chia hết của một tổng) e. E  1 3 3²3³ ... 3¹¹⁹chia hết cho 13



^{1 3 32}

 

^{3 . 1 3 33 2}



^{... 3117. 1 3 3}



²



E         

3 117

13 3 .13 ... 3 .13

E   



^{3 117}

  

13. 1 3 ... 3 13 đpcm

E    

f. F 10²⁸8 chia hết cho 72 Ta th