Lý thuyết Phương trình mũ và phương trình logarit (năm 2022 + Bài Tập) – Toán 12

Bài 5. Phương trình mũ và phương trình logarit A. Lý thuyết

I. Phương trình mũ

1. Phương trình mũ cơ bản

– Phương trình mũ cơ bản có dạng: a^x = b (a > 0; a ≠ 1).

Để giải phương trình trên, ta sử dụng định nghĩa logarit.

Với b > 0 ta có: a^x = b x = logab.

Với b ≤ 0, phương trình vô nghiệm.

– Minh họa bằng đồ thị

Hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y = a^x và y = b là nghiệm của phương trình a^x = b.

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hai đồ thị.

Rõ ràng, nếu b ≤ 0 thì hai đồ thị không cắt nhau nên phương trình vô nghiệm.

Nếu b > 0 ta có hai đồ thị như hình dưới đây. Trên mỗi hình, hai đồ thị luôn cắt nhau tại một điểm nên phương trình có nghiệm duy nhất.

Kết luận:

– Ví dụ 1. Giải phương trình 2^{x + 1} + 2^{x + 2} = 16.

Lời giải:

Ta có: 2^{x + 1} + 2^{x + 2} = 16.

2.2^x + 4.2^x = 16

 6.2^x = 16

x

2

8 8

2 x log

3 3

   

Vậy ₂8

x log

 3.

2. Cách giải một số phương trình mũ cơ bản a) Đưa về cùng cơ số.

– Ví dụ 2. Giải phương trình

6 2x

x 2 1

3 3



    

  Lời giải:

Ta có:

6 2x

x 2 1

3 3



    

 

x 2 2x 6

3 ^ 3 ^

 

 x + 2 = 2x – 6

x = 8 Vậy x = 8.

b) Đặt ẩn phụ

– Ví dụ 3. Giải phương trình 4^x – 5. 2^x + 6 = 0 Lời giải:

Đặt t = 2^x (với t > 0)

Phương trình đã cho trở thành: t² – 5t + 6 = 0

x x

2

t 2 2 2 x 1

t 3 2 3 x log 3

    

      

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 1 và x = log₂3.

c) Logarit hóa.

– Ví dụ 4. Giải phương trình: 3 . 5^{x x2} 1 Lời giải:

Lấy logarit cơ số 3 hai vế ta được:





3 3

2 3

3

5 3

log 3 . 5 log 1 x x log 5 0

x(1 x log 5) 0 x 0

x 1 log 3

log 5



  

  

 

   



Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 0 và x = – log53.

II. Phương trình logarit

– Phương trình logarit là phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu logarit.

– Ví dụ 5. Các phương trình log x₂ 4; log x 2log x 0₃²  ₄  … đều là phương trình logarit.

1. Phương trình logarit cơ bản

– Phương trình logarit cơ bản có dạng: log_ax = b (a > 0; a ≠ 1).

Theo định nghĩa logarit ta có:

log_ax = b x = a^b – Minh họa bằng đồ thị

Vẽ đồ thị hàm số y = loga x và đường thẳng b trên cùng một hệ tọa độ.

Trong cả hai trường hợp, ta đều thấy đồ thị của các hàm số y = logax và đường thẳng y = b luôn cắt nhau tại một điểm với mọi b .

Kết luận: Phương trình logax = b (a > 0; a ≠ 1) luôn có nghiệm duy nhất x = a^b với mọi b.

2. Cách giải một số phương trình logarit đơn giản.

a) Đưa về cùng cơ số

Ví dụ 6. Giải phương trình log3x + log9x = 6.

Lời giải:

Ta có: log3x + log9x = 6

3 3

3

3

log x 1log x 6 2

3log x 6 2

log x 4

  

 

 

x = 3⁴ = 81.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 81.

b) Đặt ẩn phụ

– Ví dụ 7. Giải phương trình log x 3log x 0₅²  ₅  Lời giải:

Đặt t =log₅x, phương trình đã cho trở thành:

t² + 3t = 0 nên t = 0 hoặc t = –3.

Với t = 0 thì log5x = 0 nên x = 1.

Với t = –3 thì log₅x = –3 nên x = 5^–3.

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 1 và x = 5^–3. c) Mũ hóa

– Ví dụ 8. Giải phương trình: log3(90 – 3^x) = x + 2 Lời giải:

Điều kiện của phương trình là 90 – 3^x > 0.

Phương trình đã cho tương đương với:

90 – 3^x = 3^{x + 2} hay 90 – 3^x = 9.3^x

10.3^x = 90

3^x = 9 nên x = 2 (thỏa mãn điều kiện) Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 2.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Giải phương trình mũ.

a) 3^{x22x 1} 9;

b) 2^{x+ 1} + 2^{x+ 2} + 2^{x+ 3} = 56;

c) 25^x – 5^{x+ 1} + 6 = 0.

Lời giải:

a) Ta có: 3^{x22x 1} 9;

3^{x22x 1} 3²

x² + 2x – 1 = 2

x² + 2x – 3 = 0 x 1

x 3

 

   

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 1 và x = –3.

b) 2^{x + 1} + 2^{x + 2} + 2^{x + 3} = 56.

2. 2^x + 4.2^x + 8.2^x = 56

14. 2^x = 56

2^x = 4

x = 2.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 2.

c) 25^x – 5^{x+ 1} + 6 = 0

5^2x – 5. 5^x + 6 = 0

Đặt t = 5^x ( t > 0) phương trình trên trở thành: t² – 5t + 6 = 0

x

5 x

5

x log 2

t 2 5 2

x log 3

t 3 5 3



   

      

Vậy nghiệm của phương trình là xlog 2; x₅ log 3.₅ Bài 2. Giải phương trình logarit

a) log₇(10 – x) = log₇(x – 4);

b) log3(x + 2) – log3(4 – x) = 2;

c) log x²₂ 7log x₂  6 0 ;

d) log3(3^x – 12) = 2x + 2.

Lời giải:

a) Điều kiện: ^{10 x 0} 4 x 10 x 4 0

  

  

  



Ta có: log7(10 – x) = log7 (x – 4)

 10 – x = x – 4.

2x = 14 nên x = 7 (thỏa mãn).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 7.

b) log₃ (x + 2) – log₃ (4 – x) = 2.

Điều kiện: ^{x 2 0} 2 x 4 4 x 0

  

   

  



Ta có: log3 (x + 2) – log3 ( 4 – x) = 2.

3

log x 2 2 4 x

  

 x 2 2

3 9

4 x

   



Suy ra: x + 2 = 9(4 – x)

 x + 2 = 36 – 9x

 10x = 34 nên x = 3,4 ( thỏa mãn điều kiện) Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 3,4.

c) log x²₂ 7log x₂  6 0 (điều kiện x > 0).

Đặt t = log2x, phương trình đã cho trở thành: t² – 7t + 6 = 0

2 2

log x 1

t 1 x 2

log x 6

t 6 x 64

     

      

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 2 và x = 64.

d) log3(3^x – 12) = 2x + 2 Điều kiện: 3^x – 12 > 0

Phương trình đã cho tương đương:

3^x – 12 = 3^{2x + 2} hay 9.3^2x – 3^x + 12 = 0 (*)

Đặt t = 3^x ( t > 0), phương trình (*) trở thành: 9t² – t + 12 = 0 Phương trình trên vô nghiệm nên phương trình đã cho vô nghiệm.