[PTMH TOAN 2021] DẠNG-40-BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ -LOGARIT VẬN DỤNG CAO-GV.docx

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1. Bất phương trình mũ + Nếu a1 thì

   

   

f x g x

a a  f x g x . + Nếu 0 a 1 thì

   

   

f x g x

a a  f x g x . + Nếu a chứa ẩn thì

   



¹

    

⁰

f x g x

a a  a f x g x  . 2. Bất phương trình logarit

+ Nếu a1 thì ^loga f x

 

^loga g x

 

 f x

 

g x

 

+ Nếu 0 a 1 thì ^loga f x

 

^loga g x

 

 f x

 

g x

 

+ Nếu a chứa ẩn thì

   

   

log 0 1 1 0

log 0 1 1 0

log

a a a

B a B

A A B

B

    



     

 .

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

 Lý thuyết về bất phương trình mũ – lôgarit

 Nhận dạng và phát triển các dạng toán tương tự

 …

BÀI TẬP MẪU

Câu 40 : Có bao nhiêu số nguyên dương y sao cho ứng với mỗi y có không quá 10 số nguyên ^x thỏa mãn



^{2x1 2 2}

  xy 0?

A.1024 . B.2047 . C. ¹⁰²². D.1023 .

Lời giải Chọn A

Cách 1:

Ta có: y 1 log² y0. Gọi



^{2x1 2 2}

  xy0 (*)

+Trường hợp 1:

1

2

2 1

2 2 0 2

2 2

2 0 2 1 log 0

x x

x x

x VN

y y x y

        

   

  

        



+Trường hợp 2:

1

2 2

2 1 1

2 2 0 2 2 2 2 log

2 0 2 log

x x

x x

x x y

y y x y

        

      

  

      



DẠNG TOÁN 40: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ -LOGARIT VẬN DỤNG CAO

Theo đề bài, ứng với mỗi số nguyên dương y có không quá 10 số nguyên ^x thỏa mãn bất

phương trình (*) tương đương với tập nghiệm ² 1 ; log S 2 y

   chứa không quá 10 số nguyên,

nghĩa là: log² 10 2¹⁰ 1024

y y

y y

 

 

 

   



 

Vậy có tất cả 1024 giá trị y thỏa mãn yêu cầu đề.

Cách 2:

Đặt ^{t2x 0} thì ta có bất phương trình (2t 2)(t y ) 0 hay

( 2)( ) 0 (*).

t 2 t y 

Vì y^ nên

2 y 2

, do đó ²

2 2 1

(*) 2 log .

2 2 2

t y x y x y

         

Nếu log² y10 thì ^{x{0, 1, 2,, 10}} đều là nghiệm nên không thỏa yêu vầu bài toán. Suy ra log2 y10 hay y2¹⁰ 1024, mà y^ nên ^{y{1, 2,, 1024}.}

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN

 Mức độ 3

Câu 1. Giả sử



x y0; 0



là cặp nghiệm nguyên không âm có tổng S x⁰y⁰ lớn nhất của bất phương trình 4^x2 .3^{x y}9.2^x3^y10, giá trị của S bằng

A. ². B. ⁴. C 3. . D. 5 .

Lời giải:

Chọn C

Ta có ^{4x2 .3x y9.2x3y 10}



^{2x1 2}

 

^x3y10



^0_.

Vì 2^x 1 0 nên bất phương trình tương đương với 2^x 3^y 10 0 .

Với cặp số



^{x y,}



nguyên không âm thì



^{x y,}



chỉ có thể là:

     

0;0 , 0;1 , 0;2 ,

 

^{1;0 ,}

 

^{1;1 ,}

     

2;0 ; 2;1 , 3;0 . Vậy tổng S 3.

Câu 2. Có bao nhiêu cặp số nguyên dương



^{x y;}



thỏa mãn 1 x 10 và x x ²9^y3^y

A. ¹⁰. B. ¹¹. C. 9 . D. 8 .

Lời giải Chọn A

Ta có x x ²9^y 3^y  x x² 9^y3^y. Xét hàm số đặc trưng ^{f t}

 

^{ t2 t} _{với t0.}

Ta có ^{f t}

 

^{    2 1 0,t t 0} _{suy ra} ^{f t}

 

là hàm số đồng biến trên



^{t 0}



_.

Suy ra ^{x x 2 9y3y  f x}

 

^{ f}

 

^{3y  x 3y}_.

Với giả thiết 1 x 10 ta có: 3^y 10 y 2. TH1: y   ^{1 31} x ¹⁰ x



3;4;5;6;7;8;9;10



có 8 cặp nghiệm



^{x y;}



_{thỏa mãn.}

TH2: ^{y 2 32   9 x 10 x}



^9;10



có 2 cặp nghiệm



^{x y;}



_{thỏa mãn.}

Vậy có tất cả 10 cặp nghiệm



^{x y;}



_{thỏa mãn.}

Câu 3. Có bao nhiêu cặp số nguyên



^{x y;}



_{thỏa mãn} ^{x y, }



^5;50



_và

2 2 2 2 2 2

x  y  y x   y  y

A. ². B. ⁵. C. 15 . D. 11.

Lời giải Chọn C

Có ^{x  y22y x  2 y22y  2 x x y22y 2 y22y2} (2) Xét hàm số ^{f t}

 

^{ t t} trên khoảng



^0;



_{ta có:}

 

^{1 1 0, 0}

 

f t 2 t f t

   t    

đồng biến.

 

^{2  f x}

 

^{ f y}



^{2 2y2}



^{ x y22y2}_.

Do ^{x y, }



^5;50



_nên ^{5 y22y 2 50 4}



^y1



^{249  1 y 6}

Do y và ^y



^5;50



_nên y5 hoặc y6.

Với y5 có ³⁷ y²²y  ² x ⁵⁰ x



37;38;...;50



có 14 cặp



^{x y;}



_{thỏa mãn.}

Với y6 có 50y²2y  2 x 50 x 50 có 1 cặp



^{x y;}



_{thỏa mãn.}

Vậy có tất cả 15 cặp



^{x y;}



_{thỏa mãn.}

Câu 4. Có bao nhiêu cặp số nguyên dương



^{x y;}



_{thỏa mãn} ^{log 2}



^x2y



^1

A. ¹⁰. B. ¹¹. C. 9 . D. 8 .

Lời giải Chọn D

 

^{2 2 0}

log 2 2 1 2 2 10

2 2 10

y

y y

y

x x x

x

  

     

 

 (vì



^{x y;}



nguyên dương).



^{x y;}



nguyên dương nên 2x2^y 102^y    8 1 y 3.

Với ^{y 1 2x    8 x 4 x}



^{1;2;3; 4}



_{có 4 cặp}



^{x y;}



_{thỏa mãn.}

Với ^{y 2 2x    6 x 3 x}



^{1; 2;3}



_{có 3 cặp}



^{x y;}



_{thỏa mãn.}

Với y 3 2x    2 x 1 x 1 có 1 cặp



^{x y;}



_{thỏa mãn.}

Vậy có tất cả 8 cặp



^{x y;}



thỏa mãn đề bài.

Câu 5. Có bao nhiêu cặp số nguyên dương



^{x y;}



_{thỏa mãn} 2.2^x x sin² y2^cos2y

A. ¹. B. ⁰. C. 2 . D. 3 .

Lời giải:

Chọn B Ta có

2 2

2 cos 1 cos 2

2.2^x x sin y2 ^y 2^x   x 1 2 ^ycos y. (1)

Đặt f t

 

  ^2t t f t

 

2 .ln 2 1 0, ^t    t 0.

Suy ra hàm số ^{y f t}

 

là hàm số đồng biến trên



^0;



_.

Suy ra

 

^{1  f x}



^{ 1}



^f



^{cos2 y}



^{  x 1 cos2 y  x sin2 y x 0} _{vô lí.}

Vậy không tồn tại cặp số nguyên dương



^{x y;}



nào thỏa mãn đề bài.

Câu 6. Tập các cặp số nguyên dương



^{x y;}



thỏa mãn điều kiện ^logx



^{y x x  25}



^2

A. 6 . B. ⁴. C. 5 . D. 7.

Lời giải:

Chọn A

Có



²



^{2 2}

2 2

0, 1 0, 1

log 5 2 5 0 5 0

5 5

x

x x x x

y x x y x x y x x

y x x x y x

   

 

 

             

       

  . (1)

Vì



^{x y;}



nguyên dương nên ^x



^{2;3; 4}



Với x2 có

 

^{1 6 5 00, 1}



^{1; 2;3}



2 5

x x

y y

y

 



     

  

 có 3 cặp



^{x y;}



_{thỏa mãn.}

Với x3 có

 

^{1 12 5 00, 1}

 

^1;2

3 5

x x

y y

y

 



     

  

 có 2 cặp



^{x y;}



_{thỏa mãn.}

Với x4 có

 

^{1 0,20 5 01}

 

¹

4 5

x x

y y

y

 



     

  

 có 1 cặp



^{x y;}



_{thỏa mãn.}

Vậy có tất cả 6 cặp



^{x y;}



thỏa mãn yêu cầu đề bài.

CÂU 7. Có bao nhiêu m nguyên dương để bất phương trình ^{32x23 3x}



^{m2 1}



^{3m 0} có không quá 30 nghiệm nguyên?

A. 28. B. 29. C. 30. D. 31.

Lời giải:

Chọn D

 

   

   

2 2 2 2

3 3 3 1 3 0 9.3 9.3 .3 3 3 0

9.3 3 3 3 3 0

3 3 9.3 1 0

x x m m x x m x m

x x m x m

x m x

          

    

   

Ta có 3^x3^m  0 x m. 9.3^x    1 0 x 2.

Bảng xét dấu

x  2 m 

V

T + 0



_{0 +}

Ta có tập nghiệm ^{S  }



^{2 ; m}



^.

Tập hợp các nghiệm nguyên là



1; 0; 1; ...; m1 .



Để có không quá 30 nghiệm nguyên thì m 1 28 m 29.

Câu 8. Biết



^{x y;}



là cặp nghiệm nguyên của bất phương trình



^logx



y x  ⁵



^{1 log}

 

x y ¹



⁰

thỏa mãn y x 10, hỏi hiệu số ^{y x} lớn nhất bằng bao nhiêu:

A. 7 . B. 5 . C. ². D. 9 .

Lời giải:

Chọn D

Điều kiện

0, 1

0, 1

5 0 5

0

x x

x x

y x y x

y

 

   

    

   

  .

Suy ra log_x y1 Suy ra

 

   

 

0, 1 0, 1

0, 1

log 5 1 log 1 0 5 0 5

2 5

log 5 1 0 5

x x

x

x x x x

x x

y x y y x y x

y x

y x x

y x

     

 

  

                    

Theo giả thiết y x 10 suy ra ^{2x   5 y x 10   x 3 x}

 

^2;3 _.

Với ^{x   2 9 y 12 y}



^10;11



_.

Với ^{x 3 11 y 13 y}

 

¹² _.

Trong các cặp



^{x y;}



ta thấy hiệu y x 9 là lớn nhất..

Câu 9. Số cặp nghiệm



^{x y;}



nguyên của bất phương trình



^{2x y}



^{2.25x22xy2y23}



^{x y}



^23 _là

A. 0. B. ¹. C. ². D. 3 .

Lời giải Chọn D

Từ



^{2x y}



^{2.25x22xy2y29 }



^{x y}



^23



^{2x y}



^{2.22x y  2x y 23}



^{x y}



^230_(*)

Đặt

 

 

2 2

2 0

3 3

a x y

b x y

   



    

 khi đó (*) đưa về: ^{a.2a b   b 0 a.2a  }

 

^{b .2b}_.

Vì a   0 b 0.

Xét hàm số ^{f t}

 

^{t.2 , t t}



^0;



_có f t

 

 ^2t t.2 .ln 2 0, ^t   t



0;



. Suy ra ^{f a}

 

^{ f}

 

      ^{b a b a b 0}

.

Suy ra



^{2x y}

 

^{2 x y}



^{2  3 0}



^{2x y}

 

^{2 x y}



^{2 3}_.

Với giả thiết ^{x y,} là các số nguyên nên



^{2x y}



² _và



^{x y}



² chỉ có thể xẩy ra các trường hợp sau:

2x y 0 0 0 1 1 1 1 1 1

x y 0 1 1 1 1 1 1 0 0

x 0 1 3

1

3 2

3 0 0 2

3 1 3

1

3

y 0 2

3 2 3

1

3 1 1 1 3

1 3

1

3 Nhận Loại Loại Loại Nhận Nhận Loại Loại Loại Vậy có tất cả 3 cặp nghiệm thỏa mãn.

Câu 10. Có bao nhiêu cặp số nguyên dương

 

^{x y;} _{với x2020}

thỏa mãn điều kiện

2 2

2

log 2 4 4 8 1

1

x x x y y

y

     

 _.

A. 2020_{. B. vô số. C.} 1010_{. D.} 4040_.

Lời giải Chọn C

      

²



²

2 2

2 2 2

log 2 4 4 8 1 log 2 log 1 4 1 2 1

1

x y x x y x y y x

y

              



   

²

     

²

2 2

log x 2 x 2 log 2 y 1 2 y 1 1

         . Xét hàm số f t

 

log2t t ²_trên



^0;



_.

Ta có

 

^{1 2 0}



^0;



f t ln 2 t t

 t       ^{f t}

 

đồng biến trên



^0;



_.

 

^{1  f x}



^{ 2}



^f



^{2y   2}



^{x 2 2y  2 x 2y}_.

Mà ^{0 x 2020  0 y 1010}.

Vậy có 1010cặp số nguyên dương

 

^{x y;} _.

Câu 11. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để tập nghiệm của bất phương trình



^{3x2  3 3}

  x2m0 chứa không quá 9 số nguyên?

A.1094 . B.3281. C.1093 . D.3280 .

Lời giải Chọn D

Gọi



^{3x2 3 3}

  x2m 0 (1)

Đặt t3 ,^x t0, bất phương trình (1) trở thành



^{9t 3}

 t2m 0 2 

+ Nếu 2 3

m 9 3

18 1

m 

thì không có số nguyên dương m nào thỏa mãn yêu cầu bài toán.

+ Nếu 2 3

m 9 3

m 18

  thì bất phương trình

 

^{2 3 2}

9 t m

   . Khi đó tập nghiệm của bất phương trình

 

¹ _là 3

 

3 ; log 2 S  2 m . Để S chứa không quá 9 số nguyên thì 3

 

⁸

log 2 8 0 3 m    m 2 Vậy có 3280 số nguyên dươngm _{thỏa mãn.}

Câu 12. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số ^m để bất phương trình



^{3x2x9 2}

 

^{x2 m}



^0 _{có 5}

nghiệm nguyên?

A. 65021. B. 65024 C. 65022 . D. 65023 .

Lời giải Chọn B

Gọi



^{3x2x9 2}



^{x2 m}



^0 ₍₁₎

T

rường hợp 1 : Xét

2 2 1

3 9 0 2

2

x x x

x x

x

          .

Khi đó,

2

2

2 2 2

1 1 (1) 2

log log log

x m m

m x m m x m

 

  

      

Nếu m1 thì vô nghiệm.

Nếu m1 thì (2)  log²m  x log²m . Do đó, để bất phương trình có 5 nghiệm nguyên

thì tập hợp

 

  ; 1

 

2;  

 

 log2m; log2m có 5 giá trị nguyên 3 log2m 4

   _{512 m 65536}. Suy ra có 65024 giá trị ^m nguyên thỏa mãn.

T

rường hợp 2 : Xét 3^x2x   9 0 x²      x 2 1 x 2. Vì



^{1; 2}



chỉ có hai số nguyên nên không có giá trị ^m nào để bất phương trình có 5 nghiệm nguyên.

Vậy có tất cả 65024 giá trị ^m nguyên thỏa yêu cầu bài toán.

CÂU 13. Có bao nhiêu ^m nguyên dương để bất phương trình ^{32x23 3x}



^{m2 1}



^{3m 0} có không quá 30 nghiệm nguyên?

A. 28 . B. 29 . C. 30 . D.31.

Lời giải Chọn B

 

   

2 2 2 2

3 3 3 1 3 0 9.3 9.3 .3 3 3 0

3 3 9.3 1 0

x x m m x x m x m

x m x

          

   

Ta có ^{3x3m   0 x m } 9.3^x    1 0 x 2.

Bảng xét dấu

x  2 ^{m }



^3x3m

 

^9.3x1



^{+ 0  0 +}

Ta có tập nghiệm ^{S  }



^{2 ; m}



^.

Tập hợp các nghiệm nguyên là



1; 0; 1; ...; m1 .



Để có không quá 30 nghiệm nguyên thì m 1 28 m 29.

Câu 14. Cho bất phương trình m.3^x1(3m2)(4 7)^x (4 7)^x0, với ^m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số ^m để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi ^{x }



^;0



_.

A.

2 2 3 m 3

 . B.

2 2 3 m 3

 . C.

2 2 3 m 3

 . D.

2 2 3 m 3

  .

Lời giải Chọn B

.3^x 1 (3 2).(4 7)^x (4 7)^x 0

m ^  m    

4 7 4 7

3 (3 2). 0

3 3

x x

m m      

       

Đặt

4 7

3

x

t   

   , vì x0nên ^{0 t 1}.

BPT trở thành

 

3 2

3 m 0, 0; 1

m t t

t

      ² 2

3 ,

1 m t

t

  

 ^t



^{0; 1}



Xét

2 2

( ) ,

1 f t t

t

 

 ^t



^{0; 1}



 

2 2

2 2

( ) 0 3 1

1

t t t

f t t

t

  

    



Vậy yêu cầu bài toán

2 3 6 2 2 3

3 .

3 3

m  m 

   

Câu 15. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số ^m để bất phương trình ^{2x 3 5 2 x m} nghiệm đúng với mọi x 



;log 52



.

A. m4. B. m2 2 . C. m4. D. m2 2 . Lời giải

Chọn A

Đặt ^{2x t} . Vì xlog 5² _{ 0 2}^x_2^{log 52}   0 t 5. Yêu cầu bài toán trở thành t 3 5 t m, ^{ t}



^0;5



_.

Xét hàm số ^{f t}

 

^{ t 3 5t} _với ^t



^0;5



_.

Có

 

^{1 1}

2 3 2 5

f t  t  t

  .

 

^{0 1 1 0 3 5 1}

2 3 2 5 3 5

f t t t

t t t t

  

            

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có: m4.

Câu 16. Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình ^{m.4x2 2x 1 }



^{1 2m}



^{.10x2 2x 1m.25x2 2x 10}

nghiệm đúng với mọi

1; 2 x 2 

  .

A. m0. B.

100 m841

. C.

1 m 4

. D.

100 m841

. Lời giải

Chọn A

 

2 2 1 2 2 1 2 2 1 1

.4 1 2 .10 .25 0, ; 2

2

x x x x x x

m ^{ }   m ^{ } m ^{ }    x  

 

^{ }

2 2 1 2 2 2 1

5 5 1

1 2 . . 0, ; 2

2 2 2

x x x x

m m m x

   

     

             

 

¹

Đặt

 

2 2 1 2 2 1

5 5 5

( ) .ln . 2 2 0 1

2 2 2

x x x x

t t x x x

   

      

          

      .

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có

4 2; t 25 5

  

   

² 2

4 2 4 2

1 1 2 . . 0, ; , ;

25 5 2 1 25 5

m m t m t t m t t

t t

   

             

4 2 2 25 5;

min 2 1

m t

t t

 

 

 

   

(*) Xét hàm số

 

₂

2 1 f t t

t t

   ,

4 2; t 25 5

  

   

2 2 2

1 2 1 f t t

t t

   

  ,

   

2 1

 

0 1 0

1

t l

f t t

t l

 

       

 

Ta có

4 100

25 841 f    ,

2 10

5 49

f      _{4 2}

 

25 5;

min 100 f t 841

 

 

 

 

(*)

100 m 841

  .

Vậy

100 m841

thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi

1; 2 x 2 

  .

Câu 17. Có bao nhiêu số nguyên ^x sao cho ứng với mỗi ^x có không quá 728 số nguyên y _{thỏa mãn}



²



4 3

log x  y log (x y )

?

A. 59 . B. 58 . C. 116 . D. 115 .

Lời giải Chọn C

Bất phương trình đã cho tương đương ^{log (3 x y ) log 4}



^x2y



^0₍₁₎

Xét hàm số ^{f y( ) log ( 3 x y ) log 4}



^x2y



_.

Tập xác định D  ( ;x )_.

Với mọi x ta có x² x _nên ^{f y( )(x y1) ln 3}



^x21y



^{ln 40, x D}

( )

 f y đồng biến trên khoảng ( x; ).

Do y là số nguyên thuộc ( x; ) nên y  x k k, ^.

Giả sử y  x klà nghiệm của bất phương trình (1) thì ( )f y  f( x k) 0 . Mà         x 1 x 2 ... x k và ( )f y đồng biến trên khoảng ( x; ), suy ra

( 1) ( 2) ... ( ) 0

f   x f    x f   x k , nên các số nguyên    x 1, x 2, ...,  x k đều là nghiệm của (1), hay nói cách khác bất phương trình (1) sẽ có ^k số nguyên y thỏa mãn yêu cầu ứng với mỗi x.

Để có không quá 728 số nguyên y _thì f⁽ x ^{729) 0} log 729 log³  ⁴



x² x 729



0

2 1 13469 1 13469

3367 0

2 2

x x  x 

      

Mà x nên x 



57, 56, ..., 58



.

Vậy có 116 số nguyên ^x thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 18. Điều kiện của ^m để hệ bất phương trình

 

2 1 2 1

2

7 7 2020 2020

2 2 3 0

x x x x

x m x m

   

   



    

 có nghiệm là :

A. m 3. B.   2 m 1. C.   1 m 2. D. m 2.

Lời giải Chọn D

     

2 1 2 1 2 1 2 1

7 ^{x x} 7 ^{ x} 2020x20207 ^{x x} 1010. 2x x 1 7 ^{ x} 1010. 2 x1 * Hàm số ( ) 7f t  ^t 1010.t đồng biến trên  .

 

^{*  f}



^{2x x 1}

 

^{f 2 x 1}



^{2x x  1 2 x    1 1 x 1.}

Hệ bất phương trình đã cho có nghiệm ^x2



^m2



^{x2m 3 0} có nghiệm ^{x }



^{1; 1}



2 2 3

2

x x

m x

 

   có nghiệm ^{x }



^{1; 1}



_.

Từ bảng biến thiên ta thấy ^{m 2} là các giá trị cần tìm.

Câu 19. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của ^m để bất phương trình

2 2 2

9^{m x}+4^{m x}³ m.5^{m x} có nghiệm?

A. 10 . B. Vô số. C. 9 . D. ¹.

Lời giải

Chọn B

Từ giả thiết, ta chỉ xét ^mÎ ⁺

Ta có:

2 2 2

9^{m x}+4^{m x} ³ m.5^{m x}

( )

2 2

9 4

5 5 1

m x m x

æö÷ æö÷ m

ç ç

Û ççè ø÷÷ +ççè ø÷÷ ³

Có

2 2 2 2 2

9 4 9 4 6

2 . 2

5 5 5 5 5

m x m x m x m x m x

æö÷ æö÷ æö æö÷ ÷ æö÷ ç ÷ +ç ÷ ³ ç ÷ ç ÷ = ç ÷

ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷

ç ç ç ç ç

è ø è ø è ø è ø è ø .

Do đó nếu x⁰ là nghiệm của bất phương trình 6 2

2 5

m x

æö÷ m ç ÷ ³

ç ÷çè ø thì x⁰ cũng là nghiệm của

2 2

9 4

5 5

m x m x

æö÷ æö÷ m ç ÷ +ç ÷ ³ ç ÷ ç ÷

ç ç

è ø è ø .

Ta xét các giá trị ^mÎ ⁺ làm cho bất phương trình

( )

6 2

2 2

5

m x

æö÷ m ç ÷ ³

ç ÷çè ø có nghiệm.

Vì 6 2

2 5

m x

æö÷ m ç ÷ ³ ç ÷çè ø

6 2

5 2

m x m

æö÷

Û çç ÷çè ø÷ ³ , ^{mÎ +}

2

6 5

log 2 m x æ öçm÷

Û ³ ç ÷çè ø÷ 1^{2 6}₅ log 2 x m

m

æ ö÷

Û ³ çç ÷çè ø÷, với ^mÎ ⁺.

Vậy với ^{mÎ +} thì bất phương trình ( )² có nghiệm tương ứng là

2 6 5

1 log 2 x m

m

æ ö÷

³ çç ÷çè ø÷.

Suy ra có vô số giá trị ^{mÎ +} làm cho bất phương trình ( )¹ có nghiệm.

Câu 20. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số ^{m }



^10;10



để bất phương trình sau nghiệm đúng với  x  :



^{6 2 7}



^x



^2m

 

^{3 7}



^x



^{m1 2}



^{x 0}

A. 10 . B. 9 . C. 12_{. D.} 11_.

Lời giải

Chọn C Ta có:



^{6 2 7}



^x



^2m

 

^{3 7}



^x



^{m1 2}



^{x 0 2 3x}



^{ 7}



^x



^2m

 

^{3 7}



^{x }



^{m1 2}



^x



^{3 7}



^x



^{2 m}



^3₂ ^{7x m 1}

       

Đặt ^{t }



^{3 7}



^x_{, t0} ^{3 2 7 1}

x

t

  

   .

Yêu cầu bài toán



²



^{.1 1, 0 2 2, 0}

1 t t

t m m t m t

t t

            

 Xét hàm số

 

^{2 2}

1 t t f t t

  

 trên khoảng



^{0; }



_{, ta có}

   

2 2

2 3

1 t t

f t t

   



 

⁰

f t 

3 1 t t

  

   . Khi đó, ta có bảng biến thiên sau

Từ bảng biến thiên trên ta suy ra để bất phương trình đã cho nghiệm đúng thì m1. Suy ra trong đoạn



^10;10



có tất cả 12 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

 Mức độ 4

Câu 1. Có bao nhiêu cặp số nguyên dương



^{x y;}



_{với x2020thỏa mãn} log2



x 1



2x2y 1 4^y_.

A.⁵. B. ¹⁰¹⁰. C. ⁶. D. ²⁰²⁰.

Lời giải Chọn A

Theo đề bài log2



x 1



2x2y 1 4^y log 22



x 1

 

2 x 1



2y2^2y Đặt tlog 22



x 1



2



x 1



2^t_.

Ta có ^{2t t 22y2y}

 

¹ _.

Xét hàm số ^{f t}

 

^{ 2t t}_{trên R}

 

2 .ln 2 1 0^t

 

f t      t R f t

đồng biến trên R.

 

1  f t

 

 f

 

2y  t 2ylog 22



x 1



2y

 

²

2 x 1 2 ^y

  

2 1

2 ^y 1

x ^

   .

Mà ^{2 1}



2



2020 2 1 2020 1 1 log 2019 2

x  y^    y 

. Vì ^{y Z   y}



^1;2;3;4;5



_.

Vậy có 5 cặp điểm cặp số nguyên dương



^{x y;}



_.

Câu 2. Xét các số thực thỏa mãn ^{2x2y21}



^{x2y22x2 4}



^x. Giá trị lớn nhất của biểu thức

8 4

2 1

P x

x y

 

  gần với giá trị nào sau đây nhất?

A. 9 B. 6 . C. 7 . D. 8 .

Lời giải Chọn C

 

2 2 1 2 2

2^{x y}  x y 2x2 .4^x

2 2 2 1 2 2

2^{xy x} x y 2x2

 ¹^{2 2}



¹



^{2 2 1}

 

2^{x y}  x y  0 1 Đặt ^t



^x1



^2y2

 

^{1 2t}      ^{t 1 0 0 t 1}



^x¹



² ^y2¹

   

8 4

2 8 . . 4 0

2 1

P x P x P y P

x y

       

 

Yêu cầu bài toán tương đương:

 

₂

 

^{2 2}

2

2 8 4

1 3 12 2 8 5 5 5 5

2 8

P P

P P P P

P P

  

          

 

Câu 3. Có bao nhiêu bộ



^{x y;}



_với x y, nguyên và 1x y, 2020 thỏa mãn

 

3

 

2

2 2 1

2 4 8 log 2 3 6 log

2 3

y x

xy x y x y xy

y x

    

           ?

A. 2017 . B. 4034 . C. ². D. 2017 2020 .

Lời giải Chọn B

+ Điều kiện

*

, : , 2020 *

, : , 2020

2 1 2

0, 0 3, 0

3 2

ìï Î £

ï ìï Î £

ïï Û ï

í + í

ï > > ï > >

ï ïî

ï - +

ïî

¥ ¥

x y x y

x y x y

x y

x y

x y .

BPT cho có dạng

   

2

   

3

4 2

3 2 log 1 4 2 log 1 0

3 2

x y

x y x y

x y

 

 

 

            .

+ Xét y1 thì thành

 

2

 

3

4 2

3 log 1 3 4 log 0

3 3

x x x

x

  

        , rõ ràng BPT này nghiệm

đúng với mọi x3 vì

 

2 2

   

3

4 2

3 0, log 1 log 0 1 0, 3 4 0, log 0

3 3

x x x

x

  

            . Như vậy trường hợp này cho ta đúng 2017 bộ



^{x y;}

  

^{ x;1} _{với 4} x 2020,x .

+ Xét y2 thì thành 4



x4 log 1 0



3  , BPT này cũng luôn đúng với mọi x mà 4 x 2020,x .

Trường hợp này cho ta 2017 cặp



^{x y;}



_nữa.

+ Với y2,x3 thì ^VT

 

^{* 0} nên không xảy ra.

Vậy có đúng 4034 bộ số



^{x y;}



thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 4. Cho ^{x y,} là các số thực thỏa mãn bất phương trình: log 22



x2



 x 3y8^y. Biết 0 x 20, số các cặp ^{x y,} nguyên thỏa mãn bất phương trình trên là

A. ². B. 33 . C. 35 . D. 5 .

Lời giải:

Chọn C

Ta có log 22



x  2



x 3y8^y 2^{log2x1} log2



x 1



2^3y3y. (1) Xét hàm số ^{f t}

 

^{ 2t t} _có f t

 

2 ln 2 1 0,^t    t  .

Khi đó

 

1  f



log2



x1

 

 f

 

3y log2



x 1



3y x 2^3y1. Với 0 x 20 1 2^3y 21  0 y log 21 1, 4⁸  .

Vì ^{y  } ^y

 

^0;1 .

Với y0 có x0 nên có 21 cặp



^{x y;}



_{thỏa mãn.}

Với y1 có x7 nên có 14 cặp



^{x y;}



_{thỏa mãn.}

Vậy có tất cả 35 cặp



^{x y;}



_{thỏa mãn.}

Câu 5. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số ^{m }



^10;10



để bất phương trình sau nghiệm đúng với  x  :



^{6 2 7}



^x



^2m

 

^{3 7}



^x



^{m1 2}



^x0

A. ¹⁰. B. 9 . C. 12 . D. 11.

Lời giải:

Chọn D Ta có:



^{6 2 7}



^x



^2m

 

^{3 7}



^x



^{m1 2}



^{x0 2 3x}



^{ 7}



^x



^2m

 

^{3 7}



^x



^{m1 2}



^x



^{3 7}



^x



^{2 m}



^3₂ ^{7x m 1}

       

Đặt ^{t }



^{3 7}



^x_{, t0} ^{3 2 7 1}

x

t

  

   . Bất phương trình đã cho trở thành:



²



^{.1 1}

t m m

  t   ² 2 1 t t

t m

   

 .

Xét hàm số

 

^{2 2}

1 t t

f t t

  

 trên khoảng



^{0; }



_{, ta có}

 

 

2 2

2 3 1 t t f t t

   



 

⁰

f t 

3 0 t t

  

   . Khi đó, ta có bảng biến thiên sau:

Từ bảng biến thiên trên ta suy ra để bất phương trình đã cho nghiệm đúng thì m1. Suy ra trong đoạn



^10;10



có tất cả ¹¹ giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 6. Có mấy giá trị nguyên dương của ^m để bất phương trình

2 2 2

9^{m x}+4^{m x}³ m.5^{m x} có nghiệm?

A. 10 . B. Vô số. C. 9 . D. 1.

Lời giải:

Chọn B

Từ giả thiết, ta chỉ xét mÎ ⁺

Ta có:

2 2 2

9^{m x}+4^{m x}³ m.5^{m x}

( )

2 2

9 4

5 5 1

m x m x

æö÷ æö÷ m

ç ç

Û ççè ø÷÷ +ççè ø÷÷ ³

Có

2 2 2 2 2

9 4 9 4 6

2 . 2

5 5 5 5 5

m x m x m x m x m x

æö÷ æö÷ æö÷ æö÷ æö÷ ç ÷ +ç ÷ ³ ç ÷ ç ÷ = ç ÷

ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷

ç ç ç ç ç

è ø è ø è ø è ø è ø .

Do đó nếu có x⁰ là nghiệm của bất phương trình 6 2

2 5

m x

æö÷ m ç ÷ ³ ç ÷çè ø thì x⁰ cũng là nghiệm của

2 2

9 4

5 5

m x m x

æö÷ æö÷ m ç ÷ +ç ÷ ³ ç ÷ ç ÷

ç ç

è ø è ø .

Ta xét các giá trị mÎ ⁺ làm cho bất phương trình

( )

6 2

2 2

5

m x

æö÷ m ç ÷ ³

ç ÷çè ø có nghiệm.

Vì 6 2

2 5

m x

æö÷ m ç ÷ ³ ç ÷çè ø

6 2

5 2

m x m

æö÷

Û çç ÷çè ø÷ ³ , mÎ ⁺<