50 bài toán về tích phân hàm phân thức hữu tỉ và lượng giác (có đáp án 2022) – Toán 12

(1)

Tích phân hàm phân thức hữu tỉ và lượng giác và cách giải A. TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ PHÂN THỨC HỮU TỈ

Phương pháp giải chung: Phân tích hàm phân thức hữu tỉ để đưa về các tích phân cơ bản.

1. Một số công thức cần thiết.

+) ₂^du ₂ ¹ ln ^u ^a C

u a 2a u 1

= − +

− +



+) ₂^du ₂ ¹ ln ^a ^u C

a u 2a a u

= + +

− −



^.

Kỹ năng biến đổi tam thức bậc hai +)

2 2

2

b b 4ac

ax bx c a x

2a 4a

  − 

+ + =  +  −  +) ^ax² ⁺^bx^{+ = }^c

(

^mx⁺ⁿ

)

² ^^p²

2. Các dạng toán thường gặp, công thức giải nhanh và ví dụ minh hoạ.

2.1. Dạng 1: Tích phân dạng I₁ ₂ ^dx ax bx c





=



+ + ^. Phương pháp giải:

Biến đổi

( )

1 2 2 2

dx dx 1 mx n p

I ln

ax bx c mx n p 2mp mx n p

  

  

 + − 

=



+ + =



+ − =  + + 

Ví dụ 1. Cho

1 2 0

a b 3

ln 13

I dx

4x 8x 1 c 3

 + 

 

 

= =

+ +



^{, với}^a,b,c^ ^;c^⁰. Đặt S = a + b

+ c, lúc này S có giá trị bằng

A. S=20 37 3+ B. S 37= +24 3 C. S 57= D. S=61 Lời giải

Áp dụng bài toán tổng quát trên ta có:

(2)

( )

1 1 1

2 2

0 0 0

dx dx 1 2x 2 3

I ln

4x 8x 1 2x 2 3 4 3 2x 2 3

 + − 

=



+ + =



+ − =  + +  37 20 3

ln 13

1 2.1 2 3 2.0 2 3

ln ln

4 3 2.1 2 3 2.0 2 3 4 3

 + 

 

 + − + −   

=  + + − + + =

a 37,b 20,c 4 S a b c 37 20 4 61

 = = =  = + + = + + = .

Chọn D.

2.2. Dạng 2: Tính tích phân I₂ ₂^mx ⁿ dx ax bx c





= +

+ +



^.

Phương pháp giải Cách 1:

( )

2 2 2

2 2

m mb

2ax b n

mx n 2a 2a

I dx

ax bx c ax bx c

2ax b dx

m mb dx

2a ax bx c n 2a ax bx c

 

 

 

 

 

+ + − 

+  

= =

+ + + +

+  

= + + + −  + +

 

(

²

)

2 1

d ax bx c

m mb

n I

2a ax bx c 2a





+ +  

=



+ + + − 

2

1

m mb

ln ax bx c n I

2a 2a





   

= + +  + − 

Cách 2: Phương pháp hệ số bất định (Sử dụng khi mẫu có nghiệm)

* Nếu mẫu số có nghiệm kép x = x₀ tức là ax² +bx+ =c a x

(

−x0

)

² ta giả sử

( )

²

2

0 0

mx n A B

ax bx c x x x x

+ = +

+ + − −

Quy đồng vế phải và đồng nhất hệ số hai vế để tìm A; B.

(3)

Sau khi tìm được A; B thì ta có ₂ ₀

0

I A.ln x x B

x x





 

= − − −  .

* Nếu mẫu số có 2 nghiệm phân biệt x ; x : ₁ ₂ ax² +bx+ =c a x

(

−x1

)(

x−x2

)

thì ta giả sử:

2

1 2

mx n A B

ax bx c x x x x

+ = +

+ + − −

Quy đồng và đồng nhất hệ số để tìm A; B.

Sau khi tìm được A; B ta có I₂ A ln x x₁ Bln x x₂ ^

=  − + − . Ví dụ 2. Cho

0 2 2

2x 9

I dx a ln 3 b ln 2

x 3x 2

−

= − = +

− +



^,^a;b^ thì a + 2b có giá trị bằng:

A. ‒35 B. ‒2 C. 2 D. 3

Chọn D.

Lời giải

Cách 1: Ta có:

( )

0 0

2 2

2x 3 6 2x 9

I dx dx

x 3x 2 x 3x 2

− −

− − −

= =

− + − +

 

0 0

2 2

2x 3 6dx

x 3x 2dx x 3x 2

− −

= − −

− + − +

 

(

²

)

0 0

2 2

2

2 2

dx x 3x 2 dx

x 3x 2 6 3 1

x 2 2

− −

− +

= −

− +  −  −  

   

 

0

2

3 1 x 2 2 ln x 3x 2 6ln

3 1 x 2 2 ₋

 − − 

 

= − + − 

 − + 

 

( )( )

0

2

x 2

ln x 1 x 2 6ln

x 1 ₋

 − 

= − − − − 

(4)

( )

0 2 0

2

(ln x 1 ln x 2 ) 6(ln x 2 ln x 1) 7 ln x 1 5ln x 2

−

=  − + − − − − − 

= − − −

( )

(7 ln1 5ln 2) 7 ln 3 5ln 4

= − − −

7ln3 10ln 2 5ln 2 7ln3 5ln 2

= − + − = − + .

Do đó: a = - 7; b = 5.

a 2b 3

 + = .

Cách 2: Ta thấy x² 3x 2 0 ^x ¹ x 2

 =

− + =   = .

Giả sử

( ) ( )

2 2 2

A B x 2A B

2x 9 A B 2x 9

x 3x 2 x 1 x 2 x 3x 2 x 3x 2

+ − +

− = +  − =

− + − − − + − +

Đồng nhất hệ số ta có ^A ^B ² ^A ⁷

2A B 9 B 5

+ = =

 

 + =  = −

 

Áp dụng công thức ta có ⁰

I 7 ln x 1 5ln x 2 2 7 ln 3 5ln 2

=  − − −  = −− + . Cách 3: Sử dụng máy tính cầm tay.

Trong bài toán này ta có thể sử dụng chức năng TABLE để giải quyết, tuy nhiên cách làm này chỉ mang tính chất “mò” (tức dự đoán khoảng của a; b).

Ta thấy I a.ln 3 b.ln 2 a ^I ^{b.ln 2} ln 3

= +  = − .

1. Lúc này ta nhập biểu thức tích phân vào máy tính và gán giá trị này cho biến A.

2. Tiếp tục sử dụng MODE 7 TABLE để chạy biến giá trị của b từ đó tìm ra bảng giá trị tương ứng của a.

(5)

Ta thấy chỉ có trường hợp ^X ⁼^{5;F X}

( )

^{= −}⁷ là thỏa mãn 2 số nguyên, do đó ta kết luận a= −7;b=  +5 a 2b=3.

3. Bài tập tự luyện.

Câu 1. Tích phân

1

0

2 x

I 1 x

x 2d

=



− − có giá trị bằng A. ^{2 ln 2}

3 . B. ^{2ln 2}

− 3 . C. −2ln 2. D. 2ln 2. Câu 2. Với 0 < a < 1, giá trị của tích phân sau

a 2 0

dx dx

x −3x+2



^là:

A.ln ^a ² 2a 1

−

− . B.ln ^a ² a 1

−

− . C.

( )

a 2 ln 2 a 1

−

− . D.ln ^a ² 2a 1

− + . Câu 3. Giá trị của tích phân

0 3 2

2 1

x 3x 2

I dx

x x 2

−

− +

=



+ − gần nhất với gái trị nào sau đây?

A. ln 2

− 2 B. ln 2 1− C. 3

2−ln 4 D. ^{ln 3}

− 3 Câu 4. Tích phân

2 2 1

ax 1 3 4 3 2

I dx ln ln

x 3x 2 5 3 5 3

= + = +

+ +



. Giá trị của a là:

A. a ¹

= 5 B. a ²

= 5 C. a ³

= 5 D. a ⁴

= 5

Câu 5. Cho ¹ ₂

( )

0

I 1 dx a b ln 2 b ln 3 3 2x x

= = − +

+ −



. Giá trị a + b là:

(6)

A. 1

4 B. 1

2 C. ¹

6 D. ¹

3 Câu 6. Tính:

1 2 0

I dx

x 4x 3

=



+ +

A. 3

I ln

= 2 B. I ¹ln³

3 2

=

C. 1 3

I ln

2 2

= − D. 1 3

I ln

2 2

= Câu 7. Tính:

1 2 0

I dx

x 5x 6

=



− + A. I = 1 B. 3

I ln

= 4 C. I = ln2 D. I = −ln2

Câu 8. Tính

1 2

3 2

0

(2x 5x 2)dx

I x 2x 4x 8

+ −

=



+ − − A. I ¹ ln12

= +6 B. I ¹ ln³

6 4

= + C. I ¹ ln 3 2ln 2

= −6 + D. I ¹ ln 3 2ln 2

= −6 − Câu 9. Tính:

2 2 0

(x 1)

K dx

x 4x 3

= −

+ +



A. K = 1 B. K = 2

C. K = −2 D. Đáp án khác.

Câu 10. Biết

1 3

2 0

x 3x

dx a b ln 2 cln 3 x 3x 2

+ = + +

+ +



với a, b, c là các số hữu tỉ, tính

2 2

S=2a+b +c .

A. S=515. B. S 164= . C. S=436. D. S= −9. Câu 11. Biết

4

0 3

2x 1dx

I = a b ln 2 cln

2x + 3 2x 1 3

+ = + + 5



+ + với a, b, c nguyên.

Tính T = a + b + c.

(7)

A. T = 4. B. T = 2. C. T = 1. D. T = 3.

Câu 12. Tính tích phân

1 2 0

(x 4)dx

I x 3x 2

= +

+ +



A. 5ln 2 3ln 2− B. 5ln 2+2ln3 C. 5ln 2 2ln3− D. 2ln5 2ln3− Đáp án

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

B B A D B D B B D A C C

B. TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1. Một số công thức và kĩ năng biến đổi.

( )

¹

( )

cos ax b dx sin ax b C

+ =a + +



( )

¹

( )

sin ax b dx cos ax b C

+ = −a + +



( ) ( )

2

dx 1

tan ax b C

cos x ax b = a + +



+

( ) ( )

2

dx 1

cot ax b C sin ax b = −a + +



+

2. Các dạng toán hay gặp và cách giải.

2.1. Dạng 1: Tính tích phân: ¹

( )

²

( )

1 2

b b

n n

1 2

a a

I =



sin x dx;I =



cos x dx 1. Nếu n chẵn thì ta sử dụng công thức hạ bậc.

2. Nếu n = 3 thì ta sử dụng công thức hạ bậc hoặc biến đổi theo trường hợp 3.

3. Nếu n3 và n lẻ

(

ⁿ ⁼^{2p 1}⁺

)

thì ta thực hiện biến đổi.

( ) ( )

1 1

b b

n 2p 1

1

a a

I =



sin x dx=



sin x ⁺ dx

(8)

( ) ( ) ( )

1 1

b b

2p 2 p

a a

sin x .sin xdx 1 cos x d cos x

=



= −



−

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton để khai triển

(

^{1 cos x}⁻ ²

)

^p^.

Từ đây ta giải quyết được bài toán.

( ) ( )

2 2

b b

n 2p 1

2

a a

I =



cos x dx=



cos x ⁺ dx

( ) ( ) ( )

2 2

b b

2p 2 p

a a

cos x .cos x.dx 1 sin x d sin x

=



=



−

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton để khai triển

(

^{1 sin x}⁻ ²

)

^p^.

Từ đây ta giải quyết dc bài toán.

2.2. Dạng 2: Tính tích phân

b

m n

a

I=



sin x.cos xdx^. Trường hợp 1: m; n là các số nguyên

- Nếu m chẵn, n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng.

- Nếu m chẵn, n lẻ

(

ⁿ ⁼^{2p 1}⁺

)

thì biến đổi

( ) ( )

b

m 2p 1

a

I=



sin x cos x ⁺dx

( ) ( )

b

m 2p

a

sin x cos x cos xdx

=



( ) ( ) ( )

b m 2 2

a

sin x 1 sin x d sin x

=



− ^.

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton để khai triển và giải quyết bài toán.

- Nếu m lẻ

(

^m⁼^{2p 1}⁺

)

, n chẵn thì ta biến đổi

( ) ( )

b

2p 1 n

a

I=



sin x ⁺ . cos x dx

(9)

( ) ( )

b

2p n

a

sin x . cos x .sin xdx

=



( ) ( ) ( )

b 2 p n

a

1 cos x . cos x d cos x

= −



− ^.

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton để khai triển và giải quyết bài toán.

- Nếu m lẻ, n lẻ thì sử dụng biến đổi 2 hoặc 3 cho số mũ lẻ bé hơn.

Trường hợp 2: m; n là các số hữu tỉ:

b

m n

a

I=



sin x.cos xdx

( ) ( )

b n 1

m 2 2

a

sin x . cos x cos xdx

=



−

( ) ( )

sin b n 1

m 2 2

sin a

u 1 u du *

=



− − ^.

2.3. Dạng 3: Tính tích phân ¹

( )

²

( ) ( )

1 2

b b

n n *

1 2

a a

I =



tan x dx;I =



cot x dx n ^. Sử dụng các công thức sau:

(

²

)

2

( )

1 tan x dx dx d tan x tan x C cos x

+ = = = +

  

(

²

)

2

( )

1 cot x dx dx d cot x cot x C sin x

+ = = − = − +

  

( )

d cos x sin x

tan xdx dx ln cos x C

cos x cos x

= = − = − +

  

( )

d sin x cos x

cot xdx dx ln sin x C

sin x sin x

= = = +

  

^.

3. Đổi biến số với hàm lượng giác.

Khi nguyên hàm, tích phân của các hàm số mà biểu thức của nó có chứa các dạng

2 2 2 2 2 2

x +a , x −a , a −x , thì ta có cách biến đổi lượng giác như sau:

(10)

Biểu thức có chứa Đổi biến

2 2

x +a _x _{a tan t, t} _;

2 2

  

=  − 

Hoặc ^x⁼ ^{a cot, t}^

( )

^0;^

2 2

x −a ^x ^a ^{, t} ^; ^{\ 0}

 

sin t 2 2

  

=  − 

Hoặc ^x ^a ^{, t}

 

^0; ^\

cos t 2

 

=    

 

2 2

a −x _x _{a sin t, t} _;

2 2

  

=  −  Hoặc ^x⁼ ^{a cos t, t}^

 

^0;^

a x a x

+  −

− + ^x⁼^{a cos 2t}

(

^x⁻^a

)(

^b⁻^x

)

^x ^a

(

^b ^{a sin t, t}

)

² ^0;

2

 

= + −     4. Ví dụ minh hoạ.

Ví dụ 1. Cho

10 4 0

I cos 3xdx



=



. Đẳng thức nào sau đây đúng?

A.

10 0

3 1 1

I x sin 6x sin12x

8 12 96



 

= + + 

B.

10 0

1 1

I sin 6x sin12x

12 96

  

= + 

C.

10 0

3 1 1

I x sin 6x sin12x

8 12 96

  

= − + + 

(11)

D.

10 0

3 1

I x sin12x

8 96



 

= −  Lời giải

Ta có

( )

10 2 10

2

0 0

1 cos 6x 1

dx 1 2cos 6x cos 6x dx

2 4

 

 +  = + +

 

 

 

10

0

1 1 cos12x

1 2cos 6x dx

4 2



 + 

=



 + + 

10 0

3 1 1

x sin 6x sin12x

8 12 96



 

= + +  .

Từ đây ta giải quyết được bài toán.

Chọn A.

Ví dụ 2. Cho:

( )

3 9 3 5 7 9 3

0 0

1 1

I sin 5x dx cos5x a cos 5x b cos 5x ccos 5x cos 5x

5 9

 

 

=



= −  + + + +  ^.

Đặt S = a + b + c. Giá trị của S bằng A. S 3= B. S ⁷⁴

= −105 C. 5

S= −4 D. S ¹

= 9 Lời giải

Ta có ³

( )

⁸ ³

(

²

)

⁴

( )

0 0

I sin 5x sin 5xdx 1 1 cos 5x d cos5x 5

 

=



= −



−

( )

3

2 4 6 8

0

1 1 4cos 5x 6cos 5x 4cos 5x cos 5x d cos5x 5



 

= −



 − + − + 

(12)

3 5 7 9 3 0

1 4 6 4 1

cos5x cos 5x cos 5x cos 5x cos 5x

5 3 5 7 9



 

= −  − + − + 

4 6 4 74

a ;b ;c S

3 5 7 105

 = − = = −  = − . Chọn B.

Ví dụ 3. Cho ³

( ) (

⁷

)

¹⁰⁰

0

I sin 2x . cos 2x dx



=



. Đẳng thức nào sau đây là đúng?

A.

( )

¹⁰¹

( )

¹⁰³

( )

¹⁰⁵

( )

¹⁰⁷ ³

0

cos 2x 3 cos 2x 3 cos 2x cos 2x

I 101 103 105 107



 

= − + − 

 

 

.

B.

( )

¹⁰¹

( )

¹⁰³

( )

¹⁰⁵

( )

¹⁰⁷ ³

0

cos 2x 3 cos 2x 3 cos 2x cos 2x

I 2

101 103 105 107



 

= −  + + + 

 

 

C.

( )

¹⁰¹

( )

¹⁰³

( )

¹⁰⁵

( )

¹⁰⁷ ³

0

cos 2x 3 cos 2x 3 cos 2x cos 2x I 1

2 101 103 105 107



 

= −  − + − 

 

 

D.

( )

¹⁰¹

( )

¹⁰³

( )

¹⁰⁵

( )

¹⁰⁷ ³

0

cos 2x 3 cos 2x 3 cos 2x cos 2x I 1

2 101 103 105 107

 

=  − + − 

 

 

Lời giải

( ) ( )

3 100 6

0

I cos 2x . sin 2x .sin 2xdx



=



( ) ( ) ( )

3 100 2 3

0

1 cos 2x 1 cos 2x d cos 2x 2



= −



−

( ) ( ) ( )

3 100 2 4 6

0

1 cos 2x . 1 3cos 2x 3cos 2x cos 2x d cos 2x 2



= −



− + −

(13)

( ) ( )

3

100 102 104 106

0

1 cos 2x 3cos 2x 3cos 2x cos 2x d cos 2x 2



= −



− + −

( )

¹⁰¹

( )

¹⁰³

( )

¹⁰⁵

( )

¹⁰⁷ ³

0

cos 2x 3 cos 2x 3 cos 2x cos 2x 1

2 101 103 105 107

  

= −  − + − 

 

 

. Chọn C.

5. Bài tập tự luyện.

Câu 1. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có tích phân trên đoạn [0; ] đạt giá trị bằng 0?

A. f (x)=cos3x. B. f (x)=sin 3x. C. f (x) cos ^x

4 2

 

=  +

 . D. f (x) sin ^x

4 2

 

=  + 

 . Câu 2. Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [0; 2] thỏa mãn

2

0

f (x)dx=6



. Giá trị của

tích phân

2

0

f (2sin x) cos xdx





^là

A. -6. B. 6. C. -3. D. 3.

Câu 3. Tích phân

2

3

n I dx

si x



=



có giá trị bằng

A. ¹ln¹

2 3. B. 2ln3 . C. 1

2ln 3. D. 2ln¹ 3. Câu 4. Xét tích phân

3

0

sin 2x

I dx

1 cos x



=



+ . Thực hiện phép đổi biến t = cosx, ta có thể đưa I về dạng nào sau đây

A.

4

0

I 2t dt

1 t



= −



+ ^. ^B. ⁴

0

I 2t dt 1 t



=



+ ^.

(14)

C.

1

1 2

I 2t dt

= − 1 t



+ ^. ^D. ¹

1 2

I 2t dt

= 1 t



+ ^.

Câu 5. Giá trị của tích phân

2 3

3

cos(3x 2 )dx 3



− 



^là:

A. ³

− 3 . B. ²

− 3 . C. ^{2 3}

− 3 . D. ^{2 2}

− 3 . Câu 6. Giá trị của tích phân

2 2 0

I cos x cos 2xdx



=



^là:

A. 6

. B.

8

. C.

4

. D.

2

.

Câu 7. Giá trị tích phân ²

(

⁴

)

0

J sin x 1 cos xdx



=



+ ^là:

A. ²

5. B. ³

5. C.⁴

5. D. ⁶

5. Câu 8. Giá trị tích phân

2

0

sin x

I dx

1 3cos x



=



+ ^là:

A. ²ln 2

3 . B. ²ln 4

3 . C. ¹ln 4

3 . D. ¹ln 2 3 . Câu 9. Tích phân

3 2 0

I sin x tan xdx



=



có giá trị bằng:

A ln 3 ³

− 5. B. ln 2 2− . C. 3

ln 2−4. D. ln 2 ³

− 8. Câu 10. Cho tích phân

2

0

I 1 3cos x.sin xdx



=



+ ^{. Đặt u} ⁼ ^{3cos x 1}⁺ .Khi đó I bằng:

(15)

A.

3 2 1

2 u du

3



^. ^B. ² ²

0

2 u du

3



^. ^C. ³ ²

1

2u

9 . D.

3 2 1



u du^.

Câu 11. Giá trị của tích phân

1 2

2 0

I 1 dx

1 x

=



− ^là?

A. 6

. B.

4

. C.

3

. D.

2

.

1 2 0

I dx

= 1 x



+ ^là?

AI 2

= . B. 3

I 4

= . C. I 4

= . D. 5

I 4

= .

2

4 4 6 6

0

I (sin x cos x)(sin x cos x)dx



=



+ + ^là?

A. I ³²

=128. B. I ³³

=128. C. I ³¹

=128. D. I ³⁰

=128 Câu 14. Giá trị của tích phân

0

I xdx

sin x 1



=



+ ^là?

A. I 4

= . B. I

2

= . C. I 3

= . D. I= .

2 11 0

cos xdx





^là?

A. ²⁵⁰

693. B. ²⁵⁴

693. C. ²⁵²

693. D. ²⁵⁶ 693. Câu 16. Giá trị của tích phân

2 10 0

sin xdx





^là?

A. ⁶⁷ 512

. B. ⁶¹

512

. C. ⁶³ 512

. D. ⁶⁵ 512

.

(16)

Câu 17. Với n ,n 1 , tích phân ²

( )

ⁿ

0

I 1 cos x sin xdx



=



− có giá trị bằng?

A. 1

2n . B. 1

n 1− . C. 1

n 1+ . D. 1

n. Câu 18. Giá trị của tích phân

2 2 6

I 1 ln(sin x)dx sin x



=



^là?

A 3 ln 2 3 3

− + + . B. 3 ln 2 3

3 + − .

C. 3 ln 2 3 3

− − −. D. 3 ln 2 3

3

− + −.

3

0

cos x

I dx

2 cos 2x



=



+ ^là?

A.4 2

 . B.

2 2

 . C. ⁴

2

. D.

2

−.

Câu 20. Cho ¹

( )

0

f x dx =2018



. Tính tích phân ⁴

( )

0

f sin 2x cos 2xdx





^?

A. 2018. B. -1009. C. -2018. D. 1009.

Đáp án

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A D C D A B D C D C

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

A C B D D C C D A D