NHỊ THỨC NEWTON VÀ ỨNG DỤNG

(1)

754

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Email : dangnamneu@gmail.com

Yahoo: changtraipkt Mobile: 0976266202

CHUYÊN ĐỀ 14:

NHỊ THỨC NEWTON VÀ ỨNG DỤNG

(2)

755

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

(3)

756

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Email : dangnamneu@gmail.com

Yahoo: changtraipkt Mobile: 0976266202

KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Công thức khai triển nhị thức NEWTON

Cho 2 số dương a b, và số nguyên dương nthì ta có

0 1 1

0

( ) ...

n

n k n k k n n n n

n n n n

k

a b C a ^ b C a C a ^b C b



 



   

0 1 1

0

( ) ( 1) ... ( 1)

n

n k k n k k n n n n n

n n n n

k

a b C a ^ b C a C a ^b C b



 



     

Trong các công thức trên ta có + Số các số hạng là n1.

+ Tổng các số mũ của avà btrong mỗi số hạng bằng n. + Số hạng thứ k1trong khai triển là T_k_₁ C a_n^k ^{n k}^ b^k. + Các hệ số cách đều 2 số hạn đầu và cuối thì bằng nhau.

Một số khai triển hay sử dụng

0 1 1

0

0 1 1

0

(1 ) ...

(1 ) ( 1) ... ( 1)

n

n k k n n

n n n n

k n

n k k k n n n

n n n n

k

x C x C C x C x



     

       



Các hướng giải quyết bài toán dạng này

 Nếu bài toán cho khai triển ⁽ ⁾

0 0

( ) ( ) ( )

n n

a b n i a n i b i i a n i bi

n n

i i

x x C x ^ x C x ^{ }

 

 







, khi đó hệ số

của x^mlà C_nⁱsao cho a n i(  )bim.

 Nếu bài toán đề cập đến max; min của các số hạng C_nⁱthì xét

 Tìm maxT_kthì giả sử T_klà lớn nhất khi đó ¹

1

k k

T T T T k





 

 

 

 Tìm min T_kthì giả sử T_klà nhỏ nhất khi đó ¹

1

k k

T T T T k





 

 

 

 Trong biểu thức có

1

( 1)

n

i n i

i i C





 thì dùng đạo hàm.

1

( )

n

i n i

i k C





 thì nhân 2 vế với x^krồi lấy đạo hàm.

1 n

k i n i

a C





^lấy^x^^athích hợp.

(4)

757

Dang Thanh Nam

1

1 1

n

i n i

i C

 



thì lấy tích phân xác định trên đoạn [ , ]a b thích hợp.

CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ SỐ NHỊ THỨC

BÀI TẬP MẪU

Bài 1. Cho khai triển Q x( )(1x)⁹(1x)¹⁰... (1 x)¹⁴a₀a x₁ ...a x₁₄ ¹⁴. Tìm a₉. Lời giải:

+ Hế số của x⁹trong khai triển Q x( )(1x)⁹(1x)¹⁰... (1 x)¹⁴là C C₉⁹; ₁₀⁹;C₁₁⁹;C₁₂⁹;C₁₃⁹;C₁₄⁹ . Vậy a₉ C₉⁹C₁₀⁹ ...C₁₄⁹ 3003.

Bài 2. Tìm hệ số của x¹⁶trong khai triển (x²2 )x ¹⁰. Lời giải:

+ Ta có

10 10

2 10 2 10 20

10 10

0 0

( 2 ) ^k( ) ^k( 2 )^k ( 2)^k ^k ^k

k k

x x C x ^ x C x ^

 

 



 





+ Chọn 20k16k 4.

Vậy hế số của x¹⁶trong khai triển là: C₁₀⁴( 2) ⁴

Bài 3. Tìm hệ số của x¹⁰⁰⁸trong khai triển của nhị thức ² 1₃ ²⁰⁰⁹

(x )

 x . Lời giải:

+ Số hạng thứ k1trong khai triển là

2 2009 4018 5

1 2009 3 2009

( ) (1 )

k k k k k

Tk C x C x

x

 

   .

+ Chọn 4018 5 k1008k602. Vậy hệ số của x¹⁰⁰⁸trong khai triển là C₂₀₀₉¹⁰⁰⁸.

Bài 4. Tìm hệ số của x⁸trong khai triển thành đa thức của 1x²(1x)⁸. Lời giải:

+ Ta có

8 8

2 8 2 2

8 8

0 0 0

[1 (1 )] [ (1 )] ( 1)

k

k k k k i i i

k

k k i

x x C x x C x C x

  

 

       

 

  

Vậy hệ số của x⁸trong khai triển là ( 1) ⁱC C₈^k _kⁱ thỏa mãn

0 8

0 2

2 8

4 3

, i k

i i

k i

k k

i k

  

    

    

  

 

 

 

 

Vậy hệ số của x⁸là: ( 1) ⁰C C₈⁴ ₄⁰ ( 1)²C C₈³ ₃² 238.

(5)

758

Dang Thanh Nam

Bài 5. Xác định hệ số của x³trong khai triển thành đa thức của P x( )(1 2 x3x^{2 10}) . Lời giải:

+ Ta có ^{P x}^{( )}^^{(1 2}^ ^x^³^x^{2 10}⁾ ^



¹^^x^{(2 3 )}^ ^x



¹⁰

10 10 0

(2 3 )

k k k

k

C x x







1 2 2 2 3 3 3 10 10 10

10^o 10 (2 3 ) 10 (2 3 ) 10 (2 3 ) ... 10 (2 3 )

C C x x C x x C x x C x x

         

Suy ra hệ số của x³chỉ xuất hiện trong C x₁₀² ²(2 3 ) x ²C x₁₀³ ³(2 3 ) x ³ Vậy hệ số của x³trong khai triển của P x( )là: 12C₁₀² 8C₁₀³ 1500 . Bài 6. Tìm hệ số x¹⁶trong khai triển thành đa thức của 1x²(1x²)¹⁶ Lời giải:

+ Ta có

16 16

2 2 16 2 2 2 2

16 16

0 0

1 (1 ) ^k( (1 ))^k ( 1)^k ^k ^k(1 )^k

k k

x x C x x x C x

 

         

 

 

 

16 16

2 2 2( )

16 16

0 0 0

( 1) ( ) ( 1)

k

k k k i i k i k i k i

k k

k i k

x C C x ^ C C x ^

  

 

     

 

  

Vậy hệ số của x¹⁶là ( 1) ^{k i}^C C₁₆^k _kⁱthỏa mãn

0 16

0 1 2 3 4

2( ) 16

8 7 6 5 4

, i k

i i i i i

k i

k k k k k

i k

  

          

       

     

    

    

 

 

Vậy hệ số của x¹⁶trong khai triển là

8 0 7 1 6 2 5 3 4 4

16 8 16 7 16 6 16 5 16 4 258570 C C C C C C C C C C 

Bài 7. Cho biết tổng tất cả các hệ số của khai triển nhị thức (x²1)ⁿbằng 1024. Hãy tìm hệ số

( *)

a a của số hạng ax¹²trong khai triển đó.

Lời giải:

+ Ta có ² ² ⁰ ¹ ² ² ⁴ ²

0

( 1) ...

n

n k k n n

n n n n n

k

x C x C C x C x C x



 



     ^{, thay}^x^¹vào ta được

0 1 2

2ⁿ C_n C_n C_n ...C_nⁿ 1024n10 Vậy hệ số của số hạng ax¹²là : aC₁₀⁶ 210.

Bài 8. Tìm hệ số của số hạng chứa x²⁶trong khai triển nhị thức NEWTON của nhị thức

7 4

1 ⁿ

x x

 

  

  , biết rằng C¹₂_n_₁C₂²_n_₁C₂³_n_₁....C₂ⁿ_n_₁2²⁰1( n nguyên dương, C_n^klà tổ hợp chập k của n phần tử).

Lời giải:

(6)

759

Dang Thanh Nam

+ Theo giả thiết ta suy ra C₂⁰_n_₁C₂¹_n_₁C₂²_n_₁C₂³_n_₁....C₂ⁿ_n_₁2²⁰ Mặt khác C₂^k_n_₁ C₂²_nⁿ_^{ }₁¹ ^k(0k2n1). Từ đó

0 1 2 3

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

0 1 2 1 2 3 2 1 2 1

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

20 0 1 2 3 2

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

2( .... )

.... .... 2

2 .... 2 10

n

n n n n n

n n n n n n

n n n n n n n n

n n

n n n n n

C C C C C

C C C C C C C C

C C C C C n

    

       

    

     

         

         

+ Số hạng thứ k+1 của khai triển là

4 10 7 11 40

10^k( ) ^k( )^k 10^k ^k

Tk C x^ ^ x C x ^ Chọn 11k4026k6 Vậy hệ số của x²⁶là C₁₀⁶ 210.

Bài 9. Với n là số nguyên dương, gọi a₃_n_₃là hệ số của số hạng chứa x³ⁿ^³trong khai triển thành đa thức của (x²1) (ⁿ x2)ⁿ. Tìm n để a₃_n_₃ 26n.

Lời giải:

+ Ta có ² ² ²

0 0 0 0

( 1) ( 2) 2 2

n n n k

n n k k i i n i k i n i k i

n n n n

k i k i

x x C x C x ^ C C ^ x ^

   

   

     





 







^.

Chọn 2k i 3n3, thỏa mãn 0 ,

1 3

2 3 3

, 1

i k n

i n i n

k i n

k n k n

i k

 

      

     

  

  

 

 

 

Vậy hệ số của số hạng chứa x³ⁿ^³là a₃_n_₃ 2C_nⁿ^¹C_nⁿ^¹2³C C_nⁿ _nⁿ^³

2 4 ( 1)( 2)

2 26 5

3 n n n

n   n n

    

Vậy n5là giá trị cần tìm.

Bài 10. Xác định hệ số a_ncủa xⁿtrong khai triển thành đa thức của



¹^{ }^x ²^x²^^...^^nxⁿ



²^{, Tìm}

n biết rằng a_n 6n Lời giải:

Ta có



¹^{ }^x ²^x²^^...^^nxⁿ

 

² ^ ¹^{ }^x ²^x² ^^...^^nxⁿ



¹^{ }^x ²^x²^^...^^nxⁿ



, do đó hệ số a_ncủa xⁿ trong khai triển là

2 2 2

1. 1( 1) 2( 2) ... .1 2 (1 2 ... ) (1 2 ... )

an  n n  n  n  n n   n    n

( 1) ( 1)(2 1) 3 11

2 2 6 6

n n n n n n n

n n    

   

(7)

760

Dang Thanh Nam

Vậy

3 11

6 6 5

n 6

n n

a n  n n

     .

Vậy n5là giá trị cần tìm.

Bài 11. Cho khai triển

2

0 1 2

2 3

1 1 1 1

( ) ... ...

2 2 2 2

n n n

P x x  x  x  x  a a x a x a x

               

        .Xác định hệ số của

1 2

n ; n

x ^ x ^ . Lời giải:

Nhận thấy phương trình P x( )0, có n nghiệm phân biệt

_____

( 1, )

x ii  n là 1 ₂1 1

; ;...;

2 2 2ⁿ

  

, do đó theo định lí Vi – ét ta có:

1 2

1 , 1,

;

n n

i i j

i n i j i j n

a a

x x x

a a

 

  

  

 

^{. Dễ thấy}^aⁿ ^¹^.

Vậy ₁ ₂ ₃

1

1 1

1 1 1 ... 1 1 2 1 1

2 2 2 2 2 1 1 2

2

n n

n i n n

i

a _ x



 

  

          

  

 



^.

2 2

2

2 2 4 2

, 1, 1 1

1 1 1 1 1 1

1 ...

2 2 2 2 2 2

n n n

n i j i i n n

i j i j i i

a _ x x x x

   

      

             

   

   

   

 

  

Bài 12. Cho khai triển



1 2 x



ⁿ a0a x1 a x2 ²...a x_n ⁿ, tính tổng sau ^S ^ â¹ ^²â² ^³â³ ^^...^^{n a}ⁿ

Lời giải:

Xét khai triển



1 2 x



ⁿ b0b x b x1  2 ²...b x_n ⁿ(*), Dễ thấy ta có

0 0; 1 1; 2 2;...; _n _n.

a b a b a b a b Vậy tổng Sbằng tổng sau

1 2 2 3 3 ... _n

S b  b  b  nb , lấy đạo hàm theo x ở 2 vế của (*) ta được

 

¹ 1 2 3 ² ¹

2n 1 2 x ⁿ^ b 2b x3b x ...nb x_n ⁿ^ (1), thay vào 2 vế của (1) x1 ta được

1

1 2 2 3 3 ... _n 2 .3ⁿ

S b  b  b  nb  n ^ . Bài 13. Cho khai triển nhị thức

(8)

761

Dang Thanh Nam

1

1 1 1 1 1

0 1 1

3 3 3 3

2 2 2 2 . 2 ... 2 . 2 2

n n

x x x x

n n

n n n n

x C x C x C x C



    

   

              

     

             

     

       

( n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó C_n³ 5C_n¹và số hạng thứ tư bằng 20n. Tính n x, . Lời giải:

+ Theo giả thiết ³ ¹ ( 1)( 2) ^*

5 5 7( )

n n 6

n n n

C C   n n n

      .

Số hạng thứ tư trong khai triển là

3 1 4

3 2 3 2 2

3 7 . 2 35.2 .2 20 140 4

x x

T C x n x



 

 

         

   

Bài 14. Tìm xbiết rằng trong khai triển của nhị thức:

1

2 22 n

x x

 

  

 

có tổng 2 số hạng thứ 3 và thứ 5 bằng 135, còn tổng 3 hệ số của 3 số hạng cuối bằng 22.

Lời giải:

+ Số hạng thứ (k1)trong khai triển là

 

² ²¹²

k x k x n k

k n

T C ^  ^ 

  

  Từ đó suy ra

Tổng 2 số hạng thứ 3 và thứ 5 bằng 135

   

2 4

1 1

2 4

2 2 4 2

2 4 _n 2^x ⁿ 2 ^x _n 2^x ⁿ 2 ^x 135(1)

T T C ^  ^  C ^  ^ 

        

   

Tổng 3 hệ số của 3 số hạng cuối bằng 22

2 1

22(2)

n n n

C ^ C ^ C 

Từ ( 1)

(2) 1 22 6

2

n n n n

      , thay vào (1) ta được

2 4 1 2 4 2 2 4 2 1 2 2 2

62 .2 62 .2 135 2 2 9; 2

4 1

2 4 9 1 1

2 2

x x x x x x x

C C t

t x

t t t x

         

 

 

 

    

    

 

Vậy 1

1; 2

x  

  

 là giá trị cần tìm.

Bài 15. Tìm hệ số của số hạng chứa x⁴trong khai triển

4 5 6 15

( ) (1 ) (1 ) (1 ) ... (1 )

P x  x  x  x   x Lời giải:

(9)

762

Dang Thanh Nam

Ta có ^{P x}^{( )}^⁽¹^^x^{) 1 (1}⁴



^ ^^x^{) (1}^ ^^x⁾²^^{... (1}^ ^^x⁾¹¹



12

41 (1 ) 1 16 1 4

(1 ) (1 ) (1 )

1 (1 )

x x x x

x x x

 

     

 

Vậy hệ số của x⁵trong khai triển là C₁₆⁵ 4368.

Bài 16. Tìm hệ số của số hạng chứa xtrong khai triển của tổng sau

2 1

( ) (1 ) 2(1 ) ... ( 1)(1 )ⁿ (1 )ⁿ S x  x  x   n x ^ n x Lời giải:

Ta có S x( )(1x F x F x) ( ); ( ) 1 2(1x) 3(1 x)²...n(1x)ⁿ^¹ Để ý F x( )là đạo hàm của tổng

2 3 1 (1 ) 1 1 1

( ) 1 (1 ) (1 ) ... (1 ) (1 ) (1 ) (1 )

1 (1 )

n

n x n

G x x x x x x x x

x x x

  

              

  Bài 17. Tìm số hạng không chứa xtrong khai triển

7 3

4

1 ( 0)

x x

x

 

 

 

 

Lời giải:

+ Số hạng thứ k1trong khai triển là

7 7

3 7 3 12

1 7 4 7

( ) 1

k

k k k k

Tk C x C x

x

 



 

   

  Chọn 7 7

0 4

312k  k .

Vậy số hạng không chứa xtrong khai triển là: T₅ C₇⁴ 35. Bài 18. Trong khai triển

28

3 15 ( 0)

n

x x x x

  

 

 

 

. Hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào x, biết rằng C_nⁿC_nⁿ^¹C_nⁿ^² 79.

Lời giải:

+Từ giả thiết ta có

1 2 ( 1) *

79 1 79 12( )

2

n n n

C C ^ C ^ n n n n n

         

Vậy số hạng thứ (k1)trong khai triển là

28 48

12 16

3 15 15

1 12( ) 12

k

k k k k

Tk C x x x C x

 





 

   

 

Chọn 48

16 0 5

15k k

    . Vậy số hạng không phụ thuộc xlà T₆ C₁₂⁵ 792.

(10)

763

Dang Thanh Nam

Bài 19. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho trong khai triển (1x)ⁿ có 2 hệ số liên tiếp có tỷ số là 7

5 . Lời giải:

Ta có

0

(1 )

n

n k k

n k

x C x



 



Hệ số của 2 số hạng liên tiếp là C_n^kvà C_n^k^¹. Theo giả thiết ta có:

1

7 1 7 1

3 2 (0 )

5 5 7

k n k n

C k k

n k k n

C ^ n k

 

        

 . Do cả 2 số

*

min

1 1

, 6 21

7 7

k k

n k  n  k n

        .

Vậy giá trị nhỏ nhất của n là 21.

Bài 20. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

 

²

 

0

1

n k k n k

n k

k nx C x x ^



 



BÀI TOÁN VỚI SỐ HẠNG LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT

BÀI TẬP MẪU

Bài 1. Cho khai triển nhị thức

10

2 10

0 1 2 10

1 2

3 3x a a x a x ... a x

 

     

 

  . Hãy tìm số hạng a_klớn nhất.

Lời giải:

+ Ta có

10 10 10 10

10 10 10 10 10

0 0

1 2 1 2 2 2

3 3 3 3 3 3

k k k k

k

k k

x C x C x a C



 

     

    

     

 



   



Giả sử a_k max( ; ;...a a₀ ₁ a₁₀), từ đó ta có

1 1

1 10 10

1 1

1 10 10

2 2 19 22

3 3 7

2 2

k k k k

k k

k k k k

k k

a a C C

k k

a a C C

 



 



  

 

      

  

 

Vậy số hạng lớn nhất là

7 7

7 10 10

2 a 3 C . Bài 2. Khai triển đa thức

 

¹² 0 1 12 ¹²

( ) 1 2 ...

P x   x a a x a x . Tìm max( ; ;...;a a₀ ₁ a₁₂).

Lời giải:

+ Ta có

 

12 12

12

0 0

1 2 _n^k(2 )^k _n^k2^k ^k _k _n^k2^k

k k

x C x C x a C

 

 







  ^.

Giả sử a_k max( ; ;...;a a₀ ₁ a₁₂). Từ đó ta có

(11)

764

Dang Thanh Nam

1 1

1 12 12

1 1

1 12 12

2 2 23 25

3 3 8

2 2

k k k k

k k

k k k k

k k

a a C C

k k

a a C C

 



 



  

 

      

  

 

Vậy số hạng lớn nhất là a₈ C₁₂⁸2 .¹⁸

Bài 3. Giả sử P x( )(1 2 ) x ⁿ a₀a x₁ a x₂ ²...a x_n ⁿ thỏa nãn hệ thức

1 2

0 2 ... 4096

2 2 2

n n

a a a

a      .

Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số { ; ;a a a₀ ₁ ₂;...;a_n}. Lời giải:

Ta có (1 2 ) x ⁿ a₀a x₁ a x₂ ² ...a x_n ⁿ, thay vào 2 vế với 1

x2ta được

1 2 12

0 2

2 ... 4096 2 12

2 2 2

n n

n

a a a

a n

         .

Vậy

12 12

12

12 12 12

0 0

(1 2 ) ^k(2 )^k ^k2^k ^k _k ^k 2^k

k k

x C x C x a C

 

 







 

Giả sử a_klà hệ số lớn nhất, khi đó ta có

1 1

1 12 12

1 1

1 12 12

2 2

8

2 2

k k k k

k k

k k k k

k k

a a C C

a a C C k

 



 



  

 

  

 

  

 

Vậy hệ số lớn nhất là a₈ 2⁸C₁₂⁸ 126720

Bài 4. Xét khai triển (x2)ⁿ a₀a x₁ a x₂ ² ...a x_n ⁿ. Tìm n để max{ ; ;a a a₀ ₁ ₂;...;a_n}a₁₀ Lời giải:

Ta có

0

( 2) 2 2

n

n k n k k k n k

n k n

k

x C ^ x a C ^



 



 

0 1 2 10

ax{ ; ; ;...; _n}

m a a a a a , khi và chỉ khi

 

10 10 11 11

10 11

10 10 9 9

10 9

2 2

29 32 30;31

2 2

n n

a a C C

n n

a a C C

 

  

 

     

 

  

 

Vậy ⁿ^



^30;31



là giá trị cần tìm.

Bài 5. Cho tập hợp A gồm n phần tử (n4). Biết rằng, số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 số tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm k{0;1; 2;...; }n sao cho số tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất.

Lời giải:

Sô tập con gồm 4 phần tử của A là tổ hợp chập 4 phần tử của n: C_n⁴ Số tập con gồm 2 phần tử của A là tổ hợp chập 2 phần tử của n: C_n². Theo đề bài ta có

(12)

765

Dang Thanh Nam

4 2

2

( 1)( 2)( 3) ( 1)

20 20

24 2

5 234 0 18

n n

n n n n n n

C C

n n n

   

  

     

Số tập con gồm k phần tử của A là a_k C₁₈^k , giả sử a_klà lớn nhất khi đó

1

1 18 18

1

1 18 18

9

k k

a a C C

a a C C k







 

 

  

 

  

 

Vậy k 9là giá trị cần tìm.

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1. Gọi a a₁, ₂,...,a₁₁là các hệ số trong khai triển sau

10 2 11

0 1 2 11

(x1) (x2)a xa xa x ...a x . Hãy tìm a₅.

Bài 2. Tìm hệ số của số hạng chứa x⁵trong khai triển x(1 2 ) x ⁵x²(1 3 ) x ¹⁰.

Bài 3. Tìm hệ số của số hạng chứa x⁹trong khai triển của (x³3x²2)ⁿ. Biết rằng

4

3 4

1

24 23

n

n n

A A_ C 

 .

Bài 4. Tìm hệ số của số hạng chứa x³trong khai triển

3 4 5 22

( ) (1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) ... (1 2 ) P x   x   x   x    x .

Bài 5. Tìm hệ số của x⁸trong khai triển (x²2)ⁿ, biết rằng A_n³C¹_n 8C_n²49. Bài 6. Tìm hệ số của x⁶trong khai triển (x² x 1)ⁿ thành đa thức, biết:

1 2 20

2_n 1 2_n 1 ... 2ⁿ_n 1 2 1

C _ C _  C _   .

Bài 7. Xác định hệ số của x¹¹ trong khai triển thành đa thức của (x²2) (3ⁿ x³1)ⁿ, biết:

2 2 1 2 2 0

2_nⁿ 3 2_nⁿ .... ( 1) 3^k ^k 2_n^{n k} ... 3 ⁿ 2_n 1024 C  C ^    C ^   C  . Bài 8. Khai triển ³ 1₂ ₀ ³ ₁ ³ ⁵ ₂ ³ ¹⁰

( ) ...

2

n

n n n

P x x a x a x a x

x

 

 

      

  . Biết rằng 3 hệ số đầu

0 1 2

( ; ;a a a ) lập thành cấp số cộng. Tính số hạng chứa x⁴.

Bài 9. Tìm hệ số của số hạng chứa x¹⁰trong khai triển nhị thức Newton của (2x)ⁿ, biết :

0 1 1 2 2 3 3

3ⁿC_n 3ⁿ^C_n3ⁿ^ C_n 3ⁿ^ C_n ... ( 1)  ⁿC_nⁿ 2048.

Bài 10. Tìm hệ số của số hạng x⁸trong khai triển nhị thức Newton của 1₃ ⁵ ⁿ x x

 

  

  , biết rằng

1

4 3 7( 3)

n n

C _^ C _  n ( n là số nguyên dương, x0). Bài 11. Cho khai triển của đa thức

2 3 20 2 20

0 1 2 20

( ) ( 1) 2( 1) 3( 1) ... 20( 1) ...

P x  x  x  x   x a a x a x  a x Hãy tính hệ số a₁₅.

(13)

766

Dang Thanh Nam

Bài 12. Trong khai triển đa thức sau



2x1

 

ⁿ x2



ⁿ a x2_n ²ⁿa2_n_1x²ⁿ^¹...a x1 a0. Tìm n, biết rằng a₂_n_₁160.

Bài 13. Tìm số nguyên dương n, biết

 

1 2 3

1

2 3

2 3 1

... 1

2 2 2 2 32

n

n n n n n

n

C C C  nC

      .

Bài 14. Cho ¹ ³



¹



³

0

1 1

2 2

n n n k k

x k x

x n x

k

C



 



   

 

   

 



  , biết n thỏa mãn C¹_nC_n³ 2C_n² và số hạng thứ tư trong khai triển trên bằng 2010n. Xác định n và x.

Bài 15. Tìm hệ số của x⁸trong khai triển sau

12

4 1

1 x x

 

 

 

  .

Bài 16. Đặt



¹^{ }^x ^x²^^x³



⁴ ^^a⁰ ^^{a x}¹ ^^{a x}² ² ^^...^^{a x}¹² ¹². Tính hệ số của a₇.

Bài 17. Khai triển và rút gọn biểu thức

 

²

 

³

 

0 1 2 ²

1 x 2 1x 3 1x ...n 1x ⁿ a a xa x ...a x_n ⁿ. Tính hệ số của a₈, biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn 1₂ 7₃ 1

n n

C C  n. Bài 18. Cho số nguyên dương n4và

2 4 2

0 2 2 2

2

... 4096

3 5 2 1 13

n

n n n

n

C C C

S C

     n 

 . Tìm n.

Bài 19. Giả sử n là số nguyên dương và



1x



ⁿ a0 a x1 ...a x_n ⁿ. Biết rằng tồn tại số nguyên



¹ ¹



k kn sao cho ¹ ¹

2 9 24

k k k

a _ a a _

  . Tìm n.

Bài 20. Biết rằng



2x



¹⁰⁰a0a x1 ...a x100 ¹⁰⁰. Chứng minh rằng a₂ a₃. Với giá trị nào của k thì a_k a_k_1



0k99



.

Bài 21. Cho biết tổng tất cả các hệ số của khai triển

3 2

2 1 2

n

nx nx

 