Hàm số F x

NGUYÊN HÀM

A - KIẾN THỨC CHUNG 1- Nguyên hàm

Định nghĩa: Cho hàm số ^{f x}

 

xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số ^{F x}

 

^được

gọi là nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{trên K nếu F'}

 

^{x  f x}

 

^{với mọi xK.}

Định lí:

+ Nếu ^{F x}

 

là một nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{trên K} thì với mỗi hằng số C, hàm số

   

G x F x C cũng là một nguyên hàm của ^{f x}

 

^{trên K.}

+ Nếu ^{F x}

 

là một nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{trên K} thì mọi nguyên hàm của ^{f x}

 

^{trên K đều có}

dạng ^{F x}

 

^{C, với C} là một hằng số.

Do đó ^{F x}

 

^{C C, } là họ tất cả các nguyên hàm của ^{f x}

 

^{trên K. Ký hiệu}



^{f x d}

 

^{xF x}

 

^C.

+ Tính chất của nguyên hàm

Tính chất 1:

 

^{f x d}

 

^x



^{  f x}

 

^và



^{f '}

 

^{x dx f x}

 

^C

Tính chất 2:



^{kf x d}

 

^{xk f x d}

  

^{x với k} là hằng số khác ₀. Tính chất 3:



^_^{f x}

 

^{g x}

 

^_^dx



^{f x d}

 

^x



^{g x d}

 

^x

2 - Sự tồn tại của nguyên hàm

Định lí: Mọi hàm số ^{f x}

 

liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. 3 - Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

Nguyên hàm của hàm số sơ cấp Nguyên hàm của hàm số hợp



^{uu x}

  

x

d  x C





^{du u C}

 

1 1

x 1

x d^ 1x^ C 



    







^{u d u}_¹_1^u1C



^{  1}



1dx ln x C

x  





¹_u^{dulnu C}

2

1 1

x

d C

x  x

 

_u^{12 du }_u^1C

x x x

e d e C





^{e du ueuC}

 

x 0, 1

ln

x

x a

a d C a a

 a  



^u _ln



^{0, 1}



u

u a

a d C a a

 a  



sin dxx  cos xC





^{sin duu  cos uC}

cos xdxsinx C





^{cos udusinu C}

2

1 x tan

cos d x C

x  





_cos¹²_u^{dutanuC}

2

1 x cot

sin d x C

x   





_sin¹²_u^{du cotuC}

4 – Bảng nguyên hàm mở rộng

 

¹

 

d ax b ax b C

  a  



kx

kx e

e dx C

 k 



 

1 1

dx , 1

1

ax b ax b c

a



 



 

 

      

  

 

^{cosax b dx1}_a^{sinax b   c}

dx 1

lnax b c ax b a  



 ^{ c}



^{sinax b dx }_a^{1cosax b c}

dx 1

ax b ax b

e e c

a

 

 

 

^{tgax b dx 1}_a^{ln cosax b c}

dx 1 ln

px q px q

a a c

p a

 

 

 

^{cotgax b dx 1}_a^{ln sinax b  c}

2 2

dx 1

arctgx a x a ac







_sin²_^dx_{ax b } ^_a^{1cotgax b c}

2 2

dx 1

2 ln

a x a x a a x c

  

 

 

_cos²_^dx_{ax b }^1_a^{tgax b c}

B - BÀI TẬP

DẠNG 1: CÁC CÂU HỎI LÍ THUYẾT

Câu 1: Trong các khẳng định dưới đây, có bao nhiêu khẳng định đúng?

(1): Mọi hàm số liên tục trên



^{a b;}



đều có đạo hàm trên



^{a b;}



^.

(2): Mọi hàm số liên tục trên



^{a b;}



đều có nguyên hàm trên



^{a b;}



^.

(3): Mọi hàm số đạo hàm trên



^{a b;}



đều có nguyên hàm trên



^{a b;}



^.

(4): Mọi hàm số liên tục trên



^{a b;}



đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên



^{a b;}



^.

A. 2. B. 3. C. 1. D. 4.

Câu 2: Cho hai hàm số ^{f x}

 

^{, g x}

 

liên tục trên . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A.



^_^{f x}

 

^{g x}

 

^_^dx



^{f x}

 

^dx



^{g x}

 

^dx.

B.



^_^{f x g x}

   

^{. }_^dx



^{f x}

 

^{d .x g x}

  

^dx.

C.



^_^{f x}

 

^{g x}

 

^_^dx



^{f x}

 

^dx



^{g x}

 

^dx.

D.



^{kf x}

 

^{dxk f x}

  

^dx



^{k0;k}



^.

Câu 3: Cho ^{f x}

 

^{, g x}

 

là các hàm số xác định và liên tục trên . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A.



^{f x g x}

   

^dx



^{f x}

 

^{d .x g x}

  

^{dx. B.}



^{2f x}

 

^dx2



^{f x}

 

^dx.

C.



^_^{f x}

 

^{g x}

 

^_^dx



^{f x}

 

^dx



^{g x}

 

^{dx. D.}



^{f x}

 

^{g x}

 

^dx



^{f x}

 

^dx



^{g x}

 

^dx.

Câu 4: Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A.



^{kf x}

 

^{dxk f x}

  

^{dx với k.}

B.



^_^{f x}

 

^{g x}

 

^_^dx



^{f x}

 

^dx



^{g x}

 

^{dx với f x}

 

^{; g x}

 

liên tục trên .

C. d ^{1 1} x^ x 1x^



 



 ^{với   1.}

D.

 

^{f x}

 

^dx



^{  f x}

 

^.

Câu 5: Cho hai hàm số ^{f x}

 

^{, g x}

 

là hàm số liên tục, có ^{F x}

 

^{, G x}

 

lần lượt là nguyên hàm của

 

f x , ^{g x}

 

. Xét các mệnh đề sau:

 

^{I . F x}

 

^{G x}

 

là một nguyên hàm của ^{f x}

 

^{g x}

 

^.

 

^{II . k F x.}

 

là một nguyên hàm của ^{k f x.}

 

^{với k.}



^III



^{. F x G x}

   

^. là một nguyên hàm của ^{f x g x}

   

^{. .}

Các mệnh đề đúng là

A.

 

^{II và}



^III



^{. B. Cả 3 mệnh đề. C.}

 

^{I và}



^III



^{. D.}

 

^{I và}

 

^{II .}

Câu 6: Mệnh đề nào sau đây sai?

A.



^_^{f x}

 

^{g x}

 

^_^dx



^{f x dx}

 

^



^{g x dx}

 

, với mọi hàm số ^{f x}

 

^{, g x}

 

liên tục trên . B.



^f

 

^{x dx f x}

 

^C với mọi hàm số ^{f x}

 

có đạo hàm trên .

C.



^_^{f x}

 

^{g x}

 

^_^dx



^{f x dx}

 

^



^{g x dx}

 

, với mọi hàm số ^{f x}

 

^{,g x}

 

liên tục trên . D.



^{kf x dx}

 

^{k f x dx}

  

với mọi hằng số k và với mọi hàm số ^{f x}

 

liên tục trên .

Câu 7: Cho hàm số ^{f x}

 

xác định trên K và ^{F x}

 

là một nguyên hàm của ^{f x}

 

^{trên K}. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. ^f

 

^{x F x}

 

^{,  x K. B. F x}

 

^{ f x}

 

^{,  x K.}

C. ^{F x}

 

^{ f x}

 

^{,  x K. D. F x}

 

^{ f}

 

^{x ,  x K.}

Câu 8: Cho hàm số ^{f x}

 

xác định trên K. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Nếu hàm số ^{F x}

 

là một nguyên hàm của ^{f x}

 

^{trên K} thì với mỗi hằng số _C, hàm số

   

G x F x C cũng là một nguyên hàm của ^{f x}

 

^{trên K.}

B. Nếu ^{f x}

 

liên tục trên K thì nó có nguyên hàm trên K.

C. Hàm số ^{F x}

 

được gọi là một nguyên hàm của ^{f x}

 

^{trên K nếu F x}

 

^{ f x}

 

^{với mọi xK}

.

D. Nếu hàm số ^{F x}

 

là một nguyên hàm của ^{f x}

 

^{trên K} thì hàm số ^F



^x



là một nguyên hàm của ^{f x}

 

^{trên K.}

Câu 9: Trong các mênh đề sau, mệnh đề nào sai:

A. Nếu hàm ^{F x}

 

là một nguyên hàm của hàm ^{f x}

 

^{thì F x}

 

^1 cũng là một nguyên hàm của hàm ^{f x}

 

^.

B. Mọi hàm liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

C. Nếu hàm ^{F x}

 

là một nguyên hàm của hàm ^{f x}

 

^thì



^{f x x}

 

^{d F x}

 

^{C, với C} là một hằng số.

D. Nếu ^{F x}

 

^{, G x}

 

là hai nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{thì F x}

 

^{G x}

 

^{C, với C là một}

hằng số.

Câu 10: Cho f g, là các hàm số liên tục trên K. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai.

A.



^_^{f x g x}

   

^{. }_^dx



^{f x}

 

^dx



^{f x}

 

^{dx g x}

  

^dx.

B.

 

2

 

³

 

d 3

f x f x f x x C



^.

C.



^_^{f x}

 

^{g x}

 

^_^dx



^{f x}

 

^dx



^{g x}

 

^dx.

D. ^{k f x}

  

^{dxk f x}

  

^{dx, (k}: hằng số).

DẠNG 2: NGUYÊN HÀM CƠ BẢN Câu 11: Khẳng định nào sau đây sai?

A.



dx x C^{. B.}



^{sin dxx  cosx C .}

C. ln dxx ¹ C

 x



^{. D.}



¹_x^{dxln x C.}

Câu 12: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A.



e x^xd e^xC^{. B.}



_sin¹²_x^{dx tanx C .}

C.



cos dx xs inx C ^{. D.}



^{sin dx x cosx C .}

Câu 13: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A.



0dxC ^(C là hằng số).

B.



e^xdxe^xC ^(C là hằng số).

C.



dx x 2C ^(C là hằng số).

D.

1

dx 1

n

n x

x C

n



 



 ^(C là hằng số, n).

Câu 14: Biết



^{f u}

 

^{duF u}

 

^C. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.



^f



^{2x1 d}



^x2F



^2x1



^{C. B.}



^f



^{2x1 d}



^{x2F x}

 

^{ 1 C.}

C.



^{2 1 d}



¹



^{2 1}



f x x 2F x C



^{. D.}



^f



^{2x1 d}



^xF



^2x1



^C.

Câu 15: Khẳng đinh nào sau đây là sai?

A.



^{a xxd axlna C}



^a0;a1



^{. B.}



^{cosx xd sinx C .}

C. ¹

2 x x C

x  



^{d . D.}



_x^{12 dx 1}_x^C.

Câu 16: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai:

A.



e dx^x e^xC^{. B.}



^{sinxdxcosx C .}

C.



2xdxx²C^{. D.}



¹_x^{dxln x C.}

Câu 17: Công thức nguyên hàm nào sau đây sai?

A. 2

2 d ln 2



x

x x C. B.



sin d^{x x} cos^{x C} ^.

C.



^d_x^xln ^x ^{C. D.}



_cos^dx_x ^{tanx C .}

Câu 18: Tìm họ nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^2x1

A.

 

^{d 1}



^{2 1}



²

f x x 2 x C



^{. B.}



^{f x}

 

^{dx 1}₄



^2x1



^{2C .}

C.



^{f x}

 

^{dx2 2}



^x1



^{2C. D.}



^{f x}

 

^dx



^2x1



^{2C .}

Câu 19: Họ nguyên hàm của hàm số f x( )2x² x 1 là

A.

3 2

2

3 2

x x

 x. B.

3 2

2

3 2

x x

  x C. C.

3

2 2

3

x x  x C. D. 4x1. Câu 20: Nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{10x43x2 trên  là}

A.

 

^{2 5 3 2 2}

f x dx x 2x  x



^{. B.}



^{f x dx}

 

^{10x53x22x C .}

C.

 

^{2 5 3 2 2}

f x dx x 2x  x C



^{. D.}



^{f x dx}

 

^2x53₂^x22C.

Câu 21: Họ các nguyên hàm của hàm số

 

¹

3 1

f x  x

 là

A. ^{ln 3}



^x1



^C_{. B.} ^ln



^3x1



^{C. C. ln 3x 1 C D. 1ln 3 1}

3 x C. Câu 22: Tìm nguyên hàm của hàm số ² 3

2 d

x x x

x

 

 

 

 



A.

3

4 3

3 3ln 3

x  x  x C. B.

3

4 3

3 3ln 3

x  x  x C. C.

3

4 3

3 3ln 3

x  x x . D.

3

4 3

3 3ln 3

x  x  x C. Câu 23: Nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{22x là}

A.

2 1

2 2

2 d ln 2

x

x x C



 



^{. B.}

2

2 2

2 d ln 2

x

x x C



^.

C. ² 4

2 d ln 2

x

x x C



^{. D.}

2 1

2 2

2 d ln 2

x

x x C



 



^.

Câu 24: Tìm nguyên hàm ^x ₂¹dx x



 ^?

A. x ₂¹ ln | | ln ²

dx x x C

x

   



^{. B.}



^x_x^{21dxln | |x 1}_x^C.

C.

2

3 2

1 2

3

x x C

x dx x

x C

  







^{. D.}



^x_x^{21dxlnx1}_x^C.

Câu 25: Họ nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{ 2x1 là:}

A. 1

2 1 C

x 

 ^{. B.}



^{2 1}



³

3

x C

 . C. ²



^{2 1}



³

3

x C

 . D. ³



^{2 1}



³

4

x C

 . Câu 26: Họ các nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{e2x3 là}

A.



^{f x dx}

 

^{e2x3C. B.}



^{f x dx}

 

^1₂^e2x3C.

C.



^{f x dx}

 

^{2e2x3C. D.}



^{f x dx}

 

^1₃^e2x3C.

Câu 27: Tìm nguyên hàm của hàm số

 

2

1 sin 2 f x  x .

A.

2

d 2 tan

sin 2 2

x x

x   C



^{. B. d}₂ ^{2 tan}₂

sin 2

x x

x  C



^.

C.

2

d 1

2cot2 sin 2

x x

x   C



^{. D. d}₂ ^2cot₂

sin 2

x x

x   C



^.

Câu 28: Tìm nguyên hàm của hàm số

 

¹

2 f x

x

 .

A.



^{f x}

 

^{dx 2xC. B.}



^{f x}

 

^{dx2 2x C .}

C.

 

^{d 1}

f x x 2 C

  x



^{. D.}



^{f x}

 

^{dxln 2xC.}

Câu 29: Nếu



^{f x}

 

^{dxsinxexC} _thì

A. ^{f x}

 

^{ cosxex. B. f x}

 

^{cosxex.}

C. ^{f x}

 

^{cosxex. D. f x}

 

^{ cosxexC.}

Câu 30: Tìm khẳng định sai?

A.

1

d 2

1

e

e x

x x C

e



 



 ^{. B.}

2 1

2 d 1

x

x x C

x



 



 ^.

C.



e^xdxC e ^{x D.}



^{tan2x xd tanx x C.}

Câu 31: Cho ^{F x}

 

là nguyên hàm của

 

4 2

2x 3

f x x

  . Khi đó A.

2 3 3 ( ) 3

F x x C

  x . B.

 

2 3

3 3ln

F x  x  x C. C.

2 3

( ) 3ln

3

F x  x  x C. D.

2 3 3 ( ) 3

F x x C

 x . Câu 32: Họ nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{2xsin 2x là}

A. x²2cos 2x C . B. ^{2 1}cos 2

2 

x x C. C. x²2cos 2x C . D. ^{2 1}cos 2

2 

x x C

.

Câu 33: Họ các nguyên hàm của hàm số

 

 

2

1

sin 2

f x  x

 là

A. ^cot



^x2



^{C. B. cot}



^x2



^{C .}

C.

 

 

3

2 cos 2

sin 2

x C

x

  

 . D.

 

 

3

cos 2

sin 2

x C

x

  

 .

Câu 34: Họ nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{excosx2018 là}

A. ^{F x}

 

^{exsinx2018x C . B. F x}

 

^{exsinx2018x C .}

C. ^{F x}

 

^{exsinx2018x. D. F x}

 

^{exsinx2018C.}

Câu 35: Tìm nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{exex.}

A.



^{f x}

 

^{dx exexC. B.}



^{f x}

 

^{dxexexC.}

C.



^{f x}

 

^{dx exexC. D.}



^{f x}

 

^{dxexexC.}

Câu 36: Họ nguyên hàm của hàm số f x( ) e^x là

A. e^xC. B. e^xC. C. e^xC. D. e^xC. Câu 37: Tìm nguyên hàm của hàm số ysin(x1)?

A.



sin(x1)dx cos(x1)C^{. B.}



^{sin(x1)dxcos(x1)C.}

C.



sin(x1)dx(x1) cos(x1)C^{. D.}



^{sin(x1)dx(1x) cos(x1)C.}

Câu 38: Hàm số ^{F x}

 

^ex2 là nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

A. ^{f x}

 

^{ 2xex2. B. f x}

 

^{2x e2 x2 C.}

C. ^{f x}

 

^{xex2. D. f x}

 

^{x e2 x2 3.}

Câu 39: Tìm họ nguyên hàm F(x) của hàm số f x( )cos(2x3).

A. F x( ) sin(2x3)C. B. ( ) ¹sin(2 3) F x 2 x C. C. ( ) ¹sin(2 3)

F x  2 x C. D. F x( )sin(2x3)C.

Câu 40: Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn lại?

A. ^{f x}

 

^{sin 2x, g x}

 

^{cos2 x. B. f x}

 

^{ex, g x}

 

^ex.

C. ^{f x}

 

^{sin 2x, g x}

 

^{sin2 x. D. f x}

 

^tan2x,

 

¹_{2 2}

g x cos

 x . Câu 41: Họ nguyên hàm của hàm số f x( )tanx là

A. ln cosx C. B. ¹₂ .

cos C

 x C. ln cosx C. D. ¹₂ .

cos C

x Câu 42: Cho ^{F x}

 

là một nguyên hàm của hàm số

 

²₂

f x cos

 x và 3

F4

  

  . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. ^{F x}

 

^{2 tanx3. B. F x}

 

^tanx4.

C. ^{F x}

 

^{2 tanx5. D. F x}

 

^{ 2 cotx5.}

Câu 43: Tìm khẳng định sai?

A.



tan²x xd tanx x C^{. B.}

1

d 2

1

e

e x

x x C

e



 



 ^.

C.

2 1

2 d 1

x

x x C

x



 



 ^{. D.}



^{exdxC e x}

Câu 44: Họ nguyên hàm của hàm số

 

¹

f x 1

 x

 là

A. ln 1x C. B. 1 ²

ln(1 )

2 x C. C. ln 2 2x C. D. 1

2ln 1 x C

   . Câu 45: Cho hàm số ^{f x}

 

^thỏa

 

⁶

f x 3 2

  x

 và ^f

 

^{2 0}. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. ^{f x}

 

^{3ln 3 2 x . B. f x}

 

^{2 ln 3 2 x .}

C. ^{f x}

 

^{ 3ln 3 2 x . D. f x}

 

^{ 2 ln 3 2 x .}

Câu 46: Biết F x( ) là một nguyên hàm của hàm f x( )sin 2x và 1.

F_4_

 

  Tính F_6_

 

 

A. 0.

F_6_

 

  B. 3

6 4

F_ _

 

 

  C. 1

6 2

F_ _

 

 

  D. 5

6 4

F__

 

 

  Câu 47: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. ¹ ln 3

3 dx x C

x  



^{. B.}



^{e dxx exC.}

C.



sin x dx c x Cos  ^{. D. 2} _{ln 2}²

x

xdx C



^.

Câu 48: Tìm nguyên hàm I 



2x1dx A. ²



^{2 1}



³

I 3 x C. B. ¹

2 2 1

I C

 x 

 . C. ¹



^{2 1}



³

I 3 x C. D. ¹

4 2 1

I C

x

 

 . Câu 49: Tìm ab biết ^{7 11} ln 2 ln 1

( 1)( 2)

x dx a x b x C

x x

     

 



^?

A. ab 7. B. ab5. C. ab11. D. ab 5. Câu 50: Tìm hàm số ^{F x}

 

^{biết F x}

 

^{sin 2x và 1}

F2

 

  . A.

 

^{1cos 2 1}

2 2

F x   x . B. ^{F x}

 

^{ cos 2x.}

C.

 

^{1cos 2 3}

2 2

F x  x . D. ^{F x}

 

^{2x 1.}

Câu 51: Tìm nguyên hàm của hàm số

 

^{3 2}

2 f x  x  x.

A.



^{f x}

 

^{dxx3x2 C. B.}

 

3 2

d 3 4

x x f x x  C



^.

C.

 

2

d 3

4 f x xx  x C



^{. D.}

 

2

d 3

2 f x xx x C



^.

Câu 52: Tính nguyên hàm

2 2 7 5 3 d

 





^x ^x

I x

x .

A. I 2x²  x 2 ln x 3 C. B. I x² x 2 ln x3C. C. I x² x 2 ln x 3 C. D. I 2x² x 2 ln x 3 C. Câu 53: Hàm số

 

^{1 3 1}



^{9 2 24 17}



27

F x  e x^ x  x C là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?

A. ^{f x}

 

^



^x22x1



^{e3x1. B. f x}

 

^



^x22x1



^e3x1.

C. ^{f x}

 

^



^x22x1



^{e3x1. D. f x}

 

^



^x22x1



^e3x1.

Câu 54: Tính I 



8s in3 cosx x dxacos 4x b cos 2x C ^{. Khi đó ab bằng:}

A. 3. B. 1. C. 1. D. 2 .

Câu 55: ) Họ nguyên hàm của hàm số f x

 

 x sinx là A. 1cosxC. B.

2

2 cos

x  xC. C.

2

2 cos

x  xC. D. x²cosx C . Câu 56: Cho hàm số ^{y f x}

 

^{thỏa m}ãn đồng thời các điều kiện ^f

 

^{x  x sinx và f}

 

^{0 1. Tìm}

 

f x . A.

 

2 1

2 cos 2

f x  x  x . B.

 

2

cos 2 2

f x  x  x .

C.

 

2

cos 2 2

f x  x  x . D.

 

2

2 cos

f x  x  x. Câu 57: Tìm nguyên hàm F x( ) của hàm số

 

²

2 1

f x

x



 thỏa mãn ^F

 

^{5 7.}

A. F x( )2 2x 1 1. B. F x( ) 2x 1 4. C. F x( ) 2x 1 10. D. F x( )2 2x1. Câu 58: Cho

 

 

2 2

2 1

x x

f x x

 

 , F x

 

là một nguyên hàm của f x

 

. Tìm phương án sai?

A.

 

2 1

1 x x

F x x

  

 . B.

 

2 2 2

1

x x

F x x

 

  .

C.

 

2 1

1 x x

F x x

  

 . D.

 

2

1 F x x

 x

 .

Câu 59: Cho ^{F x}

 

là một nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{3 .ln 9x thỏa F}

 

^{0 2. Tính F}

 

^{1 .}

A. ^F

 

^{1 6. B. F}

 

^{1 3. C. F}

 

^{1 12 ln 3}

 

^{2. D. F}

 

^{1 4.}

Câu 60: Tìm nguyên hàm ^{F x}

 

của hàm số ^{f x}

 

^x ₂¹

x

  , biết đồ thị hàm số ^{yF x}

 

đi qua điểm



^{1; 2}



^,

A. ^{F x}

 

^{ln x 1 1}

 x . B. ^{F x}

 

^{ln x 1 3}

 x . C. ^{F x}

 

^{ln x 1 3}

 x . D. ^{F x}

 

^{ln x 1 1}

 x . Câu 61: Tìm nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{ x sin 6x.}

A.

 

2 sin 6 d  2  6 



^{f x x x x C. B.}

 

2 cos 6 d  2  6 



^{f x x x x C.}

C.

 

2 sin 6 d  2  6 



^{f x x x x C. D.}

 

2 cos 6 d  2  6 



^{f x x x x C.}

Câu 62: Biết ^{F x}

 

là một nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

¹

 x và ^F

 

^{1 3. Tính F}

 

^{4 .}

A. ^F

 

^{4 5. B. F}

 

^{4 3. C. F}

 

^{4  3 ln 2. D. F}

 

^{4 4.}

Câu 63: Tìm nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{x3sin 2x.}

A.

 

4 1

d cos 2

4 2

f x x x  xC



^{. B.}

 

4 1

d cos 2

4 2

f x x x  x C



^.

C.

 

4

d cos 2

4

f x x x  xC



^{. D.}



^{f x}

 

^{dx3x22cos 2x C .}

Câu 64: Hàm số F(x) nào sau đây là 1 nguyên hàm của hàm số ( ) ₂ ³

4 3

f x x

x x

 

  ?

A. 2 ln x3ln x 1 C. B. 1

ln 2

3 x x

 

 .

C. ln[(x1)(x3)]. D. ln(2 x1 ).

Câu 65: Tìm giá trị m để hàm số ^{F x}

 

^{m x2 3}



^3m2



^x24x3 là một nguyên hàm của hàm số

 

^{3 2 10 4}

f x  x  x .

A. m  1. B. m  1. C. m1. D. m2.

Câu 66: Cho hàm số ^{F x}

 

^ax3



^{a b x}



^2



^{2a b c x }



^1 là một nguyên hàm của hàm số

 

^{3 2 6 2}

f x  x  x . Tổng a b là

A. 4. B. 2. C. 5. D. 3.

DẠNG 3: NGUYÊN HÀM CƠ BẢN TÌM HẰNG SỐ C

Câu 67: Nguyên hàm ^{F x}

 

của hàm số ^{f x}

 

^{2x2x34} thỏa mãn điều kiện ^F

 

^{0 0 là}

A. 2x³4x⁴. B.

4

2 3

3 4 4

x  x  x. C. x³x⁴2x. D.

4

2 3

3 4 4

x x  x. Câu 68: Tìm hàm số F(x) biết rằng ^{F x’}

 

^{4x3– 3x22 và F}

 

^{1 3}

A. ^{F x}

 

^{x4 –x32x3 B. F x}

 

^{x4 –x3+2x3}

C. ^{F x}

 

^{x4 –x32x3 D. F x}

 

^{x4x32x3}

Câu 69: Cho F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( )e^x2x thỏa mãn (0) ³

F 2. Tìm F x( ).

A. ( ) e ^{2 1}

2

F x  xx  . B. ( ) 2e ^{2 1}

2 F x  xx  .

C. ( ) e ^{2 3}

2

F x  xx  . D. ( ) e ^{2 5}

2 F x  xx  .

Câu 70: Tìm nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

thỏa mãn điều kiện:

 

^{2 3cos , 3}

f x x x F2

   

  A.

2

( ) 2 3sin 6

F x x x 4

    B.

2

( ) 2 3sin

F x x x 4

  

C.

2

( ) 2 3sin

F x x x 4

   D.

2

( ) 2 3sin 6

F x x x 4

   

Câu 71: Biết F x( ) là một nguyên hàm của hàm số ( ) ¹

2 1

f x  x

 và (2) 3 ¹ln 3.

F  2 Tính F(3).

A. F(3) 2ln5 3.  B. (3) ¹ln 5 5.

F 2  C. (3) ¹ln 5 3.

F  2  D.

(3) 2ln 5 5.

F   

Câu 72: Tìm nguyên hàm ^{F x}

 

của hàm số ^{f x}

  

^{ 2x1}



^x2



_{, biết} ^F

 

^{1 2}_.

A.

 

^{2 3 3 2 2 29}

3 2 6

F x  x  x  x . B.

 

^{2 3 3 2 2}

3 2

F x  x  x  x.

C.

  

²



^{1 2 2 2}

F x x x 2x x

    

  . D.

 

^{2 3 3 2 2 2}

3 2

F x  x  x  x . Câu 73: Một nguyên hàm F(x) của hàm số ( ) 2 ¹₂

f x x sin

  x thỏa mãn F( ) 1 4

   là:

A.

2

F( ) ot 2

x c x x 16

    B.

2

F( ) ot 2

x c x x 16

  

C. F( )x  c xot x² D.

2

F( ) ot 2

x c x x 16

    Câu 74: Tìm nguyên hàm ^{F x}

 

của hàm số f x( )sin 2x, biết 0

F6

 

  . A.

 

^{1cos 2}

F x 2 x

 . B.

 

^{1cos 2}

2 x 6

F x  

  .

C.

 

^{cos2 1}

F x  x4. D.

 

^{sin2 1}

F x  x4.

Câu 75: Biết ^{F x}

 

là một nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^sinx và đồ thị của hàm số ^{yF x}

 

^{đi qua}

điểm ^M



^0;1



^{. Tính}

F_2_

 

 .

A. 1

F_2_

 

  . <