17 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2

MỤC LỤC

MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN HÀM ẨN THƯỜNG GẶP ... 3

DẠNG 1: ÁP DỤNG CÁC QUY TẮC VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP ... 3

DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN ... 17

TÍCH PHAN HAM ẨN DỔI BIẾN DẠNG 1: ... 17

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2: ... 23

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 3 ... 25

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 5 ... 33

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 4 :... 35

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 4 ... 39

DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN ... 40

DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 1 ... 51

MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN HÀM ẨN THƯỜNG GẶP DẠNG 1: ÁP DỤNG CÁC QUY TẮC VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP

1) Quy tắc: Nếu ^{uu x}

 

^{và vv x}

 

^thì

 

^{uv u v uv  .}

- Nếu ^_^{f x g x}

   

^{.  }_^{ h x}

 

^{thì f x g x}

   

^{. }



^{h x dx}

 

^.

Câu 1. Cho hàm số ^{f x}

 

có đạo hàm liên tục trên khoảng



^0;



thỏa mãn điều kiện ^f

 

^{1 3 và}



⁴

    

^{1, 0.}

x  f x  f x   x Giá trị của ^f

 

^{2 bằng}

A. 6. B. 5. C. 3. D. 2.

Lời giải Chọn B

+)Từ giả thiết, ta có ^x



^{4 f}

 

^x



^{ f x}

 

^{ 1 xf}

 

^{x  f x}

 

^4x1

 

^{4 1}

  

^{4 1}

  

^{2 2 .}

xf x  x xf x x dx xf x x x C

 

     



    

+) Lại có ^f

 

^{1  3 C 0 f x}

 

^{2x 1 f}

 

^{2 5.}

Câu 2. Cho hàm số ^{f x}

 

có đạo hàm liên tục trên khoảng



^{ 1;}



và thỏa mãn đẳng thức

  

²

  

^{3 2}₂ ²

2 1

3

x x x

f x x f x

x

 

   



với mọi ^{x  }



^1;



^. Giá trị của ^f

 

^{0 bằng}

A. ^f

 

^{0  2 3. B. f}

 

^{0  e 3. C. f}

 

^{0  3. D. f}

 

^{0  1 3.}

Lời giải Chọn A

+) Từ giả thiết, ta có

              

3 2 2

2

2 2

2 1

2 1 2 1 1

3 3

x x x x x

f x x f x f x x x f x

x x

  

 

       

 

 

 

₂

     

2 2

2 1 1 1

1 1 1

1 3 3

f x x x x x x

f x f x f x

x x x

x x x

 

 

 

   

 

     

  

  

 

₂

 

₂

 

²

 

1 1 1

. . . 3 *

1 3 1 3 1

x x x x x

f x f x dx f x x C

x x x x x

 

 

 

   

       

    

+) Lại có

 

* thỏa mãn với mọi ^{x  }



^1;



^{nên thay x1 vào}

 

^{* ta có C  2.}

Suy ra ^1.

 

^{2 3 2.}

1

x f x x

x

   

 ^{Do đó f}

 

^{0  2 3.}

Câu 3. (SỞ LẠNG SƠN 2019) Cho hàm số ^{f x}

 

^{thỏa mãn }_^{f '}

 

^{x  }_^{2 f x f}

 

^{. ''}

 

^{x 4x32x với}

mọi x và ^f

 

^{0 0}. Giá trị của ^f2

 

^{1 bằng}

A. 5

2. B. 9

2. C. 16

15. D. 8

15. Lời giải

Chọn C

Ta có: ^_^{f '}

 

^{x }_^{2 f x f}

 

^{. ''}

 

^{x }_^{f x f}

 

^{. '}

 

^{x }_^'. Từ giả thiết ta có: ^_^{f x f}

 

^{. '}

 

^{x  }_^{' 4x32x}

Suy ra: ^{f x f}

 

^{. '}

 

^{x }

 

^{4x32x dx}



^{x4x2C. Với f}

 

^{0  0 C 0}

Nên ta có: ^{f x f}

 

^{. '}

 

^{x x4x2}

Suy ra:

         

2 1

1 1

4 2 2

0 0 0

8 16

. ' 1

2 15 15

f x

f x f x dx x x dx   f 

 

^.

Câu 4. (GIỮA-HKII-2019-NGHĨA-HƯNG-NAM-ĐỊNH) Cho hàm số ^{f x}

 

^{thỏa mãn}

 

^{2 1 2 1}

 

^.

 

xf x x f x f x

      

    với mọi x dương. Biết ^f

 

^{1  f}

 

^{1 1. Giá trị f2}

 

^{2 bằng}

A. ^f2

 

^{2  2 ln 2 2 . B. f2}

 

^{2 2ln 2 2 . C. f2}

 

^{2 ln 2 1 . D.}

 

2 2 ln 2 1

f   .

Lời giải Chọn B

Ta có:^_^xf

 

^{x }_^{2 1 x2}_^{1 f x f}

 

^{. "}

 

^{x }_^{; x0}

 

²

   

2 2

. ' 1 1 . "

x f x  x  f x f x 

        ^{f '}

 

^{x 2 1}₂ ^{1 f x f}

 

^{. "}

 

^x

  x

    

 

²

   

¹₂

   

^{' 1}₂

' . " 1 . ' 1

f x f x f x f x f x

x x

   

        

Do đó:

   

^' 2

   

1

1 1

. ' .d 1 .d . ' .

f x f x x x f x f x x c

x x

 

         

 

 

 

Vì f

 

1  f ' 1

 

   1 1 2 c1c1 1.

Nên ^{f x f}

 

^{. '}

 

^{x .dx x 1 1 .dx}

x

 

    

 

 

^{f x}

 

^.d



^{f x}

  

^{x 1 1 .dx}

x

 

     

 

 

 

2 2

ln 2.

2 2

f x x

x x c

     Vì

 

2 2

1 1

1 1 1 1.

2 2

f     c c  Vậy

 

 

2 2

ln 1 2 2 2 ln 2 2

2 2

f x x

x x f

       .

Câu 5. (THPT NÔNG CỐNG 2 LẦN 4 NĂM 2019) Cho hàm số ^{y f x}

 

có đạo hàm liên tục trên

 

0;1 thỏa mãn ^{3f x}

 

^{x f x. ( ) x2018  x}

 

^0;1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của

 

1

0

d f x x



^.

A. 1

2018.2020. B. 1

2019.2020. C. 1

2020.2021. D. 1

2019.2021. Lời giải

Chọn D

Xét hàm số:

   

2021 3.

2021

g x x f x  x trên

 

^{0;1 .}

Ta có: ^{g x}

 

^{3x f x2}

 

^{x f3 }

 

^{x x2020 x2. 3}_ ^{f x}

 

^{x f x. ( )x2018}_^{  0 x}



^0;1



^.

Do đó ^{g x}

 

là hàm số không giảm trên

 

0;1 , suy ra ^{g x}

 

^g

 

^{0  x}

 

^0;1

Hay

       

2021 2018

3. 0, 0;1 0, 0;1

2021 2021

x x

x f x    x  f x    x .

Vậy:

 

1 1 2018

0 0

d d 1

2021 2019.2021 f x x x x

 

^.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

 

2018

2021 f x  x .

2) Quy tắc: Nếu ^{uu x}

 

^{và vv x}

 

^{thì u u v uv}₂

v v

   

  

   với v0.

- Nếu

 

   

f x h x

g x

 

  

 

 

thì

 

   

^.

f x h x dx g x 



Hệ quả: Nếu ^{uu x}

 

^{thì 1 u}₂

u u

  

 

  

  với u0. - Nếu

   

1 g x

f x

 

  

 

 

thì

   

1 g x dx

f x 



Câu 6. (ĐỀ THTP QUỐC GIA NĂM 2018 – MÃ ĐỀ 101) Cho hàm số ^{f x}

 

^{thỏa mãn}

 

^{2 2}

f  9 và ^f

 

^{x 2x f x}_

 

^_^{2, x .} Giá trị của ^f

 

^{1 bằng}

A. 35 36.

 B. 2

3.

 C. 19

36.

 D. 2

15.

 Lời giải

Chọn B

+)Ta có

     

     

2

2

1 1

2 f x 2 2 2

f x x f x x x xdx

f x f x

f x

 

             

 

   

 



 

1 2

x C

 f x    . +) Lại có

 

 

²

 

2 1 1 1 2

2 1 .

9 2 2 3

f C x f

      f x      

Câu 7. (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) Cho hàm số ^{y f x}

 

có đạo hàm liên tục trên khoảng



^{0; }



^{thỏa mãn x f2 }

 

^{x  f x}

 

^{0 và f x}

 

^{0,  x}



^{0; }



^{. Tính f}

 

^{2 biết f}

 

^{1 e.}

A. ^f

 

^{2 e2. B. f}

 

^{2 3 e. C. f}

 

^{2 2e2. D. f}

 

^{2  e.}

Lời giải Chọn D

Ta có ^{f x}

 

^{0,  x}



^{0; }



^{ f x}

 

^0 không có nghiệm trên khoảng



^{0; }



 ^{f x}

 

^0 không có nghiệm trên khoảng



^{1; 2}



^{ f}

   

^{1 .f 2 0,  x}



^{1; 2}



^.

Mà ^f

 

^{1  e 0 nên f}

 

^{2 0.}

Do đó ^{x f2 }

 

^{x  f x}

 

^{0 }

 

 

2

1 f x

x f x

   .

Suy ra

 

 

2 2

2

1 1

1 d f x d

x x

x f x

  

 

^

 

2 2

1 1

1 ln f x

x  

 ^{1 1}



^ln

 

^{2 ln}

 

¹



2 f f

 

    

   ^{1 ln}

 

^{2 ln e}

2   f  

 ^{1 ln}

 

^{2 1}

2  f   ^ln

 

^{2 1}

f  2  ^f

 

^{2 e12  e.}

Câu 8. Cho hàm số ^{f x}

 

^{thỏa mãn}

 

^{1 1}

f 3và ^f

 

^x _{ }^{xf x}

 

^_^{2 với mọi x. Giá trị f}

 

^{2 bằng}

A. 2

3. B. 3

2. C. 16

3 . D. 3

16. Lời giải

Chọn B

+) Từ giả thiết, ta có

 

     

3

2 2 2

2

1 1

3

f x x

x x x dx C

f x f x f x

 

           

 

 



^.

+) Lại có

 

     

1 10 1 3 10 1 2 3

1 2 .

3 3 3 2 3 2

f C x f

f x f

 

        

Câu 9. (QUỲNH LƯU LẦN 1) Cho hàm số ^{f x}

 

thỏa mãn các điều kiện ^f

 

^{1 2,}

 

^{0, 0}

f x   x và



^x21



^{2 f '}

 

^{x }_^{f x}

 

^_²



^x21



^{với mọi x0}. Giá trị của ^f

 

^{2 bằng}

A. 2

5. B. 2

5. C. 5

2. D. 5

2. Lời giải

Chọn D

Ta có

         

     

2 2 2

2 2

2 2 2

' 1

1 ' 1 1; 2 (*)

1

f x x

x f x f x x x

f x x

  

       

  

 

Lấy tích phân 2 vế (*) trên



1; 2 ta được



 

     

2 2 2 2 2

2 2 2 2

1 1 1

1 1 2

' 1 1

d d d

1 1

1

f x x x x x x

f x x f x

x x

 

   

    

    

 

  

     

2

2 1

d 1

1 1 1 1 1 2

1 1

2 1 1 2 2

x x

f f f

x x x x

 

  

 

        

 

     

   

 



   

1 1 2 1 5

2 2 5 2 f 2 2

  f       .

Câu 10. Cho hàm số ^{f x}

 

có đạo hàm liên tục trên đoạn



1; 2 và thỏa mãn

  

^{1 1}

f  2 và

    

^{2 3 2}



²

 

^,



^{1; 2 .}



f x xf x  x x f x  x Giá trị của tích phân

 

2

1

xf x dx



^bằng

A. 4 ln .

3 B. 3

ln .

4 C. ln 3. D. 0.

Lời giải Chọn B

+) Từ giả thiết, ta có

           

 

3 2 2

2 f x xf 2x 2 1

f x xf x x x f x x

xf x

 

      

 

 

     

 

1 1 1 2

2x 1 2x 1 dx x x C.

xf x xf x xf x

 

             

 

 



+) Lại có

   

   

 

2 2

1 1

1 1 1

1 0

2 1 1

f C xf x xf x dx dx

x x x x

         



 



2

1

1 1 1 2 3

ln ln .

1

1 4

dx x

x x x

  

     

  



Câu 11. Cho hàm số ^{f x}

 

có đạo hàm liên tục trên đoạn

 

0;1 đồng thời thỏa mãn ^f

 

^{0 9 và}

   

²

9f x f x x 9. Tính ^{T  f}

 

^{1  f}

 

^{0 .}

A. T  2 9ln 2. B. T 9. C. 1

9 ln 2

T 2 . D. T  2 9ln 2. Lời giải

Chọn C

Ta có ^9f

 

^{x }_^f

 

^{x x}_^{2 9 9}



^f

 

^{x 1}



^{ }_^f

 

^{x x}_²

 

 

²

1 1

9 f x

f x x

 

  

   

 

. Lấy nguyên hàm hai vế

 

 

²

1 1

d d

' 9 f x

x x

f x x

 

 

  

 

 

^ _f

 

_x¹ _x ^₉^xC.

Do ^f

 

^{0 9 nên 1}

C 9 suy ra

 

⁹

f x x 1 x

  



 

⁹

f x 1 x

x

   



Vậy

   

1

0

1 0 9 d

T f f 1 x x

x

 

  



   

2 1

0

9 ln 1 2 x x

 

   

 

9 ln 2 1

 2.

Câu 12. Cho hàm số ^{f x}

 

^0 thỏa mãn điều kiện ^f

  

^{x  2x3}



^f2

 

^{x và}

 

^{0 1}

f  2. Biết rằng tổng ^f

 

^{1 f}

 

^{2 f}

 

^{3 ... f}



²⁰¹⁷



^f



²⁰¹⁸



^a

      b với



^{a, b}



^và _b^a là phân số tối giản.

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. a 1

b   . B. a 1

b  . C. a b 1010. D. b a 3029. Lời giải

Chọn D

Ta có ^f

  

^{x  2x3}



^f2

 

^x

 

 

2 2 3

f x f x x

   

 

   

2 d 2 3 d

f x

x x x

f x





 



 ^{ } _{f x}

 

^{1 x23x C . Vì f}

 

^{0  1}₂^C2.

Vậy

 

  

1 1 1

1 2 2 1

f x   x x  x x

    .

Do đó

 

¹

 

²

 

^{3 ...}



²⁰¹⁷

 

²⁰¹⁸



^{1 1 1009}

2020 2 2020

f  f  f   f  f     .

Vậy a 1009; b2020. Do đó b a 3029.

Câu 13. Cho hàm số ^{y f x}

 

có đạo hàm liên tục trên đoạn



1; 2 thỏa mãn



^f

 

^{1 2 và}

  

¹

  

^{2 2}

 

^,

 

^{1; 2 .}

f x  x f x  xf x  x Giá trị của

 

2

1

f x dx



^bằng

A. 1 ln 2. B. 1 ln 2. C. 1

ln 2.

2 D. 1

ln 2.

2 Lời giải

Chọn D

+) Từ giả thiết, ta có

             

 

2

2

1 2 f x x 1 f x 2

f x x f x xf x x

f x

  

     

     

1 1 1 2

2 2 .

x x x

x xdx x C

f x f x f x

    

       

 

 



+) Lại có

     

2 2

2 2

1 1

1 1 1 1

1 2 0

f C f x f x dx dx

x x x x

 

          

 

 

2 1 2 1

ln ln 2.

1 1 2

x x

   

Câu 14. Cho hàm số ^{f x}

 

có đạo hàm liên tục trên đoạn



^0;1



^{thỏa mãn}

 

^{0 1}

f 3 và

     

²

f x  f x f x  với mọi ^x



^0;1



. Tính diện tíchScủa hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ^{y f x}

 

, trục hoành và hai đường thẳng x0;x1.

A. ln 2. B. 4

ln .

3 C. ln12. D. 3

ln . 4 Lời giải

Chọn B

+) Ta có

         

 

   

 

2

2 1 2

x x

f x f x e f x e f x x

f x f x f x e

f x f x

 

 

   

   

 

 

      

     

 

²

   

x x x x

x x e x x

e dx e

e f x e f x e

e e C

f x f x

f x

 

  

 

   

 

   

     



 ^.

+) Lại có

 

   

0 1 2 2

3 2

x x

x

x

e e

f C e f x

f x e

       

 ^.

+) Do đó ^{ln 2}

 

0

ln 2 4

ln 2 ln 4 ln 3 ln .

2 0 3

x

x x

S e dx e

 e     





Câu 15. Cho hàm số ^{f x}

 

xác định và có đạo hàm liên tục trên khoảng



^0;



^{thỏa mãn f}

 

^{1 2}

và ^{x f}



^

 

^{x x}



^{ f x}

 

^{  1, x 0.} Giá trị của ^{f e}

 

^bằng

A. e²e. B. e² 1. C. e²e. D. e²1.

Lời giải Chọn B

+) Từ giả thiết, ta có ^{x f}



^

 

^{x x}



^{ f x}

 

^{ 1 xf}

 

^{x  f x}

 

^x21

   

²

     

²

 

2 2 2 2 2

1 1 1

xf x f x x xf x x f x x f x 1

x x x x x x

 

 

 

 

     

      

 

1

x .

f x x C

 x   

+) Lại có

   

 

²

 

²

1 1 1.

1 2 0 ^{f x} x f x x f e e

x x

f  C         

Câu 16. (PHAN ĐÌNH TÙNG HÀ TĨNH) Cho hàm số ^{y f x}

 

xác định và liên tục trên ^{\ 0 ,}

 

biết ^{x f x.}

 

^{   1, x 0; f}

 

^{1  2 và}



^{x f x.}

 

^1



^{2x f. }

 

^{x  f x}

 

^{0 với  x \ 0 .}

 

^Tính

 

1

d .

e

f x x



A. 1

e2. B. 1

2e. C. 1

e. D. 1

e1. Lời giải

Chọn A

Ta có ^_^{x f x.}

 

^1_^{2x f. }

 

^{x  f x}

 

^0_^{x f x.}

 

^1_^{2 x f. }

 

^{x  f x}

 

   

 

²

. 1

. 1

x f x f x x f x

 

 

  

 

(do ^{x f x.}

 

^{   1, x 0).}

   

1 1

. 1 1 . 1 x C

x f x x f x

   

        Do ^f

 

^{1  2 nên}

 

1 1 1 1 0

1 1 C C C

f

       

 .

Do đó

 

^{1 2.}

 

¹

 

¹₂ ¹₂ ¹

. 1

x x f x x f x x

x f x x x x

  

         



Suy ra

 

₂

1

1 1

1 1 1 1

d d ln 2.

e e e

f x x x x

x x x e

   

        

   

 

Câu 17. (THPT TX QUẢNG TRỊ LẦN 1 NĂM 2019) Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng (1;) và thỏa mãn



xf x( ) 2 ( ) ln f x



xx³ f x( ),  x (1;); biết ^f

 

^{3e 3e. Giá trị f(2)}

thuộc khoảng nào dưới đây?

A. 12;²⁵ 2

 

 

 . B. 13;²⁷ 2

 

 

 . C. ²³;12 .

2

 

 

  D. 14;²⁹

2

 

 

 . Lời giải

Chọn C

Vì x(1;) nên ta có



^{x f x2 ( )2xf x( ) ln}



^{xx4xf x( ) 2} 4 3

( ) 2 ( ) ( )

ln 1

x f x xf x f x

x x x



  

   

 

2 3

( ) ( )

ln 1

f x f x

x x x

 

   

  ^{2 3}

( ) ( )

ln d 1 d

f x f x

x x x

x x

   

      

   

 

2 3 3

( ) ln ( ) ( )

d d

f x x f x f x

x x x C

x x x

 



 





2

( ) ln f x x

x x C

   ²

 

2

( ) ln

( ) ln x x C f x x

x C f x

x x

      .

Theo bài ra ^f

 

^{3e 3eC  0 f x( ) =}_ln^x3_x^.

Do đó (2) = ^{8 23};12 . ln 2 2

f  

  

 

Câu 18. Cho hàm số ^{f x}

 

có đạo hàm liên tục trên khoảng



^{0;1 và}



^{f x}

 

^{0,  x}



^0;1



. Biết rằng 1

f 2 a

 

  , ³ f  2  b

 

 

 

và ^xxf

 

^{x 2f x}

 

^{4,  x}



^0;1



. Tính tích phân

 

3 2

2 6

sin .cos 2sin 2 sin d

x x x

I x

f x









 ^{theo a và b.}

A. 3

4 I a b

ab

  .

B.

3 4 I b a

ab

  .

C.

3 4 I b a

ab

  . D

. 3

4 I a b

ab

  . Lời giải

Chọn D



^0;1



x

  ta có:

 

²

 

⁴

xxf x  f x  ^{  x 4 2f x}

 

^xf

 

^{x x24x2xf x}

 

^{x f2 }

 

^x

 

   

 

2 2

2 2

4 2xf x x f x

x x

f x f x

 

  

   

2 2

2

4

x x x

f x f x

 

    

 

.

Tính

   

2 2

3 3

2 2

6 6

sin .cos 2sin 2 sin .cos 4 sin .cos

d d

sin sin

x x x x x x x

I x x

f x f x

 

 

 









Đặt t sinxdtcos dx x, đổi cận 1

6 2

x  t

   , ³

3 2

x  t

   .

Ta có

 

3 2 2

2 1 2

4 d

t t

I t

f t







 

3

2 2

1 2

t

 f t

2 2

3 1

2 2

3 1 2 2 f f

   

   

   

 

   

   

   

3 1 3

4 4 4

a b

b a ab

    .

Câu 19. (NAM TIỀN HẢI THÁI BÌNH LẦN 1) Cho hàm số ^{f x}

 

^0 có đạo hàm liên tục trên 0,3

 

 

 , đồng thời thỏa mãn ^f

 

^{0 0; f}

 

^{0 1 và}

     

 

2

. 2

cos

f x f x f x f x

x

 

     

 

.Tính

T f3

 

 

 

A. 3

T  4. B. ³

T  4 . C. ³

T  2 . D. 1

T  2. Lời giải

Chọn D

Ta có

     

       

 

2 2

2

2 2

. 1

. cos cos

f x f x f x

f x f x f x f x

x f x x

   

   

        

 

 

 

 

 

2

1 tan

cos

f x f x

f x x f x x C

   

     

 

 

 

. Vì

 

 

0 0

0 1

f f

  



 



nên C 0.

Do đó

 

 

^tan

f x f x x

   . Suy ra

   

   

3 3 3

3 3

0 0

0 0 0

(cos )

tan . ln ln cos

cos

d f x d x

x dx f x x

f x x

  

 

    

  

 

^{1 1}

ln ln 0 ln ln1

3 2 3 2

f   f f 

       

   

. 3) Quy tắc: Nếu ^{uu x}

 

^thì

 

2 u u

u

 

 với u0.

- Nếu ^_ ^{f x}

 

^{ }_^{ h x}

 

^{thì f x}

 

^



^{h x dx}

 

^.

Câu 20. Cho hàm số ^{f x}

 

đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn

 

0;1 thỏa mãn

 

²

 

f x  f x , ^{ x}

 

^{0;1 và f}

 

^{0 1.} Giá trị của tích phân

 

1

0

f x dx



^bằng

A. 8

3. B. 7. C. 1

3. D. 7

3. Lời giải

Chọn D

+) Từ giả thiết, ta có

     

         

2 1 1

2 f x

f x f x f x f x dx f x x C

f x

 

       



  

+) Lại có

           

1 1

2 2 3

0 0

1 1 7

0 1 1 1 1 1 .

0

3 3

f  C  f x  x 



f x dx



x dx x 

Câu 21. Cho hàm số ^{f x}

 

đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn



^0;1



^{thỏa mãn f}

 

^{0 1 và}

 

² 16 .²

 

0

f x x f x

 

     với mọi ^x

 

^{0;1 .} Giá trị của tích phân

 

1

0

I 



f x dx ^bằng

A. 28

15. B. 8

15. C. 2

3.

 D. 4

3. Lời giải

Chọn A

+) Từ giả thiết, ta có

     

 

 

 

2

2 2 2

16 . 4 2

4 2 ^x

f x f x

f x x f x x

f x f x

 

 

 

 

 

     

 

^2x

 

^2xdx

 

^{x2 C.}

f x f x f x

      

 

 



+) Lại có

    

²



^{2 1}

 

¹



²



²

0 0

1 1 28

0 1 1

x 15

f  C  f x   I f x dx x  dx ^. Câu 22. Cho hàm số ^{y f x}

 

^0 xác định, có đạo hàm trên đoạn

 

0;1 và thỏa mãn:

   

0

1 2018 dt

x

g x  



f t ^{, g x}

 

^{ f2}

 

^{x . Tính}

 

1

0

d g x x



^.

A. 1011

2 . B. 1009

2 . C. 2019

2 . D. 505 .

Lời giải Chọn A

Ta có

   

0

1 2018 dt

x

g x  



f t ^{g x}

 

^{2018f x}

 

^{2018 g x}

 

 

 

²⁰¹⁸

g x g x

  

 

 

0 0

d 2018 d

t t

g x x x

g x





 



^2



^{g x}

  

₀^{t 2018x0t}

   

2 g t 1 2018t

   (do ^g

 

^{0 1) g t}

 

^1009t1

 

1 1

2

0 0

1009 1011

dt 2 2

g t  t t

    

 



^.

Câu 23. Cho hàm số ^{f x}

 

đồng biến và có đạo hàm lên tục trên đoạn



1; 4 thỏa mãn



^f

 

^{1 1 và}

   

^{2 4}

 

^{, x}



^{1; 4}



f x xf x f x

   

     . Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

 

y f x , trục hoành và hai đường thẳng x1,x4.

A. 4 2ln 2. B. 4 2ln 2. C. 4 ln 2. D. 4 ln 2.

Lời giải Chọn B

+) Ta có

             

 

   

 

 

2 2

2 1

4 1

4 4

f x xf x f x xf x

f x xf x f x

f x xf x x

 

 

      

   

 

     

 

   

     

1 1 1 1

2 2 2

f x xf x x f x xf x xf x

x x x xf x x

xf x xf x ^ xf x

 

 

  

      

 

¹

 

^{2 .}

xf x dx xf x x C

 



x   

+) Lại có

      

^{2 1}



²

1 1 1 2 1 .

x

f C xf x x f x

x



        

+) Do đó ⁴

 

^{2 4}

1 1

2 1 4 1 4 4 4

4 4 8 ln 4 2 ln 2.

1 1 1

x

S dx dx x x x

x x x

  

          

 

 

Câu 24. Cho hàm số f liên tục, ^{f x}

 

^{ 1, f}

 

^{0 0 và thỏa f}

 

^{x x2 1 2x f x}

 

^{1. Tính}

 

³

f .

A. 0 . B. 3 . C. 7 . D. 9 .

Lời giải Chọn B

Ta có

     

 

2

2

1 2 1 2

1 1

f x x

f x x x f x

f x x

      

 

 

     

3 3 3 3 3

2

2 0 0 0

0 0

d 2 d 1 1 1 1

1 1

f x x

x x f x x f x

f x x

         

 

 

 

^{3 1}

 

^{0 1 1}

 

^{3 1 2}

 

^{3 3}

f f f f

          .

Câu 25. Cho hàm số ^{y f x}

 

có đạo hàm liên tục trên đoạn



^{1; 4}



, đồng biến trên đoạn



1; 4 và thỏa



mãn đẳng thức ^{x2 .x f x}

 

_{ }^f

 

^{x }_^{2, x}



^{1; 4}



^{. Biết rằng}

 

^{1 3}

f  2, tính

 

4

1

d I 



f x x^? A. 1186

I  45 . B. 1174

I 45 . C. 1222

I  45 . D. 1201

I  45 . Lời giải

Chọn A

Ta có ^{x2 .x f x}

 

_{ }^f

 

^{x }_^{2  x. 1 2 f x}

 

^{ f}

 

^x

 

 

1 2 f x

x f x

  



, ^{ x}



^{1; 4}



^.

Suy ra

 

 

^{d d}

1 2 f x

x x x C

f x

  







^d

   

^{d d}

1 2

f x x x x C

f x

  







 

3

2 2

1 2f x 3x C

    . Mà

 

^{1 3}

f  2 4

C 3

  . Vậy

 

3 2

2 2 4

3 3 1

2 x f x

 

 

 

 

 .

Vậy

 

4

1

d 1186 I 



f x x 45 ^.

Câu 26. (LÝ NHÂN TÔNG) Cho hàm số ^{f x}

 

liên tục không âm trên 0;

2

 

 

 

, thỏa mãn

 

^.

 

^{cos 1 2}

 

f x f x  x  f x với mọi 0;

x  2

  

  và ^f

 

^{0  3}. Giá trị của f 2

 

  bằng

A. 2 . B. 1. C. 2 2. D. 0 .

Lời giải Chọn C

Với 0;

x  2

  

  ta có

         

   

2

2

2 .

. cos 1 cos *

2 1

f x f x

f x f x x f x x

f x

     



.

Suy ra ^{1 f2}

 

^{x sinx C .}

Ta có ^f

 

^{0  3C 2, dẫn đến f x}

 

^



^sinx2



^{21. Vậy 2 2}

f 2

 

  . 4) Quy tắc: Nếu ^{uu x}

 

^thì

 

^{eu u e. ;u}

- Nếu



^{ef x }



^{ g x}

 

^{thì ef x  }



^{g x dx}

 

^.

Câu 27. Cho hàm số ^{f x}

 

có đạo hàm liên tục trên đoạn

 

0;1 thỏa mãn ^f

 

^{0 1 và}

 

^{. f x  x2 1 2 ,}



^0;1



f x e ^{ }  x  x . Giá trị của

 

1

0

f x dx



^bằng

A. 4

3. B. 2. C. 4

3.

 D. 2.

Lời giải Chọn A

+) Ta có ^f

 

^{x e. f x x21 2x f}

 

^{x e. f x  2xex21}



^{ef x }



^{ 2xex21}

  ² 1   ² 1

2 .

f x x f x x

e xe ^dx e e ^ C

 



  

+) Lại có ^f

 

^{0  1 C 0 ef x  ex21 f x}

 

^x21.

+) Do vậy ¹

 

¹



²



³

0 0

1 1 4

1 .

3 0 3

f x dx x dx  x x

     

 

 

Câu 28. (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂK LĂK LẦN X NĂM 2019) Cho ^{f x}

 

có đạo hàm trên  và thỏa mãn

 

^{ }

 

3 2 1

2

3 . ^{f x x} 2x 0

f x e

f x

 

   với mọi x. Biết ^f

 

^{0 1}, tính tích phân

 

7

0

. d

I 



x f x x^.

A. 9

I  2. B. 45

I  8 . C. 11

I  2 . D. 15

I  4 . Lời giải

Chọn B

Ta có

 

^{ }

 

3 2 1

2

3 . ^{f x x} 2x 0

f x e

f x