Nguyên hàm, tích phân chống casio – phân thức và đổi biến – Mẫn Ngọc Quang - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

Thầy Mẫn Ngọc Quang 0989 850 625

Dạng 1: ĐỒNG NHẤT HỆ SỐ - MẪU CÓ DẠNG TÍCH

Phương pháp hệ số bất định: Khi mẫu cĩ thể phân tích thành nhân tử.

Câu 1: Cho ¹

( 2)( 5)( 4)( 2)( 5)( 4)

     

A B C

x x x x x x

Khi đĩ tổng ^S ^{A B C}  bằng:

A. 1

18 B.0 C. 1

14 D. 1

63 Giải:

1

( 2)( 5)( 4) ( 2) ( 5) ( 4)

( 5)( 4) ( 2)( 4) ( 2)( 5) 1

) 2 14 1 1

14 ) 5 63 1 1

63

) 4 18 1 1

18 0

  

     

         

        

     

      

   

A B C

x x x x x x

A x x B x x C x x

x A A

x B B

x C C

A B C

ĐÁP ÁN B.

Bình luận: Bài tốn này chúng ta sẽ tách phân số ở mẫu số cĩ tích thành các phân số đơn giản hơn. Để làm đươc điều này ta dùng phương pháp đồng nhất hệ số .

Câu 2: Cho ¹

( 3)( 3)   3 3

   

A B C

x x x x x x . Khi đĩ S 2A B C  bằng:

A. 1

18 B. 0 C. 1

18 D. 2

9 Giải:

1

( 3)( 3) 3 3

A B C

x x x  x x x

   

1 A x( 3)(x 3) Bx x( 3) Cx x( 3)

       

       1

) 0 9 1

x A A 9

      1

) 3 18 1

x B B 18

) 3 18 1 1

18 2 2

9

x C C

A B C

      

   

Thầy Mẫn Ngọc Quang 0989 850 625 ĐÁP ÁN D

Câu 3: Cho các hằng số A B C, , R thỏa mãn: ₃ ²₂ .

3 2   1 2

   

A B C

x x x x x x

Khi đĩ P ABC. . bằng:

A.2 B.1

2 C.1 D.2

Giải:

      

   

     

    

( 1)( 2) ( 2) ( 1) 2

) 0 1

) 1 2

) 2 1

A x x Bx x Cx x

x A

x B

x C

2

ABC   ĐÁP ÁN D

Câu 4. Cho ²₂ ^{3 1} . ¹

2 1

2 1

x A B

x x C

x x

  

 

  . Khi đĩ tổng ^S ^{A B C}  bằng:

A. 1

3 B.1

3 C.2

3 D. 2

3 Giải:

2

2 3

2 1

x x x



  = ^{2 3} (2 1)( 1)

x

x x



  = ⁴. ^{1 5}. ¹ 3 2x 1 3 x 1

  

   

 

4 5 2

, , 1

3 3 3

A  B C S A B C 

         

ĐÁP ÁN D

Dạng 2: NHẢY LẦU

Câu 6: Nguyên hàm của hàm

 

5 5

1 1

I x dx

x x

 



 ^{cĩ dạng a}^{lnx5 bln 1x5}^C Khi đĩ S10a b bằng

A.1 B.2 C.0 D.3

Giải:

 

     

   

   





5 ⁵ ⁴5 



5 ⁵ 5 ⁵ 



 ⁵   ⁵ ⁵

1 1 1 1 1 2

5 5 1

1 1

x x dx x d x

I d x

x x

x x x x

5 5

1 ln 2ln 1

5 x x  C

    

Suy ra : 1

, 2

a  5 b   10a b 0

Thầy Mẫn Ngọc Quang 0989 850 625 ĐÁP ÁN C

Câu 7: Cho



^{2 5 5 36}



^{2 2 1}



^{1 ln 2}

   

 

   



^{x a x b}

I dx C

x x

x x x x

Khi đó ^P ^{2a b} bằng:

A.0 B.1 C.2 D.3

Giải:

Ta có:

   

       

2 2

0

2 2 2

2 2 1

5 6 2 1

2 3

2 1 5 6

5 6 2 1 1

x x x x dx dx dx dx

I dx

x x

x x x x

x x x x x

    

    

 

   

    

    



¹



^{2 1 1 1 ln 3}

3 2 1 2

I x dx dx x C

x x x x

    





 



          Suy ra: a 1,b  3 P 2a b 1

ĐÁP ÁN B Câu 8. Cho

 

2



²



3 2

1 ln ln 1

1

    



 ^a

I dx b x c x

x x x Khi đó ^S   ^{a b c} bằng:

A.-2 B.-1 C.0 D.1

2 Giải:

 

     

 

2 2 2 2

3 3

3 2 2 2

1 1 1 1 1

1 1 1

x x x x

I dx dx

x x

x x x x x x

   

   

   

    

   

      

 

3 2

1 1 1

x dx

x x x

 





    



²

 

²



3 2 2

1 1 1 1 1 1

ln ln 1

2 1 2 2

d x

dx x x

x

x x x

  





   



     

1 1

, 1, 1

2 2

a  b c S

        ĐÁP ÁN B

Câu 9. Cho

 

2 2

1 1

ln 1 ln

1

I x dx a x b x c

x x x

      



 ^{. Khi đó P2}



^{a b c}



^bằng:

A.2 B.-2 C.1 D.0

Giải:

Thầy Mẫn Ngọc Quang 0989 850 625

   

   

2 2

2 2 2

1 1 1 1 1

1 1

1 1

x x x

I x dx dx dx

x x x

x x x x x

 

  





 



 



     

2 2

1 1 1 1 2 1 1

1 1 1 dx

x x x x x x x

    





      



     ^{2lnx  1 1}_x ^lnx

2, 1, 0 0

a b c P

       ĐÁP ÁN D.

Câu 10: Tính tích phân

 

2 1 2

1 ln

1

I dt a b

x x

  



 ^{. Khi đó S  a 2b bằng:}

A.2

3 B. 2

3 C. 1 D.1

Giải:

       

2 2 2 2

2 2 2

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

x x

I dx dx dx dx

x x x x x x x

     

   

   

Suy ra ₁^{2 1 1} ₁²



¹



²



¹



^{ln 2}



¹



^{1 2 ln4 1}

1 1

1 1 3 6

I dx x dx x x x

x x x

 

 





    



       

4 1

, 1

3 6

a b S

      ĐÁP ÁN C

Câu 11: Nguyên hàm của có dạng

 

2 ²



²



ln 1 1ln

2

F x a x bx x c C

x      

.

Khi đó ^{P  }



^{a b 2c b}



^{4 bằng}

A.1 B.¹

2 C. ¹

2

 D.0

Giải:

Ta có:

Vậy ( ) _{3 2} ¹₂ ln ¹ln( ² 1)

1 2 2

dx dx xdx

f x dx x x C

x x x x

        

   



1, 0, 1 0

a 2 b c P

       ĐÁP ÁN D

Câu 12: Cho ^{  }



¹ 

0

1 ln

I xdx a b c

x . Biết b + c = 1

 

₃¹ ₅

f x  x x



   

   

2 2

3 5 3 2 3 2

1 1 1 1

1 1

x x

f x x x x x x x x

 

   

  

 

 

2 2

3 2 3 2

1 1 1 1

1 1

x x x

x x x x x x

 

    

 

Thầy Mẫn Ngọc Quang 0989 850 625 Với ^{b c,} ³. Khi đĩ

2

2016

4 2

a c

S  b  bằng:

A.0 B.-1 C. 1

4 D.1

2 Giải:

1 1

1 0

0 0

( 1) 1 1

1 ln( 1) 1 ln 2

1 1

I x dx dx x x

x x

 

   





 



         

2

2016 1

1; 1; 2

4 2 4

      a   c

a b c S b

ĐÁP ÁN C Câu 13: Cho

1 4 2

2 0

1ln 2

 1 



^{x dx}

I a b

x . Khi đĩ 24 12

  3b

S a bằng:

A.0 B.-1 C.1 D.¹

2 Giải:

13, 3 24 12 0

24 3

      b 

a b S a

ĐÁP ÁN A

Dạng 3: MẪU SỐ CÓ CHỨA BIỂU THỨC BÌNH PHƯƠNG

Câu 14: Cho

 

2

3 2

3 3 5

1 2

3 2 1

 

   

 

  

x x A B C

y x x x x x . Khi đĩ ^S ^{A B C}  bằng:

A.1 B. ²₃ C.5

8 D. 5

8 Giải:

1 1 1

4 4

2 2 2

2

2 2 2

0 0 0

1 1 1

1 1 1 1

x x

I dx dx x dx

x x x

   





 



 



    

1

3 2

2 0

13 1

ln 1 ln 3

3 24 2

x x x

 

      

 

Thầy Mẫn Ngọc Quang 0989 850 625

 

2

3 2

2 2

3 3 5

1 2

3 2 1

( 2) ( 1)( 2) ( 1) 3 3 5

) 1 11

3 ) 2 11

9

 

  

 

  

         

   

    

x x A B C

x x

x x x

A x B x x C x x x

x A

x C

Tính tổng các hệ số không có x , rồi đồng nhất 2 vế ta có

 

²

 

²

) 2 5 16

9

11 16 11

1 2 9( 1) 9( 2)

1 3 1

     

     

   

 

A B C B

A B C

x x x x

x x

2

   A B C 3 ĐÁP ÁN B

Câu 14. Nguyên hàm của

2 3

3 3 5

3 2

 

  

x x

y x x có dạng ^{f x}

 

^ _x^a_1^{blnx  1 clnx d C}

Biết a c,  0. Chọn nhận định đúng A.  0

3

a b B.^{a b c d}   ³ C.ab cd D.b c 3 Giải:

 

2

2 3

3 3 5 11 16 11

3 2 3 1 9( 1) 9( 2)

 

   

   

 

      



_x^x _x^{x dx}



_{x x x} ^{dx  }_3(x¹¹_1)^16₉ ^{ln x 1 11}₉ ^{lnx 2 C}

  11  16  11 

, , , 2

3 9 9

a b c d

ĐÁP ÁN D Câu 15. Cho

 

3 2 2

3 1

2 2 5

4 28 65 50 2 5

x A B C

x x

x x x x

   

 

   

Khi đó ^S ^{2A B C}  bằng

A.10 B.13 C.-13 D.-10

Giải:

Ta phân tích:



^{x 2 23}



^{x x1 5}



^{2 xA2 2xB 5}



^2xC5



²

   

 

   ^{3x 1 A}



^2x5



^{2B x}



^{2 2}



^x5

 

^{C x2}



Thầy Mẫn Ngọc Quang 0989 850 625 Cho x = 2; ⁵; 0

 2 ta được:

5 10 13 A B C

  

 

 

13

  S

ĐÁP ÁN C

Câu 16: Cho A, B, C thỏa mãn



^{x 1}



^{1x 2}

 

^{2 x A2}



^{2 xB1 xC2}

   

 

  

Tính S = A + B +2C

A.2 B.1 C.0 D.-1

Gợi ý:

Đồng nhất ta được A B 1,C 1

Dạng 4: BẬC TỬ SỐ LỚN HƠN MẪU

Chúng ta thường thực hiện phép chia cho đa thức rồi tiếp tục tiến hành với phần dư.

Câu 17: Cho ^{   }



^{2 2} 

1

1 ln

1 x x

a b

x .

Chọn mệnh đề đúng

A.a 2b B. 2 ²

2 0

a b  3b  C.a b D.a b Giải:

3 3

2, 2

a b a b

    

ĐÁP ÁN C

Câu 18. Tìm hàm số f x( )x² ax lnbx  1 c biết ^{f x'}

 

^{ 4x2}₂^_x⁴_^x₁^{3 và f}

 

^{0 1. Khi đĩ}



²



³

S  a b c bằng

A.0 B.1 C.2

3 D.4

Giải:

Ta cĩ

4 2 4 3

( ) 2 1

x x

f x dx

x

 





 ⁼



^_^{2x 1} _2x²_1^_^{dx x 2 x ln 2x 1 c}

2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

1 1 1

ln 1

1 1 1 2

x x x

dx x dx xdx dx x

x x x

 

             

   

^{ 2 ln 3 1}₂ ^{ln 2 3}₂ ^ln3₂

Thầy Mẫn Ngọc Quang 0989 850 625 Mà f(0) = 1  c 1 f x( )x² x ln 2x 1 1

 

³

1, 2, 1 2 0

a b c S a b c

       

ĐÁP ÁN A Câu 19. Cho

   

3 2

1 0 2 2

3 3

ln 1 .

2 3

  

  

 



^{x x x}

I dx a b

x x

Khi đó



^{2a b}



^bằng:

A.2 B.3 C.¹

3 D.²

3 Giải:.

Ta có ^{x33x2  x 3}



^x1

 

^{x22x3 .}



^{Đặt 2 2 3 1}



¹



^.

tx  x 2dt x dx Đổi cận x  0 t 3,x  1 t 6

Khi đó ⁶ ₂

3

1 6

2

I t dt

t





 ⁼

6 6

3 2

3

1 1 6 1 6

2 dt 2 lnt

t t t

   

  

   

   



¹



^{ln 2 1}



2 

 

1, 2 2 3

 a 2 b  a b  ĐÁP ÁN B

Câu 20: ¹

 

²

2 0

1 = a + lnb 1

 



^x 

I dx

x . Khi đó a

S  b bằng A.1

3 B.2

3 C. 1

3 D.1

2 Giải:

1 2 1 1 1

4 2 2 2

0 0 0 0

1 2 2 2

1 1 1 1

x x x x

I dx dx dx dx

x x x

 





  



    











²

    

1 1

2 2

0 0

1 1

ln 1 1 ln 2

1 0

dx d x x x

x

       

 

 1, 2 1

2 a b a

    b ĐÁP ÁN D

Câu 21: Cho ¹ ₂ ³

 

0

3 5 ln ln

2 3 2

x c

I dx a b b c

x x

     

 



^{. Khi đó P a b c . . bằng}

A.³² B.³⁰ B.²⁶ D.26

Giải:

 

  

1 3 1 1 1

2 2

0 0 0 0

6 1 3

3 7 3 6 1

2 2 2

3 1

1 3

2 3 2 3

x x

x x

I dx x dt x dt x dx

x x

x x

x x x x

    

   

 





  



      



      



      

Thầy Mẫn Ngọc Quang 0989 850 625

2 1

0

2 6ln 3 ln 1 5 7 ln 2 6ln 3

2 2

x x x x

 

         

 

 5    

, 2, 6 30

a 2 b c P

ĐÁP ÁN B Câu 22: Cho

2

1 2

1

A B

x x

 





   ^{. Khi đó S }



^{2A B I}



^{. bằng:}

A.2 B.2

3ln 2 C.2

3 D.ln 2

Giải:

Ta có:

Nên Suy ra

Vậy ^S



^{2A B I}



^{.  I ln 2}

ĐÁP ÁN D Câu 23: Cho

 

2 1 2 1

2 1

 





^dx  



 ^A  ^B 

I x x x x

Khi đó ^P



^{2A B}



^bằng:

A.1 B.³

2 C.3 D.0

Giải:

      

  

2

2 1 2 1

1 2 1 1 2 1

2 1

x x

dx dx

I dx

x x x x

x x

  

  

   



 

 

1 1 2 1 2

ln 1 ln 1

3 1 2 1 dx 3 x 3 x C

x x

 





         

Khi đó ¹, ² 2 0 0

3 3

      

A B A B P

ĐÁP ÁN D

 

2

1 2

1 I dx

 x x





   

 

1

1 1 1

A B x A

A B

x x x x x x

 

  

  

0 1

1 1

A B A

A B

  

 

    



^{1 1}



^{1 11}

x x  x x

 

   

2 2 2

2 2

1 1

1 1 1 2 2

2 2 2

ln ln 1 | ln 2

1 1

dx dx dx

I x x

x x x x

      

 

  

Thầy Mẫn Ngọc Quang

Page 0989 850 625

Câu 24: ₂^{4 3}



^{ln ln 1}



2 3 2

I x dx x a b cx C

x x

      

 



^{. Khi đó S a}_b ^{c bằng:}

A.2 B.2 C.4 D.3

Giải:

   

  

2

2 1 2 2

4 3 1 2

( )

2 2 1

2 1 2

2 3 2

  

    

 

 

 



^x



^{x x}



I dx dx dx

x x

x x

x x

 

1 2

ln 2 2ln 2 1

2 2 1 dx x x C

x x

 





          ^{ a 2,b2,c    2 S} _b^{a c 3} ĐÁP ÁN D

Câu 25: Cho

3 2

4 2 2 2

2 1

x x x

I dx

x

  





 ^{ax3 x bln 2x 1 C} Và các mệnh đều sau:

 

^{1 a < b}

 

^{2 16}

   3 S a b

 

^{3 a b,} là các số nguyên dương.

 

^{4 P ab 1}

Số mệnh đề đúng là:

A.0 B.¹ C.² D.³

Giải:

3 2

4 2 2 2 2 3

2 1

2 1 2 1

x x x

I dx x dx

x x

 

  





 



     ^_²₃^{x3  x 3}₂^{ln 2x1}_^C

2 3

3, 2

a b

  

 

^{1 . Đúng}

 

^{2 . 13}

S a b   6 . Đúng

 

^{3 . ,a b} không phải là số nguyên. Sai

 

^{4 P ab 1.Đúng}

ĐÁP ÁN D.

Câu 26: Cho

3 2

2

3 6

4 3

x x x

I dx

x x

  





  ^_^{ax2 x bln x}_x^_³₁ ^_^C Và các mệnh đều sau:

Thầy Mẫn Ngọc Quang

Page 0989 850 625

 

^{1 a 1,b 3}₂

 

^{2 S a b  2}

 

^{3 a b}

 

^{4 3}

P ab 2

Số mệnh đề sailà:

A.0 B.1 C.2 D.3

Giải:

3 2

2 2

2

3 6 3

4 3 1 4 3

3 3 3 3

1 ln

2( 3) 2( 1) 2 2 1

x x x

I dx x dx

x x x x

x x

x dx x C

x x x

 

  

         

 

  

            

 



1 3

2, 2

a b

  

 

^{1 .a 1, 3}₂ ^{. Sai}

 

^{2 . S   a b 2. Đúng}

 

^{3 .a b,} không phải là số nguyên. Sai

 

^{4 P ab  3}₄^{. Sai}

ĐÁP ÁN D Câu 27: Cho

3 2

2

8 4 2

4 4 1

x x