MỤC LỤC
MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN HÀM ẨN THƯỜNG GẶP ... 3
DẠNG 1: ÁP DỤNG CÁC QUY TẮC VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP ... 3
DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN ... 17
TÍCH PHAN HAM ẨN DỔI BIẾN DẠNG 1: ... 17
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2: ... 23
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 3 ... 25
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 5 ... 33
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 4 :... 35
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 4 ... 39
DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN ... 40
DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 1 ... 51
MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN HÀM ẨN THƯỜNG GẶP DẠNG 1: ÁP DỤNG CÁC QUY TẮC VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP
1) Quy tắc: Nếu uu x
và vv x
thì
uv u v uv .- Nếu f x g x
. h x
thì f x g x
.
h x dx
.Câu 1. Cho hàm số f x
có đạo hàm liên tục trên khoảng
0;
thỏa mãn điều kiện f
1 3 và
4
1, 0.x f x f x x Giá trị của f
2 bằngA. 6. B. 5. C. 3. D. 2.
Lời giải Chọn B
+)Từ giả thiết, ta có x
4 f
x
f x
1 xf
x f x
4x1
4 1
4 1
2 2 .xf x x xf x x dx xf x x x C
+) Lại có f
1 3 C 0 f x
2x 1 f
2 5.Câu 2. Cho hàm số f x
có đạo hàm liên tục trên khoảng
1;
và thỏa mãn đẳng thức
2
3 22 22 1
3
x x x
f x x f x
x
với mọi x
1;
. Giá trị của f
0 bằngA. f
0 2 3. B. f
0 e 3. C. f
0 3. D. f
0 1 3.Lời giải Chọn A
+) Từ giả thiết, ta có
3 2 2
2
2 2
2 1
2 1 2 1 1
3 3
x x x x x
f x x f x f x x x f x
x x
2
2 2
2 1 1 1
1 1 1
1 3 3
f x x x x x x
f x f x f x
x x x
x x x
2
2
2
1 1 1
. . . 3 *
1 3 1 3 1
x x x x x
f x f x dx f x x C
x x x x x
+) Lại có
* thỏa mãn với mọi x
1;
nên thay x1 vào
* ta có C 2.Suy ra 1.
2 3 2.1
x f x x
x
Do đó f
0 2 3.Câu 3. (SỞ LẠNG SƠN 2019) Cho hàm số f x
thỏa mãn f '
x 2 f x f
. ''
x 4x32x vớimọi x và f
0 0. Giá trị của f2
1 bằngA. 5
2. B. 9
2. C. 16
15. D. 8
15. Lời giải
Chọn C
Ta có: f '
x 2 f x f
. ''
x f x f
. '
x '. Từ giả thiết ta có: f x f
. '
x ' 4x32xSuy ra: f x f
. '
x
4x32x dx
x4x2C. Với f
0 0 C 0Nên ta có: f x f
. '
x x4x2Suy ra:
2 1
1 1
4 2 2
0 0 0
8 16
. ' 1
2 15 15
f x
f x f x dx x x dx f
.Câu 4. (GIỮA-HKII-2019-NGHĨA-HƯNG-NAM-ĐỊNH) Cho hàm số f x
thỏa mãn
2 1 2 1
.
xf x x f x f x
với mọi x dương. Biết f
1 f
1 1. Giá trị f2
2 bằngA. f2
2 2 ln 2 2 . B. f2
2 2ln 2 2 . C. f2
2 ln 2 1 . D.
2 2 ln 2 1
f .
Lời giải Chọn B
Ta có:xf
x 2 1 x21 f x f
. "
x ; x0
2
2 2
. ' 1 1 . "
x f x x f x f x
f '
x 2 12 1 f x f
. "
x x
2
12
' 12' . " 1 . ' 1
f x f x f x f x f x
x x
Do đó:
' 2
11 1
. ' .d 1 .d . ' .
f x f x x x f x f x x c
x x
Vì f
1 f ' 1
1 1 2 c1c1 1.Nên f x f
. '
x .dx x 1 1 .dxx
f x
.d
f x
x 1 1 .dxx
2 2
ln 2.
2 2
f x x
x x c
Vì
2 21 1
1 1 1 1.
2 2
f c c Vậy
2 2
ln 1 2 2 2 ln 2 2
2 2
f x x
x x f
.
Câu 5. (THPT NÔNG CỐNG 2 LẦN 4 NĂM 2019) Cho hàm số y f x
có đạo hàm liên tục trên
0;1 thỏa mãn 3f x
x f x. ( ) x2018 x
0;1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
1
0
d f x x
.A. 1
2018.2020. B. 1
2019.2020. C. 1
2020.2021. D. 1
2019.2021. Lời giải
Chọn D
Xét hàm số:
2021 3.
2021
g x x f x x trên
0;1 .Ta có: g x
3x f x2
x f3
x x2020 x2. 3 f x
x f x. ( )x2018 0 x
0;1
.Do đó g x
là hàm số không giảm trên
0;1 , suy ra g x
g
0 x
0;1Hay
2021 2018
3. 0, 0;1 0, 0;1
2021 2021
x x
x f x x f x x .
Vậy:
1 1 2018
0 0
d d 1
2021 2019.2021 f x x x x
.Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
2018
2021 f x x .
2) Quy tắc: Nếu uu x
và vv x
thì u u v uv2v v
với v0.
- Nếu
f x h x
g x
thì
.f x h x dx g x
Hệ quả: Nếu uu x
thì 1 u2u u
với u0. - Nếu
1 g x
f x
thì
1 g x dx
f x
Câu 6. (ĐỀ THTP QUỐC GIA NĂM 2018 – MÃ ĐỀ 101) Cho hàm số f x
thỏa mãn
2 2f 9 và f
x 2x f x
2, x . Giá trị của f
1 bằngA. 35 36.
B. 2
3.
C. 19
36.
D. 2
15.
Lời giải
Chọn B
+)Ta có
2
2
1 1
2 f x 2 2 2
f x x f x x x xdx
f x f x
f x
1 2
x C
f x . +) Lại có
2
2 1 1 1 2
2 1 .
9 2 2 3
f C x f
f x
Câu 7. (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) Cho hàm số y f x
có đạo hàm liên tục trên khoảng
0;
thỏa mãn x f2
x f x
0 và f x
0, x
0;
. Tính f
2 biết f
1 e.A. f
2 e2. B. f
2 3 e. C. f
2 2e2. D. f
2 e.Lời giải Chọn D
Ta có f x
0, x
0;
f x
0 không có nghiệm trên khoảng
0;
f x
0 không có nghiệm trên khoảng
1; 2
f
1 .f 2 0, x
1; 2
.Mà f
1 e 0 nên f
2 0.Do đó x f2
x f x
0
2
1 f x
x f x
.
Suy ra
2 2
2
1 1
1 d f x d
x x
x f x
2 2
1 1
1 ln f x
x
1 1
ln
2 ln
1
2 f f
1 ln
2 ln e2 f
1 ln
2 12 f ln
2 1f 2 f
2 e12 e.Câu 8. Cho hàm số f x
thỏa mãn
1 1f 3và f
x xf x
2 với mọi x. Giá trị f
2 bằngA. 2
3. B. 3
2. C. 16
3 . D. 3
16. Lời giải
Chọn B
+) Từ giả thiết, ta có
3
2 2 2
2
1 1
3
f x x
x x x dx C
f x f x f x
.+) Lại có
1 10 1 3 10 1 2 3
1 2 .
3 3 3 2 3 2
f C x f
f x f
Câu 9. (QUỲNH LƯU LẦN 1) Cho hàm số f x
thỏa mãn các điều kiện f
1 2,
0, 0f x x và
x21
2 f '
x f x
2
x21
với mọi x0. Giá trị của f
2 bằngA. 2
5. B. 2
5. C. 5
2. D. 5
2. Lời giải
Chọn D
Ta có
2 2 2
2 2
2 2 2
' 1
1 ' 1 1; 2 (*)
1
f x x
x f x f x x x
f x x
Lấy tích phân 2 vế (*) trên
1; 2 ta được
2 2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 1
1 1 2
' 1 1
d d d
1 1
1
f x x x x x x
f x x f x
x x
2
2 1
d 1
1 1 1 1 1 2
1 1
2 1 1 2 2
x x
f f f
x x x x
1 1 2 1 5
2 2 5 2 f 2 2
f .
Câu 10. Cho hàm số f x
có đạo hàm liên tục trên đoạn
1; 2 và thỏa mãn
1 1f 2 và
2 3 2
2
,
1; 2 .
f x xf x x x f x x Giá trị của tích phân
2
1
xf x dx
bằngA. 4 ln .
3 B. 3
ln .
4 C. ln 3. D. 0.
Lời giải Chọn B
+) Từ giả thiết, ta có
3 2 2
2 f x xf 2x 2 1
f x xf x x x f x x
xf x
1 1 1 2
2x 1 2x 1 dx x x C.
xf x xf x xf x
+) Lại có
2 2
1 1
1 1 1
1 0
2 1 1
f C xf x xf x dx dx
x x x x
2
1
1 1 1 2 3
ln ln .
1
1 4
dx x
x x x
Câu 11. Cho hàm số f x
có đạo hàm liên tục trên đoạn
0;1 đồng thời thỏa mãn f
0 9 và
29f x f x x 9. Tính T f
1 f
0 .A. T 2 9ln 2. B. T 9. C. 1
9 ln 2
T 2 . D. T 2 9ln 2. Lời giải
Chọn C
Ta có 9f
x f
x x2 9 9
f
x 1
f
x x2
21 1
9 f x
f x x
. Lấy nguyên hàm hai vế
21 1
d d
' 9 f x
x x
f x x
f
x1 x 9xC.Do f
0 9 nên 1C 9 suy ra
9f x x 1 x
9f x 1 x
x
Vậy
1
0
1 0 9 d
T f f 1 x x
x
2 1
0
9 ln 1 2 x x
9 ln 2 1
2.
Câu 12. Cho hàm số f x
0 thỏa mãn điều kiện f
x 2x3
f2
x và
0 1f 2. Biết rằng tổng f
1 f
2 f
3 ... f
2017
f
2018
a b với
a, b
và ba là phân số tối giản.Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a 1
b . B. a 1
b . C. a b 1010. D. b a 3029. Lời giải
Chọn D
Ta có f
x 2x3
f2
x
2 2 3
f x f x x
2 d 2 3 d
f x
x x x
f x
f x
1 x23x C . Vì f
0 12C2.Vậy
1 1 1
1 2 2 1
f x x x x x
.
Do đó
1
2
3 ...
2017
2018
1 1 10092020 2 2020
f f f f f .
Vậy a 1009; b2020. Do đó b a 3029.
Câu 13. Cho hàm số y f x
có đạo hàm liên tục trên đoạn
1; 2 thỏa mãn
f
1 2 và
1
2 2
,
1; 2 .f x x f x xf x x Giá trị của
2
1
f x dx
bằngA. 1 ln 2. B. 1 ln 2. C. 1
ln 2.
2 D. 1
ln 2.
2 Lời giải
Chọn D
+) Từ giả thiết, ta có
2
2
1 2 f x x 1 f x 2
f x x f x xf x x
f x
1 1 1 2
2 2 .
x x x
x xdx x C
f x f x f x
+) Lại có
2 2
2 2
1 1
1 1 1 1
1 2 0
f C f x f x dx dx
x x x x
2 1 2 1
ln ln 2.
1 1 2
x x
Câu 14. Cho hàm số f x
có đạo hàm liên tục trên đoạn
0;1
thỏa mãn
0 1f 3 và
2f x f x f x với mọi x
0;1
. Tính diện tíchScủa hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x
, trục hoành và hai đường thẳng x0;x1.A. ln 2. B. 4
ln .
3 C. ln12. D. 3
ln . 4 Lời giải
Chọn B
+) Ta có
2
2 1 2
x x
f x f x e f x e f x x
f x f x f x e
f x f x
2
x x x x
x x e x x
e dx e
e f x e f x e
e e C
f x f x
f x
.+) Lại có
0 1 2 2
3 2
x x
x
x
e e
f C e f x
f x e
.
+) Do đó ln 2
0
ln 2 4
ln 2 ln 4 ln 3 ln .
2 0 3
x
x x
S e dx e
e
Câu 15. Cho hàm số f x
xác định và có đạo hàm liên tục trên khoảng
0;
thỏa mãn f
1 2và x f
x x
f x
1, x 0. Giá trị của f e
bằngA. e2e. B. e2 1. C. e2e. D. e21.
Lời giải Chọn B
+) Từ giả thiết, ta có x f
x x
f x
1 xf
x f x
x21
2
2
2 2 2 2 2
1 1 1
xf x f x x xf x x f x x f x 1
x x x x x x
1x .
f x x C
x
+) Lại có
2
21 1 1.
1 2 0 f x x f x x f e e
x x
f C
Câu 16. (PHAN ĐÌNH TÙNG HÀ TĨNH) Cho hàm số y f x
xác định và liên tục trên \ 0 ,
biết x f x.
1, x 0; f
1 2 và
x f x.
1
2x f.
x f x
0 với x \ 0 .
Tính
1
d .
e
f x x
A. 1
e2. B. 1
2e. C. 1
e. D. 1
e1. Lời giải
Chọn A
Ta có x f x.
12x f.
x f x
0x f x.
12 x f.
x f x
2. 1
. 1
x f x f x x f x
(do x f x.
1, x 0).
1 1
. 1 1 . 1 x C
x f x x f x
Do f
1 2 nên
1 1 1 1 0
1 1 C C C
f
.
Do đó
1 2.
1
12 12 1. 1
x x f x x f x x
x f x x x x
Suy ra
21
1 1
1 1 1 1
d d ln 2.
e e e
f x x x x
x x x e
Câu 17. (THPT TX QUẢNG TRỊ LẦN 1 NĂM 2019) Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng (1;) và thỏa mãn
xf x( ) 2 ( ) ln f x
xx3 f x( ), x (1;); biết f
3e 3e. Giá trị f(2)thuộc khoảng nào dưới đây?
A. 12;25 2
. B. 13;27 2
. C. 23;12 .
2
D. 14;29
2
. Lời giải
Chọn C
Vì x(1;) nên ta có
x f x2 ( )2xf x( ) ln
xx4xf x( ) 2 4 3( ) 2 ( ) ( )
ln 1
x f x xf x f x
x x x
2 3
( ) ( )
ln 1
f x f x
x x x
2 3
( ) ( )
ln d 1 d
f x f x
x x x
x x
2 3 3
( ) ln ( ) ( )
d d
f x x f x f x
x x x C
x x x
2
( ) ln f x x
x x C
2
2
( ) ln
( ) ln x x C f x x
x C f x
x x
.
Theo bài ra f
3e 3eC 0 f x( ) =lnx3x.Do đó (2) = 8 23;12 . ln 2 2
f
Câu 18. Cho hàm số f x
có đạo hàm liên tục trên khoảng
0;1 và
f x
0, x
0;1
. Biết rằng 1f 2 a
, 3 f 2 b
và xxf
x 2f x
4, x
0;1
. Tính tích phân
3 2
2 6
sin .cos 2sin 2 sin d
x x x
I x
f x
theo a và b.A. 3
4 I a b
ab
.
B.
3 4 I b a
ab
.
C.
3 4 I b a
ab
. D
. 3
4 I a b
ab
. Lời giải
Chọn D
0;1
x
ta có:
2
4xxf x f x x 4 2f x
xf
x x24x2xf x
x f2
x
2 2
2 2
4 2xf x x f x
x x
f x f x
2 2
2
4
x x x
f x f x
.
Tính
2 2
3 3
2 2
6 6
sin .cos 2sin 2 sin .cos 4 sin .cos
d d
sin sin
x x x x x x x
I x x
f x f x
Đặt t sinxdtcos dx x, đổi cận 1
6 2
x t
, 3
3 2
x t
.
Ta có
3 2 2
2 1 2
4 d
t t
I t
f t
3
2 2
1 2
t
f t
2 2
3 1
2 2
3 1 2 2 f f
3 1 3
4 4 4
a b
b a ab
.
Câu 19. (NAM TIỀN HẢI THÁI BÌNH LẦN 1) Cho hàm số f x
0 có đạo hàm liên tục trên 0,3
, đồng thời thỏa mãn f
0 0; f
0 1 và
2
. 2
cos
f x f x f x f x
x
.Tính
T f3
A. 3
T 4. B. 3
T 4 . C. 3
T 2 . D. 1
T 2. Lời giải
Chọn D
Ta có
2 2
2
2 2
. 1
. cos cos
f x f x f x
f x f x f x f x
x f x x
2
1 tan
cos
f x f x
f x x f x x C
. Vì
0 0
0 1
f f
nên C 0.
Do đó
tanf x f x x
. Suy ra
3 3 3
3 3
0 0
0 0 0
(cos )
tan . ln ln cos
cos
d f x d x
x dx f x x
f x x
1 1ln ln 0 ln ln1
3 2 3 2
f f f
. 3) Quy tắc: Nếu uu x
thì
2 u u
u
với u0.
- Nếu f x
h x
thì f x
h x dx
.Câu 20. Cho hàm số f x
đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn
0;1 thỏa mãn
2
f x f x , x
0;1 và f
0 1. Giá trị của tích phân
1
0
f x dx
bằngA. 8
3. B. 7. C. 1
3. D. 7
3. Lời giải
Chọn D
+) Từ giả thiết, ta có
2 1 1
2 f x
f x f x f x f x dx f x x C
f x
+) Lại có
1 1
2 2 3
0 0
1 1 7
0 1 1 1 1 1 .
0
3 3
f C f x x
f x dx
x dx x Câu 21. Cho hàm số f x
đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn
0;1
thỏa mãn f
0 1 và
2 16 .2
0f x x f x
với mọi x
0;1 . Giá trị của tích phân
1
0
I
f x dx bằngA. 28
15. B. 8
15. C. 2
3.
D. 4
3. Lời giải
Chọn A
+) Từ giả thiết, ta có
2
2 2 2
16 . 4 2
4 2 x
f x f x
f x x f x x
f x f x
2x
2xdx
x2 C.f x f x f x
+) Lại có
2
2 1
1
2
20 0
1 1 28
0 1 1
x 15
f C f x I f x dx x dx . Câu 22. Cho hàm số y f x
0 xác định, có đạo hàm trên đoạn
0;1 và thỏa mãn:
0
1 2018 dt
x
g x
f t , g x
f2
x . Tính
1
0
d g x x
.A. 1011
2 . B. 1009
2 . C. 2019
2 . D. 505 .
Lời giải Chọn A
Ta có
0
1 2018 dt
x
g x
f t g x
2018f x
2018 g x
2018g x g x
0 0
d 2018 d
t t
g x x x
g x
2
g x
0t 2018x0t
2 g t 1 2018t
(do g
0 1) g t
1009t1
1 1
2
0 0
1009 1011
dt 2 2
g t t t
.Câu 23. Cho hàm số f x
đồng biến và có đạo hàm lên tục trên đoạn
1; 4 thỏa mãn
f
1 1 và
2 4
, x
1; 4
f x xf x f x
. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y f x , trục hoành và hai đường thẳng x1,x4.
A. 4 2ln 2. B. 4 2ln 2. C. 4 ln 2. D. 4 ln 2.
Lời giải Chọn B
+) Ta có
2 2
2 1
4 1
4 4
f x xf x f x xf x
f x xf x f x
f x xf x x
1 1 1 1
2 2 2
f x xf x x f x xf x xf x
x x x xf x x
xf x xf x xf x
1
2 .xf x dx xf x x C
x +) Lại có
2 1
21 1 1 2 1 .
x
f C xf x x f x
x
+) Do đó 4
2 41 1
2 1 4 1 4 4 4
4 4 8 ln 4 2 ln 2.
1 1 1
x
S dx dx x x x
x x x
Câu 24. Cho hàm số f liên tục, f x
1, f
0 0 và thỏa f
x x2 1 2x f x
1. Tính
3f .
A. 0 . B. 3 . C. 7 . D. 9 .
Lời giải Chọn B
Ta có
2
2
1 2 1 2
1 1
f x x
f x x x f x
f x x
3 3 3 3 3
2
2 0 0 0
0 0
d 2 d 1 1 1 1
1 1
f x x
x x f x x f x
f x x
3 1
0 1 1
3 1 2
3 3f f f f
.
Câu 25. Cho hàm số y f x
có đạo hàm liên tục trên đoạn
1; 4
, đồng biến trên đoạn
1; 4 và thỏa
mãn đẳng thức x2 .x f x
f
x 2, x
1; 4
. Biết rằng
1 3f 2, tính
4
1
d I
f x x? A. 1186I 45 . B. 1174
I 45 . C. 1222
I 45 . D. 1201
I 45 . Lời giải
Chọn A
Ta có x2 .x f x
f
x 2 x. 1 2 f x
f
x
1 2 f x
x f x
, x
1; 4
.Suy ra
d d1 2 f x
x x x C
f x
d
d d1 2
f x x x x C
f x
3
2 2
1 2f x 3x C
. Mà
1 3f 2 4
C 3
. Vậy
3 2
2 2 4
3 3 1
2 x f x
.
Vậy
4
1
d 1186 I
f x x 45 .Câu 26. (LÝ NHÂN TÔNG) Cho hàm số f x
liên tục không âm trên 0;2
, thỏa mãn
.
cos 1 2
f x f x x f x với mọi 0;
x 2
và f
0 3. Giá trị của f 2
bằng
A. 2 . B. 1. C. 2 2. D. 0 .
Lời giải Chọn C
Với 0;
x 2
ta có
2
2
2 .
. cos 1 cos *
2 1
f x f x
f x f x x f x x
f x
.
Suy ra 1 f2
x sinx C .Ta có f
0 3C 2, dẫn đến f x
sinx2
21. Vậy 2 2f 2
. 4) Quy tắc: Nếu uu x
thì
eu u e. ;u- Nếu
ef x
g x
thì ef x
g x dx
.Câu 27. Cho hàm số f x
có đạo hàm liên tục trên đoạn
0;1 thỏa mãn f
0 1 và
. f x x2 1 2 ,
0;1
f x e x x . Giá trị của
1
0
f x dx
bằngA. 4
3. B. 2. C. 4
3.
D. 2.
Lời giải Chọn A
+) Ta có f
x e. f x x21 2x f
x e. f x 2xex21
ef x
2xex21 2 1 2 1
2 .
f x x f x x
e xe dx e e C
+) Lại có f
0 1 C 0 ef x ex21 f x
x21.+) Do vậy 1
1
2
30 0
1 1 4
1 .
3 0 3
f x dx x dx x x
Câu 28. (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂK LĂK LẦN X NĂM 2019) Cho f x
có đạo hàm trên và thỏa mãn
3 2 1
2
3 . f x x 2x 0
f x e
f x
với mọi x. Biết f
0 1, tính tích phân
7
0
. d
I
x f x x.A. 9
I 2. B. 45
I 8 . C. 11
I 2 . D. 15
I 4 . Lời giải
Chọn B
Ta có
3 2 1
2
3 . f x x 2x 0
f x e
f x