BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM ẨN

BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM ẨN

Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tập thể các tác giả!

Câu 1. Cho

1 2

0

1 ln 2 ln 3

ln( 2)

2 4

a bc c

x x dx

x

− +

 + +  =

 + 

 



^{,với a b c, ,  . Tính T= + +a b c.}

A. T=13. B. T=15. C. T=17. D. T =11.

Câu 2. Cho ³

( )

2

0

1 ln 2 ln 5

ln 1 d

1 4

abc b c

I x x x

x

− −

 

=



 + − +  = ^{, với a b c, ,  . Tính T = + +a b c.} A. T=13. B. T=15. C. T=10. D. T =11.

Câu 3. Cho ¹

( )

2

0

1 ln 2 ln 3

ln 2 d

1 4

ab bc c

I x x x

x

+ −

 

=



 + − +  = ^{, với a b c, ,  . Tính T =abc.} A. T = −18. B. T =16. C. T =18. D. T = −16.

Câu 4. Cho ^{f x}

( )

là hàm liên tục và a0. Giả sử rằng với mọi ^x

 

^{0;a , ta có f x}

( )

^{0 và}

( ) ( )

¹

f x f a−x = . Tính

( )

0

1 d

1

a

I x

= f x



+ ^.

A. 3

a . B. 2a. C. ^{aln 1}

(

^+a

)

. D.

2 a .

Câu 5. Cho ^{f x}

( )

là hàm liên tục trên

 

^{0 ;1} . Giả sử rằng với mọi ^x

 

^{0 ;1} , ta có ^{f x}

( )

^0và

( ) (

^{. 1}

)

⁴

f x f −x = . Tính

( )

1

02 dx + f x



^.

A. 1. B. 2. C. 1

2. D. 1

4. Câu 6. Cho hàm số ^{f x}

( )

liên tục trên và ^3f

( )

^{− −x 2f x}

( )

^{=tan2x. Tính 4}

( )

4

d f x x



−



^.

A. 1 2

− . B. 1 2

 ₋

. C. 1

4

+ . D. 2 2

− .

Câu 7. Biết

1 3 3

0

2 . .2 1 1

.2 ln .ln

x x

x

x e x e

dx p

e m e n e . Với m n p, , là các số nguyên dương .

Tính tổng S m n p

A. 7. B. 6. C. 8. D. 5.

Câu 8. Cho hàm số f x liên tục và có đạo hàm cấp hai trên 0;1 thỏa

1 2 0

. 12

x f x dx và

2f 1 f 1 2. Tính

1

0

f x dx

A. 10. B. 14 . C. 8. D. 5.

Câu 9. Cho hàm số 𝑓(𝑥) thỏa mãn ∫ 𝑥𝑓₀^{3 ′}(𝑥)𝑒^𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 8 và 𝑓(3) = ln 3. Tính ∫ 𝑒₀^{3 𝑓(𝑥)}𝑑𝑥

A. 1. B. 11. C. 8 − ln3. D. 8 + ln3.

Câu 10. Cho hàm số ^{f x}

( )

liên tục trên và thỏa mãn ^f

( )

^{− +x 2018f x}

( )

^{=xsin .x Tính}

2

( )

2

I f x dx



−

=



A. ²

2019. B. ¹

2019 . C. ¹

1009. D. ¹

2018. Câu 11. Cho hàm số ^{f x}

( )

xác định trên khoảng

(

^0;+

)  

^{\ e thỏa mãn f}

( )

^{x = x}

(

^ln1x−1

)

^,

2

1 ln 6 f e

  =

 

  và ^{f e}

( )

^{2 =3}. Giá trị của biểu thức ^{f 1 f e}

( )

³

  +e

   bằng

A. ^{3 ln 2 1}

(

⁺

)

^{. B.} 2 ln 2. C. 3ln 2 1+ . D. ln 2 3+ .

Câu 12. Cho hàm số ^{y= f x}

( )

^{=ax3+bx2+cx+d} có đạo hàm là hàm số với đồ thị như hình vẽ bên.

Biết rằng đồ thị hàm số ^{y= f x}

( )

tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ âm. Khi đó đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm tại điểm có tung độ là

A. −4. B. 1. C. 2 . D. 4 .

Câu 14. Cho hàm số ^{f x}

( )

^{thỏa mãn 2}

( ) ( )

1

.ln 1

f x f x dx=



^{và f}

( )

^{1 =1, f}

( )

^{2 1}. Giá trị của ^f

( )

²

bằng

A. ^f

( )

^{2 =2. B. f}

( )

^{2 =3. C. f}

( )

^{2 =e. D. f}

( )

^{2 =e2.}

Câu 15. Cho hàm số ^{f x}

( )

^{thỏa mãn 2}

( )

0

d 3

f x x=



^{và f}

( )

^{2 =2. Tính 4}

( )

0

d f x x



A. I 2. B. I 3. C. I 5. D. I 1.

Câu 16. Cho hàm số ^{y= f x}

( )

liên tục trên và thỏa ^f

(

^4−x

)

^{= f x}

( )

^{. Biết 3}

( )

1

d 5

xf x x=



^.

Tính ³

( )

1

d f x x



^.

A. 5

2 . B. 7

2 . C. 9

2. D. 11

2 .

Câu 17. Cho hàm số ^{f x}

( )

có đạo hàm và liên tục trên

 

^0;1 và thỏa mãn ¹

( ) ( )

0

2 d 1

x f  x −  x= f



^{. Giá}

trị của ¹

( )

0

d

I =



f x x ^bằng

A. 1. B. 2 . C. −1. D. −2.

Câu 18. Cho hàm số f x có đạo hàm và liên tục trên 0;1 thỏa mãn

1

0

4 d 1

x f x x f . Giá trị

của

1

0

d

I f x x bằng

A. 0. B. 2. C. 1. D. 2.

Câu 19. Cho hàm số ^{f x}

( )

liên tục trên thỏa

1

0

1 d 10

x f x x và 2f 1 f 0 2. Tính

1

0

d I f x x.

A.I 12. B.I 8. C.I 12. D.I 8.

Câu 20. Biết rằng hàm sốy= f x( ) liên tục trên thỏa

( )

²

( )

0

2 =16;



=4.

f f x dx Tính ¹

( )

0

 2

=



I xf x dx

A.I =13. B.I =12. C.I =20. D.I =7.

Câu 21. Cho hàm số ^{f x}

( )

^{liên tục trên đoạn}

 

^{0;1 thỏa mãn điều kiện}

( )

²

(

¹

)

^{3 2 6 ,}

 

^0;1

f x + f −x = x − x  x . Tính ¹

(

²

)

0

1

I =



f −x dx

A. ⁴

I =15 . B. I =1. C. ²

I = −15. D. ² I =15. Câu 22. Cho hàm số ^{y= f x}

( )

liên tục với mọi x1 thỏa mãn ¹ 3, 1

1

f x x x

x

 +  = + 

 − 

  . Tính

1

( )

2 e

I f x dx

+

=



^.

A. I =4e−1. B. I = +e 2. C. I =4e−2. D. I = +e 3. Câu 23. Cho hàm số ^{y= f x}

( )

liên tục với mọi x0thỏa mãn ^{f x}

( )

^{2f 1 3 ,x x 0}

x

+    =  . Tính

( )

2

1 2

I f x dx

=



x ^. A. 3

I =2. B. 9

I =2. C. 1

I = 2. D. 4

I = 3.

BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM ẨN

Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tập thể các tác giả!

Câu 1. Cho

1 2

0

1 ln 2 ln 3

ln( 2)

2 4

a bc c

x x dx

x

− +

 + +  =

 + 

 



^{,với a b c, ,  . Tính T= + +a b c.}

A. T=13. B. T=15. C. T=17. D. T =11. Lời giải

Chọn A

Phân tích:

Biểu thức trong tích phân có tổng của hàm logarit và hàm phân thức nên ta tách thành 2 tích phân dạng thường gặp. Một là tích phân của hàm đa thức và hàm logarit ta dùng tích phân từng phần, một là tích phân của hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất cơ bản.

Ta có:

1 1 1

1 2

0 0 0

ln( 2) 1 ln( 2)

2 2

I x x dx x x dx x dx I I

x x

 

=



 + + +  =



+ +



+ = +

*Tính

1 1

0

ln( 2) I =



x x+ dx

Đặt ^{ln( 2)} ₂ ²

2 du dx

u x x

dv xdx x

v

 =

= + 

  +

 = 

  =



Khi đó :

1 1

2 2 2

1

0 0

1 2

0

1 1 1 1 4 4

ln( 2) ln 3

0

2 2 2 2 2 2

1 1 4 1 1 1

ln 3 ( 2 ) ln 3 ( 2 4 ln 2 )

2 2 2 2 2 2 0

1 1 1 3 3

ln 3 ( 2 4 ln 3) 2 ln 2 ln 3 2 ln 2

2 2 2 2 4

x x x

I x dx dx

x x

x dx x x x

x

= + − = − − +

+ +

= − − + = − − + +

+

= − − + + = − + +

 



*Tính

1 2

0 2

I x dx

= x



+

1 1 1

2

0 0 0

2 2 2 1

(1 ) ( 2 ln 2 )

0

2 2 2

1 2 ln 3 2 ln 2

x x

I dx dx dx x x

x x x

= = + − = − = − +

+ + +

= − +

  

2

1 2

7 7 4 ln 2 2.7 ln 3 7 4 ln 2 ln 3

2 4 4

I I I − +

= + = − + =

Ta có a=4,b=2,c=7. Vậy T= + + = + + =a b c 4 2 7 13 .

Câu 2. Cho ³

( )

2

0

1 ln 2 ln 5

ln 1 d

1 4

abc b c

I x x x

x

− −

 

=



 + − +  = ^{, với a b c, ,  . Tính T = + +a b c.} A. T=13. B. T=15. C. T=10. D. T =11.

Lời giải

Chọn C

Ta có ³

( )

³ 2 1 2

0 0

ln 1 d d

1

I x x x x x I I

= + − x = −

 

+ ^.

* Tính 1 ³

( )

0

ln 1 d I =



x x+ x^.

Đặt

( )

2

d d

ln 1 1

d d

2 u x

u x x

x v x x

v

 =

= + 

  +

 

 =  =



.

Khi đó : 1 ²

( )

^{3 3 2 3}

0 0

0

1 9 1 1

ln 1 d ln 4 1 d

2 2 1 2 2 1

x x

I x x x x

x x

 

= + −



+ = −



 − + + 

2 3

0

9 1

ln 4 ln 1

2 2 2

x x x

 

= −  − + + 

 

9 1 9 3

ln 4 3 ln 4 4 ln 4

2 2 2 4

 

= −  − + = −

  .

* Tính

3

2 2

0

1d

I x x

= x



+ ^.

Đặt u=x²+ 1 du=2 dx x

Đổi cận: x=  =0 u 1;x=  =3 u 10 Khi đó :

10 10 2

1 1

1 1 1 1

d ln ln10

2 2 2

I u u

=



u = = ^.

Suy ra ³

( )

³ 2 1 2

0 0

ln 1 d d

1

I x x x x x I I

= + − x = −

 

+ ^{3 1} 5.2.3ln 2 2 ln 5 3

4 ln 4 ln10

4 2 4

− −

= − − =

Ta có a=5,b=2,c=3 . Vậy T = + + =a b c 10.

Câu 3. Cho ¹

( )

₂

0

1 ln 2 ln 3

ln 2 d

1 4

ab bc c

I x x x

x

+ −

 

=



 + − +  = ^{, với a b c, ,  . Tính T =abc.} A. T = −18. B. T =16. C. T =18. D. T = −16.

Lời giải Chọn A

- Ta có ¹

( )

2

0

ln 2 1 d

I x x 1 x

x

 

=



 + − +  ¹

( )

²

0

ln 2 d

1

x x x x

x

 

=



 + − + 

¹

( )

¹ ₂

0 0

ln 2 d d

1

x x x x x

= + − x

 

+

- Đặt 1 ¹

( )

0

ln 2 d

I =



x x+ x ^{và 2 1 2}

0

1d

I x x

= x



+ ^.

+ Tính 1 ¹

( )

0

ln 2 d

I =



x x+ x^{. Ta đặt}

( )

²

1 d

ln 2 2

d

2

du x

u x x

dv x x x

v

 =

 = +  +

 = 

  =



, khi đó ta có:

( )

1 1

2 2

1

0 0

ln 2 1 d

2 2 2

x x

I x x

= + − x



+

1

0

1 1 4

ln 3 2 d

2 2 x 2 x

x

 

= −



 − + + 

2 1

0

1 1

ln 3 2 4 ln 2

2 2 2

x x x

 

= −  − + + 

 

¹ln 3 ^{1 1} 2 4 ln 3 4 ln 2

2 2 2

  

= −  − + − 

2 ln 2 ³ln 3 ³

2 4

= − +

+ Tính

1

2 2

0

1d

I x x

= x



+ ¹

(

²

)

2 0

1 1

2 1

d x x

=  +



+ ^{2 1}0

1ln 1

2 x

= + 1

2ln 2

= .

- Khi đó _{1 2} 2 ln 2 ³ln 3 ^{3 1}ln 2

2 4 2

I = − =I I − + −

³ln 2 ³ln 3 ³

2 2 4

= − +

3.2.ln 2 3.2.ln 3 3 4

− +

=

3.2.ln 2 2.

( )

3 .ln 3

( )

3 4

+ − − −

= .

Ta suy ra:

3 2 3 a b c

 =

 =

 = −



. Vậy ^{T =a b c. . =3.2.}

( )

^{− = −3 18.}

Câu 4. Cho ^{f x}

( )

là hàm liên tục và a0. Giả sử rằng với mọi ^x

 

^{0;a , ta có f x}

( )

^{0 và}

( ) ( )

¹

f x f a−x = . Tính

( )

0

1 d

1

a

I x

= f x



+ ^.

A. 3

a . B. 2a. C. ^{aln 1}

(

^+a

)

. D.

2 a .

Lời giải Chọn D

Ta có

0

( )

1 d

1

a

I x

= f x



+

( )

0

1 d

1 1

a

x f a x

=

+ −

 ( ( ) )

0

1d

a f a x

f a x x

= −

− +



^.

Đặt a− =x t thì dx= −dt. Với x=  =a t 0; x=  =0 t a.

Ta được

( ) ( )

0

1d

a

I f t t

= − f t



+

( ) ( )

0

1d

a f x

f x x

=



+ Do đó, ta có

( ) ( )

( )

⁰

0 0 0

2 1 d d d

1 1

a a a

f x a

I x x x x a

f x f x

= + = = =

+ +

  

^{. Vậy I =} ₂^a.

Câu 5. Cho ^{f x}

( )

là hàm liên tục trên

 

^{0 ;1} . Giả sử rằng với mọi ^x

 

^{0 ;1} , ta có ^{f x}

( )

^0và

( ) (

^{. 1}

)

⁴

f x f −x = . Tính

( )

1

02 dx + f x



^.

A. 1. B. 2. C. 1

2. D. 1

4. Lời giải

Chọn D

Ta có

( ) ( )

( )

( )

1 1

0 0

1 .

2 2 2 1

f x

I dx dx

f x f x

= = −

+ + −

 

Đặt t= −  = −1 x dt dx, đổi cận : x=  =0 t 1; x=  =1 t 0.

( ) ( )

( ) ( ( ) ( ) )

0 1

1 2 2 0 2 2

f t f x

I dt dx

f t f x

= − =

+ +

 

^.

( ) ( )

( ( ) )

1 1

0 0

1 1

2 2 2 2 2 4

dx f x

I dx I

f x f x

 = + =  =

+ +

 

^.

Câu 6. Cho hàm số ^{f x}

( )

liên tục trên và ^3f

( )

^{− −x 2f x}

( )

^{=tan2x. Tính 4}

( )

4

d f x x



−



^.

A. 1 2

− . B. 1 2

 ₋

. C. 1

4

+ . D. 2 2

− .

Lời giải Chọn D

Theo đề bài, ta có ^3f

( )

^{− −x 2f x}

( )

^=tan2x

( )

¹

Thay x bởi −x ta được: ^{3f x}

( )

^−2f

( )

^{− =x tan2}

( )

^{− =x tan2x}

( )

²

Từ

( )

^{1 và}

( )

^{2 suy ra: f x}

( )

^=tan2x.

4

( )

4 4

2 2

0

4 4

d tan d 2 tan d

I f x x x x x x

  

 

− −

=



=



=



⁴

(

²

)

⁴ 2

0 0

2 1 tan 1 d 2 1 1 d

x x cos x

x

 

 

=



 + −  =



 − 

 

( )

2 tan 4 2

0 2 x x

= − = −

 

.

Câu 7. Biết

1 3 3

0

2 . .2 1 1

.2 ln .ln

x x

x

x e x e

dx p

e m e n e . Với m n p, , là các số nguyên dương .

Tính tổng S m n p

A. 7. B. 6. C. 8. D. 5.

Lời giải Chọn A

Ta có:

1 3 3 1 41 1

3

0

0 0 0

2 . .2 2 1 .2

.2 .2 4 e ln 2 .2

x x x x

x x x

d e

x e x x

dx x dx

e e e

1 0

1 1 1 1 2 1 1

ln .2 .ln .ln 1 .

4 e ln 2 4 e ln 2 4 e ln 2

x e e

e e e

Vậy

4

2 7

1 m

n m n p

p

.

Câu 8. Cho hàm số f x liên tục và có đạo hàm cấp hai trên 0;1 thỏa

1 2 0

. 12

x f x dx và

2f 1 f 1 2. Tính

1

0

f x dx

A. 10. B. 14 . C. 8. D. 5.

Lời giải Chọn D

Đặt

2 du 2xdx

u x

v f x

dv f x dx . Khi đó

1 2 1

0 0

. 2 .

I x f x x f x dx.

Đặt ^{u 2x du 2dx}

dv f x dx v f x . Suy ra

1 1

1 0

0 0

2 .x f x dx 2 .x f x 2f x dx

Do đó

1 1

0 0

12 f 1 2f 1 2 f x dx f x dx 5

Câu 9. Cho hàm số 𝑓(𝑥) thỏa mãn ∫ 𝑥𝑓₀^{3 ′}(𝑥)𝑒^𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 8 và 𝑓(3) = ln 3. Tính ∫ 𝑒₀^{3 𝑓(𝑥)}𝑑𝑥

A. 1. B. 11. C. 8 − ln3. D. 8 + ln3.

Lời giải Chọn A

Áp dụng phương pháp tính tích phân từng phần.

Từ giả thiết đề cho, Đặt { 𝑢 = 𝑥

𝑑𝑣 = 𝑓^′(𝑥)𝑒^𝑓(𝑥)𝑑𝑥 => {𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑣 = 𝑒^𝑓(𝑥)𝑑𝑥 Khi đó:

𝐼 = 𝑥𝑒^𝑓(𝑥)|₀³− ∫ 𝑒^𝑓(𝑥)𝑑𝑥

3 0

=> 8 = 3𝑒^𝑓(3)− ∫ 𝑒^𝑓(𝑥)𝑑𝑥

3 0

Suy ra ∫ 𝑒₀^{3 𝑓(𝑥)}𝑑𝑥= 9 − 8 = 1

Câu 10. Cho hàm số ^{f x}

( )

liên tục trên và thỏa mãn ^f

( )

^{− +x 2018f x}

( )

^{=xsin .x Tính}

2

( )

2

I f x dx



−

=



A. ²

2019. B. ¹

2019 . C. ¹

1009. D. ¹

2018. Lời giải

Chọn A

Đặt t= − x dt= −dx

2 2

x − t 

 =  = ;

2 2

x  t −

 =  =

( ) ( )

2 2

2 2

I f t dt f x dx

 

 

−

−

= −



− =



−

Suy ra ²

( )

²

( )

²

2 2 2

2019.I f x dx 2018. f x dx xsinxdx 2

  

  

− − −

=



− +



=



=

2 I 2019

 =

Câu 11. Cho hàm số ^{f x}

( )

xác định trên khoảng

(

^0;+

)  

^{\ e thỏa mãn f}

( )

^{x = x}

(

^ln1x−1

)

^,

2

1 ln 6 f e

  =

 

  và ^{f e}

( )

^{2 =3}. Giá trị của biểu thức ^{f 1 f e}

( )

³

  +e

   bằng

A. ^{3 ln 2 1}

(

⁺

)

^{. B.} 2 ln 2. C. 3ln 2 1+ . D. ln 2 3+ . Lời giải

Chọn A

Ta có:

( ) ( ) (

¹

) (

^{ln 1}

)

ln ln 1

ln 1 ln 1

d x

f x f x dx dx x C

x x x

 −

= = = = − +

− −

  

^{với x}

(

^0;+

)  

^{\ e .}

• Trường hợp 1: lnx−  1 0 lnx  1 x e

( )

ln ln

(

1

)

1

f x x C

 = − + , f e

( )

² = 3 C1=3^{ f x}

( )

^{=ln ln}

(

^{x− +1}

)

^3.

( ) (

^{3 ln ln 3 1}

)

^{3 3 ln 2}

f e = e − + = + .

• Trường hợp 2: lnx−  1 0 lnx   1 0 x e

( )

ln 1 ln

( )

2

f x x C

 = − + , 1_{2 2 2}

ln 6 ln 3 ln 6 ln 6 ln 3 ln 2

f C C

e

  =  + =  = − =

 

  .

1 1

ln 1 ln ln 2 2 ln 2

f e e

 =  − + =

   

    .

Vậy f ¹ f e

( )

² 2 ln 2 3 ln 2 3 ln 2 1

( )

  +e = + + = +

   .

Câu 12. Cho hàm số ^y= ^{f x}

( )

=^ax3+^bx2+^cx+^d có đạo hàm là hàm số với đồ thị như hình vẽ bên.

Biết rằng đồ thị hàm số ^{y= f x}

( )

tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ âm. Khi đó đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm tại điểm có tung độ là

A. −4. B. 1. C. 2 . D. 4 .

Lời giải Chọn A

Ta có ^f

( )

^{x =ax x}

(

⁺²

)

^mà

( )

^{1 3 3}

( )

^{3 2 6}

( ) ( )

^{3 3 2}

f − = −  = a f x = x + x f x =



f x dx=x + x +C^. Gọi x₀ là hoành độ tiếp điểm

(

x0 0

)

suy ra

( )

( )

^{0 0}

( )

^{3 2}

0

0 2

3 4

0 4

f x x

f x x x

f x C

 =  = −

   = + −

  =  = −

 .

Vậy đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ là −4.

Câu 13 Cho ^{y= f x}

( )

là hàm số chẵn, liên tục trên . Biết đồ thị hàm số ^{y= f x}

( )

đi qua điểm 1; 4

M−2  và

( )

1 2

0

3 f t dt=



^{. Tính 0}

( )

6

sin 2 .x f sinx dx

−





A. I =10 . B. I = −2 . C. I =1. D. I = −1. Lời giải

Chọn B

Đặt sinx=t; đổi cận ¹; 0 0

6 2

x  t x t

= −  = − =  =

( ) ( )

0 0

1

6 2

sin 2 . sin 2 .

I x f x dx t f t dt

− −

 

=



=



^.

Đặt

( ) ( )

2t u 2dt du

f t dt dv f t v

= =

 

 

  =  =

 

 

( ( ) )

^{01 0}

( )

2 1 2

2 . | 2

I t f t f t dt

−

−

= −



( )

y= f x là hàm số chẵn:

( ) ( )

1

0 2

1 0

2

2f t dt 2f t dt 2.3 6

−

= = =

 

Đồ thị hàm số ^{y= f x}

( )

đi qua điểm 1 2; 4

M− : 1 2 4 f − =

( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( )

1 2

0 0

1 1

2 0 2

1 1

2 . | 2 2 . | 3 2.0. 0 2. . 6 4 6 2

2 2

I t f t f t dt t f t f f

− −

 − − 

= −



= − = −  − = − = −

Câu 14. Cho hàm số ^{f x}

( )

^{thỏa mãn 2}

( ) ( )

1

.ln 1

f x f x dx=



^{và f}

( )

^{1 =1, f}

( )

^{2 1}. Giá trị của ^f

( )

²

bằng

A. ^f

( )

² =². B. ^f

( )

² =³. C. ^f

( )

² =^e. D. ^f

( )

² =^e2. Lời giải

Chọn C

Đặt

( )

( )

ln

u f x

dv f x dx

 =  

  

 = 



( ) ( ) ( )

f x

du dx

f x v f x

 

 =

  =

.

Khi đó, ²

( ) ( ) ( ) ( )

^{2 2}

( )

1

1 1

.ln .ln

f x f x dx= f x f x  − f x dx

 

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 f 2 .ln f 2 f 1 .ln f 1 f 2 f 1

 =  −    − − 

( )^{1 1}

( )

^{2 .ln}

( )

²

( )

²

f

f f f

=  =

( )^{2 1ln}

( )

^{2 1}

f

f

  =  ^f

( )

² =^e.

Câu 15. Cho hàm số ^{f x}

( )

^{thỏa mãn 2}

( )

0

d 3

f x x=



^{và f}

( )

^{2 =2. Tính 4}

( )

0

d f x x



A. I 2. B. I 3. C. I 5. D. I 1.

Lời giải Chọn A

Xét tích phân ⁴

( )

0

d f x x



^.

Đặt x =  = t x t² dx=2 ttd .

Đổi cận: Khi x=  =4 t 2; Khi x=0 thì t=0.

Khi đó ⁴

( )

²

( )

0 0

d 2 d

I =



f x x=



tf t t^.

Đặt

( ) ( )

2 2

dt=dv

u t du dt

f t f t v

= =

 

 

   =

 

  . Ta có ⁴

( )

²

( ) ( )

²0 ²

( )

0 0 0

d 2 d 2 2 d

I =



f x x=



tf t t= tf t −



f t t

2

0

4f 2 2 f x dx 4.2 2.3 2.

Câu 16. Cho hàm số ^{y= f x}

( )

liên tục trên và thỏa ^f

(

^4−x

)

^{= f x}

( )

^{. Biết 3}

( )

1

d 5

xf x x=



^.

Tính ³

( )

1

d f x x



^.

A. 5

2 . B. 7

2 . C. 9

2. D. 11

2 . Lời giải

Chọn A

Ta có ³

( )

³

( )

1 1

5=



xf x xd =



xf 4−x xd . Đặt

4

d dt

4 1; 3

3; 1

x t

t x x

x t

x t

.

Do đó ³

( )

¹

( ) ( )

³

( ) ( )

³

( )

³

( )

1 3 1 1 1

4 d 4 d 4 d 4 d d

xf −x x= − −t f t x= −t f t x= f t t− tf t t

    

Suy ra ³

( )

³

( )

³

( )

1 1 1

5 4 d 5 4 d 10 d 5

f t t f t t f t t 2

=



− 



= 



= ^{hay 3}

( )

1

d 5 f x x=2



^.

Câu 17. Cho hàm số ^{f x}

( )

có đạo hàm và liên tục trên

 

^0;1 và thỏa mãn ¹

( ) ( )

0

2 d 1

x f  x −  x= f



^{. Giá}

trị của ¹

( )

0

d

I =



f x x ^bằng

A. 1. B. 2 . C. −1. D. −2.

Lời giải Chọn C

Đặt ^d

( )

^{2 d}

u x

v f x x

 =

 =  − 

  

 ta có

( )

d d

2

u x

v f x x

 =

 = −

 .

Khi đó

( )

¹

( ) ( )

¹₀ ¹

( ) ( )

0 0

1 2 d 2 2 d 1 2 1

f =



x f  x −  x=x f x − x −



f x − x x= f − − +I ^. Suy ra I = −1.

Câu 18. Cho hàm số f x có đạo hàm và liên tục trên 0;1 thỏa mãn

1

0

4 d 1

x f x x f . Giá trị

của

1

0

d

I f x x bằng

A. 0. B. 2. C. 1. D. 2.

Lời giải Chọn B

Đặt ^{d d}

4

d 4 d

u x u x

v f x x

v f x x

Khi đó

( )

¹

( ) ( )

¹₀ ¹

( ) ( )

0 0

1 4 d 4 4 d 1 4 2

f =



x f  x −  x=x f x − x −



f x − x x= f − − +I ^. Suy ra I 2.

Câu 19. Cho hàm số ^{f x}

( )

liên tục trên thỏa

1

0

1 d 10

x f x x và 2f 1 f 0 2. Tính

1

0

d I f x x.

A.I 12. B.I 8. C.I 12. D.I 8.

Lời giải Chọn D

Đặt 1 d

d

u x du x

dv f x x v f x ^. Khi đó

1 1 1

0 0 0

1 d 10 1 d 10

x f x x x f x f x x 2f 1 f 0 I 10.

Suy ra I 8.

Câu 20. Biết rằng hàm sốy= f x( ) liên tục trên thỏa

( )

²

( )

0

2 =16;



=4.

f f x dx Tính ¹

( )

0

 2

=



I xf x dx

A.I =13. B.I =12. C.I =20. D.I =7. Lời giải

Chọn D

Đặt

( )

^{2 1}

( )

²

2

 =

 = 

 =   =

 

du dx u x

dv f x dx v f x

Ta có: ¹

( ) ( )

^{1 1}

( )

0 0 0

1 1 1

2 2 2 8

2 2 2

=



 = −



= −

I xf x dx xf x f x dx A với ¹

( )

0

=



2

A f x dx.

Đặt ¹

( )

²

( )

²

( )

0 0 0

1 1

2 2d 2 2.

2 2

=  =  =



=



=



=

t x dt x A f x dx f t dt f x dx

Vậy 8 ¹ 7.

= −2 =

I A

Câu 21. Cho hàm số ^{f x}

( )

liên tục trên đoạn

 

^{0;1 thỏa mãn điều kiện}

( ) ( )   

¹

( )

A. ⁴

I =15 . B. I =1. C. ²

I = −15. D. ² I =15. Lời giải

Chọn C

Đặt ^{t= −  1 x, x}

 

^{0;1  t}

 

^{0;1 .}

Ta có ^{f x}

( )

^+2f

(

^1−x

)

^{=3x2−6x f x}

( )

^+2f

(

^1−x

) (

^{=3 1−x}

)

²⁻³

(

¹

)

²

( )

^{3 2 3 2}

( ) (

¹

)

^{3 2 3}

f t f t t f x f x x

 − + = −  + − = −

Ta có hệ phương trình

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

2 2

2 1 3 6 2 1 3 6

2 1 3 3 4 2 1 6 6

3 3 6 6 2 2

f x f x x x f x f x x x

f x f x x f x f x x

f x x x f x x x

 + − = −  + − = −

 

 

+ − = − + − = −

 

 

 = + −  = + −

Khi đó ^f

(

^1−x2

) (

^{= −1 x2}

) (

^{2+2 1−x2}

)

^{− =2 x4−4x2+1}

Suy ra ¹

(

²

)

¹

(

^{4 2}

)

0 0

1 4 1 2

I =



f −x dx=



x − x + dx= −15^.

Câu 22. Cho hàm số ^{y= f x}

( )

liên tục với mọi x1 thỏa mãn ¹ 3, 1 1

f x x x

x

 +  = + 

 − 

  . Tính

1

( )

2 e

I f x dx

+

=



^.

A. I =4e−1. B. I = +e 2. C. I =4e−2. D. I = +e 3. Lời giải

Chọn C

Đặt 1 1

1 1 1

x t

t xt t x x

x t

+ +

=  − = +  =

− − , suy ra

( )

^{1 3 4 2}

1 1

f t t

t t

= + + = +

− − hay

( )

^{4 2}

f x 1

= +x

−

Ta có ¹

( )

₂¹

2

4 2 4 2 ln 1 4 2

1

e e

I dx x x e

x

+   +

=



 + −  = + − = − ^.

Câu 23. Cho hàm số ^{y= f x}

( )

liên tục với mọi x0thỏa mãn ^{f x}

( )

^{2f 1 3 ,x x 0}

x

+    =  . Tính

( )

2

1 2

I f x dx

=



x ^. A. 3

I =2. B. 9

I =2. C. 1

I = 2. D. 4

I = 3. Lời giải

Chọn A

( )

^{2 1 3 , 0 1}

( )

f x f x x

x

+   = 

  .

Nên ^{f 1 2f x}

( )

^{3,x 0 2}

( )

x x

  + = 

   .

( ) ( )

^{1 , 2 3 f x}

( )

^{f 1 3}

x x

  

  +   =

( )

^{1 1}

( )

³

f x f x

x x

 +    = + .

( ) ( )

^{2 , 3 f x}

( )

^{x 2}

 = − +x.

( )

2 2

1 1 2

2 2

2 2 2 3

1 1

2 2

I f x dx dx x

x x x

   

 =



=



− +  = − −  =