§1 – NGUYÊN HÀM 1
| Dạng 1.1: Sử dụng nguyên hàm cơ bản
. . . .1
| Dạng 1.2: Nguyên hàm có điều kiện
. . . .6
| Dạng 1.3: Phương pháp đổi biến số
. . . .10
| Dạng 1.4: Phương pháp từng phần
. . . .14
NGUYÊN HÀM NGUYÊN HÀM
1
Ch ủ đề
p Dạng 1.1. Sử dụng nguyên hàm cơ bản 1
Z
dx = x + C 2
Z
kdx = kx + C 3
Z
x
ndx = x
n+1n + 1 + C 4
Z
(ax + b)
ndx = 1 a
(ax + b)
n+1n + 1 + C 5
Z dx x
2= − 1
x + C 6
Z dx
(ax + b)
2= − 1 a . 1
ax + b + C 7
Z dx
x = ln |x| + C 8
Z dx
ax + b = 1
a ln |ax + b| + C 9
Z
e
xdx = e
x+ C 10
Z
e
ax+bdx = 1
a e
ax+b+ C 11
Z
a
xdx = a
xln a + C 12
Z
a
αx+βdx = 1 α
a
αx+βln a + C 13
Z
cos xdx = sin x + C 14
Z
cos(ax + b)dx = 1
a sin(ax + b) + C 15
Z
sin xdx = − cos x + C 16 Z
sin(ax+b)dx = − 1
a cos(ax+b)+ C 17
Z dx
cos
2x = tan x + C 18
Z dx
cos
2(ax + b) = 1
a tan(ax + b) + C 19
Z dx
sin
2x = − cot x + C 20
Z dx
sin
2(ax + b) = − 1
a cot(ax +b) + C 21
Z
tan xdx = − ln |cos x| + C 22 Z
tan(ax + b)dx = − 1
a ln |cos x| + C 23
Z
cot xdx = ln |sin x| + C 24 Z
cot(ax + b)dx = 1
a ln |sin x| + C 25
Z 1
x
2− a
2dx = 1 2a ln
x − a x + a
+ C 26
Z 1
x
2+ a
2dx = 1
a arctan x a + C
Câu 1. Họ các nguyên hàm của hàm số f(x) = 5x
4− 6x
2+ 1 là
A. 20x
3− 12x + C. B. x
5− 2x
3+ x + C.
C. 20x
5− 12x
3+ x + C. D. x
44 + 2x
2− 2x + C.
| Lời giải.
. . . .
Câu 2. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x
3+ x
2là A. x
44 + x
33 + C. B. x
4+ x
3. C. 3x
2+ 2x. D. 1
4 x
4+ 1 4 x
3.
| Lời giải.
. . . . . . . .
Câu 3. Nguyên hàm của hàm số f(x) = 4x
3+ x − 1 là:
A. x
4+ x
2+ x + C. B. 12x
2+ 1 + C. C. x
4+ 1
2 x
2− x + C. D. x
4− 1
2 x
2− x + C.
| Lời giải.
. . . .
♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa
. . . . . . . .
Câu 4. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x
2− 1 là A. x
3+ C. B. x
33 + x + C. C. 6x + C. D. x
3− x + C.
| Lời giải.
. . . .
Câu 5. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x
2+ 3 là A. x
33 + 3x + C. B. x
3+ 3x + C. C. x
32 + 3x + C. D. x
2+ 3 + C.
| Lời giải.
. . . . . . . .
Câu 6. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x (1 + 3x
3) là A. x
2Å 1 + 3
2 x
2ã
+ C. B. x
2Å
1 + 6x
35
ã
+ C. C. 2x Å
x + 3 4 x
4ã
+ C. D. x
2Å
x + 3 4 x
3ã + C.
| Lời giải.
. . . . . . . .
Câu 7. Tìm họ nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 1 5x + 4 . A. F (x) = 1
ln 5 ln |5x + 4| + C. B. F (x) = ln |5x + 4| + C.
C. F (x) = 1
5 ln |5x + 4| + C. D. F (x) = 1
5 ln(5x + 4) + C.
| Lời giải.
. . . . . . . .
Câu 8. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = e
x+ x là
A. e
x+ x
2+ C. B. e
x+ 1
2 x
2+ C.
C. 1
x + 1 e
x+ 1
2 x
2+ C. D. e
x+ 1 + C.
| Lời giải.
. . . .
Câu 9. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x + sin x là A. x
2+ cos x + C. B. x
2− cos x + C. C. x
22 − cos x + C. D. x
22 + cos x + C.
| Lời giải.
. . . . . . . .
Câu 10. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x
2+ cos x là A. 2x − sin x + C. B. 1
3 x
3+ sin x + C. C. 1
3 x
3− sin x + C. D. x
3+ sin x + C.
| Lời giải.
. . . .
Câu 11. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = e
2x. A.
Z
e
2xdx = 2e
2x+ C. B.
Z
e
2xdx = e
2x+ C.
C.
Z
e
2xdx = e
2x+12x + 1 + C. D.
Z
e
2xdx = 1
2 e
2x+ C.
| Lời giải.
. . . .
Câu 12. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 5
2x? A.
Z
5
2xdx = 2.5
2xln 5 + C. B.
Z
5
2xdx = 2. 5
2xln 5 + C.
C.
Z
5
2xdx = 25
x2 ln 5 + C. D.
Z
5
2xdx = 25
x+1x + 1 + C.
| Lời giải.
. . . . . . . .
Câu 13. Tìm họ nguyên hàm của hàm số y = x
2− 3
x+ 1 x . A. x
33 − 3
xln 3 − 1
x
2+ C, C ∈ R . B. x
33 − 3
x+ 1
x
2+ C, C ∈ R . C. x
33 − 3
xln 3 − ln |x| + C, C ∈ R . D. x
33 − 3
xln 3 + ln |x| + C, C ∈ R .
| Lời giải.
. . . . . . . .
Câu 14. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 2 4x − 3 . A.
Z 2
4x − 3 dx = 1
4 ln |4x − 3| + C. B.
Z 2
4x − 3 dx = 2 ln
2x − 3 2
+ C.
C.
Z 2
4x − 3 dx = 1 2 ln
2x − 3 2
+ C. D.
Z 2
4x − 3 dx = 1 2 ln
Å
2x − 3 2
ã + C.
| Lời giải.
. . . . . . . .
Câu 15. Hàm số F (x) = e
x2là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?
A. f (x) = 2xe
x2. B. f (x) = x
2e
x2. C. f (x) = e
x2. D. f (x) = e
x22x .
| Lời giải.
. . . .
Câu 16. Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = 3
−x. A. 3
−xln 3 + C. B. − 3
−xln 3 + C. C. −3
−x+ C. D. −3
−xln 3 + C.
| Lời giải.
. . . . . . . .
Câu 17. Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = sin 5x.
A. 1
5 cos 5x + C. B. cos 5x + C. C. − cos 5x + C. D. − 1
5 cos 5x + C.
| Lời giải.
. . . .
Câu 18. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x
2+ sin x là
A. x
3+ cos x + C. B. 6x + cos x + C. C. x
3− cos x + C. D. 6x − cos x + C.
| Lời giải.
. . . . . . . .
Câu 19. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x + 1 là
A. F (x) = 2x
2+ x. B. F (x) = 2.
C. F (x) = C. D. F (x) = x
2+ x + C.
| Lời giải.
. . . . . . . .
Câu 20. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = e
x+ x là
A. e
x+ x
2+ C. B. e
x+ 1
2 x
2+ C.
C. 1
x + 1 e
x+ 1
2 x
2+ C. D. e
x+ 1 + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . .
Câu 21. Hàm số F (x) nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số y = √
3x + 1?
A. F (x) = 3
4 (x + 1)
43+ C. B. F (x) = 4 3
p
3(x + 1)
4+ C.
C. F (x) = 3
4 (x + 1) √
3x + 1 + C. D. F (x) = 3
4 p
4(x + 1)
3+ C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 22. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x
2− x + 1 x − 1 . A. x + 1
x − 1 + C. B. x + 1
(x − 1)
2+ C.
C. x
22 + ln |x − 1| + C. D. x
2+ ln |x − 1| + C.
| Lời giải.
. . . . . . . .
Câu 23. Tìm tất cả nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x
2+ x
2 .
A.
Z
f(x) dx = x
33 + x
24 + C. B.
Z
f(x) dx = x
3+ x
22 + C.
C.
Z
f(x) dx = x
3+ x
24 + C. D.
Z
f(x) dx = x
3+ x
24 .
| Lời giải.
. . . . . . . .
Câu 24. Nguyên hàm của hàm số y = e
−3x+1là A. 1
3 e
−3x+1+ C. B. −3e
−3x+1+ C. C. − 1
3 e
−3x+1+ C. D. 3e
−3x+1+ C.
| Lời giải.
. . . .
Câu 25. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = cos x 2 . A. F (x) = 2 sin x
2 + C. B. F (x) = 1
2 sin x 2 + C.
C. F (x) = −2 sin x
2 + C. D. F (x) = − 1
2 sin x 2 + C.
| Lời giải.
. . . .
Câu 26. Tìm nguyên hàm của hàm số y = 12
12x. A.
Z
12
12xdx = 12
12x−1· ln 12 + C. B.
Z
12
12xdx = 12
12x· ln 12 + C.
C.
Z
12
12xdx = 12
12xln 12 + C. D.
Z
12
12xdx = 12
12x−1ln 12 + C.
| Lời giải.
. . . . . . . .
Câu 27. Họ nguyên hàm
Z x
3− 2x
2+ 5
x
2dx bằng A. x
22 − 2x − 5
x + C. B. −2x + 5
x + C. C. x
2− 2x − 5
x + C. D. x
2− x − 5 x + C.
| Lời giải.
. . . . . . . .
Câu 28. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 1 2 √
2x + 1 . A.
Z
f(x) dx = √
2x + 1 + C. B.
Z
f(x) dx = 2 √
2x + 1 + C.
C.
Z
f(x) dx = 1 (2x + 1) √
2x + 1 + C. D.
Z
f(x) dx = 1 2
√ 2x + 1 + C.
| Lời giải.
. . . . . . . .
Câu 29. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = sin 3x là A. 3 cos 3x + C. B. 1
3 cos 3x + C. C. − 1
3 cos 3x + C. D. −3 cos 3x + C.
| Lời giải.
. . . . . . . .
Câu 30. Tính I =
Z dx
cos
2x được kết quả
A. − cot x + C. B. tan x + C. C. − tan x + C. D. cot x + C.
| Lời giải.
. . . .
Câu 31. Tìm F (x) =
Z 6x + 2 3x − 1 dx.
A. F (x) = 2x + 4
3 ln |3x − 1| + C. B. F (x) = 2x + 4 ln |3x − 1| + C.
C. F (x) = 4
3 ln |3x − 1| + C. D. F (x) = 2x + 4 ln(3x − 1) + C.
| Lời giải.
. . . . . . . .
Câu 32. Tính nguyên hàm I =
Z
(2
x+ 3
x) dx.
A. I = 2
xln 2 + 3
xln 3 + C. B. I = ln 2
2
x+ ln 3 3
x+ C.
C. I = ln 2
2 + ln 3
3 + C. D. I = − ln 2
2 − ln 3 3 + C.
| Lời giải.
. . . .
Câu 33. Tìm H =
Z
√
42x − 1 dx.
A. H = 2
5 (2x − 1)
54+ C. B. H = (2x − 1)
54+ C.
C. H = 1
5 (2x − 1)
54+ C. D. H = 8
5 (2x − 1)
54+ C.
| Lời giải.
. . . . . . . .
Câu 34. Hàm số F (x) = 1
4 ln
4x +C là nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số dưới đây?
A. f (x) = ln
3x
x . B. f(x) = 1
x ln
3x . C. f(x) = x
ln
3x . D. f (x) = x ln
3x 3 .
| Lời giải.
. . . .
Câu 35. Tìm
Z Å
√
3x
2+ 4 x
ã dx A. 3
5
√
3x
5+ 4 ln |x| + C. B. 3
5
√
3x
5− 4 ln |x| + C.
C. − 3 5
√
3x
5+ 4 ln |x| + C. D. 5
3
√
3x
5+ 4 ln |x| + C.
| Lời giải.
. . . . . . . .
Câu 36. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x + sin x là
A. 1 + cos x + C. B. x
22 − cos x + C. C. x
22 + cos x + C. D. x
2− cos x + C.
| Lời giải.
. . . . . . . .
Câu 37. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 1 x
2là A. − 1
x + C. B. x
3+ C. C. − 1
3x
2. D. 1
x + C.
| Lời giải.
. . . .
Câu 38. Hàm số F (x) = 2 sin x − 3 cos x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
A. f(x) = −2 cos x − 3 sin x . B. f(x) = −2 cos x + 3 sin x . C. f(x) = 2 cos x + 3 sin x . D. f(x) = 2 cos x − 3 sin x .
| Lời giải.
. . . .
Câu 39. Một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 3
x− 2x là A. F (x) = 3
xln 3 − x
2− 1. B. F (x) = 3
xln 3 − 2.
C. F (x) = 3
xln 3 − x
22 . D. F (x) = 3
xln 3 − x
2.
| Lời giải.
. . . .
Câu 40. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x
2+ sin x là
A. x
3+ cos x + C. B. x
3+ sin x + C. C. x
3− cos x + C. D. x
3− sin x + C.
| Lời giải.
. . . .
Câu 41. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = sin 5x + 2 là A. 5 cos 5x + C. B. − 1
5 cos 5x + 2x + C.
C. 1
5 cos 5x + 2x + C. D. cos 5x + 2x + C.
| Lời giải.
. . . . . . . .
Câu 42. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x
2+ x − 1 x
2. A.
Z 2x
2+ x − 1
x
2dx = 2 + 1 x − 1
x
2+ C. B.
Z 2x
2+ x − 1
x
2dx = 2x + 1
x + ln |x| + C.
C.
Z 2x
2+ x − 1
x
2dx = x
2+ ln |x| + 1
x + C. D.
Z 2x
2+ x − 1
x
2dx = x
2− 1
x + ln |x| + C.
| Lời giải.
. . . . . . . .
Câu 43. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 10
x. A.
Z
10
xdx = 10
xln 10 + C. B.
Z
10
xdx = 10
xln 10 + C.
C.
Z
10
xdx = 10
x+1+ C. D.
Z
10
xdx = 10
x+1x + 1 + C.
| Lời giải.
. . . .
Câu 44. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = e
x+ 2 sin x.
A.
Z
(e
x+ 2 sin x) dx = e
x− cos
2x + C. B.
Z
(e
x+ 2 sin x) dx = e
x+ sin
2x + C.
C.
Z
(e
x+ 2 sin x) dx = e
x− 2 cos x + C. D.
Z
(e
x+ 2 sin x) dx = e
x+ 2 cos x + C.
| Lời giải.
. . . .
Câu 45. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = x
2− 2
x. A.
Z
f(x) dx = x
33 + 2
xln 2 + C. B.
Z
f(x) dx = 2x − 2
xln 2 + C.
C.
Z
f(x) dx = x
33 − 2
xln 2 + C. D.
Z
f(x) dx = 2x − 2
xln 2 + C.
| Lời giải.
. . . . . . . .
Câu 46. Hàm số F (x) = e
x2là nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
A. f (x) = x
2e
x2+ 3. B. f(x) = 2x
2e
x2+ C. C. f(x) = 2xe
x2. D. f (x) = xe
x2.
| Lời giải.
. . . . . . . .
Câu 47. Họ nguyên hàm của f(x) = 2x
4+ 3 x
2là A. 2x
33 − 3 ln |x| + C. B. 2x
33 + 3 ln x + C. C. 2x
33 − 3
x + C. D. 2x
33 + 3
x + C.
| Lời giải.
. . . . . . . .
Câu 48. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x + sin 2x.
A. x
2− 1
2 cos 2x + C. B. x
2+ 1
2 cos 2x + C. C. x
2− 2 cos 2x + C. D. x
2+ 2 cos 2x + C.
| Lời giải.
. . . .
Câu 49. Họ nguyên hàm của hàm số y = x
2− 3x + 1 x là A. F (x) = x
33 − 3
2 x
2+ ln x + C. B. F (x) = x
33 − 3
2 x
2+ ln |x| + C.
C. F (x) = x
33 + 3
2 x
2+ ln x + C. D. F (x) = 2x − 3 − 1 x + C.
| Lời giải.
. . . . . . . .
Câu 50. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 3
x+ 1 x
2. A.
Z
f(x) dx = 3
x+ 1
x + C. B.
Z
f(x) dx = 3
xln 3 + 1
x + C.
C.
Z
f(x) dx = 3
x− 1
x + C. D.
Z
f(x) dx = 3
xln 3 − 1
x + C.
| Lời giải.
. . . . . . . .
p Dạng 1.2. Nguyên hàm có điều kiện
Z
f (x)d x thỏa mãn F (x
0) = k.
Bước 1: Tìm nguyên hàm F (x) = G(x) + C (*)
Bước 2: Từ F (x
0) = k, tìm được C.
Bước 2: Thay C vào (*) và kết luận.
Câu 1. Cho hàm số f(x) = 2x + e
x. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) thỏa mãn F (0) = 2019.
A. F (x) = e
x− 2020. B. F (x) = x
2+ e
x− 2019.
C. F (x) = x
2+ e
x+ 2017. D. F (x) = x
2+ e
x+ 2018.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 2. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = e
2xvà F (0) = 201
2 . Giá trị F Å 1
2 ã
là A. 1
2 e + 200. B. 2e + 200. C. 1
2 e + 50. D. 1
2 e + 100.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 3. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) · g(x) biết F (1) = 3, biết
Z
f (x)dx = x + 2018 và
Z
g(x)dx = x
2+ 2019.
A. F (x) = x
3+ 1. B. F (x) = x
3+ 3. C. F (x) = x
2+ 2. D. F (x) = x
2+ 3.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
Câu 4. Cho F (x) là một nguyên hàm của f (x) = 1
x − 1 trên khoảng (1; +∞) thỏa mãn F (e + 1) = 4 . Tìm F (x) .
A. F (x) = 2 ln(x − 1) + 2. B. F (x) = ln(x − 1) + 3.
C. F (x) = 4 ln(x − 1). D. F (x) = ln(x − 1) − 3.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 5. Cho F (x) là nguyên hàm của f (x) = 1
√ x + 2 thỏa mãn F (2) = 4. Giá trị F (−1) bằng A. √
3. B. 1. C. 2 √
3. D. 2.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 6. Tìm hàm số F (x) biết F (x) =
Z x
3x
4+ 1 dx và F (0) = 1.
A. F (x) = ln(x
4+ 1) + 1. B. F (x) = 1
4 ln(x
4+ 1) + 3 4 . C. F (x) = 1
4 ln(x
4+ 1) + 1. D. F (x) = 4 ln(x
4+ 1) + 1.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 7. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm f(x) = sin 2x và F π 4
= 1. Tính F π 6
. A. F
π 6
= 5
4 . B. F
π 6
= 0. C. F
π 6
= 3
4 . D. F
π 6
= 1 2 .
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 8. Cho hàm số F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = cos 3x và F π 2
= 14 3 thì A. F (x) = 1
3 sin 3x + 13
3 . B. F (x) = − 1
3 sin 3x + 5.
C. F (x) = 1
3 sin 3x + 5. D. F (x) = − 1
3 sin 3x + 13 3 .
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . .
Câu 9. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = sin x và đồ thị hàm số y = F (x) đi qua điểm M (0; 1). Tính F
π 2
. A. F π
2
= 0. B. F π
2
= 1. C. F π
2
= 2. D. F π
2
= −1.
| Lời giải.
. . . . . . . .
Câu 10. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x
2+ 8 sin x và thỏa mãn F (0) = 2010.
Tìm F (x).
A. F (x) = 6x − 8 cos x + 2018. B. F (x) = 6x + 8 cos x.
C. F (x) = x
3− 8 cos x + 2018. D. F (x) = x
3− 8 cos x + 2019.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 11. Tính nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = e
2x, biết F (0) = 1.
A. F (x) = e
2x. B. F (x) = e
2x− 1. C. F (x) = e
x. D. F (x) = e
2x2 + 1
2 .
| Lời giải.
. . . . . . . .
Câu 12. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 1
x − 1 và F (2) = 1. Tính F (3).
A. F (3) = ln 2 − 1. B. F (3) = ln 2 + 1. C. F (3) = 1
2 . D. F (3) = 7 4 .
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 13. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 1
x − 1 và F (3) = 1. Tính giá trị của F (2).
A. F (2) = −1 − ln 2. B. F (2) = 1 − ln 2. C. F (2) = −1 + ln 2. D. F (2) = 1 + ln 2.
| Lời giải.
. . . . . . . .
Câu 14. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 6x + sin 3x, biết F (0) = 2 3 . A. F (x) = 3x
2− cos 3x
3 + 2
3 . B. F (x) = 3x
2− cos 3x 3 − 1.
C. F (x) = 3x
2+ cos 3x
3 + 1. D. F (x) = 3x
2− cos 3x
3 + 1.
| Lời giải.
. . . .
Câu 15. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = sin 3x thoả mãn F π
2
= 2.
A. F (x) = − cos 3x 3 + 5
3 . B. F (x) = − cos 3x
3 + 2.
C. F (x) = − cos 3x
3 + 2. D. F (x) = − cos 3x + 2.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 16. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = e
x+ 2x thỏa mãn F (0) = 3 2 . Tìm F (x).
A. F (x) = e
x+ x
2+ 5
2 . B. F (x) = 2e
x+ x
2− 1
2 . C. F (x) = e
x+ x
2+ 3
2 . D. F (x) = e
x+ x
2+ 1
2 .
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 17. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 + 2x + 3x
2thỏa mãn F (1) = 2. Tính F (0) + F (−1).
A. −3. B. −4. C. 3. D. 4.
| Lời giải.
. . . . . . . .
Câu 18. Nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 5x
4−3x
2trên tập số thực thỏa mãn F (1) = 3 là A. x
5− x
3+ 2x + 1. B. x
5− x
3+ 3. C. x
5− x
3+ 5. D. x
5− x
3.
| Lời giải.
. . . .
Câu 19. F (x) là một nguyên hàm của hàm số y = 2 sin x cos 3x và F (0) = 0, khi đó A. F (x) = cos 4x − cos 2x. B. F (x) = cos 2x
4 − cos 4x 8 − 1
8 .
C. F (x) = cos 2x
2 − cos 4x 4 − 1
4 . D. F (x) = cos 4x
4 − cos 2x 2 + 1
4 .
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 20. Cho hàm số f (x) = x
3− x
2+ 2x − 1. Gọi F (x) là một nguyên hàm của f(x). Biết rằng F (1) = 4. Tìm F (x).
A. F (x) = x
44 − x
33 + x
2− x. B. F (x) = x
44 − x
33 + x
2− x + 1.
C. F (x) = x
44 − x
33 + x
2− x + 2. D. F (x) = x
44 − x
33 + x
2− x + 49 12 .
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 21. Cho hàm số f (x) thỏa mãn đồng thời các điều kiện f
0(x) = x + sin x và f (0) = 1. Tìm f(x).
A. f(x) = x
22 − cos x + 2. B. f(x) = x
22 − cos x − 2.
C. f(x) = x
22 + cos x. D. f(x) = x
22 + cos x + 1 2 .
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . .
Câu 22. Một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = sin x + 2 cos x biết F π 2
= 0 là A. F (x) = 2 sin x − cos x + 2. B. F (x) = 2 sin x − cos x − 2.
C. F (x) = −2 sin x − cos x + 2. D. F (x) = sin x − 2 cos x − 2.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . .
Câu 23. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm là f
0(x) = 1
2x − 1 và f(1) = 1. Giá trị f(5) bằng A. 1 + ln 3. B. ln 2. C. 1 + ln 2. D. ln 3.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 24. Cho hàm số f (x) = 2x + e
x. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) thỏa mãn F (0) = 0.
A. F (x) = x
2+ e
x− 1. B. F (x) = x
2+ e
x. C. F (x) = e
x− 1. D. F (x) = x
2+ e
x+ 1.
| Lời giải.
. . . . . . . .
Câu 25. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x
2− 2x − 1
x − 1 thỏa mãn F (0) = −1. Tính F (−1).
A. F (−1) = − ln 2. B. F (−1) = −2 + ln 2.
C. F (−1) = ln 2. D. F (−1) = 2 + ln 2.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . .
Câu 26. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số y = f (x) = 4
1 + 2x và F (0)=2. Tìm F (2).
A. 4 ln 5 + 2. B. 5 (1 + ln 2). C. 2 ln 5 + 4. D. 2(1 + ln 5).
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 27. Cho f(x) = 4m
π +sin
2x. Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Tìm m để F (0) = 1 và F
π 4
= π 8 . A. m = − 3
4 . B. m = 3
4 . C. m = − 4
3 . D. m = 4
3 .
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 28. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 6x + sin 3x, biết F (0) = 2 3 . A. F (x) = 3x
2− cos 3x
3 + 2
3 . B. F (x) = 3x
2− cos 3x 3 − 1.
C. V = F (x) = 3x
2+ cos 3x
3 + 1. D. F (x) = 3x
2− cos 3x 3 + 1.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 29. Tìm hàm số f(x) thỏa mãn f
0(x) = 6
3 − 2x và f(2) = 0.
A. f(x) = −3 ln |3 − 2x|. B. f(x) = 2 ln |3 − 2x|.
C. f(x) = −2 ln |3 − 2x|. D. f(x) = 3 ln |3 − 2x|.
| Lời giải.
. . . . . . . .
Câu 30. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 3
xln 9 thỏa mãn F (0) = 2. Tính F (1).
A. F (1) = 12 · ln
23. B. F (1) = 3. C. F (1) = 6. D. F (1) = 4.
| Lời giải.
. . . .
Câu 31. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 1
2x − 1 và F (2) = 3 + 1
2 ln 3. Tính F (3).
A. F (3) = 1
2 ln 5 + 5. B. F (3) = 1
2 ln 5 + 3. C. F (3) = −2 ln 5 + 5. D. F (3) = 2 ln 5 + 3.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 32. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 6x + sin 3x, biết F (0) = 2 3 . A. F (x) = 3x
2− cos 3x
3 + 2
3 . B. F (x) = 3x
2− cos 3x 3 − 1.
C. F (x) = 3x
2+ cos 3x
3 + 1. D. F (x) = 3x
2− cos 3x
3 + 1.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . .
Câu 33. Tìm F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x
2+ e
x− 1, biết F (0) = 2.
A. F (x) = 6x + e
x− x − 1. B. F (x) = x
3+ 1
e
x− x + 1.
C. F (x) = x
3+ e
x− x + 1. D. F (x) = x
3+ e
x− x − 1.
| Lời giải.
. . . . . . . .
Câu 34. Cho hàm số f(x) thỏa mãn f
0(x) = 2 − 5 sin x và f(0) = 10. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. f(x) = 2x + 5 cos x + 5. B. f(x) = 2x + 5 cos x + 3.
C. f(x) = 2x − 5 cos x + 10. D. f(x) = 2x − 5 cos x + 15.
| Lời giải.
. . . . . . . .
Câu 35. Cho F (x) = cos 2x − sin x + C là nguyên hàm của hàm số f (x). Tính f (π).
A. f (π) = −3. B. f(π) = 1. C. f(π) = −1. D. f (π) = 0.
| Lời giải.
. . . .
Câu 36. Cho F (x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = x
2+ x + 1
x + 1 và F (0) = 2018. Tính F (−2).
A. F (−2) không xác định. B. F (−2) = 2.
C. F (−2) = 2018. D. F (−2) = 2020.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 37. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 + 2x + 3x
2thỏa mãn F (1) = 2. Tính F (0) + F (−1).
A. −3. B. −4. C. 3. D. 4.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 38. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 3x
2+ 2e
2x− 1, biết F (0) = 1.
A. F (x) = x
3+ e
2x− x + 1. B. F (x) = x
3+ 2e
2x− x − 1.
C. F (x) = x
3+ e
x− x. D. F (x) = x
3+ e
2x− x.
| Lời giải.
. . . . . . . .
Câu 39. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = e
2x, biết F (0) = 1.
A. F (x) = e
2x. B. F (x) = e
2x2 + 1
2 . C. F (x) = 2e
2x− 1. D. F (x) = e
x.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 40. Cho hàm số f (x) thỏa mãn đồng thời các điều kiện f
0(x) = x + sin x và f (0) = 1. Tìm f(x).
A. f(x) = x
22 − cos x + 2. B. f(x) = x
22 − cos x − 2.
C. f(x) = x
22 + cos x. D. f(x) = x
22 + cos x + 1 2 .
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . .
p Dạng 1.3. Phương pháp đổi biến số I =
Z
f [u(x)] u
0(x)d x (*)
Đặt: t = u(x) ⇒ d t
đạo hàm 2 vế−−−−−−−→ u
0(x)d x thay vào (*) ta được I =
Z
f (t)dt
Câu 1. Khi tính nguyên hàm
Z x − 3
√ x + 1 dx, bằng cách đặt u = √
x + 1 ta được nguyên hàm nào?
A.
Z
2u u
2− 4
du. B.
Z
u
2− 4
du. C.
Z
2 u
2− 4
du. D.
Z
u
2− 3 du.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 2. Cho hàm số F (x) =
Z
x √
x
2+ 2dx .Biết F √ 2
= 2
3 , tính F √ 7
. A. 40
3 . B. 11. C. 23
6 . D. 7.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 3. Tính tích phân A =
Z 1
x ln x dx bằng cách đặt t = ln x. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. A =
Z
dt. B. A =
Z 1
t
2dt. C. A =
Z
tdt. D. A =
Z 1 t dt.
| Lời giải.
. . . .
Câu 4. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = e
2xvà F (0) = 3
2 .Giá trị F Å 1
2 ã
là A. 1
2 e + 1
2 . B. 1
2 e + 2. C. 2e + 1. D. 1
2 e + 1.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 5. Tìm nguyên hàm
Z
x x
2+ 7
15dx.
A. 1
32 (x
2+ 7)
16+ C. B. − 1
32 (x
2+ 7)
16+ C.
C. 1
2 (x
2+ 7)
16+ C. D. 1
16 (x
2+ 7)
16+ C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . .
Câu 6. Nếu F (x) =
Z (x + 1)
√ x
2+ 2x + 3 dx thì A. F (x) = 1
2
√ x
2+ 2x + 3 + C. B. F (x) = ln |x + 1|
√ x
2+ 2x + 3 + C.
C. F (x) = 1
2 ln (x
2+ 2x + 3) + C. D. F (x) = √
x
2+ 2x + 3 + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . .
Câu 7. Tính
Z dx
√ 1 − x ,kết quả là A. 2
√ 1 − x + C. B. −2 √
1 − x + C. C. C
√ 1 − x . D. √
1 − x + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . .
Câu 8. Nguyên hàm
Z 1
1 + √
x dx bằng.
A. 2 √
x − 2 ln | √
x + 1| + C. B. 2 √
x + C.
C. 2 ln | √
x + 1| + C. D. 2 √
x − 2 ln | √
x + 1| + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . .
Câu 9. Nếu F (x) =
Z (x + 1)
√ x
2+ 2x + 3 dx thì A. F (x) = 1
2
√ x
2+ 2x + 3 + C. B. F (x) = ln |x + 1|
√ x
2+ 2x + 3 + C.
C. F (x) = 1
2 ln (x
2+ 2x + 3) + C. D. F (x) = √
x
2+ 2x + 3 + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . .
Câu 10. Một nguyên hàm của hàm số y = x √
1 + x
2là:
A. x
22
√ 1 + x
23. B. 1
3
√ 1 + x
26. C. 1
3
√ 1 + x
23. D. x
22
√ 1 + x
22.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . .
Câu 11. Xét I =
Z
x
34x
4− 3
5dx .Bằng cách đặt u = 4x
4− 3, khẳng định nào sau đây đúng.
A. I =
Z
u
5du. B. I = 1 12
Z
u
5du. C. I = 1 16
Z
u
5du. D. I = 1 4
Z
u
5du.
| Lời giải.
. . . .
Câu 12. Tìm nguyên hàm
Z
x x
2+ 1
9dx.
A. 1
20 (x
2+ 1)
10+ C. B. 1
10 (x
2+ 1)
10+ C.
C. − 1
20 (x
2+ 1)
10+ C. D. (x
2+ 1)
10+ C.
| Lời giải.
. . . .
Câu 13. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 1
x ln x thỏa mãn F Å 1
e ã
= 2 và F (e) = ln 2. Giá trị của biểu thức F
Å 1 e
2ã
+ F (e
2) bằng
A. 3 ln 2 + 2. B. ln 2 + 2. C. ln 2 + 1. D. 2 ln 2 + 1.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 14. Cho hàm số f (x) = sin
22x · sin x. Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàm f (x).
A. y = 4
3 cos
3− 4
5 sin
5x + C. B. y = − 4
3 cos
3x + 4
5 cos
5x + C.
C. y = 4
3 sin
3x − 4
5 cos
5x + C. D. y = − 4
3 sin
3x + 4
5 sin
5x + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 15. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = sin x
1 + 3 cos x và F π
2
= 2. Khi đó F (0) là
A. − 2
3 ln 2 + 2. B. − 1
3 ln 2 − 2. C. − 1
3 ln 2 + 2. D. − 2
3 ln 2 − 2.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 16. Khi tính nguyên hàm
Z x − 3
√ x + 1 dx, bằng cách đặt u = √
x + 1 ta được nguyên hàm nào dưới đây?
A.
Z
2(u
2− 4)u du. B.
Z
(u
2− 4) du. C.
Z
2(u
2− 4) du. D.
Z
(u
2− 3) du.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . .
Câu 17. Cho nguyên hàm I =
Z
x √
1 + 2x
2dx, khi thực hiện đổi biến u = √
1 + 2x
2thì ta được nguyên hàm theo biến mới u là
A. I = 1 2
Z
u
2du. B. I =
Z
u
2du. C. I = 2
Z
u du. D. I =
Z
u du.
| Lời giải.
. . . . . . . .
Câu 18. Cho hàm số F (x) =
Z
x √
x
2+ 1 dx. Biết F (0) = 4
3 , tính F (2 √ 2).
A. 3. B. 85
4 . C. 19. D. 10.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 19. Tính I =
Z 2x − 1
√ x + 1 dx, khi thực hiện phép đổi biến u = √
x + 1, thì được A. I =
Z 2u
2− 3
u du. B. I =
Z
4u
2− 6 du.
C. I =
Z 4u
2− 6
u du. D. I =
Z
2u
2− 3 du.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 20. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x
√ x
2+ 1 là A. F (x) = 2 √
x
2+ 1 + C. B. F (x) = √
x
2+ 1 + C.
C. F (x) = ln √
x
2+ 1 + C. D. F (x) = 1
2
√ x
2+ 1 + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 21. Xét nguyên hàm I =
Z
x √
x + 2 dx. Nếu đặt t = √
x + 2 thì ta được A. I =
Z
t
4− 2t
2dt. B. I =
Z
4t
4− 2t
2dt.
C. I =
Z
2t
4− 4t
2dt. D. I =
Z
2t
4− t
2dt.
| Lời giải.
. . . . . . . .
Câu 22. Cho tích phân I =
e
Z
1
3 ln x + 1
x dx. Nếu đặt t = ln x thì A. I =
1
Z
0
3t + 1
e
tdt. B. I =
e
Z
1
3t + 1
t dt. C. I =
e
Z
1
(3t + 1) dt. D. I =
1
Z
0
(3t + 1) dt.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 23. Tính nguyên hàm A =
Z 1
x ln x dx bằng cách đặt t = ln x. Mệnh đề nào dưới dây đúng?
A. A =
Z
dt. B. A =
Z 1
t
2dt. C. A =
Z
t dt. D. A =
Z 1 t dt.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . .
Câu 24. Tìm nguyên hàm I =
Z
sin
4x cos x dx.
A. sin
5x
5 + C. B. cos
5x
5 + C. C. − sin
5x
5 + C. D. − cos
5x 5 + C.
| Lời giải.
. . . . . . . .
Câu 25. Nguyên hàm
Z 1 + ln x
x dx (x > 0) bằng
A. x + ln
2x + C. B. ln
2x + ln x + C. C. 1
2 ln
2x + ln x + C. D. x + 1
2 ln
2x + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
Câu 26. Cho I =
Z
x(1 − x
2)
2019dx. Đặt u = 1 − x
2khi đó I viết theo u và du ta được:
A. I = − 1 2
Z
u
2019du. B. I = −2
Z
u
2019du. C. I = 2
Z
u
2019du. D. I = 1 2
Z
u
2019du.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . .
Câu 27. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 2 √
x + 3x là A. 4
3 x √
x + 3x
22 + C. B. 2x √
x + 3x
22 + C. C. 3 2 x √
x + 3x
22 + C. D. 4x √
x + 3x
22 + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . .
Câu 28. Tìm họ các nguyên hàm của hàm số f (x) = x
2√
4 + x
3. A. 2 √
4 + x
3+ C. B. 2 9
» (4 + x
3)
3+ C. C. 2 »
(4 + x
3)
3+ C. D. 1 9
» (4 + x
3)
3+ C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . .
Câu 29. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x
2e
x3+1. A.
Z
f(x) dx = e
x3+1+ C. B.
Z
f(x) dx = 3e
x3+1+ C.
C.
Z
f(x) dx = x
33 e
x3+1+ C. D.
Z
f(x) dx = 1
3 e
x3+1+ C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . .
Câu 30. Tích phân
e
Z
1
dx
x(ln x + 2) bằng A. ln 2. B. ln 3
2 . C. 0. D. ln 3.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 31. Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa mãn
Z f √ x + 1
√ x + 1 dx = 2 √
x + 1 + 3 x + 5 + C.
Nguyên hàm của hàm số f (2x) trên tập R
+là A. x + 3
2 (x
2+ 4) + C. B. x + 3
x
2+ 4 + C. C. 2x + 3
4 (x
2+ 1) + C. D. 2x + 3
8 (x
2+ 1) + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 32. Nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = sin
22x · cos
32x thỏa F π 4
= 0 là A. F (x) = 1
6 sin
32x − 1
10 sin
52x + 1
15 . B. F (x) = 1
6 sin
32x + 1
10 sin
52x − 1 15 . C. F (x) = 1
6 sin
32x − 1
10 sin
52x − 1
15 . D. F (x) = 1
6 sin
32x + 1
10 sin
52x − 4 15 .
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 33. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 1
2e
x+ 3 thỏa mãn F (0) = 10. Tìm F (x).
A. F (x) = 1
3 (x + 10 − ln (2e
x+ 3)).
B. F (x) = 1 3
Å x − ln
Å e
x+ 3
2 ãã
+ 10 + ln 5 − ln 2.
C. F (x) = 1
3 (x − ln (2e
x+ 3)) + 10 + ln 5 3 . D. F (x) = 1
3 Å
x − ln Å
e
x+ 3 2
ãã
+ 10 − ln 5 − ln 2
3 .
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 34. Tính nguyên hàm I =
Z 1
2x + x √ x + √
x dx.
A. I = − 2
√ x + x + C. B. I = − 2
√ x + 1 + C.
C. I = − 2
√ x + x + 1 + C. D. I = − 1 2 √
x + x + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 35. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x
2√ x
3+ 1 là A. 1
3 √
x
3+ 1 + C. B. 2 3
√ x
3+ 1 + C. C. 2 3 √
x
3+ 1 + C. D. 1 3
√ x
3+ 1 + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 36. Nguyên hàm
Z 1 + ln x
x dx (x > 0) bằng A. 1
2 ln
2x + ln x + C . B. x + 1
2 ln
2x + C. C. ln
2x + ln x + C. D. x + ln
2x + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 37. Cho
Z
f (x) dx = x √
x
2+ 1. Tìm I =
Z
x · f x
2dx.
A. I = x
2√
x
4+ 1 + C. B. I = x
42
√ x
4+ 1 + C.
C. I = x
22
√ x
4+ 1 + C. D. I = x
3√
x
4+ 1 + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . .
Câu 38. Một nguyên hàm của hàm số y = x
3√ 2 − x
2là A. x √
2 − x
2. B. − 1
3 (x
2+ 4) √
2 − x
2. C. − 1
3 (x
2− 4) √
2 − x
2. D. − 1
3 x
2√
2 − x
2.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 39. Nguyên hàm của hàm số f (x) = √
33x + 1 là A.
Z
f(x) dx = (3x + 1) √
33x + 1 + C. B.
Z
f(x) dx = √
33x + 1 + C.
C.
Z
f(x) dx = 1 3
√
33x + 1 + C. D.
Z
f(x) dx = 1
4 (3x + 1) √
33x + 1 + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 40. Tìm các hàm số f (x) biết f
0(x) = cos x (2 + sin x)
2. A. f(x) = sin x
(2 + sin x)
2+ C. B. f(x) = 1
2 + cos x + C.
C. f(x) = − 1
2 + sin x + C. D. f(x) = sin x
2 + sin x + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p Dạng 1.4. Phương pháp từng phần
I =
Z
ud v = u.v −
Z
vdu
Đặt:
u = . . . dv = . . .
⇔
d u
đạo hàm 2 vế−−−−−−−→ . . . dx
v =
nguyên hàm 2 vế−−−−−−−−−→ . . .
Nhận dạng và cách đặt: u, d v
Dạng u d v
1 Z
P (x)
sin x cos x
d x u = P (x) d v =
sin x cos x
d x 2
Z
P (x). h e
xi
d x u = P (x) d v = e
xd x
3 Z
P (x) h ln x
i
d x u = h
ln x i
d v = P (x)d x
Câu 1. Biết
Z
xe
2xdx = axe
2x+ be
2x+ C (a, b ∈ Q ) . Tính tích ab.
A. ab = − 1
4 . B. ab = 1
4 . C. ab = − 1
8 . D. ab = 1
8 .
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 2. Kết quả của I =
Z
xe
xdx là
A. I = xe
x− e
x+ C. B. I = e
x+ xe
x+ C. C. I = x
22 e
x+ C. D. I = x
22 e
x+ e
x+ C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . .
Câu 3. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = (5x + 1) e
xvà F (0) = 3. TínhF (1).
A. F (1) = 11e − 3. B. F (1) = e + 3. C. F (1) = e + 7. D. F (1) = e + 2.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 4. Tính F (x) =
Z
x sin 2xrmd x. Chọn kết quả đúng?
A. F (x) = 1
4 (2x cos 2x + sin 2x) + C. B. F (x) = − 1
4 (2x cos 2x + sin 2x) + C.
C. F (x) = − 1
4 (2x cos 2x − sin 2x) + C. D. F (x) = 1
4 (2x cos 2x − sin 2x) + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 5. Cho F (x) = a
x (ln x + b) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 1 + ln x
x
2, trong đó a, b ∈ Z . Tính S = a + b.
A. S = −2. B. S = 1. C. S = 2. D. S = 0.
| Lời giải.
. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 6. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x cos 2x là A. x sin 2x
2 − cos 2x
4 + C. B. x sin 2x − cos 2x
2 + C.
C. x sin 2x + cos 2x
2 + C. D. x sin 2x
2 + cos 2x 4 + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 7. Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = xe
−x. Tính F (x) biết F (0) = 1.
A. F (x) = − (x + 1) e
−x+ 2. B. F (x) = (x + 1) e
−x+ 1.
C. F (x) = (x + 1) e
−x+ 2. D. F (x) = − (x + 1) e
−x+ 1.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 8. Biết
Z
(x + 3) .e
−2xdx = − 1
m e
−2x(2x + n) + C, với m, n ∈ Q . Khi đó tổng S = m
2+ n
2có giá trị bằng
A. 10. B. 5. C. 65. D. 41.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 9. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x ln 2x là A. x
22 ln 2x − x
2+ C. B. x
2ln 2x − x
22 + C.
C. x
22 (ln 2x − 1) + C. D. x
22 Å
ln 2x − 1 2
ã + C.
| Lời giải.
. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
Câu 10. Họ các nguyên hàm của f (x) = x ln x là:
A. x
22 ln x + 1
4 x
2+ C. B. x
2ln x − 1
2 x
2+ C . C. x
22 ln x − 1
4 x
2+ C. D. x ln x + 1
2 x + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 11. Hàm số f (x) thoả mãn f
0(x) = xe
xlà:
A. (x − 1) e
x+ C. B. x
2+ e
x+1x + 1 + C. C. x
2e
x+ C. D. (x + 1) e
x+ C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 12. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = (2x + 1)e
xlà
A. (2x − 1)e
x+ C. B. (2x + 3)e
x+ C. C. 2xe
x+ C. D. (2x − 2)e
x+ C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 13. Họ nguyên hàm của hàm số y = 3x(x + cos x) là
A. x
3+ 3(x sin x + cos x) + C. B. x
3− 3(x sin x + cos x) + C.
C. x
3+ 3(x sin x − cos x) + C. D. x
3− 3(x sin x − cos x) + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 14. Tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = x
sin
2x trên khoảng (0; π) là A. −x cot x + ln (sin x) + C. B. x cot x − ln |sin x| + C.
C. x cot x + ln |sin x| + C. D. −x cot x − ln (sin x) + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 15. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 4x (1 + ln x) là
A. 2x
2ln x + 3x
2. B. 2x
2ln x + x
2. C. 2x
2ln x + 3x
2+ C. D. 2x
2ln x + x
2+ C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 16. Tìm tất cả nguyên hàm của hàm số f (x) = (3x
2+ 1) ln x.
A.
Z
f(x) dx = x(x
2+ 1) ln x − x
33 + C. B.
Z
f(x) dx = x
3ln x − x
33 + C.
C.
Z
f(x) dx = x(x
2+ 1) ln x − x
33 − x + C. D.
Z
f(x) dx = x
3ln x − x
33 − x + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 17. Tính F (x) =
Z
x cos x dx ta được kết quả
A. F (x) = x sin x − cos x + C. B. F (x) = −x sin x − cos x + C.
C. F (x) = x sin x + cos x + C. D. F (x) = −x sin x + cos x + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . .
Câu 18. Nguyên hàm của hàm số f (x) = x sin x là
A. F (x) = −x cos x − sin x + C. B. F (x) = x cos x − sin x + C.
C. F (x) = −x cos x + sin x + C. D. F (x) = x cos x + sin x + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 19. Tìm
Z
x cos 2x dx.
A. 1
2 x sin 2x − 1
4 cos 2x + C. B. x sin 2x + cos 2x + C.
C. 1
2 x sin 2x + 1
2 cos 2x + C. D. 1
2 x sin 2x + 1
4 cos 2x + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 20. Tìm nguyên hàm J =
Z
(x + 1)e
3xdx.
A. J = 1
3 (x + 1)e
3x− 1
9 e
3x+ C. B. J = 1
3 (x + 1)e
3x− 1
3 e
3x+ C.
C. J = (x + 1)e
3x− 1
3 e
3x+ C. D. J = 1
3 (x + 1)e
3x+ 1
9 e
3x+ C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 21. Biết
Z
(x− 2) sin 3x dx = − (x − a) cos 3x
b + 1
c sin 3x+2017, trong đó a, b, c là các số nguyên dương. Khi đó S = ab + c bằng
A. S = 15. B. S = 10. C. S = 14. D. S = 3.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 22. Hàm số f (x) thỏa mãn f
0(x) = xe
xlà A. (x − 1)e
x+ C. B. x
2+ e
x+1x + 1 + C. C. x
2e
x+ C. D. (x + 1)e
x+ C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 23. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = xe
x. A.
Z
f(x) dx = (x + 1)e
x+ C. B.
Z
f(x) dx = (x − 1)e
x+ C.
C.
Z
f(x) dx = xe
x+ C. D.
Z
f(x) dx = x
2e
x+ C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 24. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = x · e
2x. A. F (x) = 2e
2x(x − 2) + C. B. F (x) = 1
2 e
2x(x − 2) + C.
C. F (x) = 2e
2xÅ
x − 1 2
ã
+ C. D. F (x) = 1
2 e
2xÅ
x − 1 2
ã + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 25. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 4x ln x là
A. x
2(2 ln x + 1) + C. B. 4x
2(2 ln x − 1) + C.
C. x
2(2 ln x − 1) + C. D. x
2(8 ln x − 16) + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 26. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x cos 2x.
A. x sin 2x
2 − cos 2x
4 + C. B. x sin 2x − cos 2x
2 + C.
C. x sin 2x + cos 2x
2 + C. D. x sin 2x
2 + cos 2x 4 + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . .
Câu 27. Tìm họ nguyên hàm
Z
(2x − 1) ln x dx A. F (x) = (x
2− x) ln x − x
22 + x + C. B. F (x) = (x
2− x) ln x + x
22 − x + C.
C. F (x) = (x
2+ x) ln x − x
22 + x + C. D. F (x) = (x
2− x) ln x − x
22 − x + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 28. Biết
Z
x cos 2x dx = ax sin 2x + b cos 2x + C với a, b là các số hữu tỉ. Tính tích ab.
A. ab = 1
8 . B. ab = 1
4 . C. ab = − 1
8 . D. ab = − 1
4 .
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 29. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = (2x + 1) ln x là A. (x
2+ x) ln x − x
22 − x + C. B. (x
2+ x) ln x − x
2− x + C.
C. (x
2+ x) ln x − x
22 + x + C. D. (x
2+ x) ln x − x
2+ x + C.
| Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 30. Tìm nguyên hàm J =
Z
(x + 1)e
3xdx.
A. J = 1
3 (x + 1)e
3x− 1
9 e
3x+ C. B. J = 1
3 (x + 1)e
3x− 1
3 e
3x+ C.
C. J = (x + 1)e
3x− 1
3 e
3x+ C. D. J = 1
3 (x + 1)e
3x+ 1
9 e
3x+ C.
| Lời giải.
. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
§1 – NGUYÊN HÀM 1
| Dạng 1.1: Sử dụng nguyên hàm cơ bản
