Mục lục
1 ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 3
A Tóm tắt lý thuyết . . . 3
B Bài tập rèn luyện . . . 4
Dạng 0.1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng . . . 4
Dạng 0.2. Tìm thiết diện của hình(H)khi cắt bởi mặt phẳng(P) . . . 9
Dạng 0.3. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng . . . 14
Dạng 0.4. Tìm thiết diện của hình(H)khi cắt bởi mặt phẳng(P). . . 23
Dạng 0.5. Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng qui, chứng minh một điểm thuộc một đường thẳng cố định. . . 24
2 QUAN HỆ SONG SONG 51 1 HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 51 A Tóm tắt lý thuyết . . . 51
2 ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG . . . 52
A Tóm tắt lý thuyết . . . 52
B Bài tập rèn luyện . . . 53
Dạng 2.1. Chứng minh đường thẳng song song với đường thẳng, đường thẳng song song với mặt phẳng. . . 53
Dạng 2.2. Thiết diện của hình chóp bị cắt bởi mặt phẳng(α)và song song với một đường thẳng cho trước. Tính diện tích thiết diện . . . 63
3 HAI MẶT PHẲNG THẲNG SONG SONG . . . 82
A Tóm tắt lý thuyết . . . 82
B Bài tập rèn luyện . . . 85
4 KHỐI LĂNG TRỤ . . . 92
5 BÀI TẬP TỔNG HỢP CHƯƠNG II . . . 111
3 QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN 125 1 ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG . . . 125
A Tóm tắt lý thuyết . . . 125
B Bài tập rèn luyện . . . 127
2 HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC . . . 145
A Tóm tắt lý thuyết . . . 145
B Bài tập rèn luyện . . . 146
Dạng 2.1. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc . . . 146
3 GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG . . . 155
A Tóm tắt lý thuyết . . . 155
B Bài tập rèn luyện . . . 155
Dạng 3.1. Tính góc giữa hai đường thẳng . . . 155
4 GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG . . . 160
A Góc giữa hai đường thẳng . . . 160
B Bài tập rèn luyện . . . 160
Dạng 4.1. Tính góc giữa hai đường thẳng . . . 160
C Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng . . . 164
Dạng 4.2. Xác định và tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng . . . 165
D Bài tập rèn luyện . . . 165
E Góc giữa hai mặt phẳng . . . 173 1
2 MỤC LỤC
Dạng 4.3. Tính góc giữa hai mặt phẳng . . . 173
F Bài tập rèn luyện . . . 174
5 KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG . . . 188
A Phương pháp giải toán . . . 188
B Bài tập mẫu . . . 189
Dạng 5.1. Tính khoảng cách nhờ tính chất của tứ diện vuông . . . 206
6 HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU . . . 211
A Tóm tắt lý thuyết . . . 211
B Bài tập rèn luyện . . . 211
Dạng 6.1. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau . . . 211
Dạng 6.2. Xác định đường vuông góc chung . . . 214
Chương 1. ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Mặt phẳng
Mặt phẳng, mặt bàn, mặt nước hồ yên lặng, mặt sàn nhà,... cho ta hình ảnh một phần của mặt phẳng.
2. Điểm thuộc mặt phẳng
Cho điểm Avà mặt phẳng(α). Khi điểm Athuộc mặt phẳng(α), ta nói Anằm trên(α) hay mặt phẳng(α)chứa A, hay mặt phẳng(α)đi qua điểm Avà kí hiệu A ∈ (α), được biểu diễn ở hình2.
Tính chất 1. Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.
Tính chất 2. Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
Tính chất 3. Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt. thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.
Tính chất 4. Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
Tính chất 5. Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì có một điểm chung thì chúng còn một điểm chung khác nữa.
3. Cách xác định một mặt phẳng Có ba cách xác định một mặt phẳng:
• Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
• Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết mặt phẳng đi qua một điểm và chứa một đường thẳng không đi qua điểm đó.
• Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết mặt phẳng đi chứa hai đường thẳng cắt nhau.
4. Hình chóp và tứ diện
• Trong mặt phẳng (α) cho đa giác lồi A1A2A3. . .An. Lấy một điểm S không thuộcmặt phẳng(α)và lần lượt nối điểmSvới các đỉnh A1, A2,A3,. . ., An ta được ntam giácSA1A2,SA2A3,. . .,SAnA1. Hình gồm đa giác A1A2A3. . .An vàntam giácSA1A2,SA2A3,. . .,SAnA1được gọi là hình chóp, kí hiệu làS.A1A2A3. . .An.
• S được gọi là đỉnh của hình chóp, đa giác A1A2A3. . .An, các tam giác SA1A2, SA2A3,. . .,SAnA1được gọi là các mặt bên của hình chóp,SA1,SA2,SA3,. . .,SAn
được gọi là các cạnh bên của hình chóp.
• Tên của hình chóp gọi theo tên của đa giác đáy. Hình chóp tam giác còn gọi là hình tứ diện.
Hình tứ diện có bốn mặt là các tam giác đều gọi là tứ diện đều.
3
4 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
S
A B
C Hình chóp tam giác
(hình tứ diện)
S
A D
B C
Hình chóp tứ giác
S
A D
B C Hình chóp tứ giác có
đáy là hình thang S
A D
B C Hình chóp tứ giác có
đáy là hình bình hành
B. Bài tập rèn luyện
DẠNG 0.1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
Phương pháp giải: Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, ta đi tìm hai điểm chung phân biệt thuộc cả hai mặt phẳng. Nối hai điểm chung đó được giao tuyến cần tìm.
Bài 1. Cho tứ giác ABCD sao cho các cạnh đối không song song với nhau. Lấy một điểmSkhông thuộc mặt phẳng(ABCD). Xác định giao tuyến của
1. Mặt phẳng(SAC)và mặt phẳng(SBD).
2. Mặt phẳng(SAB)và mặt phẳng(SCD).
3. Mặt phẳng(SAD)và mặt phẳng(SBC).
Lời giải.
1. GọiHlà giao điểm của ACvớiBD.
5
Khi đó
®H ∈ AC
H ∈ BD ⇒ H ∈ (SAC)∩
(SBD) (1).
Dễ thấyS ∈(SAC)∩(SBD) (2).
Từ (1) và(2) suy ra SH là giao tuyến của hai mặt phẳng(SBD)và(SAC).
2. Gọi K là giao điểm của hai đường thẳngCDvàAB.
Khi đó
®K∈ AB
K∈ CD ⇒ K ∈ (SAB)∩(SCD) (3).
Dễ thấyS ∈(SAB)∩(SCD) (4).
Từ (3) và(4) suy ra SK là giao tuyến hai mặt phẳng(SAB)và(SCD).
3. Gọi L là giao điểm của hai đường thẳngADvàBC.
Khi đó
®L∈ AD
K ∈ BC ⇒ L ∈ (SAD)∩(SBC) (5).
Dễ thấyS ∈(SAD)∩(SBC) (6).
Từ (5) và (6) suy ra SL là giao tuyến hai mặt phẳng(SAD)và(SBC).
S
A
D H K
L
B
C
Bài 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, Jlần lượt là trung điểm các cạnhAD, BC.
1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(IBC)và mặt phẳng(J AD).
2. Lấy điểmMthuộc cạnhAB,Nthuộc cạnhACsao choM,Nkhông là trung điểm.
Tìm giao tuyến của mặt phẳng(IBC)và mặt phẳng(DMN).
Lời giải.
1. Do giả thiết I ∈ ADnên I ∈ (J AD).
Suy ra I ∈ (BCI)∩(ADJ) (1).
Tương tự, ta có J ∈ (BCI)∩(ADJ) (2).
Từ (1) và(2) suy ra I J là giao tuyến của hai mặt phẳng(BCI)và(ADJ).
2. GọiElà giao điểm của hai đường thẳngDM vàBI.
Khi đó
®E ∈ BI
E ∈ DM ⇒ E ∈ (MND) ∩
(IBC) (3).
Tương tự, gọi F là giao điểm củaDN vàCI suy raF∈ (BCI)∩(MND) (4).
Từ(3)và(4)suy ra EFlà giao tuyến hai mặt phẳng(BCI)và(MND).
B J M
A
C E
D N
I F
6 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Bài 3. Cho tứ diện ABCD. Lấy các điểm Mthuộc cạnhAB, Nthuộc cạnh ACsao cho MN cắtBC. GọiI là điểm bên trong tam giácBCD. Tìm giao tuyến của
1. Mặt phẳng(MN I)và mặt phẳng(BCD).
2. Mặt phẳng(MN I)và mặt phẳng(ABD).
3. Mặt phẳng(MN I)và mặt phẳng(ACD).
Lời giải.
1. GọiHlà giao điểm của MNvàBC.
Suy ra H ∈(MN I)∩(BCD) (1).
Do I là điểm trong 4BCD nên I ∈ (MN I)∩(BCD) (2).
Từ (1) và (2) suy ra I H là giao tuyến của hai mặt phẳng(MN I)và(BCD).
2. Giả sử E là giao điểm của hai đường thẳngI HvàBD.
Vì H ∈ MN và
®E ∈ BD
E ∈ I H ⇒ E ∈ (MN I)∩(ABD) (3).
Dễ thấyM ∈(ABD)∩(MN I) (4).
Từ (3) và(4) suy ra ME là giao tuyến hai mặt phẳng(ABD)và(MN I).
3. Tương tự, gọi F là giao điểm của hai đường thẳng I H và CD. Ta suy ra
®F∈ CD
F∈ I H ⇒ F ∈ (MN I) ∩
(ACD) (5).
DoN ∈ ACnên N ∈(ACD).
Khi đóN ∈ (MN I)∩(ACD) (6).
Từ (5) và (6) suy ra NF là giao tuyến của hai mặt phẳng(ACD)và(MN I).
H B
I M
A
C
E D
N
F
Bài 4. Cho hình chópS.ABCDcó đáy là hình thang có cạnhABsong song vớiCD. Gọi I là giao điểm củaADvàBC. Lấy điểm Mthuộc cạnhSC. Tìm giao tuyến của
1. Mặt phẳng(SAC)và mặt phẳng(SBD).
2. Mặt phẳng(SAD)và mặt phẳng(SBC).
3. Mặt phẳng(ADM)và mặt phẳng(SBC).
Lời giải.
1. GọiHlà giao điểm của ACvàBD.
7 Suy ra H ∈(SAC)∩(SBD) (1).
Dễ thấyS ∈(SAC)∩(SBD) (2).
Từ (1) và (2) suy ra SH là giao tuyến của hai mặt phẳng(SAC)và(SBD).
2. DoI là giao điểm của hai đường thẳngADvàBC.
Nên
®I ∈ AD
I ∈ BC ⇒ I ∈(SAD)∩(SBC) (3).
Dễ thấyS ∈(SAD)∩(SBC) (4).
Từ (3) và (4) suy ra SI là giao tuyến hai mặt phẳng (SAD)và(SBC).
3. Do giả thiết ta có
®I ∈ AD
I ∈ BC ⇒ I ∈ (ADM)∩
(SBC) (5).
Vì M ∈ SC nên M ∈ (SBC). Do đó M ∈ (ADM)∩ (SBC) (6).
Từ (5) và (6) suy ra I M là giao tuyến của hai mặt phẳng(ADM)và(SBC).
A
S
D
B
I
H C
M
Bài 5. Cho hình chópS.ABCD đáy là hình bình hành tâmO. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của cạnhBC,CD, SA. Tìm giao tuyến của
(MNP)và(SAB).
a) b) (MNP)và(SBC).
(MNP)và(SAD).
c) d) (MNP)và(SCD).
Lời giải.
1. (MNP)∩(SAB).
GọiF= MN∩AB,E =MN∩AD (vì MN, AB, AD⊂(ABCD)) Vì
®P∈ (MNP)
P∈ SA ⊂(SAB) nên
P∈ (MNP)∩(SAB) (1).
Mặt khác
®F ∈ MN ⊂(MNP)
F ∈ AB⊂(SAB) nên
F∈ (MNP)∩(SAB) (2).
Từ (1)và(2)suy ra (MNP)∩(SAB) = PF.
2. (MNP)∩(SAD).
Ta có
®P∈ (MNP)
P∈ SA ⊂(SAD) ⇒ P ∈
(MNP)∩(SAD) (3).
Mặt khác
®E ∈ MN ⊂(MNP)
E ∈ AD ⊂(SAD) ⇒E ∈
(MNP)∩(SAD) (4).
Từ(3)và(4)suy ra(MNP)∩(SAD) = PE.
S
E H
A
B C
D
M
N
F
P
K
8 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 3. Tìm(MNP)∩(SBC).
Trong(SAB). GọiK =PF∩SB. Ta có
®K∈ PF⊂(MNP)
K∈ SB⊂(SBC) ⇒K ∈ (MNP)∩(SBC) (5).
Mặt khác
®M∈ (MNP)
M∈ BC ⊂(SBC) ⇒ M∈ (MNP)∩(SBC) (6).
Từ(5)và(6)suy ra(MNP)∩(SBC)= MK.
4. Tìm(MNP)∩(SCD).
Trong mặt phẳng (SAD). Gọi H = PE∩ SD. Ta có
®H ∈ PE⊂(MNP)
H ∈ SD⊂(SCD) ⇒ H ∈
(MNP)∩(SCD) (7).
Mặt khác
®N ∈ (MNP)
N ∈ CD ⊂(SCD) ⇒ N ∈ (MNP)∩(SCD) (8).
Từ(7)và(8)suy ra(MNP)∩(SCD)= NH.
Bài 6. Cho tứ diệnSABC. Lấy M∈ SB, N ∈ AC, I ∈ SC sao choMI không song song vớiBC, N Ikhông song song vớiSA. Tìm giao tuyến của mặt phẳng(MN I)với các mặt (ABC)và(SAB).
Lời giải.
1. Tìm(MN I)∩(ABC).
Vì
®N ∈ (MN I)
N ∈ AC ⊂(ABC) nên N ∈ (MN I)∩ (ABC) (1).
Trong(SBC), gọiK =MI∩BC.
Vì
®K ∈ MI ⊂(MN I)
K ∈ BC ⊂(ABC) ⇒ K ∈ (MN I)∩
(ABC) (2).
Từ(1)và(2)suy ra(MN I)∩(ABC)= NK.
2. Tìm(MN I)∩(SAB).
Trong(SAC), gọiJ = N I∩SA.
Ta có
®M ∈ (MN I)
M ∈ SB⊂(SAB) ⇒ M ∈ (MN I)∩
(SAB) (3).
Mặt khác
®J ∈ N I ⊂(MN I)
J ∈ SA ⊂(SAB) ⇒ J ∈
(MN I)∩(SAB) (4).
Từ(3)và(4)suy ra(MN I)∩(SAB)= MJ.
S
I
B N
J
A C K
M
Bài 7. Cho tứ diện ABCD,Mlà một điểm bên trong tam giácABD,Nlà một điểm bên trong tam giác ACD. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau
(AMN)và(BCD).
a) b) (DMN)và(ABC).
Lời giải.
9
1. Tìm(AMN)∩(BCD).
Trong(ABD), gọiE = AM∩BD.
Ta có
®E ∈ AM⊂(AMN)
E ∈ BD⊂(BCD) ⇒ E ∈ (AMN)∩
(BCD) (1).
Trong(ACD), gọiF = AN∩CD.
Ta có
®F ∈ AN ⊂(AMN)
F ∈ CD⊂(BCD) ⇒ F ∈ (AMN)∩
(BCD) (2).
Từ(1)và(2)suy ra(AMN)∩(BCD)=EF.
2. Tìm(DMN)∩(ABC).
Trong(ABD), gọiP=DM∩AB.
Ta có
®P ∈ DM ⊂(DMN)
P ∈ AB⊂(ABC) ⇒ P ∈ (DMN)∩
(ABC) (3).
Trong(ACD), gọiQ= DN∩ AC.
Ta có
®Q ∈ DN ⊂(DMN)
Q ∈ AC⊂(ABC) ⇒ Q ∈ (DMN)∩
(ABC) (4).
Từ(3)và(4)suy ra(DMN)∩(ABC)=PQ.
A
C B E
P
Q
D F M
N
Bài 8. Cho tứ diện ABCD. LấyI ∈ AB, J là điểm trong tam giácBCD,Klà điểm trong tam giác ACD. Tìm giao tuyến của mặt phẳng(I JK)với các mặt của tứ diện.
Lời giải.
GọiM=DK∩AC,N =DJ∩BC,H = MN∩K J.
VìH ∈ MN ⊂(ABC)⇒ H ∈(ABC).
GọiP= H I∩BC,Q= PJ∩CD, T =QK∩ AD.
Theo cách dựng điểm ở trên ta có
(I JK)∩(ABC)= IP (I JK)∩(BCD)=PQ (I JK)∩(ACD) =QT (I JK)∩(ABD)=T I.
A
P
C J
H
Q B
I
N
K
D M
T
DẠNG 0.2. Tìm thiết diện của hình(H)khi cắt bởi mặt phẳng(P)
Thiết diện là phần chung của mặt phẳng(P)và hình(H).
Xác định thiết diện là xác định giao tuyến của mặt phẳng(P)với các mặt của hình(H).
Thường ta tìm giao tuyến đầu tiên của mặt phẳng (P) với một mặt phẳng(α)nào đó thuộc hình(H), giao tuyến này dễ tìm được. Sau đó kéo dài giao tuyến này cắt các cạnh
10 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
khác của hình(H), từ đó ta tìm được các giao tuyến tiếp theo.
Đa giác giới hạn bởi các đoạn giao tuyến này khép kín thành một thiết diện cần tìm.
Bài 9. Cho hình chópS.ABCD. GọiMlà một điểm trong tam giácSCD.
1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(SBM)và(SAC).
2. Tìm giao điểm của đường thẳngBMvà(SAC).
3. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng(ABM).
Lời giải.
1. Tìm(SBM)∩(SAC).
Trong(SCD), gọi N =SM∩CD.
Trong(ABCD), gọi AC∩BN =O.
Ta có
®O∈ BN ⊂(SBN)
O∈ AC ⊂(SAC) ⇒ O ∈ (SAC)∩ (SBN) (1).
Mặt khácS ∈(SAC)∩(SBN) (2).
Từ(1)và(2)suy ra(SAC)∩(SBN)=SO.
2. TìmBM∩(SAC).
GọiH =BM∩SO.
Ta có
®H ∈ BM
H ∈SO ⊂(SAC) ⇒ H = BM∩
(SAC).
S
B
C O
N
D M
I J
A H
3. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi(ABM).
Trong(SAC), gọiI = AH∩SC. Ta có
®I ∈ AH ⊂(ABM)
I ∈ SC ⊂(SCD) ⇒ I ∈(SCD)∩(ABM) (3).
Mặt khácM∈ (SCD)∩(ABM) (4).
Từ(3)và(4)suy ra(SCD)∩(ABM)= I M.
Trong(SCD), gọiJ = I M∩SD. Khi đó(SAC)∩(ABM) = AJvà(SBC)∩(ABM)=BI.
Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác ABI J J.
Bài 10. Cho tứ diện ABCD. Trên AB, AC lấy 2điểm M, N sao cho MN không song songBC. GọiOlà một điểm trong tam giác BCD.
1. Tìm giao tuyến của(OMN)và(BCD).
2. Tìm giao điểm của DC, BDvới(OMN).
3. Tìm thiết diện của(OMN)với hình chóp.
Lời giải.
1. Tìm(OMN)∩(BCD).
11 Trong(ABC), gọiH = MN∩BC.
Ta có
®H ∈ MN ⊂(MNO)
H ∈ BC ⊂(BCD) ⇒ H ∈ (BCD)∩
(MNO) (1).
Mặt khácO∈ (BCD)∩(MNO) (2).
Từ(1)và(2)suy ra(BCD)∩(MNO)=HO.
2. TìmDC∩(OMN)vàBD∩(OMN).
Trong(BCD), gọiI = BD∩HO.
Ta có
®I ∈ BD
I ∈ HO ⊂(MNO) ⇒ I =BD∩(MNO).
Trong(BCD), gọiJ =CD∩HO.
Ta có
®J ∈CD
J ∈ HO ⊂(MNO) ⇒ J = CD ∩
(MNO).
A
C O I
J B
H M
D N
3. Tìm thiết diện của(OMN)và hình chóp.
Ta có
(ABC)∩(MNO)= MN
(ABD)∩(MNO)= MI
(ACD)∩(MNO) =N J (BCD)∩(MNO)= I J
.Vậy thiết diện cần tìm là tứ giácMN J I.
Bài 11. Cho tứ diện SABC. Gọi M ∈ SA, N ∈ (SBC), P ∈ (ABC), không có đường thẳng nào song song.
1. Tìm giao điểm của MNvới(ABC), suy ra giao tuyến của(MNP)và(ABC).
2. Tìm giao điểm của ABvới(MNP).
3. Tìm giao điểm của NPvới(SAB).
4. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng(MNP).
Lời giải.
1. TìmMN∩(ABC).
12 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Chọn mặt phẳng phụ(SAH)chứa MN.
Tìm(SAH)∩(ABC).
Ta cóA ∈(ABC)∩(SAH) (1).
Trong(SBC), gọi H=SN∩BC.
Ta có
®H ∈ SN ⊂(SAH)
H ∈ BC ⊂(ABC) ⇒ H ∈ (SAH)∩
(ABC) (2).
Từ(1)và(2)suy ra(SAH)∩(ABC) =AH.
Trong(SAH), gọiI = MN∩AH.
Ta có
®I ∈ MN
I ∈ AHH ⊂(ABC) ⇒ I = MN∩
(ABC).
Tìm(MNP)∩(ABC).
Ta cóP∈ (MNP)∩(ABC) (3).
Mặt khácI ∈ (MNP)∩(ABC) (4).
Từ(3)và(4)⇒(MNP)∩(ABC)= PI.
2. TìmAB∩(MNP).
Trong(ABC), gọiK= AB∩PI.
Ta có
®K∈ AB
K∈ PI ⊂(MNP) ⇒ K = AB∩
(MNP).
S
H
B
P J
L A
M
K
C N
I Q
3. TìmNP∩(SAB).
Trong(MNK), gọiL =PN∩ MK. Ta có
®L ∈ PN
L ∈ MK ⊂(SAB) ⇒L =PN∩(SAB).
4. Trong(ABC), gọi J =BC∩PI. Khi đó(MNP)∩(SBC)= JN.
Trong(SBC), gọiQ=SC∩JN. Ta có
(MNP)∩(SAB)= MK
(MNP)∩(SBC)= IQ
(MNP)∩(SAC) =MQ
(MNP)∩(ABC)=K J.
Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác MQJK.
Bài 12. Cho tứ diện SABC. Gọi I, J, K lần lượt là 3 điểm nằm trong ba mặt phẳng (SAB),(SBC),(ABC).
1. Tìm giao điểm của I J với(ABC).
2. Tìm giao tuyến của(I JK)với các mặt của hình chóp. Từ đó suy ra thiết diện của (I JK)cắt bởi hình chóp.
Lời giải.
1. Tìm giao điểm của I Jvới(ABC).
13 Trong(SAB), gọiM =SI∩AB.
Trong(SBC), gọiN =SJ∩BC.
Suy ra(SI J)∩(ABC)= MN.
Trong(SI J), gọiH = I J∩MN.
Ta có
®H ∈ I J
H ∈ MN ⊂(ABC) ⇒ H =
I J∩(ABC).
S
B
M N
H K D
A E L I
C J
F
2. Tìm giao tuyến của(I JK)và(ABC).
Ta có
®K ∈(I JK)∩(ABC)
H ∈(I JK)∩(ABC) ⇒ HK =(I JK)∩(ABC).
Trong(ABC), gọiD =HK∩BCvàE= HK∩AC.
+ Tìm(I JK)∩(SBC).
Ta cóJ ∈(I JK)∩(SBC) (1). Mặt khác
®D ∈ HK ⊂(I JK)
D ∈ BC ⊂(SBC) ⇒D ∈(I JK)∩(SBC) (2).
Từ(1)và(2)suy raDJ =(I JK)∩(SBC).
+ Tìm(I JK)∩(SAB).
Ta cóI ∈ (I JK)∩(SAB) (3).
Trong(SBC), gọiF =DJ∩SB. Ta có
®F ∈ DJ ⊂(I JK)
F ∈ SB⊂(SAB) ⇒ F∈ (I JK)∩(SAB) (4).
Từ(3)và(4)suy raFI =(I JK)∩(SAB).
+ Tìm(I JK)∩(SAC).
Trong(SAB), gọiL =FI∩SA. Ta có
®L∈ FI ⊂(I JK)
L∈ SA⊂(SAC) ⇒ L=(I JK)∩(SAC) (5).
Trong(ABC), gọiE= HK∩AC. Ta có
®E ∈ HK ⊂(I JK)
E ∈ AC⊂(SAC) ⇒ E∈ (I JK)∩(SAC) (6).
Từ(5)và(6)suy raLE=(I JK)∩(SAC).
Vậy thiết diện cần tìm là tứ giácDFLE.
Bài 13. Cho hình chópS.ABCD có đáy ABCDlà hình bình hành tâmO. Gọi M, N, I lần lượt nằm trên ba cạnh AD, CD, SO. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MN I).
Lời giải.
14 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Trong (ABCD), gọi J = BD∩
MN,K = MN∩AB,H = MN∩ BC.
Trong(SBD), gọiQ= I J∩SB.
Trong(SAB), gọiR=KQ∩SA.
Trong(SBC), gọiP =QH∩SC.
Vậy thiết diện là ngũ giác MNPQR.
S
P
A
B C
O
K
M
N
J D
I
H Q
R
Bài 14. Cho hình chópS.ABCD. Gọi M, N, Plần lượt là trung điểm lấy trên AB, AD vàSC. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng(MNP).
Lời giải.
Trong (ABCD), gọi E = MN ∩ DC, F = MN∩BC.
Trong(SCD), gọiQ =EP∩SD.
Trong(SBC), gọiR =EP∩SB.
Vậy thiết diện là ngũ giácMNPQR.
S
R
M F
A B
N E
C
D P
Q
DẠNG 0.3. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Muốn tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P), ta có hai có hai cách làm như sau
15
Cách 1: Những bài toán đơn giản, có sẵn một mặt phẳng(Q)chứa đường thẳng dvà một đường thẳng a thuộc mặt phẳng (P). Giao điểm của hai đường thẳng không song songdvàachính là giao điểm của đường thẳng dvà mặt phẳng (P).
Cách 2: Tìm một mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d, sao cho dễ dàng tìm giao tuyến a với mặt phẳng (P). Giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P) chính là giao điểm của đường thẳngdvà giao tuyến avừa tìm.
d Q
P a
A
Bài 15. Cho tứ diệnABCD. GọiM,Nlần lượt là trung điểm của ACvàBC.Klà điểm nằm trên BDsao choKD <KB. Tìm giao điểm củaCDvàADvới mặt phẳng(MNK).
Lời giải.
Tìm giao điểm củaCDvới mp(MNK).
Các bạn để ýCDvàNKcùng thuộc mặt phẳng(BCD)và chúng không song song nên hai đường thẳng này sẽ cắt nhau tại một điểmI, nhưngNKlại thuộc mp(MNK)suy raIthuộc mp(MNK).
Vậy I chính là giao điểm củaCDvà mp(MNK).
Ta có thể trình bày lời giải như sau:
Trong mặt phẳng(BCD), gọi I =CD∩NK.
Vì
®I ∈ CD
I ∈ NK,NK ⊂(MNK) ⇒ I =CD∩(MNK).
A
B
M
C
K D
I H
N
Tìm giao điểm của ADvà(MNK).
Chọn mặt phẳng(ADC)chứaAD. Sau đó tìm giao tuyến của(ACD)và(MNK), ta trình bày như sau:
®M∈ (MNK)
M∈ AC,AC ⊂(ACD) ⇒ M ∈(MNK)∩(ACD).
®I ∈ NK,NK ⊂(MNK)
I ∈ CD,CD⊂(ACD) ⇒ I ∈ (MNK)∩(ACD).
Vậy(MNK)∩(ACD)= MI. GọiH = MI∩AD. Suy ra H = AD∩(MNK).
Bài 16. Cho tứ diện ABCD. Trên AB,AC,BD lấy lần lượt ba điểm M,N,P sao cho MN không song song với BC, MP khong song song với AD. Xác định giao điểm của các đường thẳng BC,AD,CDvới mặt phẳng(MNP).
Lời giải.
16 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Tìm giao điểm củaBCvà(MNP).
Trong(ABC), gọi H= MN∩BC.
®H∈ BC
H∈ MN,MN ⊂(MNP) ⇒ H ∈
BC∩(MNP).
Tìm giao điểm củaADvà(MNP).
Trong(ACD), gọi I = MP∩AD.
®I ∈ AD
I ∈ MP,MP⊂(MNP) ⇒ I ∈
AD∩(MNP).
Tìm giao điểm củaCDvà(MNP).
®I ∈ AD,AD ⊂(ACD)
N ∈ AC,AC ⊂(ACD) ⇒ I N ⊂(ACD).
A
H
C
J D N
I M
P B
Trong(ACD)gọi J = N I∩CD.
®J ∈ CD
I ∈ N I,N I ⊂(MNP) ⇒ J =CD∩(MNP).
Bài 17. Cho tứ diệnABCD. trênACvàADlấy hai điểmM,Nsao choMNkhông song song vớiCD. GọiOlà điểm bên trong tam giác(BCD).
1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(OMN)và(BCD).
2. Tìm giao điểm của BCvới(OMN).
3. Tìm giao điểm của BDvới(OMN).
Lời giải.
1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (OMN) và (BCD).
Ta cóO∈ (OMN)∩(BCD). (1)
Trong(ACD), gọi I = MN∩CD.
®I ∈ MN,MN ⊂(MNO)
I ∈ CD,CD ⊂(BCD) ⇒ I ∈ (OMN) ∩
(BCD). (2)
Từ(1)và(2)ta cóOI =(OMN)∩(BCD).
2. Tìm giao điểm củaBCvới(OMN).
Trong(BCD), gọiP = BC∩OI. Ta có P = BC∩ (OMN).
3. Tìm giao điểm củaBDvới(OMN).
Trong(BCD), gọiQ=BD∩OI. Ta cóQ=BD∩ (OMN).
A
B Q M
C
O D
N
I
P
Bài 18. Cho tứ diện ABCD, lấy M ∈ AB, N ∈ AC sao cho MN không song song với BC, I là điểm thuộc miền trong4BCD. Xác định giao điểm của các đường thẳngBC, BD,CDvới(MN I).
Lời giải.
17 Tìm giao điểm củaBCvới(MN I).
Trong(ABC), gọi H= MN∩BC.
®H∈ BC
H∈ MN,MN ⊂(MN I) ⇒ H =BC∩(MN I).
Tìm giao tuyến của(BCD)với(MN I).
®H∈ MN,MN ∈ (MN I)
H∈ BC,BC ⊂(BCD) ⇒ H ∈(MN I)∩(ACD). (1)
Lại có I ∈ (MN I)∩(BCD). (2)
Từ(1)và(2)ta cóH I =(MN I)∩(BCD).
Tìm giao điểm củaBDvới(MN I).
Trong(BCD), gọiE= H I∩BD.
®E∈ BD
E∈ H I,H I ⊂(MN I) ⇒E= BD∩(MN I).
Tìm giao điểm củaCDvới(MN I).
Trong(BCD), gọiF =H I∩CD.
A
B H
M
C E
I
D N
F K
®F∈ CD
F∈ H I,H I ⊂(MN I) ⇒ F=CD∩(MN I).
Bài 19. Cho tứ diệnABCD. GọiM,Nlần lượt là các trung điểm của các cạnh AC,BC.
Trên cạnhBDlấy điểmPsao choBP=2PD. LấyQthuộcABsao choQMcắtBC. Tìm 1. giao điểm củaCDvà(MNP).
2. giao điểm của ADvà(MNP).
3. giao tuyến của(MPQ)và(BCD).
4. giao điểm củaCDvà(MPQ).
5. giao điểm của ADvà(MPQ).
Lời giải.
1. Tìm giao điểm củaCDvà(MNP).
Trong(BCD), gọiE=CD∩NP.
®E∈ CD
E∈ NP,NP⊂(MNP) ⇒ E =
CD∩(MNP).
2. Tìm giao điểm củaADvà(MNP).
Tìm giao tuyến của (ACD) và (MNP).
®M∈ (MNP)
M∈ AC,AC ⊂(ACD) ⇒ M ∈
(MNP)∩(ACD). (1)
®E∈ NP,NP⊂(MNP)
E∈ CD,CD ⊂(ACD) ⇒ E ∈
(MNP)∩(ACD). (2)
Từ (1) và (2) ta có EM = (MNP)∩ (ACD).
Trong (ACD), gọi F = AD∩ EM.
Suy ra F= AD∩(MNP).
A
B N
C
P L
K
Q M F
T D
E
18 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 3. Tìm giao tuyến của(MPQ)và(BCD).
Trong(ABC), gọiK= QM∩BC.
®K∈ BC,BC ⊂(BCD)
K∈ QM,QM⊂(MPQ) ⇒K ∈(MPQ)∩(BCD). (3)
®P∈ BD,BD⊂(BCD)
P∈ (MPQ) ⇒ P∈ (MPQ)∩(BCD). (4)
Từ(3)và(4)ta cóKP =(MPQ)∩(BCD).
4. Tìm giao điểm củaCDvà(MPQ).
Trong(BCD)gọiL =KP∩CD.
®L ∈CD
L ∈ KP,KP⊂(MPQ) ⇒ L=CD∩(MPQ).
5. Tìm giao điểm củaADvà(MPQ).
Tương tự như trên, ta tìm đượcML=(PQ)∩(ACD).
Trong(ACD), gọiT = AD∩ML. Suy raT = AD∩(MPQ).
Bài 20. Cho hình chóp S.ABCD có ABvà CD không song song. Gọi M là một điểm thuộc miền trong tam giácSCD.
1. Tìm giao điểm NcủaCDvà(SBM).
2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(SBM)và(SAC).
3. Tìm giao điểm IcủaBMvà(SAC).
4. Tìm giao điểm Pcủa SC và(ABM). Từ đó suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng (SCD)và(ABM).
Lời giải.
1. Tìm giao điểm NcủaCDvà(SBM).
Trong(SCD), gọi N =SM∩CD.
®N ∈ CD
N ∈ SM,SM ⊂(SBM) ⇒ N =CD∩(SBM).
2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(SBM)và(SAC).
Ta có một lưu ý rằng(SBN)≡(SBM).
Trong(ABCD), gọiO =AC∩BN.
®O ∈ AC,AC ⊂(SAC)
O ∈ BN,BN ⊂(SBN) ⇒O∈ (SAC)∩(SBN). (1)
Lại cóS∈ (SAC)∩(SBN). (2)
Từ(1)và(2)ta cóSO =(SAC)∩(SBN).
S
A
B C
N D M P O I
3. Tìm giao điểm IcủaBMvà(SAC).
Trong(SBN), gọi I =BM∩SO.
®I ∈ BM
I ∈ SO,SO ⊂(SAC) ⇒ I =BM∩(SAC).
4. Tìm giao điểmPcủaSCvà(ABM). Từ đó suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng(SCD) và(ABM).Ta có(ABM)∩(SAC)= AI.
Trong(SAC), gọiP= AI∩SC. Suy raP=SC∩(ABM). Khi đó(SCD)∩(ABM) =MP.
19 Bài 21. Cho tứ giácABCDvà một điểmSkhông thuộc mặt phẳng(ABCD). Trên đoạn AB lấy một điểm M, trên đoạn SC lấy một điểm N (M,N không trùng với các đầu mút).
1. Tìm giao điểm của đường thẳng ANvới mặt phẳng(SBD).
2. Tìm giao điểm của đường thẳngMN với mặt phẳng(SBD).
Lời giải.
1. Tìm giao điểm của đường thẳngANvới mặt phẳng (SBD).
• Chọn mặt phẳng phụ(SAC)⊃ AN. Ta tìm giao tuyến của(SAC)và(SBD).
Trong (ABCD) gọi P = AC ∩ BD. Suy ra (SAC)∩(SBD)=SP.
• Trong(SAC)gọiI =AN∩SP.
®I ∈ AN
I ∈ SP,SP⊂(SBD) ⇒ I = AN∩(SBD).
2. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng(SBD).
• Chọn mặt phẳng phụ (SMC) ⊃ MN. Ta tìm giao tuyến của(SMC)và(SBD).
Trong (ABCD) gọi Q = MC ∩ BD. Suy ra (SMC)∩(SBD)=SQ.
• Trong(SMC)gọi J =MN∩SQ.
®J ∈ MN
J ∈ SQ,SQ⊂(SBD) ⇒ J = MN∩(SBD).
S
A
J
B
M C
D P
N
Q I
Bài 22. Cho hình chópS.ABCD. GọiOlà giao điểm củaACvàBD. M, N,Plần lượt là các điểm trênSA,SB,SD.
1. Tìm giao điểm IcủaSOvới mặt phẳng(MNP).
2. Tìm giao điểmQcủaSCvới mặt phẳng(MNP).
Lời giải.
1. Tìm giao điểm IcủaSOvới mặt phẳng(MNP).
20 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Trong mặt phẳng(SBD), gọiI =SO∩NP, có
®I ∈ SO
I ∈ NP ⊂(MNP) ⇒ I =SO∩(MNP).
2. Tìm giao điểmQcủaSCvới mặt phẳng(MNP).
•Chọn mặt phẳng phụ(SAC)⊃SC.
•Tìm giao tuyến của(SAC)và(MNP).
Ta có
®M∈ (MNP)
M∈ SA, SA ⊂(SAC) ⇒ M ∈
(MNP)∩(SAC). (1)
Và
®I ∈ SP, SP⊂(MNP)
I ∈ SO, SO ⊂(SAC) ⇒ I ∈ (MNP) ∩
(SAC). (2)
B A
M N
C D P
Q S
I
O
Từ(1)và(2)có(MNP)∩(SAC)= MI.
• Trong mặt phẳng (SAC) gọi Q = SC∩ MI, có
®Q ∈SC
Q ∈ MI, MI ⊂(MNP) ⇒ Q =
SC∩(MNP).
Bài 23. Cho tứ diệnABCD. GọiM, Nlà hai điểm trênACvàAD.Olà điểm bên trong tam giác BCD. Tìm giao điểm của
1. MN và mặt phẳng(ABO).
2. AOvà mặt phẳng(BMN).
Lời giải.
21
1. Tìm giao điểm của MNvà mặt phẳng(ABO).
•Chọn mặt phẳng phụ(ACD)⊃MN.
•Tìm giao tuyến của(ACD)và(ABO).
Ta cóAlà điểm chung của(ACD)và(ABO). (1) Trong mặt phẳng(BCD), gọiP= BO∩CD, ta có
®P∈ BO, BO⊂(ABO)
P∈ CD, CD ⊂(ACD) ⇒ P ∈ (ABO)∩(ACD).
(2)
Từ(1)và(2)suy ra(ACD)∩(ABO) =AP.
•Trong(ACD), gọiQ = AP∩MN, có
®Q∈ MN
Q∈ AP, AP⊂(ABO) ⇒ MN∩(ABO)=Q.
2. Tìm giao điểm của AOvà mặt phẳng(BMN).
•Chọn mặt phẳng(ABP)⊃ AO.
•Tìm giao tuyến của(ABP)và(BMN).
Ta cóBlà điểm chung của(ABP)và(BMN). (3)
®Q∈ MN, MN ⊂(BMN)
Q∈ AP, AP⊂(ABP) ⇒ Q ∈ (ABP) ∩
(BMN). (4)
Từ(3)và(4)suy ra(ABP)∩(BMN)= BQ.
Gọi I = BQ ∩ AO (vì BQ, AO ∈ (ABP)), có
®I ∈ AO
I ∈ BQ, BQ⊂(BMN) ⇒ I = AO∩(BMN).
B
M
C D N
P Q
A
I
O
Bài 24. Trong mặt phẳng(α)cho hình thang ABCD, đáy lớnAD. Gọi I, J,Klần lượt là các điểm trênSA, AB,BC (Kkhông là trung điểmBC). Tìm giao điểm của
1. IKvà(SBD).
2. SDvà(I JK).
3. SC và(I JK).
Lời giải.
A
B I
Q
C D
E F
N S
J
K MP
22 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 1. Tìm giao điểm của IKvà mặt phẳng(SBD).
•Chọn mặt phẳng phụ(SAK)⊃ IK.
•Tìm giao tuyến của(SAK)và(SBD).
Ta cóSlà điểm chung của(SAK)và(SBD). (1)
Trong mặt phẳng(ABCD), gọiP =AK∩BD, ta có
®P∈ AK, AK ⊂(SAK)
P∈ BD, BD⊂(SBD) ⇒P ∈(SAK)∩(SBD). (2)
Từ(1)và(2)suy ra(SAK)∩(SBD)=SP.
•Trong(SAK), gọiQ= IK∩SP, có
®Q ∈ IK
Q ∈SP, SP⊂(SBD) ⇒Q = IK∩(SBD).
2. Tìm giao điểm củaSDvà mặt phẳng(I JK).
•Chọn mặt phẳng phụ(SBD)⊃SD.
•Tìm giao tuyến của(SBD)và(I JK).
Ta cóQlà điểm chung của(SBD)và(I JK). (3)
Trong mặt phẳng(ABCD), gọiM = JK∩BD⇒ Mlà điểm chung của(I JK)và(SBD).
(4)
Từ(3)và(4)suy ra(I JK)∩(SBD)=QM.•Trong mặt phẳng(SBD), gọiN = QM∩SD.
Ta có
®N ∈SD
I ∈ QM, QM ⊂(I JK) ⇒N =SD∩(I JK).
3. Tìm giao điểm củaSCvà mặt phẳng(I JK).
•Chọn mặt phẳng phụ(SAC)⊃SC.
•Tìm giao tuyến của(SAC)và(I JK).
Ta có
®I ∈ (I JK)
I ∈ SA, SA ⊂(SAC) ⇒ I ∈(I JK)∩(SAC). (5)
GọiE= AC∩ JK(vì AC, JK ⊂(ABCD)). VậyE ∈(I JK)∩(SAC). (6) Từ(5)và(6)suy ra(I JK)∩(SAC)= IE.
• Trong mặt phẳng(SAC), gọiF = IE∩SC. Ta có
®F ∈SC
F ∈ IE, IE ⊂(I JK) ⇒ F = SC∩ (I JK).
Bài 25. Cho tứ diệnSABC. Gọi I, Hlần lượt là trung điểm củaSA, AB. Trên cạnhSC lấy điểmKsao choCK=3SK.
1. Tìm giao điểmFcủaBCvới mặt phẳng(I HK). Tính tỉ số FB FC.
2. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng I H. Tìm giao điểm củaKM và mặt phẳng (ABC).
Lời giải.
23
A
B
E M C
K
F
D
N S
I
J H
1. Tìm giao điểmFcủaBCvới mặt phẳng(I HK). Tính tỉ số FB FC.
•Ta tìm giao tuyến của(ABC)và(I HK)trước.
GọiE= AC∩KI(AC, KI ⊂(SAC)), ta có
®E∈ AC, AC ⊂(ABC)
E∈ KI, KI⊂(I HK) ⇒E∈ (ABC)∩(I HK). (1)
®H ∈ (I HK)
H ∈ AB, AB⊂(ABC) ⇒ H ∈(ABC)∩(I HK). (2)
Từ(1)và(2)suy raEH =(ABC)∩(I HK).
•GọiF =EH∩BC(EH, BC ⊂(ABC)), có
®F ∈ BC
F ∈ EH, EH ⊂(I HK) ⇒ F= BC∩(I HK).
GọiDlà trung điểm củaSC, ta có IKlà đường trung bình của4SAD.
Trong4CEKcó CA
AE = CD
DK =2⇒CA =2CK.
Trong mặt phẳng(ABC)kẻ AN k EF(N ∈ BC). Ta có HF k AN ⇒ BH
H A = BF
FN =1⇒ BF=FN.
EFk AN ⇒ CA
AE = CN
NF =2 ⇒CN =2NF.
Do đó FB
FC = FB
FN+NC = FB 3FB = 1
3.
2. Tìm giao điểm củaKMvà mặt phẳng(ABC).
Ta cóKM ⊂(I HK). Gọi J =KM∩EH(EH, KM ⊂(I HK)).
Ta có
®J ∈ KM
J ∈ EH, EH ⊂(ABC) ⇒ J =KM∩(ABC).
DẠNG 0.4. Tìm thiết diện của hình(H)khi cắt bởi mặt phẳng(P).
Phương pháp giải
24 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Bài 26. Cho hình chópS.ABCD có đáy ABCDlà hình bình hành tâmO. Gọi M, N, I lần lượt nằm trên ba cạnh AD, CD, SO. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MN I).
Lời giải.
Trong mặt phẳng (ABCD), gọi J = BD∩ MN,K = MN∩AB, H = MN∩BC.
Trong mặt phẳng(SBD), gọiQ= I J∩SB.
Trong mặt phẳng(SAB), gọiR=KQ∩SA.
Trong mặt phẳng(SBC), gọiP=QH∩SC.
Vậy, thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng(MN I)là ngũ giác MNPQR.
B
A
I Q
D P S
C R
O M
J
K
H N
Bài 27. Cho hình chópS.ABCD. Gọi M, N, Plần lượt là trung điểm lấy trên AB, AD vàSC. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng(MNP).
Lời giải.
Trong mặt phẳng (ABCD), gọi E = MN ∩ DC, F= MN∩BC.
Trong mặt phẳng(SCD), gọiQ=EP∩SD.
Trong mặt phẳng(SBC), gọiR=FP∩SB.
Vậy, thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng(MNP)là ngũ giác MNQPR.
A F
M
C
D P
Q S
B R
N
E
DẠNG 0.5. Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng qui, chứng minh một điểm thuộc một đường thẳng cố định.
•Phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng:
25
Muốn chứng minh ba điểmA,B,Cthẳng hàng, ta chứng minh ba điểm đó lần lượt thuộc hai mặt phẳng phân biệt (α) và(β) thì suy ra ba điểm A, B, Cnằm trên giao tuyến của (α) và(β), nên chúng thẳng hàng.
α β
A B C
•Phương pháp chứng minh ba đường thẳng đồng quy:
Ta tìm giao điểm của hai đường thẳng trong ba đường thẳng đã cho, rồi chứng minh giao điểm đó nằm trên đường thẳng thứ ba. Cụ thể như sau:
Chọn một mặt phẳng(P)chứa hai đường thẳng(a)và(b). GọiI =(a)∩(b).
Tìm một mặt phẳng(Q)chứa đường thẳng(a), tìm một mặt phẳng(R)chứa đường thẳng (b), sao cho(c) =(Q)∩(R) ⇒ I ∈(c).
Vậy, ba đường thẳng(a),(b),(c)đồng quy tại điểm I.
(a), (b)⊂(P) (a)∩(b) =I (P)∩(Q) =(a) (P)∩(R)=(b) (Q)∩(R) =(c)
⇒(a)∩(b)∩(c)= I.
a b
c
Q P R
I
Bài 28. Cho tứ diệnSABC. TrênSA,SBvàSClần lượt lấy các điểmD,E,Fsao choDE cắt ABtạiI,EFcắtBCtạiJ, FDcắtCAtạiK. Chứng minh ba điểmI, J,Kthẳng hàng.
Lời giải.
I
D
K E
S
J F
A C
B Ta có
•
I =AB∩DE(AB, DE⊂(SAB)) I ∈ AB, AB⊂(ABC)
I ∈ DE, DE⊂(DEF)
⇒ I ∈ (ABC)∩(DEF). (1)
•
K = AC∩DF(AC, DF ⊂(SAC)) I ∈ AC, AC⊂(ABC)
K ∈ DF, DF⊂(DEF)
⇒K ∈(ABC)∩(DEF). (2)
•
J =BC∩EF(BC, EF ⊂(SBC)) J ∈ BC, BC⊂(ABC)
J ∈ EF, EF⊂(DEF)
⇒ J ∈ (ABC)∩(DEF). (3)
26 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Từ(1),(2)và(3)suy ra ba điểmI, J, Kthẳng hàng.
Bài 29. Cho tứ diện ABCD cóG là trọng tâm tam giác BCD, Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC,CD.
1. Tìm giao tuyến của(AND)và(ABP).
2. GọiI =AG∩MP, J =CM∩AN. Chứng minhD, I, Jthẳng hàng.
Lời giải.
M
J I
A
D
C B
N G P
1. Tìm giao tuyến của(AND)và(ABP).
A∈ (ABP)∩(ADN). (1)
Ta cóG=BP∩DN, có
®G ∈ BP, BP⊂(ABP)
G ∈ DN, DN ⊂(ADN) ⇒ G∈ (ABP)∩(ADN). (2)
Từ(1)và(2)ta cóAG=(ABP)∩(ADN).
2. Chứng minhD, I, Jthẳng hàng.
I = AG∩MP, AG⊂(ADG), MP⊂(DMN) ⇒ I ∈(ADG)∩(DMN). (3)
J =CM∩ AN, AN ⊂(ADG),CM ⊂(DMN)⇒ J ∈ (ADG)∩(DMN). (4)
D∈ (ADG)∩(DMN). (5)
Từ (3), (4), (5) suy ra ba điểm D, I, J thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (ADG) và (DMN).
Vậy ba điểmD, I, Jthẳng hàng.
Bài 30. Cho hình bình hành ABCD.Slà điểm không thuộc (ABCD), MvàN lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng ABvàSC.
1. Xác định giao điểm I = AN∩(SBD).
2. Xác định giao điểm J = MN∩(SBD).
3. Chứng minh ba điểm I, J,Bthẳng hàng.
Lời giải.
27
A
B M
D
C N
S
I
O K
J
1. Xác định giao điểmI =AN∩(SBD).
•Chọn mặt phẳng phụ(SAC)chứa AN. Ta tìm giao tuyến của(SAC)và(SBD).
Trong mặt phẳng(ABCD)gọiOlà giao điểm củaAC vàBD. Hai mặt phẳng(SAC)và (SBD)có hai điểm chung làSvàO.
Vậy(SAC)∩(SBD)=SO.
•Trong mặt phẳng(SAC)gọiI = AN∩SO. Ta có I = AN∩(SBD).
2. Xác định giao điểm J =MN∩(SBD).
•Chọn mặt phẳng phụ(SMC)chứa MN. Ta tìm giao tuyến của(SMC)và(SBD).
Trong mặt phẳng (ABCD) gọiK là giao điểm của MC và BD. Hai mặt phẳng (SMC) và(SBD)có hai điểm chung làSvàK.
Vậy(SMC)∩(SBD)=SK.
•Trong mặt phẳng(SMC)gọiJ = MN∩SK. Ta có J =MN∩(SBD).
3. Chứng minh ba điểmI, J, Bthẳng hàng.
•Ta cóBlà điểm chung của(ABN)và(SBD). (1)
•
®I ∈ SO, SO⊂(SBD)
I ∈ AN, AN ⊂(ABN) ⇒ I ∈(ABN)∩(SBD). (2)
•
®J ∈ SK, SK ⊂(SBD)
J ∈ MN, MN ⊂(ABN) ⇒ J ∈(ABN)∩(SBD). (3)
Từ(1),(2)và(3)suy ra ba điểmI, J, Bthẳng hàng.
Bài 31. Cho tứ giácABCDvàS 6∈(ABCD). Gọi I, Jlà hai điểm trênADvàSB, ADcắt BCtạiOvàOJ cắtSCtại M.
1. Tìm giao điểmK =I J∩(SAC).
2. Xác định giao điểmL =DJ∩(SAC).
3. Chứng minhA, K, L, Mthẳng hàng.
Lời giải.
28 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 1. Tìm giao điểmK= I J∩(SAC).
Chọn mặt phẳng phụ(SIB)chứa I J.
Tìm giao tuyến của(SIB)và(SAC).
cóS∈ (SBI)∩(SAC) (1)
Trong mặt phẳng(ABCD)gọiE= AC∩BI, ta có:
®E∈ AC, AC⊂(SAC)
E∈ BI, BI ⊂(SBI) ⇒E =(SAC)∩(SBI) (2) Từ(1)và(2)suy raSE=(SBI)∩(SAC).
Trong mặt phẳng(SIB), gọiK= I J∩SE.
Ta có
®K ∈ I J
K ∈ SE,SE⊂(SAC) ⇒K =I J∩(SAC) 2. Xác định giao điểmL =DJ∩(SAC).
Chọn mặt phẳng phụ (SBD) chứa DJ. Tìm giao tuyến của(SBD)với(SAC).
Ta cóS∈ (SBD)∩(SAC) (3)
S
A B
D C I
J
O M
E
F L
Trong mặt phẳng(ABCD) gọiF = AC ⊂ BD. Suy ra F là điểm chung thứ hai của hai mặt
phẳng(SBD)và(SAC). (4)
Từ(3)và(4)suy raSF =(SBD) ⊂(SAC). Trong mặt phẳng(SBD)gọiL= DJ∩SF.
Vậy
®L ∈ DJ
L ∈ SF, SF⊂(SAC) ⇒ L= DJ∩(SAC) 3. Chứng minh A, K, L, Mthẳng hàng.
Ta cóA ∈(SAC)∩(AJO) (3) và
®K ∈ I J, I J ⊂(AJO)
K ∈SE, SE⊂(SAC) ⇒ K∈ (SAC)∩(AJO). (4) có
®L∈ DJ, DJ⊂(AJO)
L∈ SF, SF⊂(SAC) ⇒ L∈ (SAC)∩(AJO) (5) có
®M∈ JO, JO⊂(AJO)
M∈ SC, SC ⊂(SAC) ⇒ M∈ (SAC)∩(AJO) (6)
Từ (3), (4), (5) và (6) suy ra bốn điểm A, K, L, Mcùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng
(SAC)và(AJO). Vậy A, K, L, Mthẳng hàng.
Bài 32. Cho tứ giác ABCDvàS6∈(ABCD). GọiM, Nlà hai điểm trênBCvàSD.
Tìm giao điểm J =BN∩(SAC) 1.
Tìm giao điểm J = MN∩(SAC) 2.
Chứng minh rằngC, I, Jthẳng hàng.
3.
Lời giải.
29 1. Tìm giao điểm I =BN∩(SAC)
Chọn mặt phẳng phụ(SBD)chứaBN.
Tìm giaio tuyến của hai mặt phẳng (SBD) và (SAC). Trong mặt phẳng (ABCD) gọi O = AC∩ BD.
Hai mặt phẳng(SAC)và(SBD)có hai điểm chung làSvàO. Vậy giao tuyến của chúng làSO.
Trong mặt phẳng(SBD)gọi I =BN∩SO.
Ta có
®I ∈ BN
I ∈ SO, SO⊂(SAC) ⇒ I =BN∩(SAC).
2. Tìm giao điểm J = MN∩(SAC).
Chọn mặt phẳng phụ(SMD)chứa MN. Tìm giao tuyến của(SMD)và(SAC).
Trong mặt phẳng(ABCD), gọiK = AC∩DM. Hai mặt phẳng (SAC)và(SMD) có hai điểm chung là SvàK.
Vậy giao tuyến của chúng làSK.
Trong mặt phẳng SMD, gọi J = MN∩SK. Ta có
®J ∈ MN
J ∈ SK, SK ⊂(SAC) ⇒ J = MN∩(SAC) 3. Chứng minhC, I, Jthẳng hàng.
S
A
B
O
M C
D N
I
K J
Theo cách tìm điểm ở những câu trên, ta có ba điểm C, I, J là điểm chung của hai mặt phẳng(BCN)và(SAC)⇒Ba điểmC, I, J cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng(BCN)
và(SAC). Kết luậnC, I, J thẳng hàng.
Bài 33. Cho hình chópS.ABCD. Gọi M, N, Plần lượt là trung điểm của SA, SB, SC.
GọiE= AB∩CD, K = AD∩BC
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(SAC)∩(SBD) , (MNP)∩(SBD).
1.
Tìm giao điểmQcủa đường thẳngSDvới mặt phẳng(MNP).
2.
GọiH = N M∩PQ. Chứng minh ba điểmS, H, Ethẳng hàng.
3.
Chứng minh ba đường thẳngSK, QM, NPđồng quy.
4.
Lời giải.
30 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 1. Tìm giao tuyến của(SAC)∩(SBD).
Trong mặt phẳng ABCD gọi O = AC∩ BD, có:
®O ∈ AC, AC ⊂(SAC)
O ∈ BD, BD⊂(SBD) ⇒ O ∈ (SAC)∩
(SBD) (1)
S ∈(SAC)∩(SBD) (2)
Từ (1) và(2) suy ra (SAC)∩(SBD) = SO.
Tìm giao tuyến của(MNP)∩(SBD).
Trong mặt phẳng(SAC)gọiF = MP∩SO, có®
F ∈ MP, MP⊂(MNP)
F ∈ SO, SO⊂(SBD) ⇒F ∈(MNP)∩
(SBD) (3)
có:
®N ∈(MNP)
N ∈ SB, SB⊂(SBD) ⇒ N ∈
(MNP)∩(SBD) (4)
Từ (3) và (4) suy ra(MNP)∩(SBD) =NF.
2. Tìm giao điểm Q của đường thẳng SD với(MNP).
GọiQ= NF∩SD(vì NF, SD⊂(SBD)).
Ta có
®Q ∈ SD
Q ∈ NF, NF ⊂(MNP) ⇒ Q =
SD∩(MNP).
A
B M
N
C D
E P
K O
S
H F
Q G
3. GọiH = N M∩PQ. Chứng minh ba điểmS, H, Ethẳng hàng.
Ta có
H = MN∩PQ, MN ⊂(SAB) , PQ⊂(SCD)⇒ H ∈(SAB)∩(SCD) (∗) E = AB∩CD, AB⊂(SAB) , CD ⊂(SCD)⇒E∈ (SAB)∩(SCD) (∗∗) S ∈(SAB)∩(SCD) (∗ ∗ ∗)
Từ (*), (**), (***) suy ra ba điểmS, H, Ethuộc giao tuyến của hai mặt phẳng(SAB)và(SCD) nên ba điểmS, H, Ethẳng hàng.
4. Chứng min ba đường thẳngSK, QM, NPđồng quy.
GọiG= MQ∩NP(vì MQ, NP ⊂(MNP)) (5) có®
G ∈ MQ, MQ⊂(SAD)
G ∈ NP, NP ⊂(SBC) ⇒ G∈ (SAD)∩(SBC) (6) Ngoài ra(SAD)∩(SBC)=SK ⇒G ∈ SK. (7)
Từ (5),(6),(7) suy ra ba đường thẳngSK, QM, NPđồng quy.
Bài 34. Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCDlà hình bình hành. GọiMlà trung điểm của cạnhSD, I là điểm trên cạnhSAsao cho AI =2IS. GọiKlà giao điểm củaI Mvới mặt phẳng ABCD. Tính tỷ số KD
KA. Gọi N là trung điểm của BC. Tìm thiết diện của hình chópS.ABCDcắt bởi mặt phẳng(AMN).
Lời giải.
31 S
A
B C
E
M
K P D
N
S
I
F
A D K
M
Trong mặt phẳng(SAD)gọiK= I M∩AD.
Vì®
K ∈ I M
K ∈ AD, AD⊂(ABCD) ⇒K = I M∩(ABCD).
Dựng DF k KI(F ∈ SA). Trong ∆SDF có I M là đường trung bình của tam giác ⇒ SI = IF= FA.
Từ đó suy raFDlà đường trung bình của tam giác∆AIK⇒ Dlà trung điểm của AK.
Kết luận KD KA = 1
2.
Trong mặt phẳng(ABCD), gọiE =AN∩CD.
Trong mặt phẳng(SCD), gọiP = EM∩SC. Từ đó suy ra thiết diện của hình chóp S.ABCD
bị cắt bởi mặt phẳng(AMN)là tứ giácAMPN.
Bài 35. Cho tứ diện ABCD. Gọi P và Q lần lượt là những điểm nằm trên hai đoạn thẳng BC vàBD, M là một điểm nằm trên AC. Giả sử không tồn tại song song trong hình vẽ của bài toán
Tìm giao điểm của đường thẳng ABvà mặt phẳng(MPQ). Suy ra giao điểm N của đường thẳng ADvà mặt phẳng(MPQ).
1.
PQcắtCDtại điểm I. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(MPQ)với mặt phẳng (ACD). Nhận xét gì về vị trí củaM, N, I?
2.
DPvàCQcắt nhau tạiE, MQvàNPcắt nhau tạiF. Chứng tỏ rằngA, E, Fthẳng hàng.
3.
Lời giải.
32 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN a. Trong mặt phẳng(ABC), gọiH = AB∩MP.
Có®
H∈ AB
H∈ PM, PM ⊂(MPQ) ⇒ H = AB ∩
(MPQ).
Ta có H và Q là hai điểm chung của hai mặt phẳng (MPQ) và (ABD) nên giao tuyến của chúng là đường thẳng HQ. HQ cắt AD tại N, thìNlà giao điểm của ADvà(MPQ).
b. MvàIlà hai điểm chung của hai mặt phẳng (MPQ)và(ACD). Vậy giao tuyến của(ACD)và (MPQ)là đường thẳngMI.
Vì N ∈ (MPQ)∩(ACD) ⇒ N ∈ MI. Vậy ba
điểmM, N, Ithẳng hàng.
c. Vì ba điểm A, E, Flà ba điểm chung của hai mặt phẳng (ADP) và(ACQ) nên chúng thuộc giao tuyến của hai mặt(ADP)và(ACQ).
Kết luận ba điểm A, E, Fthẳng hàng.
A
M I
H
C N F
Q N
B
P
C
BÀI TẬP TỔNG HỢP CHƯƠNG I
Bài 36. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCDlà hình bình hành. Gọi Mlà điểm bất kỳ thuộcSB, N thuộc miền trong tam giácS∆SCD.
Tìm giao điểm của MNvà mặt phẳng(ABCD) 1.
TìmSC∩(AMN)vàSD∩(AMN) 2.
TìmSA∩(CMN) 3.
Lời giải.
a. Tìm giao điểm củaMNvà(ABCD).
Gọi I = SN ∩ CD (vì SN, CD ⊂ (SCD)). Chọn mặt phẳng (SBI) chứa MN. Ta có B và I là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SBI)và(ABCD).
Vậy(SBI)∩(ABCD)=BI.
Gọi H = MN ∩ BI (vì MN, BI ⊂ (SBI)) Ta có
®H∈ MN
H∈ BI, BI ⊂(ABCD)
⇒ H = MN∩(ABCD)
b. TìmSC∩(MAN).
Đầu tiên ta tìm giao tuyến của mặt phẳng(SAC)và(SBI). GọiO =AC∩ BI(vì AC, BI ⊂(ABCD)).
Ta cóSvàOlà hai điểm chung của hai mặt phẳng(SAC)và(SBI).
VậySO =(SAC)∩(SBI).
Gọi E = SO∩ MN (vì SO, MN ⊂ (SBI)). Chọn mặt phẳng (SAC) chứa SC. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC)và(AMN)
S
A
B M
E K NP
C I
D H
Q
O
33
1. MvàIlà hai điểm chung của hai mặt phẳng(MPQ)và(ACD).
Vậy giao tuyến của(ACD)và(MPQ)là đường thẳngMI.
VìN ∈(MQP)∩(ACD)⇒ N∈ MI. Vậy ba điểm M,N,Ithẳng hàng.
2. Vì ba điểm A, E, Flà ba điểm chung của hai mặt phẳng(ADP)và(ACQ). Nên chúng thuộc giao tuyến của(ADP)và(ACQ).
Kết luận ba điểm A, E,Fthẳng hàng.
BÀI TẬP TỔNG HỢP CHƯƠNG I
Bài 37. Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình bình hành. Gọi M là điểm bất kỳ thuộcSB, Nthuộc miền trong tam giácSCD.
1. Tìm giao điểm của MNvà mặt phẳng(ABCD).
2. TìmSC∩(AMN),SD∩(AMN).
3. TìmSA∩(CMN).
Lời giải.
1. Tìm giao điểm của MNvà mặt phẳng(ABCD).
GọiI =SN∩CD(vìSN,CD ⊂(SCD)). Chọn mặt phẳng(SBI)chứa MN.
34 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Ta có B và I là
hai điểm chung của hai mặt phẳng (SBI)
và (ABCD).
Vậy (SBI) ∩
(ABCD) = BI.
Gọi H =
MN ∩ BI (vì MN,BI ⊂
(SBI)). Ta có
®H ∈ MN
H ∈ BI,BI ⊂(ABCD)
⇒ H =
MN∩(ABCD).
2. Tìm SC ∩
(AMN),
SD∩(AMN).
Đầu tiên ta tìm giao tuyến của mặt phẳng (SAC) và (SBI).
GọiO= AC∩BI (vì AC,BI ⊂ (ABCD)). Ta có S và O là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAC)và(SBI).
Vậy (SBI) ∩
(SAC)=SO.
Gọi E =
SO ∩ MN (vì SO,MN ⊂ (SBI)).
A
B
M Q
E
D H
K
N
C I O
S
P
Chọn mặt phẳng(SAC)chứaSC. Tìm giao tuyến của(SAC)và(AMN). A ∈ (SAC)∩
(AMN). (1)
Và
®E∈ SO,SO⊂(SAC)
E∈ MN,MN ⊂(AMN) ⇒E ∈(SAC)∩(AMN). (2)
Từ(1)và(2)suy ra(SAC)∩(AMN)= AE.
Gọi K = SC∩ AE (vì AE,SC ⊂ (SAC)), có
®K ∈ SC
K ∈ AE,AE⊂(AMN) ⇒ K = SC∩
(AMN).
Tìm giao điểm củaSDvà mặt phẳng(AMN): Ta có KvàN là hai điểm chung của hai mặt phẳng(AMN)và(SCD). Vậy(AMN)∩(SCD)=KN. GọiP =KN∩SD. Suy raP cũng là giao điểm củaSDvà mặt phẳng(AMN).
3. TìmSA∩(CMN).
Chọn mặt phẳng(SAC)chứaSA. Tìm(SAC)∩(CMN). Ta cóC ∈ (SAC)∩(CMN). (3) Theo câu2,E =SO∩MN (vìSO,MN ⊂(SBI)), có
®E ∈ SO,SO ⊂(SAC)
E ∈ MN,MN ⊂(CMN) ⇒ E∈
35
(SAC)∩(CMN). (4)
Từ(3)và(4)suy ra(SAC)∩(CMN)=CE. GọiQ=SA∩CE(vìSA,CE∩(SAC)).
Ta có
®Q ∈SA
Q ∈CE,CE⊂(CMN) ⇒ Q=SA∩(CMN).
Bài 38. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình thang vớiABsong song vớiCD.
O là giao điểm của hai đường chéo, MthuộcSB.
1. Xác định giao tuyến của các cặp mặt phẳng:(SAC)và(SBD);(SAD)và(SBC).
2. Tìm giao điểmSO∩(MCD);SA∩(MCD).
Lời giải.
1. Xác định giao tuyến của (SAC) và (SBD).
Ta có S là điểm chung thứ nhất và O là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng(SAC)và(SBD).
Vậy(SAC)∩(SBD)=SO.
Xác định giao tuyến của (SAD) và (SBC).
Ta cóS ∈(SAD)∩(SBC). (1)
Trong mặt phẳng (ABCD)
gọi H = AD ∩ BC, có
®H ∈ AD,AD⊂(SAD)
H ∈ BC,BC ⊂(SBC) ⇒ H ∈
(SAD)∩(SBC). (2)
Từ (1) và(2) suy ra (SAD)∩(SBC) = SH.
2. Tìm giao điểm SO ∩ (MCD); SA ∩ (MCD).
Gọi I = SO ∩ DM (vì SO,DM ⊂ (SBD)).
Ta có
®I ∈ SO
I ∈ DM,DM⊂(MCD) ⇒ I =
SO∩(MCD).
GọiJ =SA∩CI (vìSA,CI ⊂(SAC)).
Ta có
®J ∈ SA
J ∈ CI,CI ⊂(MCD) ⇒ J = SA∩(MCD).
A
H D
S
J
B
C M
I
O
Bài 39. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành tâmO. Gọi M, Nlần lượt là trung điểm của AB,SC.
1. TìmI = AN∩(SBD).
2. TìmK = MN∩(SBD).
3. Tính tỉ số KM KN.
36 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
4. Chứng minhB,I,Kthẳng hàng. Tính tỉ số IB IK. Lời giải.
1. TìmI = AN∩(SBD).
Trước hết ta tìm giao tuyến của mp(SAC) và mp(SBD). Ta có S ∈
(SAC)∩(SBD). (1)
Có
®O ∈ AC,AC ⊂(SAC)
O ∈ BD,BD⊂(SBD) ⇒ O ∈
(SAC)∩(SBD). (2)
Từ (1) và (2) suy ra SO = (SAC)∩ (SBD).
Gọi I = SO ∩ AN (vì SO,AN ⊂ (SAC)). Suy ra I = AN∩(SBD).
2. TìmK = MN∩(SBD).
Chọn mp(ABN) chứa MN. Tìm giao tuyến của mp(ABN)và mp(SBD).
Có
®I ∈ SO,SO⊂(SBD)
I ∈ AN,AN ⊂(ABN) ⇒ I ∈
(ABN)∩(SBD). (3)
CóB∈ (ABN)∩(SBD). (4)
Từ (3) và (4) suy ra BI = (ABN)∩
(SBD); K = BI ∩ MN. Khi đó K =
MN∩(SBD).
A
B M
S
O I K
N
C D
3. Tính tỉ số KM KN.
Gọi Q là trung điểm của AI. Ta có AQ = QI = I N(vìIlà trọng tâm tam giácSAC). Có MQ là đường trung bình của tam giác ABI.
Suy ra MQ k BI. Ta có IK là đường trung bình tam giác MNQ. Vậy K là trung điểm MN. Suy ra KM
KN =1.
A
M K
B
Q I N
4. Chứng minhB,I,Kthẳng hàng. Tính tỉ số IB IK.
Theo cách tìm giao tuyến của câu 2 thì ba điểmB,K, I thẳng hàng.
Trong tam giácABI, cóQM = 1
2BI ⇒ IB =4IK ⇔ IB IK =4.
Bài 40. Cho hình chóp S.ABC. GọiK, N lần lượt là trung điểm của SA, BC. Điểm M thuộcSC,SM = 2
3MC.
1. Tìm thiết diện của hình chóp với mp(KMN).
2. Mặt phẳng(KMN)cắtABtại L. Tính tỉ số LA LB.
37 Lời giải.
1. Tìm thiết diện của hình chóp với mp(KMN).
Trong mặt phẳng(SAC), gọiI là giao điểm củaKMvàAC. Trong mặt phẳng(ABC), L là giao điểm củaI Nvà AB. Kết luận thiết diện cần tìm là tứ giácMNLK.
2. Mặt phẳng(KMN)cắt ABtạiL. Tính tỉ số LA LB.
K
A L I
S
M
E
C N
B
Trong mặt phẳng(SAC), kẻ AEk KMvới EthuộcSC. Ta có KMlà đường trung bình của tam giácSAEnên Mlà trung điểmSE. ĐoạnSCđược chia làm5phần, MCchiếm 3phần suy raCEchiếm1phần.
Trong tam giácCI M có CE
EM = CA AI = 1
2 ⇒CA = 1
2AI.
Trong tam giác ABC, kẻDN k AB(∈ AC). Vậy DN là đường trung bình của ∆ABC nênDN = 1
2AB. (1)
Trong tam giácIDNcó I A
ID = AL DN = 4
5 ⇒DN = 4
5AL. (2)
Từ (1) và (2) ta có 1
2AB = 4
5AL ⇔ 2AB = 5AL ⇔ 2(LA+LB) = 5LA ⇔ 2LB =
3LA⇒ LA
LB = 2 3.
Bài 41. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC, BC. Lấy K thuộc cạnhBDsao choBK =2KD.
1. TìmE=CD∩(I JK). Chứng minhDE =DC.
2. Tìm giao điểmF = AD∩(I JK). Chứng minhFA =2FD.
3. Tìm thiết diện của tứ diện ABCD với mặt phẳng (I JK). Xác định hình tính của thiết diện.
Lời giải.
38 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
1. TìmE = CD∩(I JK). Chứng minh DE=DC.
Gọi E = CD∩ JK (vì CD,JK ⊂ (BCD)),
có
®E ∈ CD
E ∈ JK,JK ⊂(I JK) ⇒ E = CD∩(I JK).
A
B
C I
J
E F
K D
Chứng minhDE =DC.
Trong∆BCE, kẻ DPk EJ. Trong tam giácBDP, có JKk PDnên
BJ
JP = BK
KD =2 ⇒ BJ = 2JP ⇒ CI = 2JP. Từ đó suy ra DPlà đường trung bình của tam giácCEJ. Suy raD là trung điểmCE. Vậy DE=DC.
I P
C
D
B E
K
2. Tìm giao điểmF = AD∩(I JK). Chứng minh FA =2FD.
Vì IE,AD ⊂ (ACD). Gọi F = IE∩AD. Mà IE ⊂ (I JK) ⇒ F = AD∩(I JK). Xét trong tam giácACEcóFlà giao điểm của hai đường trung tuyếnADvàEI. Suy raFlà trọng tâm của∆ACE. Vậy FA =2FD.
3. Tìm thiết diện của tứ diện ABCD với mặt phẳng (I JK). Xác định hình tính của thiết diện.
Ta có
®(I JK)∩(ABC)= I J; (I JK)∩(BCD) = JK
(I JK)∩(ABD) =KF; (I JK)∩(ACD)= FI. Thiết diện cần tìm là tứ giácI JKF.
Trong tam giácABD, có DK
DB = DF DC = 1
3 ⇒ KFk AB. (1)
Trong tam giácABC, cóI J là đường trung bình nên I J k AB. (2) Từ(1)và(2)suy ra tứ giácI JKF là hình thang.
Bài 42. Cho tứ diện S.ABC. Trên SB,SC lần lượt lấy hai điểm I, J sao cho I J không song song vớiBC. Trong tam giác ABClấy một điểmK.
1. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng(ABC)và(I JK).
2. Xác định giao điểm của AB, ACvới(I JK).
3. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(SAB)và(I JK).
4. Tìm giao điểm của BC, I J với mặt phẳng(SAK).
5. Xác định thiết diện của mặt phẳng(I JK)với tứ diệnS.ABC.
Lời giải.
39
1. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC)và(I JK).
GọiD= I J∩BC(vì I J,BC ⊂(SBC)), có
®D∈ I J,I J ⊂(I JK)
D∈ BC,BC ⊂(ABC) ⇒ D ∈ (I JK)∩
(ABC). (1)
CóK ∈(I JK)∩(ABC). (2) Từ(1)và(2)suy ra(I JK)∩(ABC)= DK.
2. Xác định giao điểm của AB,AC và(I JK).
Gọi E,F lần lượt là giao điểm của AB,AC với DK (vì AB,AC,DK cùng thuộc mặt phẳng (ABC)). Ngoài ra DK nằm trong mặt phẳng (I JK). Vậy AB∩mp(I JK) = E; AC∩ mp(I JK) =F.
S
B K F A
E I
G C
D L J
3. Tìm giao tuyến của(SAB)và(I JK).
Ta cóI vàElà hai điểm chung của hai mặt phẳng(SAB)và(I JK)nên(SAB)∩(I JK)= IE.
4. Tìm giao điểm củaBC,I J với(SAK).
GọiG = AK∩BC (vì AK,BC ⊂ (ABC)). Ta có
®G ∈ BC
G ∈ AK,AK ⊂(SAK) ⇒ G = BC∩ (SAK).
GọiL=SG∩I J (vìSG,I J ⊂(SBC)). Ta có
®L ∈ I J
L ∈ SG,SG⊂(SAK) ⇒L =I J∩(SAK).
5. Xác định thiết diện của mp(I JK)với tứ diệnS.ABC.
Theo cách dựng điểm ở các câu trên ta có
®(I JK)∩(ABC)= EF; (I JK)∩(SAC)= FJ (I JK)∩(SAB)= IE; (I JK)∩(SBC) = J I.
Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác I JFE.
Bài 43. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn là AB. Trên SA,SB lần lượt lấy 2 điểm M,N sao cho MN không song song với AB. Gọi O = AC∩DB.
1. Tìm giao điểm của đường thẳng ABvới mp(MNO).
2. Tìm giao tuyến của mp(MNO)với các mặt(SBC)và(SAD).
3. Xác định thiết diện của(M)với hình chópS.ABCD.
4. GọiKlà giao điểm của hai giao tuyến ở câu thứ2vàE= AD∩BC. Chứng minh 3điểmS,K,Ethẳng hàng.
Lời giải.
40 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
1. Tìm giao điểm của đường thẳng AB với mp(MNO).
Gọi H = AB∩ MN (vì AB,MN ⊂ (SAB)).
Ta có
®H∈ AB
H∈ MN,MN ⊂(MNO) ⇒
H = AB∩(MNO).
2. Tìm giao tuyến của mpMNOvới các mặt phẳng(SBC)và(SAD).
Gọi F = BC ∩ HO (BC,HO ⊂ (ABCD)),
ta có :
®F∈ BC,BC ⊂(SBC)
F∈ HO,HO ⊂(MNO)
⇒ F∈ (MNO)∩(SBC). (1) N ∈(MNO)∩(SBC). (2)
Từ(1)và(2)suy ra(MNO)∩(SBC)= FN.
Trong mp(ABCD), gọi G = AD∩ HO,
ta có
®G∈ AD,AD⊂(SAD)
G∈ HO,HO⊂(MNO) ⇒
G ∈ (MNO)∩(SAD). (3) M∈ (MNO)∩(SAD). (4)
Từ(3)và(4)suy ra(MNO)∩(SAD)= MG.
A
K
C E
H N
M S
O
B F GD
3. Xác định thiết diện của(MNO)với hình chópS.ABCD.
Theo cách dựng điểm ở trên, ta có
®(MNO)∩(ABCD)=GF; (MNO)∩(SBC) =FN (MON)∩(SAB)= N M; (MNO)∩(SAD)= MG.
Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác MNFG.
4. Chứng minh3điểmS,K,Ethẳng hàng.
Ta cóE= AD∩BC, AD ⊂(SAD),BC ⊂(SBC)nên E∈ (SAD)∩(SBC). (∗) K =GM∩FN,GM ⊂(SAD),FN ⊂(SBC)nênK ∈(SAD)∩(SBC). (∗∗) S ⊂(SAD)∩(SBC). (∗ ∗ ∗)
Từ(∗)(∗∗)(∗ ∗ ∗)suy ra ba điểm E,K,Sthuộc giao tuyến của hai mặt phẳng(SAD)và (SBC)nên ba điểmE,K,Sthẳng hàng.
Bài 44. Cho tứ diện ABCD . Gọi M là trung điểm AB, K là trọng tâm của tam giác ACD.
1. Xác định giao tuyến của(AKM)và(BCD).
2. Tìm giao điểmHcủaMKvà mp(BCD). Chứng minhKlà trọng tâm của tam giác ABH.
3. TrênBClấy điểmN. Tìm giao điểmP,QcủaCD, ADvới mp(MNK).
4. Chứng minh 3 đường thẳngMQ,NP,BDđồng quy.
Lời giải.
41
1. Xác định giao tuyến của (AKM)và(BCD).
Gọi G = AK ∩ CD (vì AK,CD⊂(ACD)).
Ta có
®G∈ AK,AK ⊂(AKM) G∈ CD,CD ⊂(BCD)
⇒ G ∈ (AKM) ∩
(BCD). (1)
B∈ (ABG)∩(BCD). (2) Từ (1) và (2) suy ra (ABG)∩(BCD)=BG.
2. Tìm giao điểmHcủaMKvà mp(BCD).
Trong mp(ABG), gọi H = MK∩BG,
có
®H ∈ MK
H ∈ BG,BG⊂(BCD)
⇒ H = MK∩(BCD).
A
F
E B
M
N C P G K D
Q
H
Chứng minhKlà trọng tâm của tam giác ABH.
VìK là trọng tâm của tam giác ACD nên K chia đoạn AGthành ba phần bằng nhau.
GọiLlà điểm đối xứng củaKquaGthìKlà trung điểm củaAL.
Trong 4ABL, MK là đường trung bình của tam giác.
Ta có4BGL=4HGK(g.c.g)⇒ BG=HG.
VậyKlà trọng tâm của tam giác ABH.
3. Tìm giao điểmP,QcủaCD,ADvớimp(MNK).
Trong mp(ABC) gọi E = MN ∩ AC. Trong mp(ACD) đường thẳng EK cắt CD và AD lần lượt tại P,Q, thì P và Q chính là giao điểm của CDvàADvới mp(MNK).
A
B
M K
H L
G
4. Chứng minhMQ,NP,BDđồng quy.
Trong mp(MNK)gọiF =MQ∩NP, vì
®F ∈ MQ⊂(ABD)
F ∈ NP ⊂(BCD) ⇒ F∈ (ABD)∩(BCD).
Tù đó suy raFthuộc giao tuyến củaBDvà hai mặt phẳng(ABD)và(BCD).
Vậy ba đường thẳng MQ,NP,BDđồng quy tại điểmF.
Bài 45. Cho hình chópS.ABCD có đáyABCD và hình bình hành. GọiG là trọng tâm của tam giácSAD, Mlà trung điểm củaSB.
1. Tìm giao điểm NcủaMGvà mặt phẳng(ABCD).
2. Chứng minh ba điểmC,D,Nthẳng hàng vàDlà trung điểm củaCN.
Lời giải.
