Phương pháp giải:
Chứng minh hai đường thẳng song song thì dựa vào hình học phẳng: Định lý Thales đảo, đường trung bình. . .
Muốn chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng(P), ta phải chứng minh đường thẳngdsong song với một đường thẳng thuộc mp(P).
Tìm giao tuyến cách 2: Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng, tìm trong hai mặt phẳng lần lượt có hai đường thẳng song song với nhau. Giao tuyến cần tìm đi qua điểm chung và song song với hai đường thẳng song song vừa tìm.
Bài 1. Cho tứ diệnABCD. GọiI,Jlần lượt là trọng tâm các tam giácABC,ABD. Chứng minh I J k CD.
Lời giải.
Gọi E là trung điểm AB. Ta có
®I ∈ CE
J ∈ DE ⇒ I J và CD đồng phẳng.
Do có EI
EC = EJ ED = 1
3 (tính chất trọng tâm), nên theo định lý Thales suy raI J kCD.
A
J
I D B
E
C
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang với hai đáy AB và CD (AB >CD). GọiM,N lần lượt là trung điểm của các cạnhSA,SB.
1. Chứng minhMN k CD.
2. Tìm giao điểmPcủaSC với(ADN).
3. Kéo dàiAN cắtDPtại I. Chứng minhSI k ABk CD. Tứ giácSABI là hình gì?
54 CHƯƠNG 2. QUAN HỆ SONG SONG Lời giải.
1. Chứng minhMN k CD.
Trong tam giácSAB, ta có MN k AB(vì MNlà đường trung bình). MàAB kCD (ABCDlà hình thang). VậyMN k CD.
2. Tìm giao điểm củaSCvới(ADN).
Chọn mặt phẳng phụ (SBC) chứa SC.
Tìm giao tuyến của(SBC)và(ADN).
Ta có N là điểm chung của (SBC) và
(ADN) (1).
Trong(ABCD), gọiE= AD∩BC. Ta có
®E∈ AD⊂(ADN)
E∈ BC ⊂(SBC) ⇒E ∈(ADN)∩(SBC) (2).
Từ (1) và (2) suy ra (ADN)∩(SBC) = NE.
Trong(SBC), gọiP =SC∩NE. Khi đó
®P∈ SC
P∈ NE ⊂(ADN) ⇒ P=SC∩(ADN).
3. Chứng minh SI k AB k CD. Tứ giác SABI là hình gì?
S ∈(SAB)∩(SCD) (3)
và
®I ∈ AN ⊂(SAB)
I ∈ DP ⊂(SCD) ⇒ I ∈ (SAB)∩
(SCD) (4).
S I
N
B
C
E A P
D M
Từ(3)và(4)suy raSI =(SAB)∩(SCD).
Ta có
SI =(SAB)∩(SCD) AB⊂(SAB),CD ⊂(SCD) ABk CD
⇒SI k ABkCD.
Xét tam giácSAIcóSI k MN(vì cùng song song với AB) vàMtrung điểm củaAB. VậyMN là đường trung bình của tam giác. Suy raSI =2MN.
Ta có
® SI k AB SI =2MN,AB=2MN ⇒
® SI k AB SI =AB.
Vậy tứ giácSABIlà hình bình hành.
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang (đáy lớn là AB). Gọi I,J lần lượt là trung điểm của các cạnhAD,BC,Klà điểm trên cạnhSBsao choSK = 2
3SB.
1. Tìm giao tuyến của(SAB)và(I JK).
2. Tìm thiết diện của (I JK)với hình chóp S.ABCD. Tìm điều kiện để thiết diện là hình bình hành.
Lời giải.
2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 55
1. Tìm giao tuyến của(SAB)và(I JK).
TừKkẻKL k AB(L∈ SA). Ta có
K ∈(SAB)∩(I JK) ABk I J AB⊂(SAB),I J ⊂(I JK) (vì I Jlà đường trung bình của hình thang).
Suy ra(SAB)∩(I JK) = KL (vì KL k AB k I J,K ∈ SA).
2. Tìm thiết diện của(I JK)với hình chópS.ABCD.
Ta có
®(I JK)∩(ABCD)= I J, (I JK)∩(SBC)= JK (I JK)∩(SAB)=KL, (I JK)∩(SAD)= LI.
Vậy thiết diện cần tìm là hình thang I JKL (vì I J k LK k AB).
Do I J là đường trung bình của hình thang ABCD nên I J = AB+CD
2 .
Xét tam giác SAB có LK
AB = SK
SB = 2
3, suy ra LK = 2
3AB.
Để I JKL là hình bình hành ⇔ I J = KL ⇔ AB+CD
2 = 2
3AB⇔ AB=3CD.
Vậy thiết diện I JKL là hình bình hành ⇔ AB = 3CD.
S
B
C J K A
D I
L
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M,N,P,Q lần lượt là các điểm nằm trên các cạnhBC,SC,SD,ADsao choMN k BS,NP kCD,MQk CD
1. Chứng minhPQkSA.
2. GọiK = MN∩PQ. Chứng minh điểmK nằm trên đường thẳng cố định khi M di động trên cạnhBC.
Lời giải.
56 CHƯƠNG 2. QUAN HỆ SONG SONG
1. Chứng minhPQk SA.
Xét ∆SCD có NP k CD ⇒ DP DS = CN
CS (1).
Xét ∆SCB có N M k SB ⇒ CM CB = CN
CS (2).
Xét hình thang ABCD có MQ k CD ⇒ CM
CB = DQ DA (3).
Từ (1), (2), (3) suy ra DP
DS = DQ DA. Vậy PQk SA.
2. Chứng minh điểm K nằm trên đường thẳng cố định khi Mdi động trên cạnh BC.
Ta có
BC k AD BC ⊂(SBC),AD ⊂(ADS) S∈ (SBC)∩(SAD)
⇒ (SBC)∩ (SAD) = St với (St k AD k BC).
MàK= MN∩PQvà
®MN ⊂(SBC) PQ⊂(SAD).
Suy raK ∈(SBC)∩(SAD)hayK ∈ St.
Vì S cố định và BC cố định nên St cố định. VậyK ∈ Stcố định khiMdi động trên cạnhBC.
S K t
P
D
A N
B M C
Q
Bài 5. Cho hình chóp tứ giácS.ABCD. Gọi M,N,E,Flần lượt là trung điểm các cạnh SA,SB,SC,SD. Chứng minh rằng
1. MEk AC,NF k BD.
2. Ba đường thẳngME,NF,SO(vớiOlà giao điểm củaACvàBD) đồng qui.
3. Bốn điểmM,N,E,Fđồng phẳng.
Lời giải.
2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 57
1. Chứng minhMEk AC,NF k BD.
MElà đường trung bình của tam giácSAC ⇒ MEk AC.
FN là đường trung bình của tam giác SBD ⇒ FN k BD.
2. Ba đường thẳng ME,NF,SO (với O là giao điểm củaAC vàBD) đồng qui.
Trong tam giácSAC, gọiK= ME∩SO. Suy ra Klà trung điểm củaSO.
Trong tam giácSDOcóFKlà đường trung bình của tam giác⇒ FKk DO ⇔FKk BD (1).
Trong tam giácSBDcóFNlà đường trung bình của tam giác⇒ FN k BD (2).
Từ (1) và (2) thì K thuộc NF. Vậy ba đường thẳngME,NF,SOđồng qui tại điểmK.
3. Bốn điểm M,N,E,F đồng phẳng. Từ chứng minh ở câu 2) thì ME và NF cắt nhau tại K.
Suy ra bốn điểm M,N,E,Fđồng phẳng.
S
E F
D
C A
M
N K
B
O
Bài 6. Cho tứ diệnABCD, gọiI, Jlần lượt là trung điểm củaBCvàBD,Elà một điểm thuộc cạnh AD.
a) Xác định thiết diện của tứ diện khi cắt bởi mp(I JE).
b) Tìm vị trí củaEtrênADđể thiết diện là hình bình hành.
c) Tìm điều kiện của tứ diệnABCDvà vị trí điểmEtrênADđể thiết diện là hình thoi.
Lời giải.
a) Xác định thiết diện của tứ diện khi cắt bởi mp (I JE).
Ta có I J là đường trung bình của 4BCD nên I J k CD.
®(I JE)∩(ACD)=E
I J ⊂(I JE), CD ⊂(ACD) ⇒ (I JE) ∩ (ACD) =Ex.
VớiExk CD k I J. GọiF =Ex∩AC.
Vậy thiết diện cần tìm là hình thangEFI J.
b) Để I JEFlà hình bình hành thì I J = EF.
VậyEphải là trung điểm của AD.
c) Khi EFI J là hình bình hành thì EJ là đường trung bình của tam giác DAB, suy ra EJ =
1 2AB.
Vậy: để I JEF là hình thoi thì I J = EJ ⇔ AB = CD.
Kết luận: Để thiết diệnI JEFlà hình thoi thìElà trung điểm củaADvàAB=CD.
A
D I
J B
E
C F
58 CHƯƠNG 2. QUAN HỆ SONG SONG Bài 7. Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCDlà tứ giác lồi. Gọi M,N lần lượt là trọng tâm của tam giácSABvàSAD,Elà trung điểm củaCB.
a) Chứng minh MN k BD.
b) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(MNE).
c) Gọi H, L lần lượt là các giao điểm của mp(MNE)với các cạnh SBvà SD. Chứng minhLH k BD.
Lời giải.
a) Chứng minh MN k BD.
GọiKlà trung điểm củaSA.
Theo tính chất trọng tâm ta có KM
KB = KN KD = 1
3 ⇒ MN k BD.
b) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(MNE).
E là điểm chung của(MNE)và(ABCD) nên giao tuyến của chúng quaEvà song song vớiMN và song song vớiBD. Giao tuyến này cắtABvàCDlần lượt tạiFvà G.
Trong mặt phẳng (SAB) đường thẳng FMcắtSAvàSBlần lượt tạiPvàH. Còn trong(SAD)đường thẳngPN cắtSDtại L. Từ đó suy ra thiết diện cần tìm là ngũ giácEHPLG.
c) Chứng minhLH k BD.
Ta có
HL =(MNE)∩(SBD) MN k BD
MN ⊂(MNE), BD⊂(SBD)
⇒ HL k MN k BD.
S
N K
A
B M P
D
C H
L
F E
G
Bài 8. Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCDlà hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh ABvàCD.
a) Chứng minh MN k (SBC), MN k (SAD).
b) Gọi P là trung điểm của cạnhSA. Chứng minh rằng SBvàSC đều song song với (MNP).
c) Gọi G1, G2 lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC vàSBC. Chứng minh G1G2 k (SAB).
Lời giải.
2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 59
a) Chứng minh MN k(SBC).
Ta có
®MN k BC, MN 6⊂(SBC)
BC ⊂(SBC) ⇒
MN k(SBC).
Ta có
®MN k AD, MN 6⊂ (SAD)
AD⊂(SAD) ⇒
MN k(SAD).
b) Chứng minhSBvàSCđều song song với (MNP).
Tìm giao tuyến của mặt phẳng(SAD)và (MNP).
Ta có
P∈ (MNP)∩(SAD) MN k AD
MN ⊂(MNP), AD ⊂(SAD)
⇒ (PMN)∩(SAD) = PQ(PQ k MN k
AD, Q ∈ SD).
Xét4SAD ta có PQ k ADvà P là trung điểm củaSA, suy raQlà trung điểm của SD.
Xét4SCDta cóQN k SC (QNlà đường trung bình của tam giácSCD).
Ta có
®SC 6⊂(PMN), SC k QN
QN ⊂(PMN) ⇒ SC k
(PMN).
S
A M
D
Q G2
B
C P
N
G1 I
c) Chứng minhG1G2 k (SAB).
Xét tam giácSAIta có IG1
I A = IG2 IS = 1
3 (Tính chất trọng tâm)⇒G1G2 k SA.
Có
®G1G2 6⊂(SAB), G1G2 kSA
SA⊂(SAB) ⇒G1G2k (SAB).
Bài 9. Cho hình chópS.ABCDcó đáy(ABCD)là hình thang. ADlà đáy lớn và AD = 2BC. GọiOlà giao điểm của ACvàBD,Glà trọng tâm của tam giácSCD.
a) Chứng minhOGk(SBC).
b) Gọi Mlà trung điểm của cạnhSD. Chứng minh rằngCM k(SAB).
c) Giả sử điểm I trên đoạnSCsao choSC = 3
2SI. Chứng minh SAk (BID).
d) Xác định giao điểmKcủaBGvà mặt phẳng(SAC). Tính KB KG. Lời giải.
60 CHƯƠNG 2. QUAN HỆ SONG SONG VìADk BC ⇒ 4OBCv4ODA(g-g).
Vậy OB
OD = OC
OA = BC AD = 1
2. a) Gọi Hlà trung điểm củaSC.
Trong4DHBta có DG
DH = DO DB = 2
3 ⇒OGk BH.
Ta có
®OG k BH
BH ⊂(SBC), OG6⊂ (SBC) ⇒ OG k (SBC).
b) Gọi N là trung điểm của SA. Ta có MN là đường trung bình của tam giácSAD.
Nên MN k ADvàMN = 1 2AD.
Mà theo đề bài ta lại có BC k AD và BC = 1
2AD.
Vậy BC k MN và BC = MN. Vậy tứ giác BCMNlà hình bình hành.
Ta có
®CM k BN
BN ⊂(SAB), CM 6⊂(SAB) ⇒CM k (SAB).
S
I A K
N
B
H
C
D M
G
O
c) Trong4SACcó CO CA = CI
CS = 1
3 ⇒OI k SA.
Có
®SAk OI
OI ⊂(BID), SA 6⊂(BID) ⇒SA k(BID).
d) Ta cóOvàHlà hai điểm chung của hai mặt phẳng(BDH)và(SAC).
Vậy(SAC)∩(BDH)=OH.
Trong(BDH), gọiK =BG∩OH ⇒K =BG∩(SAC).
Ta có:4KOGv4KHB(g-g)⇒ KG
KB = OG HB = 2
3 (VìOG
BH = DG DH = 2
3).
Kết luận: KB KG = 3
2.
Bài 10. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng.
a) GọiOvàO0 lần lượt là tâm của ABCDvàABEF. Chứng minh rằngOO0song song với(ADF)và(BCE).
b) Gọi M,N lần lượt là trọng tâm của 4ABD và 4ABE. Chứng minh rằng MN k (CEF).
Lời giải.
2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 61
a) Chứng minh rằngOO0 song song với (ADF)và(BCE).
Ta cóOO0 k DF (OO0 là đường trung bình4BDF).
MàDF⊂(ADF) ⇒OO0 k (ADF).
Ta cóOO0 k CE(OO0 là đường trung bình4ACE).
MàCE ⊂(BCE)⇒OO0 k (BCE).
b) Chứng minh rằngMN k (CEF).
GọiHlà trung điểm của AB.
Trong 4HDE ta có HM
HD = HN HE = 1
3 ⇒MN k DE.
Mà DE ⊂ (CEFD) ≡ (CEF). Vậy
MN k(CEF).
E F
O0
A B
N
O
D C
H M
Bài 11. Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCDlà hình bình hành. Gọi M,Nlần lượt là trọng tâm của hai tam giácSABvàSAD.
a) Chứng minh MN k (ABCD).
b) GọiElà trung điểm củaBC. Xác định thiết diện của hình chópS.ABCDcắt bởi mặt phẳng(MNE).
Lời giải.
a) Chứng minh MN k(ABCD).
Gọi I,J lần lượt là trung điểm của ABvà AD.
Theo tính chất trọng tâm có SM
SI = SN SJ = 2
3 ⇒MN k I J (tính chất Talet đảo).
Mà I J thuộc mặt phẳng (ABCD), suy ra
MN k(ABCD).
b) Trong mặt phẳng đáy, qua E kẻ đường thẳng song song I J cắt AC tại F, cắt CD tạiG.EGlà giao tuyến của(MNE)và đáy (ABCD).
GọiK = I J∩ AC(I J, AC ⊂(ABCD)).
Ta cóSK =(SI J)∩(SAC), gọi L= MN∩ SK.
Suy ra FL = (MNE)∩(SAC), gọi O = SA∩FL(SA,FL⊂(SAC)).
Vậy OM = (MNE) ∩ (SAB), ON =
(MNE)∩(SAD).
GọiP=OM∩AB, Q =ON∩SD.
Kết luận: thiết diện cần tìm là đa giác OPEGQ.
S
N
Q
A
B P
M O
G E
K
F J L
I
D
C
62 CHƯƠNG 2. QUAN HỆ SONG SONG Bài 12. Cho tứ diện ABCD. GọiGlà trọng tâm tứ diện ABCD.
a) Chứng minh rằng đường thẳngdđi quaGvà một đỉnh của tứ diện sẽ đi qua trọng tâm của mặt đối diện với đỉnh đấy.
b) Gọi A0là trọng tâm của tam giácBCD. Chứng minh rằngGA =3GA0. Lời giải.
GọiM, N lần lượt là trung điểm củaABvàCD.
GọiGlà trung điểm của MN.
Suy raGlà trọng tâm của tứ diệnABCD.
a) Bước 1: Tìm giao điểm của AG và mặt phẳng (BCD).
Chọn mặt phẳng(ABN)chứaAGvàBN.
Trong mặt phẳng(ABN)gọiA0 =AG∩BN.
Có
®A0 ∈ AG
A0 ∈ BN,BN ⊂(BCD) ⇒ A0 = AG∩
(BCD).
Bước 2: Chứng minh A0 là trọng tâm của tam giácBCD.
Trong mặt phẳng (ABN) kẻ MI song song với AA0(Với IthuộcBN).
Xét 4ABA0 có MI là đường trung bình của tam giác, nên I là trung điểm của BA0. Suy ra BI = I A0.
Xét4I MNcóGA0là đường trung bình của tam giác, nênA0 là trung điểm củaI N.
Suy ra A0N = I A0.
Ngoài ta trong tam giác BCD có BN là đường trung tuyến, kết hợp lại ta cóBA0 = 2
3BN.
Vậy A0là trọng tâm của tam giácBCD.
b) Vì MI là đường trung bình của tam giác ABA0 nên MI = 1
2AA0.
VìGA0 là đường trung bình của tam giácI MN nênGA0 = 1
2MI. Từ đó ta cóGA0 = 1
4AA0 ⇔ AA0 =4GA0. MàAA0 = AG+GA0 ⇒ AG=3GA0. Kết luậnGA=3GA0.
A
D
N A0
I B
M
C G
Bài 13. Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,CDvà Glà trung điểm của đoạnMN.
a) Tìm giao điểm A0của đường thẳng AGvà mặt phẳng(BCD).
b) QuaMkẻ đường thẳngMxsong song vớiAA0vàMxcắt mặt phẳng(BCD)tại M0. Chứng minh B,M0,A0 thẳng hàng vàBM0 = M0A0 = A0N.
2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 63
c) Chứng minhGA =3GA0.
Lời giải.
a) Chọn(ABN)chứaAG.
Hai mặt phẳng (ABN) và (BCD) có hai điểm chung là Bvà N. Suy ra giao tuyến của chúng làBN,BN cắtAGtại A0 thìA0 = AG∩(BCD).
b) Vì Mx k AA0, mà AA0 ⊂ (ABN) và M ∈
(ABN) ⇒Mx ⊂(ABN).
GọiM0 = Mx∩BN ⇒ M0 = Mx∩(BCD).
Từ đó suy ra ba điểmB, M0, A0thẳng hàng.
Có MM0 là đường trung bình của 4BAA0 ⇒ BM0 = M0A0(1).
Và GA0 là đường trung bình của 4N MM0 ⇒ M0A0 = A0N(2).
Từ(1)và(2)suy raBM0 = M0A0 = A0N.
c) Từ chứng minh câu b) có:
GA0 = 1
2MM0 và MM0 = 1
2AA0 ⇒ GA0 = 1
4AA0 ⇒ AG=3GA0.
A
D
N A0
M0 B
M x
C G
DẠNG 2.2. Thiết diện của hình chóp bị cắt bởi mặt phẳng(α)và song song với một