3. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG 155
Bài 3. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Cách xác định góc giữa hai đường thẳng 1. Chọn điểmOtùy ý.
2. QuaOkẻ hai đường thẳnga0,b0sao choa0 k a, b0 k b.
3. Khi đó góc giữa hai đường thẳng a, b chính bằng góc giữa hai đường thẳnga0,b0.
a
b a0
b0
O
2. Các phương pháp tính góc
1. Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác.
Xét4ABC, đặta= BC,b = AC,c = AB. Ta có (a) Định lí sin a
sinA = b
sinB = c sinC. (b) Định lí coscosA= b
2+c2−a2
2bc .
A
C B
c b
a 2. Tính theo véc-tơ chỉ phương
Gọi ϕ là góc giữa hai đường thẳng a và b. Nếu đường thẳng a, b có véc-tơ chỉ phương lần lượt là−→u
1,−→u
2thìcosϕ= −→
u1· −→ u2
−→ u1
·−→ u2
. Chú ý:0◦ ≤ ϕ≤90◦.
3. AB⊥CD ⇔−→
AB·−→
CD=0.
4. Nếuavàbsong song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng làϕ=0◦.
B. Bài tập rèn luyện
156 CHƯƠNG 3. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN GọiE, F,Glần lượt là trung điểm củaBC, AC,SA.
Ta cóEFk AB,FG k SC
⇒(SC,◊AB)=(◊EF,FG) =EFG.‘ Ta cóFE= FG= 1
2AB= a 2.
4BAG=4CAG(c.g.c)⇒ GB=GC.
Tam giácGBCcân tạiGcóGElà trung tuyến nên GE là đường cao.
GE =√
BG2−BE2= Ã
Ça√ 3 2
å2
− Ça√
2 2
å2
= a 2. Tam giácEFGđều vì có3cạnh bằng nhau.
Vậy EFG‘ =60◦.
S
A F G
C
E B
Bài 2. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 có độ dài tất cả các cạnh đều bằng a > 0 và BAD’ = ÷DAA0 = A’0AB = 60◦. Gọi M, Nlần lượt là trung điểm của AA0, CD. Chứng minh MN song song với mặt phẳng(A0C0D)và tính cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng N MvàB0C.
Lời giải.
GọiI là trung điểm củaDC0.
Trong tam giác CDC0 có N I là đường trung bình của tam giác, nên
N I k CC0 N I = 1
2CC0. Mà
®CC0 k AA0
CC0 = AA0 (tính chất hình hộp)
⇒
N I k AA0 N I = 1
2AA0. ⇔
®N I k MA0 N I =MA0.
Vậy tứ giác MN I A0 là hình bình hành nên MN k I A0.
Mà I A0 ⊂(A0C0D)⇒ MN k (A0C0D).
A0 D0
C0 I B0
B
M
D
C N A
Vì
®MN k I A0
CB0 k DA0 ⇒(ŸCB0,MN)=(DAÿ0,I A0)= DA’0I hoặc180◦−DA’0I.
Ta có tam giác DAA0đều nênDA0 =a.
Xét4ABCcó: ’ABC =120◦; AC2 = AB2+BC2−2AB·BC·cos 120◦ =3a2⇒ AC =a√ 3.
Tương tự, áp dụng định lý cosin cho4A0AB0ta có AB0 =a√ 3.
Ta cóAC = A0C0 =a√
3, AB0= DC0 =a√ 3.
Trong4DA0C0cóA0I là đường trung tuyến:
I A02= DA
02+A0C02
2 −DC
02
4 = a
2+3a2
2 −3a
2
4 = 5a
2
4 ⇒ I A0 = a
√5 2 . Trong4A0DIta có:cosDA’0I = DA
02+I A02−DI2 2·DA0·I A0 = 3
2√ 5 >0.
Kết luận:cos(ŸMN,CB0)=cosDA’0I = 3
2√ 5 = 3
√5
10 .
Bài 3. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A0B0C0 có AB= 1,CC0 =m(m >0). Tìm mbiết rằng góc giữa hai đường thẳng AB0vàBC0 bằng60◦.
3. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG 157 Lời giải.
Trong mặt phẳng (ABB0A0), kẻ BD k AB0(D∈ A0B0)
⇒(ABÿ0,BC0)=(BD,ÿBC0)=60◦. Vậy DBC’0 =60◦ hoặcDBC’0 =120◦.
Vì ABC.A0B0C0 là lăng trụ đều nên BB0 ⊥ (A0B0C0).
Áp dụng Pytago cho 4BB0D vuông tại B ta có
BD=√
DB02+BB02=√
1+m2.
Áp dụng Pytago cho4BB0C0 vuông tạiB0ta có
BC0 =√
C0B02+BB02=√
1+m2. Áp dụng định lý cosin4DB0C0ta có
DC02 = DB02 + C0B02 − 2DB0 · C0B0 · cos 120◦ =3⇒ DC0 =√
3.
Trường hợp1: NếuDBC’0 = 60◦ thì tam giác BDC0 đều nên:
BD=DC0 ⇔√
m2+1=√
3⇔m =√
2.
Trường hợp 2: Nếu DBC’0 = 120◦ áp dụng định lý cosin cho 4BDC0. Suy ra m = 0 (loại).
A
B
A0
B0
C0 C
D
1
1 1
m
Bài 4. Cho lăng trụ ABC.A0B0C0 có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB=a, AC = a√
3và hình chiếu vuông góc của đỉnh A0trên mặt phẳng (ABC)là trung điểm của cạnhBC. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳngAA0, B0C0. Lời giải.
GọiHlà trung điểm của BC, theo đề A0H ⊥(ABC).
Mà(ABC)k (A0B0C0)⇒ A0H ⊥(A0B0C0).
Tam giác ABCvuông tạiAta có BC =√
AB2+AC2=2a ⇒BH =a.
Ta có
®AA0 k BB0
B0C0 k BC ⇒(AAŸ0,B0C0)=(BB◊0,BC)= B’0BH.
Ta cóBC =√
AB2+AC2=2a⇒ AH = BC
2 = anên A0H =√
AA02−AH2 =a√ 3.
Trong tam giác A0B0H vuông tại A0 có HB0 =
√A0B02+A0H2 =2a.
Áp dụng định lý hàm cosin cho tam giácB0BHcó:
cosB’0BH = BB
02+BH2−B0H2
2·BB0·BH = 4a
2+a2−4a2 2·2a·a = 1
4 >0(thỏa).
A0 C0
B0
H B
C A
2a
a√ 3
a
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a√
3 và mặt phẳng(SAB)vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳngSM, DN.
Lời giải.
158 CHƯƠNG 3. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN HạSH ⊥ABtạiH.
Vì mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD)cóABlà giao tuyến nênSH ⊥(ABCD).
Trong mặt phẳng(ABCD), từ M kẻ ME k DN với E thuộc AD. Vậy góc giữaSM vàDNchính là góc giữa SMvàME.
Xét tam giácSABcóAB2 =SA2+SB2 =4a2. Vậy4SABvuông tạiS.
Và 1
SH2 = 1
SA2 + 1
SB2 = 1 a2 + 1
3a2 = 4
3a2 ⇒ SH = a√
3 2 .
Tam giácSH Avuông tạiH:
H A=√
SA2−SH2 =
a2−3a
2
4 = a
2.
GọiKlà trung điểm của ADta cóME k BK k DN.
Do đóMElà đường trung bình tam giác ABK.
S
K A
M H
D
C N
B
E
Vậy AE= 1
2AK = a
2; ME= 1
2BK = 1 2
√AB2+AK2 = a
√5 2 . Tam giác H AE vuông tại A có HE = √
AH2+AE2 =
a2 4 + a
2
4 = a
√2 2 .
Tam giác SHE vuông tại H có SE = √
SH2+HE2 = 3a2
4 +2a
2
4 = a
√5 2 .
Áp dụng định lý hàm cosin cho tam giácSMEcó:
cosSME’ = SM
2+ME2−SE2
2·SM·ME =
a2+5a
2
4 −5a
2
4 2·a· a
√5 2
= √1
5 =
√5 5 >0.
A E K D
B N C
H M
Bài 6. Cho khối chópS.ABCDcóABCDlà hình vuông cạnha,SA= a√
3vàSAvuông góc với mặt phẳng đáy. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳngSB, AC.
Lời giải.
QuaBkẻ đường thẳngBxsong song AC.Bx cắtADtạiF.
Góc giữa AC vàSB, chính là góc giữaBx và SB.
Ta cóAFBClà hình bình hành, nênAF=BC vàAC =FB.
Suy raSF =SB, tam giácSBFcân tạiS.
Có SB = √
SA2+AB2 = 2a; FB = AC = a√
2.
HạSH ⊥FBtạiHthìHlà trung điểm FB.
Khi đócosSBF‘ = HB SB =
a√ 2 2
2a =
√2 4 .
S
F A D
B C H
x
a√ 3
a
3. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG 159
Bài 7. Cho hình chópS.ABCD có tất cả các cạnh đều bằnga, đáy là hình vuông. Gọi Nlà trung điểmSB. Tính góc giữa ANvàCN, ANvàSD.
Lời giải.
Theo đề bài SA = SB = SC = SD = AB = BC = CD =DA =a.
Gọi O = AC ∩ BD, có AN = a
√3
2 (4SAB đều), CN = a
√3
2 (4SBCđều).
Áp dụng định lý cosin cho tam giác ANCta có cosANC’ = AN
2+CN2−AC2
2·AN·CN = −1
3 < 0⇒ ANC’ = arccos
Å1 3
ã .
Trong tam giác BDS có ON là đường trung bình của tam giác nên
(ÿAN,SD)=(AN,ÿNO) = ANO.’
Áp dụng định lý cosin cho4ANOta có cosANO’ = AN
2+ON2−AO2
2·AN·ON =
√3
3 ⇒ ANO’ =
arccos Ç√
3 3
å .
S
A N
D
C B
O
160 CHƯƠNG 3. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
Bài 4. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
A. Góc giữa hai đường thẳng
Định nghĩa 1. Định nghĩa góc giữa hai đường thẳng trong không gian
Góc giữa hai đường thẳngavàbtrong không gian là góc giữa hai đường thẳnga0vàb0 cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với avàb.