160 CHƯƠNG 3. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
Bài 4. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
A. Góc giữa hai đường thẳng
Định nghĩa 1. Định nghĩa góc giữa hai đường thẳng trong không gian
Góc giữa hai đường thẳngavàbtrong không gian là góc giữa hai đường thẳnga0vàb0 cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với avàb.
B. Bài tập rèn luyện
4. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 161 GọiE,F,Glần lượt là trung điểm củaBC,AC,SA.
Ta có:EF k AB,FG k SC
⇒hSC,◊ABi
=hEF,◊FGi
=EFG.‘ Ta cóFE= FG= 1
2AB= a 2.
4BAG=4CAG(c.g.c)⇒ GB=GC.
Tam giácGBCcân tạiGcóGElà đường cao.
GE =√
BG2−BE2= Ã
Ça√ 3 2
å2
− Ça√
2 2
å2
= a 2. Tam giácEFGđều vì có3cạnh bằng nhau.
Vậy EFG‘ =60◦.
F S
B
A C
E G
Bài 2. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 có độ dài tất cả các cạnh đều bằng a > 0 và BAD’ = DAA÷0 = A’0AB = 60◦. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AA0,CD. Chứng minh MN k(A0C0D)và tính cô-sin của góc tạo bởi hai đường thẳng N MvàB0C.
Lời giải.
GọiI là trung điểm củaDC0.
Trong tam giác CDC0 có N I là đường trung bình của tam giác
nên
N I kCC0 N I = 1
2CC0. Mà
®CC0 k AA0
CC0 = AA0 (Tính chất hình hộp)
⇒
N I k AA0 N I = 1
2AA0 ⇔
®N I k MA0 N I = MA0.
Vậy tứ giác MN I A0 là hình bình hành nên MN k I A0.
Mà I A0 ⊂(A0C0D)⇒ MN k (A0C0D).
A0 D0
C0
B C
N A
B0
M
D I
Vì
®MN k I A0
CB0 k DA0 ⇒hCBŸ0,MNi
=hDAÿ0,I A0i
= DA’0I hoặc180◦−DA’0I.
Ta có tam giác DAA0đều nênDA0 =a.
Xét4ABCcó: ’ABC =120◦; AC2 = AB2+BC2−2AB·BC·cos 120◦ =3a2⇒ AC =a√ 3.
Tương tự, áp dụng định lý cô-sin cho4A0AB0 : AB0 =a√ 3.
Ta cóAC = A0C0 =a,AB0 =DC0 = a√ 3.
Trong4DA0C0cóA0I là đường trung tuyến:
I A0 = DA
02+A0C02
2 −DC
02
4 = a
2+3a2
2 −3a
2
4 ⇒ I A0 = a
√5 2 . Trong4A0DIta có:cosDA’0I = DA
02+I A02−DI2 2·DA0·I A0 = 3
2√ 5 >0.
Kết luận:cosh
ŸMN,CB0i
=cosDA’0I = 3
2√ 5 = 3
√5
10 .
Bài 3. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A0B0C0có AB = 1,CC0 = m(m > 0). Tìm mbiết rằng góc giữa hai đường thẳng AB0vàBC0 bằng60◦.
Lời giải.
162 CHƯƠNG 3. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN Trong mặt phẳng(ABB0A0), kẻBD k AB0(D∈ A0B)
⇒hABÿ0,BC0i
=hÿBD,BC0i
=60◦. Vậy:BDC’0 =60◦ hoặcDBC’0 =120◦.
VìABC.A0B0C0là lăng trụ đều nên BB0 ⊥(A0B0C0).
Áp dụng Py-ta-go cho4BB0Dvuông tạiB:
BD=pDB02+BB02 =p1+m2. Áp dụng Py-ta-go cho4BB0C0vuông tạiB0:
BC0 =pC0B02+BB02=p1+m2. Áp dụng Cô-sin cho4DB0C0:
A
C0
D
B
B0
C A0
m
1
1 1
DC02 =DB02+C0B02−2DB0·C0B0·cos 120◦ =3⇒DC0 =√ 3.
Trường hợp 1:NếuBDC’0 =60◦ thì tam giácBDC0đều nên:
BD =DC0 ⇔pm2+1=√
3 ⇔m=√
2.
Trường hợp 2:Nếu BDC’0 = 120◦, áp dụng định lý cô-sin cho 4BDC0 suy ra m = 0(loại).
Bài 4. Cho lăng trụ ABC.A0B0C0 có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB= a,AC = a√
3và hình chiếu vuông góc của đỉnh A0trên mặt phẳng (ABC)là trung điểm của cạnhBC. Tính cô-sin của góc giữa hai đường thẳngAA0,B0C0. Lời giải.
Gọi H là trung điểm BC, theo đề bài A0H ⊥(ABC).
Mà (ABC) k (A0B0C0) ⇒ A0H ⊥ (A0B0C0).
Tam giác ABCvuông tạiA:
BC =pAB2+AC2=2a⇒BH = a.
Ta có:
®AA0 k BB0 B0C0 k BC
⇒AAŸ0,B0C0
=BB◊0,BC
=B’0BH.
Trong tam giácA0B0Hvuông tạiA0có:
HB0 =pA0B2+A0H2 =2a.
B0
B
A0
A
C0
C H
2a
a√ 3
a
2a 2a
Áp dụng định lý cô-sin cho tam giácB0BHcó:
cosB’0BH = BB
02+BH2−B0H2 2·BB0·BH = 4a
2+a2−4a2 2·2a·a = 1
4 >0thỏa.
Bài 5. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình vuông cạnh2a,SA =a,SB=a√
3 và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC. Tính cô-sin của góc giữa hai đường thẳngSM,DN.
4. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 163 Lời giải.
HạSH ⊥ABtạiH.
Vì mặt phẳng(SAB)vuông góc với mặt phẳng đáy(ABCD)có ABlà giao tuyến.
Suy ra:SH ⊥(ABCD).
Trong mặt phẳng(ABCD), từMkẻ MEk DN với E thuộc AD. Vậy góc giữa SM và DN chính là góc giữaSMvàME.
Xét tam giácSABcó:
AB2 =SA2+SB2=4a2. Vậy4SABvuông tạiS.
Và: 1
SH2 = 1
SA2 + 1
SB2 = 1 a2 + 1
3a2 = 4 3a2
⇒SH = a
√3 2 .
Tam giácSH Avuông tạiH:
H A=pSA2−SH2 =
a2−3a
2
4 = a
2. GọiKlà trung điểm của AD.
Ta cóMEk BK k DN.
Suy ra MElà đường trung bình của tam giác ABK.
Vậy AE= 1
2AK = a 2; ME= 1
2BK = 1 2
pAB2+AK2 = a
√5 2 . Tam giácH AEvuông tại A:
HE =pAH2+AE2 =
a2 4 +a
2
4 = a
√2 2 .
S
K E
B N C
M H
A D
A E K D
B N C
M H
Tam giácSHEvuông tạiH:
SE=pSH2+HE2 =
3a2 4 +2a
2
4 = a
√5 2 . Áp dụng định lý cô-sin cho tam giácSMEcó:
cosSME’ = SM
2+ME2−SE2
2·SM·ME =
a2+5a
2
4 −5a
2
4 2·a· a
√5 2
= √1 5 =
√5 5 >0.
Bài 6. Cho khối chópS.ABCDcóABCDlà hình vuông cạnha,SA= a√
3vàSAvuông góc với mặt phẳng đáy. Tính cô-sin của góc giữa hai đường thẳngSB,AC.
Lời giải.
164 CHƯƠNG 3. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN QuaBkẻ đường thẳngBxsong song với AC. BxcắtAD
tạiF.
Góc giữaACvàSBchính là góc giữaBxvàAC.
Ta có AFBC là hình bình hành nên AF = BC và AC = FB.
Suy raSF =SB, tam giácSBFcân tạiS.
CóSB=√
SA2+AB2 =2a,FB= AC =a√ 2.
HạSH ⊥FB, thìHlà trung điểm FB.
cosSBF‘ = HB SB =
a√ 2 2
2a =
√2 4 .
S
x C
H B
F A
D
Bài 7. Cho hình chópS.ABCD có tất cả các cạnh đều bằnga, đáy là hình vuông. Gọi Nlà trung điểmSB. Tính góc giữa ANvàCN, ANvàSD.
Lời giải.
Theo đề bài:SA=SB=SC =SD =AB =BC =CD= DA= a.
Gọi O = AC∩ BD có AN = a
√3
2 (4SAB đều).
CN = a
√3
2 (4SBCđều).
Áp dụng định lý cô-sin cho tam giác ANC:
cosANC’ = AN
2+CN2−AC2
2·AN·CN =−1
3 <0
⇒ ANC’ =arccos Å1
3 ã
.
Trong tam giác BDS cóON là đường trung bình của tam giác.
⇒hÿAN,SDi
=hAN,ÿNOi
= ANO.’
S
A
D
B
C N
O
Áp dụng định lý cô-sin cho4ANO:
cosANO’ = AN
2+ON2−AO2
2·AN·ON =
√3
3 ⇒ ANO’ =arccos Ç√
3 3
å .
C. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Định nghĩa 2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Góc giữa đường thẳngdvà mặt phẳng(P)là góc giữadvà hình chiếu của nó trên mặt phẳng(P).
Gọiαlà góc giữadvà mặt phẳng(P)thì0◦ ≤α ≤90◦.
4. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 165