4. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 165
166 CHƯƠNG 3. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
1. AClà hình chiếu vuông góc củaSClên(ABCD).
Do đó(SC, (ABCD))=(SC,AC)=SCA.‘ Xét tam giác vuôngSAC, ta có
tanSCA‘ = SA AC = a
√6 a√
2 =√
3.
Suy raSCA‘ =60◦. 2. Ta có
®BC ⊥ AB
BC ⊥SA nên BC ⊥(SAB).
Suy raSBlà hình chiếu vuông góc củaSClên mặt phẳng(SAB).
Do đó(SC, (SAB))=(SB,SC)=CSB.‘ Xét tam giác vuôngSBC, ta có
tanCSB‘ = BC SB = a
a√
7 = √1 7. Suy raCSB‘ =arctan
Å 1
√7 ã
.
A
D
C S
B F O
3. GọiFlà hình chiếu vuông góc của Alên cạnhSB.
Ta có
®AF⊥SB
AF⊥ BC nên AF⊥(SBC).
Suy ra FClà hình chiếu vuông góc của AClên(SBC).
Do đó(AC, (SBC))=(AC,FC)= ACF.‘ Xét tam giác vuôngSAB, ta có
1
AF2 = 1
AS2 + 1
AB2 = 1 6a2 + 1
a2 = 7
6a2 ⇔ AF = a
√42
7 .
Xét tam giác vuông ACF, ta có
sinACF‘ = AF AC =
a√ 42 7 a√
2 =
√21 7 .
Suy ra ACF‘ =arcsin Ç√
21 7
å .
4. Ta có
®BO ⊥ AC
BO ⊥SA nên BO⊥(SAC).
Suy raSOlà hình chiếu vuông góc củaSBlên(SAC).
Do đó(SB, (SAC))=(SB,SO)= BSO.‘ Xét tam giác vuôngSAO, ta có
SO =pSA2+AO2 =
6a2+ a
2
2 = a
√13
√2 .
4. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 167 Xét tam giác vuôngSBO, ta có
tanBSO‘ = OB OS =
√a 2 a√
√13 2
= √1 13.
Suy raBSO‘ =arctan Å 1
√13 ã
.
Bài 9. Cho hình chópS.ABCDcó đáy là hình thoi. BiếtSD= a√
3, tất cả các cạnh còn lại đều bằnga.
1. Chứng minh(SBD)là mặt phẳng trung trực của ACvàSBD là tam giác vuông.
2. Xác định góc giữaSDvà mặt phẳng(ABCD).
Lời giải.
1. GọiHlà hình chiếu vuông góc củaSlên(ABCD).
Theo đề bàiSA =SB=SCsuy raH A= HB= HC.
Vậy H thuộc đường trung trực của đoạn AChay H thuộcBD.
Ta có
®AC ⊥BD
AC ⊥SH(SH⊂(SBD)) nên AC ⊥ (SBD).
(1)
Mặt khác,O là trung điểm của AC và là giao điểm
củaACvà(SBD). (2)
Từ (1) và (2) suy ra(SBD) là mặt phẳng trung trực củaAC.
Ta có4SAC =4BAC(c.c.c) suy raBO =SO.
Trong tam giácSBD,SO = 1
2BDnên tam giácSBD vuông tạiS.
2. VìSH ⊥(ABCD)nên HD là hình chiếu vuông góc củaSDlên(ABCD).
Do đó(SD, (ABCD))=(SD,HD)=SDH.’ Xét tam giác vuôngSBD, ta có
1
SH2 = 1
SB2 + 1
SD2 = 4
3a2 ⇔SH = a
√3 2 . Xét tam giác vuôngSHD, ta có
sinSDH’ = SH SD =
a√ 3 2 a√
3 =
√2 2 . Suy raSDH’ =45◦.
A D
C S
B
O M
H
168 CHƯƠNG 3. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
Bài 10. Cho tam giácABCvuông tại A, AB=anằm trong mặt phẳng(P). CạnhAC = a√
2và tạo với(P)một góc60◦. Tính góc giữa BCvà(P).
Lời giải.
Xét tam giác vuông ABC, ta có
BC =pAB2+AC2 =a√ 3.
GọiHlà hình chiếu vuông góc củaClên(P).
Khi đó AHlà hình chiếu vuông góc của AClên(P).
Do đó,(AC, (P))=(AC,AH)=CAH’ =60◦. Xét tam giác vuôngCAH, ta có
sinCAH’ = CH
CA ⇔CH =CA·sin 60◦ = a√ 2·
√3
2 = a
√6 2 . Ta cóBHlà hình chiếu vuông góc củaBC lên mặt phẳng(P).
Do đó,(BC, (P)) =(BC,BH)=CBH.’
H
B
A C
Xét tam giác vuôngBHC, ta có
sin’CBH = CH CB =
a√ 6 2 a√
3 =
√2 2 .
Suy raCBH’ =45◦.
Bài 11. Cho hình chópS.ABCcóSA =SB=SC = 2a
√3
3 và đáy ABClà tam giác đều cạnha.
1. GọiHlà hình chiếu vuông góc củaSlên mặt phẳng(ABC). TínhSH.
2. Tính góc giữaSAvà(ABC).
Lời giải.
4. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 169
1. Ta cóHlà trọng tâm của tam giác đều ABCnên AH = 2
3AF = 2 3 · a
√3
2 = a
√3 3 . Xét tam giác vuôngSAH, ta có
SH =pSA2−AH2 =
4a2 3 −a
2
3 =a.
2. Ta cóAH là hình chiếu vuông góc củaSAlên(ABC).
Do đó,(SA, (ABC))=(SA,AH) =SAH.’ Xét tam giác vuôngSAH, ta có
tanSAH’ = SH
AH = a a√
3 3
=√ 3.
Suy raSAH’ =60◦.
A
C
B F
M H
S
Bài 12. Cho hình chópS.ABCDcóSAvuông góc với đáy,ABCDlà hình thang đáy lớn AD,AB =BC =DC =a,DA =2a. VẽAH ⊥SCvàMlà trung điểmSB. Góc giữaSB và mặt phẳng(ABCD)là45◦. Tính góc:
AM, (SBD)¤
;
a)
AH, (¤ABCD)
;
b)
(SAD), (SBC)¤ . c)
Lời giải.
1.
Theo đề bài ABCD nửa lục giác đều, nên ABCD nội tiếp trong đường tròn đường kính AD, có:
AC =BD =√
AD2−AB2 =a√ 3.
Có
®BD⊥ AB
BD⊥SA ⇒ BD⊥(SAB).
Vậy AB là hình chiếu của SB lên mặt phẳng (ABCD), nên
SB, (¤ABCD)
=SBA‘ =45◦.
⇒ SA = AB = a(Vì tam giác SABvuông cân tại A)
Có:
®AM ⊥SB(gt)
AM ⊥BD(BD⊥(SAB)) ⇒ AM ⊥
(SBD)⇒AM, (SBD)¤
=90◦.
A D
H M
S x
B C
I K 2. Trong tam giácSAC: KẻH I k SA⇒ H I ⊥(ABCD).
VậyAIlà hình chiếu củaAItrên mặt phẳng(ABCD):
AH, (ABCD)¤
=’H AI = H AC.’ Trong tam giácSACvuông tạiA:tanSCA‘ = SA
AC = a a√
3 = √1
3 ⇒SCA‘ =30◦. Trong4H AC: H AC’ +HCA’ =90◦ ⇒ H AC’ =60◦.
170 CHƯƠNG 3. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN 3. Muốn tìm góc giữa hai mặt phẳng(SAD)và(SBC), ta phải tìm giao tuyến của hai mặt
phẳng:
Có:
®S ∈(SAD)∩(SBD)
ADk BC ⇒(SAD)∩(SBD)=Sx(Sxk ADk BC) (1)
Kẻ AK ⊥BCtạiK. Có
®BC ⊥AK
BC ⊥SA ⇒ BC ⊥(SAK)⇒BC ⊥SK (2)
Từ(1)và(2)
®SA⊥Sx
SK ⊥Sx ⇒h(SAD), (SBC)¤ i
= ASK.‘
Trong tam giác AKBvuông tạiK: AK = AB·cos’KAB =a·cos 30◦ = a
√3
2 (Vì’DAB= 60◦)
Trong tam giác SAKvuông tại A: tanASK‘ = AK
AS = AK AS =
a√ 3 2 a =
√3
2 ⇒ ASK‘ =
arctan
√3 2 .
Bài 13. Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy ABCD, đáy là hình thang vuông tại A, có đáy lớnAB, AB=2a, AD= DC =a. Vẽ AH ⊥SCvàMlà trung điểm của AB. Góc giữa(SDC)và(ABC)là60◦. Tính:
SD, (SAB)⁄
;
a)
(SAD), (SMC)¤
;
b) Chứng minh BC ⊥
(SAC).
c)
Lời giải.
1. Có
®CD⊥ AD
CD⊥SA ⇒CD ⊥(SAD)⇒CD ⊥SD.
Có
(SCD)∩(ABCD)=CD AD⊥CD, SD ⊥CD
AD⊂(ABCD), SD ⊂(SCD)
⇒(SCD), (ABCD)¤
=SDA’ =60◦, trong4SADcóSA = AD·tan 60◦ Có
®AD⊥ AB
AD⊥SA ⇒ AD⊥(SAB).
Suy raSAlà hình chiếu vuông góc củaSDtrên mp(SAB).
Vậy
SD, (SAB)⁄
=’DSA=30◦.
B
C D
M S
H
A
2. Ta cóAD kCM(dễ dàng chứng minh được).
Tìm giao tuyến của mp(SAD)và mp(SCM).
Có:
S∈ (SAD)∩(SCM) AD kCM
AD ⊂(SAD), CM ⊂(SCM)
⇒(SAD∩(SCM)=Sx(Sxk ADk CM).
Ta cóDA ⊥SA(vìDA ⊥(SAB))⇒SA⊥Sx.
M⊥(SAB)(VìCM k AD)⇒SM⊥CM ⇒SM ⊥Sx.
4. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 171 Vậyh
(SAD), (SCM)¤ i
=SA,◊SM
=ASM.’ Có:tanASM’ = AM
AS = a a√
3 = √1
3 ⇒ ASM’ =30◦.
3. Ta có ACDMlà hình vuông nênCM = a, trong tam giác ACBcóCMlà đường trung tuyến và bằng một nửa cạnhBC. Suy ra tam giác ACBvuông tạiC.
Có:
®BC⊥ AC
BC⊥SA ⇒BC ⊥(SAC).
Bài 14. Cho hình vuông ABD và tam giác đều SABcạnha nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi Ilà trung điểm của AB.
1. Chứng minhSI ⊥(ABCD)và tính góc hợp bởiSCvà mặt phẳng(ABCD).
2. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAD). Từ đó tính góc giữa SC và mặt phẳng(SAD).
3. Gọi Jlà trung điểm củaCD, chứng minh(SI J)⊥(ABCD).
4. Tính góc hợp bởiSI và mặt phẳng(SDC).
5. Xác định và tính góc hợp bởiSAvà mặt phẳng(SCD).
Lời giải.
1.
Chứng minhSI ⊥(ABCD)
(SAB)∩(ABCD)= AB (SAB) ⊥(ABCD)
SI ⊥AB(vì4ABCđều), SI ⊂(SAB)
⇒SI ⊥(ABCD).
Tính góc hợp bởiSCvà mp(ABCD).
Ta có IC là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (ABCD), nênh
SC, (¤ABCD)i
=‘SCI.
SI là đường cao của tam giác đều SABnênSI = a
√3 2 .
Trong tam giácIBCvuông tạiB:
IC = √
BC2+BI2 =
a2+a
2
4 =
a√ 5 2 .
B
H
y
J A
C
D I
S
K x L
P
Trong tam giácSCIvuông tạiI:tanSCI‘= SI CI =
a√ 3 2 a√
5 2
=
√15 5 . Vậyh
SC, (¤ABCD)i
=‘SCI =arctan Ç√
15 5
å .
172 CHƯƠNG 3. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN 2. Tính khoảng cách từBđến mặt phẳng(SAD).
Có:
®AD⊥ AB(ABCDlà hình vuông)
AD⊥SI(vìSI ⊥(ABCD)) ⇒ AD ⊥(SAB).
AD⊂(SAD)⇒(SAD) ⊥(SAB).
Hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyếnSA.
DựngBH ⊥SAtạiH⇒ SH ⊥(SAD).
Vậyd (B, (SAD))=BH = a
√3
2 (Vì4SABđều).
Trong mp(SAD)kẻ Hx k AD; Trong mp(BC,Hx)quaCkẻ đường thẳng song song với BHcắt HxtạiKthìCK ⊥(SAD). Suy raSK là hình chiếu vuông góc củaSCtrên mặt phẳng(SAD)nên góc giữaSCvà(SAD)là gócCSK.‘
Theo chứng minh trên thìBCKHlà hình bình hành nênBH =CK= a
√3 2 . Trong4SCIcó:SC =√
SI2+IC2 =
3a2 4 +5a
2
4 =a√ 2.
Có:sinCSK‘ = CK SC =
a√ 3 2 a√
2 =
√6
4 ⇒CSK‘ =arcsin
√6 4 . Kết luận
SC, (SAD)⁄
=arcsin
√6 4 . 3. Có:
®CD ⊥I J
CD ⊥SI ⇒CD⊥(SI J), màCD ⊂(SCD)⇒(SCD)⊥(SI J).
4. Tính góc hợp bởiSI và mp(SDC).
Hai mặt phẳng(SCD)và(SI J)vuông góc với nhau theo giao tuyếnSJ.
Dựng IL ⊥ SJ ⇒ IL ⊥ (SCD). Suy ra SL là hình chiếu vuông góc của SI trên mặt phẳng(SCD).
Vậy góc giữaSI mà mặt phẳng(SCD)là gócISL.d Trong tam giácSI Jcó: 1
IL2 = 1
IS2 + 1
I J2 = 4 3a2 + 1
a2 = 7
3a2 ⇒ IL= a
√21
7 ;
sinISLd = IL SI =
a√ 21 7 a√
3 2
= 2
√7
7 ⇒ dISL=arcsin2√ 7 7 . Kết luận
SIŸ, (SCD)
=arcsin2√ 7 7 .
5. Xác định và tính góc hợp bởiSAvà mặt phẳng(SCD).
Trong mặt phẳng(SCD)kẻ Lyk CD.
Trong mp(AB,Ly)quaAkẻ đường thẳng song song với ILcắtLytạiPthìAP⊥(SCD).
Suy raSPlà hình chiếu vuông góc củaSAtrên mp(SCD)nên góc giữaSAvà(SCD)là góc ASP.‘
Theo chứng minh trên thìAILPlà hình bình hành nênAP =IL= a
√21 7 . Trong4SAPcósinASP‘ = AP
SA = a√
21 7 a =
√21
7 ⇒ ASP‘ =arcsina√ 21
7 .
Kết luận:
SA, (SCD)⁄
=arcsin
√21 7 .
4. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 173
E. Góc giữa hai mặt phẳng
Định nghĩa 3. Định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng.