2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 63
c) Chứng minhGA =3GA0.
Lời giải.
a) Chọn(ABN)chứaAG.
Hai mặt phẳng (ABN) và (BCD) có hai điểm chung là Bvà N. Suy ra giao tuyến của chúng làBN,BN cắtAGtại A0 thìA0 = AG∩(BCD).
b) Vì Mx k AA0, mà AA0 ⊂ (ABN) và M ∈
(ABN) ⇒Mx ⊂(ABN).
GọiM0 = Mx∩BN ⇒ M0 = Mx∩(BCD).
Từ đó suy ra ba điểmB, M0, A0thẳng hàng.
Có MM0 là đường trung bình của 4BAA0 ⇒ BM0 = M0A0(1).
Và GA0 là đường trung bình của 4N MM0 ⇒ M0A0 = A0N(2).
Từ(1)và(2)suy raBM0 = M0A0 = A0N.
c) Từ chứng minh câu b) có:
GA0 = 1
2MM0 và MM0 = 1
2AA0 ⇒ GA0 = 1
4AA0 ⇒ AG=3GA0.
A
D
N A0
M0 B
M x
C G
DẠNG 2.2. Thiết diện của hình chóp bị cắt bởi mặt phẳng(α)và song song với một
64 CHƯƠNG 2. QUAN HỆ SONG SONG Xác định thiết diện của hình chópS.ABCDvới mặt
phẳng(α).
Mlà điểm chung của hai mặt phẳng(α)và(ABCD), có (α) k BC nên giao tuyến của chúng qua M và song song vớiBC, giao tuyến này cắtABtạiE.
Elà điểm chung của hai mặt phẳng(α)và(SAB), có (α) k SA nên giao tuyến của chúng qua E và song song vớiSA, giao tuyến này cắtSBtạiF.
Flà điểm chung của hai mặt phẳng(α)và(SBC), có (α) k BC nên giao tuyến của chúng qua F và song song vớiBC, giao tuyến này cắtSCtạiG.
Kết luận mặt phẳng(α)cắt hình chópS.ABCDtheo một thiết diện là hình thang MEFG, vì có ME và FGcùng song song với BC.
B C
H S
A D
E M
G F
b) Gọi Hlà giao điểm của MEvàAC, ta có HvàGlà hai điểm chung của hai mặt phẳng(α) và mặt phẳng(SAC). Vậy (α)∩(SAC) = HG. Vì(α) k SAnên giao tuyến HG k SA, mà SAthuộc mặt phẳng(SAD)nên giao tuyến HGk (SAD).
Bài 15. Cho tứ diện ABCD. Lấy điểm Mlà một điểm thuộc miền trong của tam giác BCD. Gọi(α)là mặt phẳng quaMvà song song vớiACvàBD. Hãy xác định thiết diện của mặt phẳng(α)với tứ diện ABCD. Thiết diện là hình gì?
Lời giải.
Mlà điểm chung của hai mặt phẳng(α)và(BCD), có(α)k BDnên giao tuyến của chúng quaMvà song song vớiBD, giao tuyến này cắtBCtạiEvà cắtCDtạiF.
Elà điểm chung của hai mặt phẳng(α)và(ABC), có(α)k ACnên giao tuyến của chúng quaEvà song song vớiAC, giao tuyến này cắt ABtạiH.
Hlà điểm chung của hai mặt phẳng(α)và(ABD), có(α)k BDnên giao tuyến của chúng quaHvà song song vớiBD, giao tuyến này cắtADtạiG.GvàFlà hai điểm chung của hai mặt phẳng(α)và mặt phẳng(ACD).
Vậy giao tuyến của chúng là FG.
Vì mặt phẳng(α)k AC, nên giao tuyếnFG k AC.
Kết luận: thiết diện cần tìm là hình bình hành EFGH, vì cóEFk HGk BDvàHEk FGk AC.
A
H G
C
E M F
B D
Bài 16. Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCDlà hình bình hành. Lấy một điểm Mdi động trên cạnhSC. Gọi(α)là mặt phẳng chứaAMvà song song vớiBD.
a) Chứng minh rằng mặt phẳng(α)luôn đi qua một đường thẳng cố định khi Mthay đổi.
b) Mặt phẳng(α)cắtSBvàSDtạiEvàF. Hãy nêu cách dựngEvàF.
c) Gọi I là giao điểm của ME vàCB, J là giao điểm của MF vàCD. Chứng minh ba điểmI, J, Athẳng hàng.
Lời giải.
2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 65 S
F J E
M
A
B C
I
O G
D
a) Alà một điểm chung của hai mặt phẳng(α)và(ABCD), có(α) k BD, nên giao tuyến của chúng quaAvà song song vớiBD.
Vậy(α)∩(ABCD)= Ax(Axk BD).
VìAxlà đường thẳng cố định khiMthay đổi.
Kết luận: mp(α)luôn đi qua đường cố định Ax.
b) GọiO= AC∩BD.
Ta có:SOlà giao tuyến của hai mặt phẳng(SAC)và(SBD).
GọiG = AM∩SO(AM,SO⊂(SAC)).
Ta có: G là điểm chung của mặt phẳng (α) và mặt phẳng(SBD), có (α) k BD nên giao tuyến của chúng quaGvà song song với BD, giao tuyến này cắtSBvàSDlần lượt tạiE vàF.
c) I vàFlà hai điểm chung của mặt phẳng(α)và mặt phẳng đáy(ABCD), nên I vàFphải thuộc giao tuyếnAxcủa hai mặt phẳng.
Vậy ba điểmI, J, Athẳng hàng.
Bài 17. Cho hình bình hành ABCD và điểm S không nằm trong mặt phẳng chứa ABCD.
a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau(SAC)và(SBD),(SAB)và(SCD).
b) Một mặt phẳng(α)quaBC, cắtSAtại Mvà cắtSDtạiN. Chứng minh MN k BC.
c) Chứng tỏ giao điểm củaBN vàCM luôn luôn ở trên một đường thẳng cố định khi Mdi động trênSA.
d) Gọi Glà trọng tâm tam giácSAB,Klà điểm trên cạnhACsao cho AK AC = 1
3. Chứng minhGKsong song với mặt phẳng(SCD).
Lời giải.
66 CHƯƠNG 2. QUAN HỆ SONG SONG
a) Ta cóS ∈(SAC)∩(SBD)(1).
GọiO= AC∩BD⇒O∈ (SAC)∩(SBD)(2).
Từ (1) và (2) suy ra:(SAC)∩(SBD)=SO.
Ta có:
S ∈(SAC)∩(SBD) ABk CD
AB⊂(SAB),CD ⊂(SCD)
⇒ (SAB)∩
(SCD)=Sx(Sxk ABk CD).
b) Vì
(α)∩(SAD)= MN BC k AD
BC ⊂(α),AD ⊂(SAD)
⇒ MN k AD k BC.
c) Gọi I = BN∩CM(BN,CM ⊂(α)).
Vì
®I ∈ BN,BN ⊂(SBD)
I ∈ CM,CM ⊂(SAC)) ⇒ I ∈ (SAC)∩
(SBD).
Suy raIthuộc giao tuyếnSOcố định của hai mặt phẳng(SAC)và(SBD).
S M G
A
B
F
C O
I x
K E
D N
d) GọiEvàFlần lượt là trung điểm củaSAvàAD.
VìKchia đoạn ACthành ba phần bằng nhau vàAK chiếm 1 phần, từ đó ta cóKlà trọng tâm của tam giácABD.
Theo tính chất trọng tâm có: BG
BE = BK BF = 2
3. Ngoài raGK((SCD)nênGK k EF(3).
MàEFlà đường trung bình của tam giácADS ⇒ EFk SD(4).
Từ(3)và(4)cóGKk SD ⊂(SCD)⇒ GKk(SCD).
Bài 18. Cho tứ diện ABCD, gọi M, Nlần lượt là trung điểm củaBC vàBD.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(AMN)và(ACD).
b) Một mặt phẳng (P) qua CD và cắt AM, AN lần lượt tại F và E. Tứ giác CDEF là hình gì?
c) CFvàDEcắt nhau tạiK. Chứng tỏA, B,Kthẳng hàng.
d) Chứng tỏ giao điểm I của CEvà DFluôn nằm trên một đường thẳng cố định khi (P)thay đổi.
Lời giải.
2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 67
a)
A∈ (AMN)∩(ACD) MN kCD
MN ⊂(AMN),CD ⊂(ACD) .
⇒(AMN)∩(ACD)= Ax(Axk MN kCD)
b)
(P)∩(AMN) =EF MN kCD
MN ⊂(AMN),CD ⊂(P)
⇒ EFk MN kCD.
VìCD k MNsuy raCDEFlà hình thang.
c) Ta có AB là giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC) và (ABD).
VìK = CF∩DE, mà
®K ∈ CF,CF⊂(ABC)
K ∈ DE,DE⊂(ABD) ⇒ K ∈
(ABC)∩(ABD).
VìKlà điểm chung của hai mặt phẳng(ABC)và(ABD) nên K thuộc giao tuyến. Vậy ba điểm A, B, K thẳng hàng.
A
C M
N O x
B
K F
E I
D
d) Trong mặt phẳng(BCD)gọiOlà giao tuyến củaCN vàDM.
Ta có AvàOlà hai điểm chung của hai mặt phẳng(ANC)và(AMD), nên giao tuyến của chúng là AO.
GọiIlà giao điểm củaCEvàDF.
Ta có:
®I ∈ CE,CE⊂(ANC)
I ∈ FE,DF⊂(AMD) ⇒ I ∈(ANC)∩(AMD).
Suy ra Ithuộc giao tuyến AOcủa hai mặt phẳng.
Vì hai điểmAvàOcố định nên điểm I thuộc đoạnAOcố định.
Bài 19. Cho hình chóp S.ABCD. M, N là hai điểm trên AB, CD. Mặt phẳng (α) qua MN và song song vớiSA.
a) Tìm các giao tuyến của(α)với(SAB)và(SAC).
b) Xác định thiết diện của hình chóp với(α).
c) Tìm điều kiện của MNđể thiết diện là hình thang.
Lời giải.
68 CHƯƠNG 2. QUAN HỆ SONG SONG
a) Tìm các giao tuyến của(α)với(SAB):
Ta có:
®M ∈(α)∩(SAB) (α)k SA,SA ⊂(SAB)
⇒(α)∩(SAB)= MP(với MP kSA,P∈ SB).
Tìm các giao tuyến của(α)với(SAC):
GọiR= MN∩AC(MN,AC⊂(ABCD)).
Ta có:
®R∈ (α)∩(SAC)
(α) kSA,SA⊂(SAC) ⇒(α)∩(SAC) =RQ(với RQk SA,Q ∈ SC).
b) Xác định thiết diện của hình chóp với(α).
Theo câu a) thiết diện là tứ giácMPQN.
c) Tìm điều kiện của MNđể thiết diện là hình thang:
Ta có: MPQNlà hình thang⇒
ñMPk QN(1) MN k PQ. (2)
Xét(1), ta cóMPk QR, màQRkhông song songQNnên (1)vô lí.
Do đó:
®SA k QN
QN ⊂(SCD) ⇒SA k(SCD)(vô lí).
Xét (2), ta có
®BC =(ABCD)∩(SBC)
MN ⊂(ABCD),PQ⊂(SBC) ⇒ MN k BC.
Ngược lại, nếuMN k BCthì
®PQ=(α)∩(SBC)
MB⊂(α),BC ⊂(SBC) ⇒ MN k PQ.
Vậy để thiết diện là hình thang thìMN k BC.
S
C R
A
B M
P
D N Q
Bài 20. Cho tứ diệnABCD. Trên cạnhADlấy trung điểmM, trên cạnhBClấy điểmN bất kỳ. Gọi(α)là mặt phẳng chứa đường thẳng MNvà song song vớiCD.
a) Hãy xác định thiết diện của mặt phẳng(α)với tứ diệnABCD.
b) Hãy xác định vị trí củaN trênBCsao cho thiết diện là hình bình hành.
Lời giải.
2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 69
a) Xác định thiết diện của mặt phẳng (α) với tứ diện ABCD.
Ta có:
(α)k CD
CD⊂(ACD)
M∈ (α)∩(ACD)
⇒ (α) ∩ (ACD) =
MP(MPk CD,P∈ AC) (1).
Ta có:
(α)k CD
CD ⊂(BCD)
N ∈(α)∩(BCD)
⇒(α)∩(BCD) =NQ(NQ k CD,Q∈ BD) (2).
Và(α)∩(ABD)= MQ(3);(α)∩(ABC)= PN(4).
Từ(1)và(2), ta được:MPk NQ. Vậy thiết diện là hình thangMPNQ.
b) Xác định vị trí củaNtrênBCsao cho thiết diện là hình bình hành.
Ta có: MP k NQ; MP = 1
2CD (MP là đường trung bình4ACD).
MNPQ là hình bình hành ⇔
®MP k NQ MP =NQ ⇔
MPk NQ MP= NQ= 1
2CD.
Do đóNlà trung điểmBC.
Vậy Nlà trung điểmBCthìMNPQlà hình thang.
A
C
Q N
B P
D M
Bài 21. Cho hình thangABCDcó đáy lớnABvàSlà một điểm ở ngoài mặt phẳng của hình thang. Gọi Mlà một điểm trênCD,(α)là mặt phẳng qua Mvà song song vớiSA vàBC.
a) Hãy tìm thiết diện của mặt phẳng(α)với hình chópS.ABCD. Thiết diện là hình gì?
b) Tìm giao tuyến của(α)với mặt phẳng(SAD).
Lời giải.
a) Tìm thiết diện của mặt phẳng(α)với hình chóp S.ABCD.
Ta có:
®(α)k BC,BC ⊂(ABCD)
M∈ (α)∩(ABCD) ⇒ (α) ∩
(ABCD) = MN (với MN k BC và N ∈ AB)
(1).
Ta có:
®(α)k SA,SA ⊂(SAB)
N ∈ (α)∩(SAB) ⇒(α)∩(SAB) =
NP(vớiNP k SAvàP ∈ SB).
Có:
®(α)k BC,BC ⊂(SBC)
P∈ (α)∩(SBC) ⇒ (α)∩ (SBC) =
PQ(vớiPQk BCvàQ∈ SC)(2).
Từ (1)và(2), ta được MN k PQ. Vậy thiết diện là hình thang MNPQ.
C D
I
t S
A B
P Q M
N
70 CHƯƠNG 2. QUAN HỆ SONG SONG b) Tìm giao tuyến của(α)với mặt phẳng(SAD).
Trong(ABCD), gọiI =AD∩MN ⇒ I là điểm chung của(α)và(SAD).
Ta có:
®(α)k SA,SA ⊂(SAD)
I ∈ (α)∩(SAD) ⇒(α)∩(SAD) =It(với It k SA).
Bài 22. Trong mặt phẳng (α) cho tam giác ABC vuông tại A, ’ABC = 60◦,AB = a.
Gọi O là trung điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài mặt phẳng (α) sao cho SB = a và SB ⊥OA. Gọi Mlà một điểm trên cạnh AB. Mặt phẳng β
qua Msong song với SB vàOA, cắtBC,SC,SAlần lượt tạiN,P,Q. Đặtx =BM(0 <x< a).
1. Chứng minhMNPQlà hình thang vuông.
2. Tính diện tích của hình thang theoavàx. Tínhxđể diện tích này lớn nhất.
Lời giải.
1. Chứng minhMNPQlà hình thang vuông.
Có
® β
kOA,OA ⊂(ABC) MN = β
∩(ABC) ⇒ MN k
OA (1)
Và
® β
kSB,SB⊂(SAB) MQ= β
∩(SAB) ⇒ MQ k
SB (2)
Ta có
® β
kSB,SB⊂(SBC) NP = β
∩(SBC) ⇒ NP k
SB (3)
Từ(2)và(3)suy raMQk NP k SB (4) suy raMNPQlà hình thang.
Từ (1) và(4) ta có
OA⊥SB MN kOA MQk NP k SB.
⇒
®MN ⊥MQ MN ⊥NP.
VậyMNPQlà hình thang vuông, đường caoMN.
S
O
A B N
Q
M
C P
2. Tính diện tích của hình thang theoavàx.
Ta cóSMNPQ = 1
2(MQ+NP)MN.
TínhMN:
Xét tam giácABC, ta có:cosB= AB
BC ⇒ BC = AB
cosB ⇒ BC =2a⇒ BO= 1
2BC =a.
DoBb=60◦vàBA =BOnên 4ABOđều.
Trong4ABOcóMN k AO⇒ MN
AO = BM
AB = BN
BO ⇒ MN = MB= BN =x.
Tính MQ : Xét 4SAB, ta có MQ k SB nên MQ
SB = AM
AB ⇒ MQ = AM· SB AB = (a−x)· a
a = a−x.
Tính NP : Xét 4SBC, ta có NP k SBnênNP
SB = CN
CB ⇒ NP = CN· SB
CB = (2a−x)·
2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 71 a
2a = 2a−x
2 .
Do đóSMNPQ = x(4a−3x)
4 = 1
12·3x·(4a−3x).
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương3xvà(4a−3x)ta có 3x(4a−3x)≤
Å3x+4a−3x 2
ã2
⇔3x(4a−3x)≤4a2 ⇔SMNPQ ≤ a
2
3 . Đẳng thức xảy ra khi3x =4a−3x ⇔x = 2a
3 . Kết luận khix = 2a
3 thìSMNPQ đạt giá trị lớn nhất.
Bài 23. Cho hình vuông ABCD cạnha, tâmO. GọiSlà một điểm ngoài ở mặt phẳng (ABCD)sao choSB =SD.Gọi Mlà một điểm tùy ý trên AOvới AM =x.Mặt phẳng (α)quaMsong song vớiSAvàBDcắtSO,SB,ABtạiN,P,Q.
1. Tứ giác MNPQlà hình gì?
2. ChoSA =a.Tính diện tích MNPQtheoavàx.Tìmxđể diện tích lớn nhất.
Lời giải.
1. Tứ giác MNPQlà hình gì?
SB=SD ⇒∆SBC =∆SDC (c.c.c)⇒ SCB‘ =’SCD.
Gọi I là trung điểm SC thì ∆IBC =
∆IDC c.g.c
⇒ IB = ID. Vậy ∆IBD cân tạiI ⇒ IO⊥BD,mà
OI k SA ⇒SA ⊥BD(∗)
Ta có
(α)k BD
BD⊂(ABO)
(α)∩(ABO)= MQ
⇒ MQ k
BD (1)
Tương tự:
(α)k BD BD⊂(SBO)
(α)∩(SBO)= NP
⇒ NP k
BD (2)
Từ(1)và(2), suy raMQk NPk BD. (3)
S
M O A
B P
Q
I
D
C N
Ta có:
(α) kSA SA ⊂(SAO)
(α)∩(SAO)= MN
⇒ MN kSA (4)
Tương tự:
(α)k SA SA⊂(SAB)
(α)∩(SAB) =PQ
⇒PQk SA (5)
Từ(4)và(5), suy raMN k PQk SA (6)
Từ(3), (6)và (*) suy raMNPQlà hình chữ nhật.
72 CHƯƠNG 2. QUAN HỆ SONG SONG 2. Tính diện tích MNPQtheoavàx:
Ta có:SMNPQ = MQ·MN.
TínhMQ:Xét tam giácAQM.
Ta cóA =45◦,Q =45◦,M=90◦ ⇒∆AQMcân tại M.Vậy MQ= AM =x.
TínhMQ.Xét∆SAO,ta có
MN k SA⇒ MN
AS = OM
OA ⇒MN = AS·OM OA =a
a√ 2
2 −x
a√ 2 2
=a−x√ 2
⇒SMNPQ = MQ·MN = x·Äa−x√ 2ä
= √1 2x√
2·Äa−x√ 2ä
.
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dươngx√ 2vàÄ
a−x√ 2ä
:
x√ 2Ä
a−x√ 2ä
≤ Çx√
2+a−x√ 2 2
å2
⇔ x√ 2Ä
a−x√ 2ä
≤ a
2
4 ⇔SMNPQ ≤ a
2
4√ 2.
Đẳng thức xảy ra khi
x√
2= a−x√
2⇔x = a
2√ 2 = a
√2
4 ⇔ Mlà trung điểm của AO.
Vậy:x= a
√2
4 thìSMNPQđạt giá trị lớn nhất.
Bài 24. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Trên cạnh AB lấy một điểm Mvới AM =x. Gọi(α)là mặt phẳng quaMvà song song với mặt phẳng(SAD) cắtSB,SC,vàCDlần lượt tạiN,P,Q.
1. Tìm thiết diện của(α)với mặt phẳng hình chóp. Thiết diện là hình gì?
2. Tìm quĩ tích giao điểmI củaMNvàPQkhiMdi động trên đoạnAB.
3. Cho ’SAD = 90◦ vàSA = a. Tính diện tích của thiết diện theoa và x. Tìm x để diện tích thiết diện bằng 3a2
8 . Lời giải.
1. Tìm thiết diện của(α)với mặt phẳng hình chóp:
Vì mp(α)k(SAD)suy ra mp(α)song song với mọi đường thuộc mặt phẳng(SAD).
2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 73
• Tìm giao tuyến của mặt phẳng(α) và mặt phẳng(ABCD).
CóM là điểm chung của hai mặt phẳng(α)và(ABCD), vì mp(α)k AD nên giao tuyến của chúng quaMvà song song với AD, giao tuyến này cắt CD tại điểm Q.
Tương tự:
• Mặt phẳng (α) và mặt phẳng (SAB) có M là điểm chung và (α) k SA nên giao tuyến của chúng là MN với MN k SA và
N ∈SB. (1)
• Mặt phẳng (α) và mặt phẳng (SBC)cóNlà điểm chung và(α)k AD k BC nên giao tuyến của chúng là NP với NP k BC và
P ∈ SC. (2)
• Mặt phẳng (α) và mặt phẳng (SCD) có 2 điểm chung là P,Q.
Vậy giao tuyến của chúng làPQ.
S I S0
A
D
P
B
C N
Q
M
Suy ra thiết diện cần tìm là MNPQ. Từ (1) và(2)thì MQ k PN. Vậy MNPQ là hình thang.
2. Tìm quĩ tích giao điểmIcủa MNvàPQkhiMdi động trên đoạnAB.
Ta có:
ABk DC
AB⊂(SAB) ,DC ⊂(SCD) S∈ (SAB)∩(SCD)
⇒(SAB)∩(SCD)=Sx Sx k ABk CD
Mà
®I ∈ PQ⊂(SCD)
I ∈ MN ⊂(SAB) ⇒ I ∈ (SAB)∩(SCD). Vậy I ∈ Sx.
Giới hạn quĩ tích: Khi M≡ AthìI ≡S. Còn khi M≡BthìI ≡S0. 3. Tính diện tích của thiết diện theoavàx.
Ta có:SMNPQ =S4I MQ−S4I NP =S4SAD−S4I NP Vì4I MQ=4SAD c·g·c . TínhS4SAD. Ta có4SADvuông cân tạiA, do đóSSAD = 1
2a2. TínhS4I NP: Xét tam giácSBC, tam giácSBS0và tam giácSAB.có:
N I k S0B⇒ N I
S0B = SN
SB (1)
PNk BC ⇒ PN
BC = SN
SB (2)
MN k SA⇒ AM
AB = SN
SB (3)
Từ(1), (2)và(3), ta được N I
S0B = PN
BC = AM
AB ⇒ N I= PN = AM= x.
⇒ 4I NPvuông cân tạiN, vìN I k SA,PN k ADvàSA ⊥AD.
Do đóS4I NP = 1 2x2.
Vậy diện tích thiết diệnSMNPQ = 1 2a2−1
2x2 = 1
2 a2−x2 .
74 CHƯƠNG 2. QUAN HỆ SONG SONG
ĐểSMNPQ = 3a
2
8 thì 1
2 a2−x2
= 3a
2
8 ⇔x2 =a2−3a
2
4 ⇔x2= a
2
4 ⇔x = a 2.
Bài 25. Cho tứ diện ABCD có AB = AC = CD = a và AB vuông góc với CD. Lấy M thuộc đoạn AC với AM = x(0 <x< a). Mặt phẳng (α) qua M và song song với AB,CDcắtBC,BD,ADlần lượt tạiN,P,Q.
1. Chứng minhMNPQlà hình chữ nhật.
2. Tính diện tích MNPQtheoavàx.
3. Tínhxđể diện tíchMNPQlớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó.
4. ĐịnhxđểMNPQlà hình vuông.
Lời giải.
1.
Ta có:
®MN =(α)∩(ABC)
(α)k AB ⇒ MN k AB.
Ta có:
®MQ=(α)∩(ACD)
(α)k CD ⇒ MQk CD.
Ta có:
®NP =(α)∩(BCD)
(α)k CD ⇒ NP k CD.
Ta có:
®PQ=(α)∩(ABD)
(α)k AB ⇒ PQk AB.
Tứ giác MNPQ có hai cặp cạnh đối song song với nhau nênMNPQlà hình bình hành.
Vì
®ABk MN,CDk NP
AB⊥CD ⇒ MN ⊥ NP.
Vậy MNPQlà hình chữ nhật.
A
C P M
B N
D Q
2. Trong4ACDcóMQk CD⇒ AM
AC = MQ
CD ⇒ MQ=x.
Trong4ABCcóMN k AB.
Suy ra CM
CA = MN
AB ⇒ MN = CM
CA ·AB= a−x
a ·a=a−x.
SMNPQ = MN·MQ=(a−x)·x.
3. Ta có(a−x)+x=a= (hằng số). Nên để diện tích này lớn nhất khia−x= x⇔ x= a 2. 4. ĐểMNPQlà hình vuông thìMN = MQ⇔a−x= x⇔ x= a
2.
Bài 26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình hình hành với AB = a, AD = 2a.
Mặt bên SAB là tam giác vuông cân tại A. Trên cạnh AD lấy điểm M với AM = x (0< x<2a), mặt phẳng(α)quaMsong song vớiSAvàCDcắtBC,SC,SDlần lượt tại N,P,Q.
a) Chứng minh rằng MNPQlà hình thang vuông.
b) Tính diện tích hình thangMNPQtheoavàx.
2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 75
c) Tìm tập hợp giao điểm I củaMQvàNPkhiMchạy từ AđếnD.
Lời giải.
S I K
B N C
A
P
Q
M D
2a x a
a
t
a) Vì mặt phẳng(α) k ABnên(α)cắt mặt phẳng(ABCD)theo giao tuyếnMN k ABk CD.
Mặt phẳng (α) k SA nên (α) cắt mặt phẳng (SAD) theo giao tuyến MQ k SA. Mặt phẳng(α) k CDnên (α)cắt mặt phẳng(SCD)theo giao tuyến QP k CD. Suy ra thiết diện mặt phẳng(α)cắt hình chópS.ABCDlà hình thang MNPQ(1).
Mặt khácAB⊥ AS, MN k ABvàMQk SAnên MN ⊥MQ(2).
Từ(1)và(2)suy raMNPQlà hình thang vuông.
b) Trong mặt phẳng(SAD)cóMQk ASsuy ra DM
DA = DQ
DS = MQ
AS = 2a−x
2a ⇒ MQ= 2a−x
2a ·a= 2a−x
2 .
Trong mặt phẳng(SCD)cóPQk CDsuy ra PQ
CD = SQ
SD = SD−DQ
SD =1− DQ
SD =1−2a−x
2a = x
2a ⇒PQ= x
2. VìMN k AB, màABCDlà hình bình hành nên MN = AB=a.
Diện tích hình thang vuôngMNPQ
SMNPQ = (MN+PQ)MQ
2 =
a+x
2
· 2a−x 2
2 = (2a+x)(2a−x)
8 = 4a
2−x2
8 .
c) Ta có(SBC)∩(SAD)=St (vớiStk ADk BC). VìI =MQ∩NP, mà
®I ∈ MQ⊂(SAD)
I ∈ NP⊂(SBC) ⇒ I ∈ (SAD)∩(SBC).
Từ đó suy raIthuộc giao tuyếnStcố định. Mặt khác, nếuM≡ AthìI ≡S, nếuM≡ D thìI ≡K(với DKk SA).
Vậy khiMchạy trên đoạnADthì giao điểmI chạy trên đoạnSK.
76 CHƯƠNG 2. QUAN HỆ SONG SONG
Bài 27. Cho tứ diệnABCDcó AB=a, CD=b. GọiI,Jlần lượt là trung điểm của AB vàCD. Giả sửAB⊥CD, mặt phẳng(α)quaMnằm trên đoạn I,Jvà song song vớiAB vàCD.
a) Tìm giao tuyến của(α)với(ICD)và(J AB).
b) Xác định thiết diện của ABCDvà mặt phẳng(α). Chứng minh thiết diện là hình chữ nhật.
c) Tính diện tích thiết diện của hình chữ nhật biết I M= 1 3I J.
Lời giải.
A
C Q H
D G
M N
B E
I
L F
J P
a) Tìm giao tuyến của(α)với(ICD):
Ta có
®(α)k CD,CD ⊂(ICD)
M∈ (α)∩(ICD) suy ra giao tuyến của(α)và(ICD)là đường thẳng qua Mvà song song vớiCDcắtICtạiLvàIDtại N. Tương tự
®(α)k AB,AB ⊂(J AB)
M ∈(α)∩(J AB) suy
ra giao tuyến của(α)và(J AB)là đường thẳng quaMvà song song vớiABcắtJ AtạiP vàJBtạiQ.
b) Xác định thiết diện của ABCDvà mặt phẳng(α):
Ta có
®(α)k AB,AB⊂(ABC)
L∈ (α)∩(ABC) ⇒(α)∩(ABC)=EF (1). Với EFđi qua LvàEF k AB, E ∈ BC,F ∈ AC.
Ta có
®(α) k AB,AB⊂(ABD)
N ∈ (α)∩(ABD) ⇒ (α)∩(ABD) = HG (2). VớiN ∈ HG vàHG k AB,
H ∈ BD,G ∈ AD.
Từ(1)và(2)suy raEF k HG k AB (3). Mặt khác
®(α) kCD,CD ⊂(ACD)
FG =(α)∩(ACD) ⇒ FGk CD (4);
®(α)k CD,CD⊂(BCD)
EH =(α)∩(BCD) ⇒EH k CD (5)
Từ(4)và(5)suy raFG k EH k CD (6). Từ(3)và(6)suy ra EFGHlà hình bình hành màAB⊥CD (∗).
Từ(3),(6)và(∗)suy raEFGHlà hình chữ nhật.
2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 77 c) Tính diện tích thiết diện của hình chữ nhật biết I M= 1
3I J:
Ta cóSEFGH = EF·FG= PQ·LN.
Xét tam giác ICD, ta có LN k CD ⇒ LN
CD = I N
ID (7). Xét tam giác I JDta có MN k JD ⇒ I N
ID = I M I J (8).
Từ(7)và(8)suy ra LN
CD = I M I J = 1
3 ⇒ LN = CD
3 = b
3. Tương tự PQ
AB = J M J I = 2
3 ⇒
PQ= 2
3AB= 2 3a.
Suy raSEFGH = 2ab 9 .
Bài 28. Cho hình chópS.ABCDcóABCDlà hình bình hành. GọiMlà trung điểm của SC,(P)là mặt phẳng qua AMvà song song vớiBD.
a) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng(P).
b) Gọi E,Flần lượt là giao điểm của (P)với các cạnh SBvàSD. Tìm tỉ số diện tích của tam giácSME với tam giácSBCvà tỉ số diện tích của tam giác SMFvà tam giácSCD.
c) Gọi K là giao điểm của ME vàCB, J là giao điểm của MF vàCD. Chứng minh rằng3điểmK,A,Jnằm trên một đường thẳng song song vớiEFvà tìm tỉ số EF
K J. Lời giải.
S
K
E C I
B J
O
M
A
D F
a) GọiO = AC∩BD ⇒ (SAC)∩(SBD) = SO. Gọi I = AM∩SO(AM,SO ⊂ (SAC) ⇒
78 CHƯƠNG 2. QUAN HỆ SONG SONG I ∈ (SBD)). Ta có
I ∈ (P)∩(SBD) BDk(P)
BD⊂(SBD)
⇒(SBD)∩(P)= Ix (Ix k BD).
GọiE= Ix∩SB, F= Ix∩SD. Suy raE,Flà giao điểm củaSB,SDvới mặt phẳng(P).
Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác AEMF.
b) Dễ thấy I là trọng tâm của tam giácSACnên SI SO = 2
3. Xét tam giácSBD cóEFsong song vớiBDta có SE
SB = SF
SD = SI SO = 2
3. Suy ra SSME
SSBC
= 1
2SM·SE·sinBSC‘ 1
2SC·SB·sinBSC‘
= SE SB ·SM
SC = 1 3
SSMF
SSCD = 1
2SM·SF·sin’DSC 1
2SC·SD·sin’DSC
= SF SD · SM
SC = 1 3.
c) Ta có
K =EM∩BC ⇒K ∈ (P)∩(ABCD) (1)
J = FM∩CD⇒ J ∈ (P)∩(ABCD) (2)
A ∈(P)∩(ABCD) (3)
Từ(1), (2), (3)suy ra ba điểmK,J,Athuộc giao tuyến(∆)của mặt phẳng(P)và(ABCD).
Ta lại có
®(P)∩(ABCD)=(∆)
BD k(P) ⇒(∆)k BD.
Xét tam giácMJKcóEF k JK(vì JKk BD,EF k BD) suy ra ME
MK = MF
MJ = MI
MA = EF JK = 1
3.
Bài 29. Cho hình chópS.ABCDcóGlà trọng tâm tam giác ABC. Gọi M,N,P,Q,R,H lần lượt là trung điểm củaSA,SC,CB,BA,QN,AG.
a) Chứng minh rằng:S,R,Gthẳng hàng vàSG=2MH =4RG.
b) Gọi G0 là trọng tâm tam giác SBC. Chứng minh rằng: GG0 k (SAB) và GG0 k (SAC).
c) Mặt phẳng (α)quaGG0 và song song với BC. Xác định thiết diện của hình chóp tạo bởi mặt phẳng(α).
Lời giải.
2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 79 S
B P G
L
Q E H
F
D
C K R
M
G0 V N
A T
a) Chứng minh rằng:S,R,Gthẳng hàng vàSG=2MH =4RG.
GọiElà trung điểm củaGC. Trong tam giácQNEcóRGlà đường trung bình của tam giác nên GR k NE, GR = 1
2NE (1). Trong tam giácSCGcó NElà đường trung bình của tam giác nênGS k NE,GS =2NE (2). Từ(1)và(2)suy ra ba điểmG,R,Sthẳng hàng vàGS=4GR. Trong tam giácSAGcóHMlà đường trung bình của tam giác nên GS=2HM.
b) Chứng minh rằng:GG0 k(SAB)vàGG0 k(SAC).
Trong tam giácSAPcó PG
PA = PG
0
PS = 1
3 ⇒GG0 k SA. Hai mặt phẳng(SAB)và(SAC) cùng chứaSA. Suy raGG0 k (SAB)vàGG0 k (SAC).
c) Xác định thiết diện của hình chóp tạo bởi mặt phẳng(α).
Vì(α) k BC nên (α)cắt mặt phẳng đáy (ABCD) theo giao tuyến qua G và song song với BC. Giao tuyến này cắt ABtại F, cắt ADtạiL. VìGG0 k SAnên (α)cắt mặt phẳng (SAB)theo giao tuyến quaFvà song song vớiSA. Giao tuyến này cắtSBtạiT.
VìGG0 kSAnên(α)cắt mặt phẳng(SAD)theo giao tuyến quaFvà song song vớiSA.
Giao tuyến này cắtSBtạiT.TG0là giao tuyến của mặt phẳng(α)với mặt phẳng(SBC), giao tuyến này cắtSCtạiV.
Vậy thiết diện cần tìm là ngũ giácFLKVT.
Bài 30. Cho hình chópS.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâmO, có AC = a, BD=b, tam giácSBDđều.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(SAB)và(SCD).
b) Gọi G1,G2 lần lượt là trọng tâm của tam giác ACD và SCD. Chứng minh rằng G1G2song song với mặt phẳng(SCA).
c) Gọi M là điểm di động trên đoạn AOvới AM = x(0 < a < a
2). Gọi(P)là mặt phẳng đi qua Mvà song song với(SBD). Tìm thiết diện tạo bởi(P)và hình chóp S.ABCD. Tính diện tích thiết diện theoa,b,x.