7 chuyên đề đạo hàm - TOANMATH.com

CHUYÊN ĐỀ 1

TÌM SỐ GIA

Phương pháp:

Để tính số gia của hàm số y f x( ) tại điểm x₀ tương ứng với số gia x cho trước ta áp dụng công thức tính sau:  y f x



0  x



f x

 

0

x gọi là số gia của đối sốtại điểm x₀ và   x x x₀.

ygọi là số gia của hàm sốtương ứng và  y f x



0  x



f x

 

0

BÀI TẬP MẪU

Bài 1. Tìm số gia của hàm số yx²x, tương ứng với sự biến thiên của đối số từ x₀ 2 đến

0 5

x   x

Hướng dẫn

Số gia của hàm số là  y f x 0   x f x 0  f  5  f  2 



5² 5

 

 2² 2



18 Bài 2. Tìm số gia của hàm số yx²– 3x4 tại điểm x₀ 2 ứng với số gia x, biết  x 4

Hướng dẫn

Vì ₀

0

4 6

2

x x x

x

  

   

 

Khi đó  y f x 0   x f x 0  f  6  f  2 



6² 3.64

 

 2² 3.24





Bài 3. Tính y và y x



 của hàm số y  x² x

Hướng dẫn Ta có:

       

 

   

2 2

2 2 2 2

2

2 . 2 .

2 . 2 1

y f x x f x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x

y x x x x

x x

x x

 

             

               

     

     

 

Bài 4. Tìm số gia của hàm số ^{f x}

 

^x4 khi x₀ 1,  x 1. Hướng dẫn

Ta có:  y f x



0  x



f x

 

0 ^{ f}

 

^{2  f}

 

^{1 2414 15}

Bài 5. Số gia của hàm số ^{f x}

 

^{x3x khi} x0 0,  x 1. Hướng dẫn

Ta có:  y f x



0  x



f x

 

0 ^{ f}

 

^{1  f}

 

^{0 }



^{13 1}

 

^030



^2

Bài 6. Tìm số gia của hàm số

 

³

3

f x  x theo số gia x của đối số x tại x₀ 0. Hướng dẫn

Ta có:  y f x



0  x



f x

 

0 ^{ f}

 

^{ x f}

 

^{0 }

   

^{3 0 3}

3 3

x



 

³

3

x



Bài 7. Số gia của hàm số ^{f x}

 

^x2x ứng với x₀, x là Hướng dẫn

Ta có:  y f x



0  x



f x

 

0 



x0  x

 

²  x0  x

 

x0²x0



   x



x 2x01



Bài 8. Tìm số gia của hàm số ^{f x}

 

^{x2 2 khi} x0 0,  x 2. Hướng dẫn

Ta có:  y f x



0  x



f x

 

0 ^{ f}

 

^{2  f}

 

^{0  22 2}



^022



^4.

Bài 9. Số gia của hàm số

 

₃¹

f x 1

 x

 khi, x₀ 1,  x 1. Lời giải

Ta có:  y f x



0  x



f x

 

0 ^{ f}

 

^{1  f}

 

⁰ ₃¹ ₃^{1 7}

2 1 1 1 18

  

  .

Bài 10. Tìm số gia của hàm số ^{f x}

 

^{ x1} theo số gia x của đối số x tại x₀ 0. Hướng dẫn

Ta có:  y f x



0  x



f x

 

0 ^{ f}

 

^{ x f}

 

^{0   x 1.}

BÀI TẬP TỰ GIẢI

Bài 11. Tìm số gia của hàm số y2x²3x5, tương ứng với sự biến thiên của đối số:

a) Từ x₀ 1 đến x₀  x 2 b) Từ x₀ 2 đến x₀  x 0,9 c) Từ x₀ 1đến x  1 x d) Từ x₀ 2 đến x  2 x Bài 12. Tính y và y

x



 của hàm số sau theo x và x:

a) y3x5 b) y3x²7 c) y2x²4x1 d) ycos 2x Bài 13. Tìm số gia của hàm số yx²–1 tại điểm x₀ 1 ứng với số gia x, biết:

a)  x 1 b)  x –0,1

Bài 14. Tính y và y x



 của hàm số sau theo x và x: a) y   x² 2x3 b) y  x³  x 1

c) y  x³ 4x5 d) 2

5 y x

x

 



e) 1

2 3

y x x

 

 f)

2

1 y x

 x



CHUYÊN ĐỀ 2

TÍNH ĐẠO HÀM

Phương pháp:

Có hai cách để tính đạo hàm:

Cách 1: Dùng định nghĩa:

   

0

' lim

x

f x x f x

y ^{ } x

  

 

Cách 2: Dùng bảng công thức : ( bảng này thầy đính kèm ở file đầu tiên)

BÀI TẬP MẪU

Bài 1. Sử dụng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau:

1) y3x5 2) yx²4x1 3) yx³3x²5

4) 2 3

1 y x

x

 

 5) y x²x 6) ^{ycos 2}



^x3



Hướng dẫn

Sử dụng định nghĩa:

   

0

' lim

x

f x x f x

y ^{ } x

  

  .

1) Ta có:

       

0 0 0

3 5 3 5 3

' lim lim lim 3

x x x

f x x f x x x x x

y ^{ } x ^{ } x ^{ } x

        

   

  

2) Ta có:

     

²

  

²



0 0

4 1 4 1

' lim lim

x x

x x x x x x

f x x f x

y ^{ } x ^{ } x

        

  

 

 

 

2

0 0

2 . 4.

lim lim 2 4 2 4

x x

x x x x

x x x

  x  

    

      



3) Ta có:

     

³

 

²



^{3 2}



0 0

3 5 3 5

' lim lim

x x

x x x x x x

f x x f x

y ^{ } x ^{ } x

        

  

 

 

3 2 2 3 2 2 3 2

0

3 . 3 . 3 6 . 3 5 3 5

lim

x

x x x x x x x x x x x x

  x

              

 

 

2 2 3 2

2 2 2

0 0

3 . 3 . 6 . 3

lim lim 3 3 . 6 3 3 6

x x

x x x x x x x x

x x x x x x x x

  x  

        

          



4) Ta có:

     

 

0 0

2 3 2 3

1 1

' lim lim

x x

x x x

f x x f x x x x

y ^{ } x ^{ } x

    

      

 

 

     

  

0 0

2 2 3 1 2 3 1

2 2 3 2 3

1 1

1 1

lim lim

x x

x x x x x x

x x x

x x x

x x x

x x

   

        

          

 

 

  

2 2

0

2 2 2 . 2. 3 3 2 2 . 2 3 3. 3

lim^x 1 1

x x x x x x x x x x x x

x x x x

 

              

     

       

²

0 0

5. 5 5

lim lim

1 1 1 1 1

x x

x

x x x x x x x x

   

  

   

         

5) Ta có:

      

²



²

0 0

' lim lim

x x

x x x x x x

f x x f x

y ^{ } x ^{ } x

      

  

 

 

2 2 2

0

lim 2 .

x

x x x x x x x x

  x

        

 

   

 

2 2 2

0 2 2 2

lim 2 .

x 2 .

x x x x x x x x

x x x x x x x x x

 

        

          

 

2

0 2 2 2

lim 2 .

x 2 .

x x x x

x x x x x x x x x

 

    

          

 

²

0 2 2 2

2 1 2 1

lim

2 . 2

x

x x x

x x

x x x x x x x x

 

   

 

         

6) Ta có:

       

0 0

cos 2 3 cos 2 3

' lim lim

x x

x x x

f x x f x

y ^{ } x ^{ } x

    

 

    

 

 

         

0 0

2sin 2 3 .sin sin

lim lim . 2sin 2 3 2sin 2 3

x x

x x x x

x x x

x x

   

     

          

Bài 2. Sử dụng công thức, tính đạo hàm của các hàm số sau:

1) y3x5 2) yx²4x1 3) yx³3x²5

4) 2 3

1 y x

x

 

 5) y x²x 6) ^{ycos 2}



^x3



Hướng dẫn

Các em tra bảng công thức để tính 1) Ta có:

     

3 5 ' 3 5 3 5 3 0 3

y x  y  x  x     2) Ta có:

       

2 2 2

4 1 4 1 4 1 2 4 0 2 4

yx  x  y x  x  x  x   x   x 3) Ta có:

 

3 2 3 2 2 2

3 5 3 5 3 6 0 3 6

yx  x   y x  x   x  x  x  x. 4) (Sử dụng công thức u u v u v. ₂ .

v v

   

  

   Ta có:

       

 

   

   

2 2 2

2 3 . 1 2 3 . 1 2. 1 2 3 .1

2 3 5

1 1 1 1

x x x x x x

y x y

x x x x

 

       

  

    

   

5) (Sử dụng công thức

 

2 u u

u

   ) Ta có:



²



2

2 2

2 1

'

2 2

x x x

y x x y

x x x x

  

    

 

6) (Sử dụng công thức



^cosu



^ ^u.sinu)

       

cos 2 3 2 3 .sin 2 3 2.sin 2 3

y x y  x  x   x

Bài 3. Sử dụng công thức, tính đạo hàm của các hàm số sau: ^y



^x41



^{x2 x 1}



Hướng dẫn Sử dụng công thức

 

^{u v. u v u v.  . }

          

     

4 2 4 2 4 2

3 2 4 5 4 3

1 1 1 . 1 1 . 1

4 . 1 1 . 2 1 6 5 4 2 1

y x x x y x x x x x x

x x x x x x x x x

 

            

          

Bài 4. Tính đạo hàm các hàm số sau:

a) yx³3x²2x1 d) ⁴ 3 ²

2 1

y  x 2x 

b) y  x³ 3x1 e) 2 1

3 y x

x

 



c)

4

2 1

4

y x x  f)

2 2 2

1

x x

y x

 

 

Hướng dẫn

a) Ta có: ^{y   }



^{x3 3x1}



^{3x26x2}

b) Ta có: ^{y   }



^{x3 3x1}



^{ 3x23}

c) Ta có:

4

2 3

1 2

4

y x x x x

 

      

 

d) Ta có: ⁴ 3 ^{2 3}

2 1 8 3

y x 2x x x

 

        

 

e) Ta có: (2 1) ( 3) ( ₂ 3) (2 1) 7 ₂

( 3) ( 3)

x x x x

y x x

 

     

  

 

f) Ta có:

2 2

2

( 2 2) ( 1) ( 2 2)( 1)

( 1)

x x x x x x

y x

 

      

  

 

2 2

2 2

(2 2)( 1) ( 2 2) 2 4

( 1) 1

x x x x x x

x x

      

 

  .

Bài 5. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :

1) 

 2 ² 2020 3

y x x x với x0 . 2) y 6 x ¹₂

 x với x0 ; Hướng dẫn

1) ^_ ^{  }_^

 

^_ ^{ }_^{    }

   

2 2

2 2020 2 2020 4 3 4

3 3 2 3 2 3

x x x x

x x x x x x x.

2) 2 3

1 3 2

6 x

x x x

   

 

  .

TÍNH ĐẠO HÀM HÀM HỢP Phương pháp:

Ta sử dụng định lý sau:

Nếu hàm số ^{ug x}

 

có đạo hàm tại x là u^_x và hàm số ^{y f u}

 

có đạo hàm tại u là y^_u thì hàm hợp ^{y f g x}

   

có đạo hàm tại x là y_x  y u _u. _x.

Từ đó, ta có các công thức đạo hàm của hàm hợp thường gặp: với ^{uu x}

 

 

^{un  n u. n1.u}



^{n }

  

^{u  } ₂^u_u ^{    }_{ }¹_u ^ _u^u2

BÀI TẬP MẪU

Bài 1. Sử dụng công thức, tính đạo hàm hàm hợp của các hàm số sau:

1) ^y



^{2x2 3 x}



^{2016 2)}



^{2 5 3}



⁴

y

x

 

3) ^y



^x7x



^{2 4)}



^{2 1 1}



⁵

y

x x

   Hướng dẫn 1) Sử dụng công thức:

 

^{u  . .u u 1}

Ta có:



^{2 2 3}



²⁰¹⁶

y x  x



²

 

²



^{2015 3}



²



²⁰¹⁵

2016. 2 3 . 2 3 2016. 4 . 2 3

y x x x x x 2 x x

x

 

 

        

 

2) Chú ý bài này các em phải chuyển đổi: 1 1 ¹

. .

u u u

u u

 

  ^ ^  ^^  ^{  }

  .



⁵



^{4 5. 2}



³



⁴

2 3

y x

x

   



 

⁴

     

^{4 1}

' 5. 2 3 5. 4 . 2 3 . 2 3

y  x ^   x  x ^{ }

 

⁵

 

⁵

1 20

20.2. . 2 3 . 2 3

2 x x

x x

  

    

3) Sử dụng công thức

 

^{u . .u u 1}



⁷



^{2 2.}



⁷

 

^{. 7}

 

^{2 7 6 1 .}

 

⁷



y x x y x x  x x  x  x x

4) Sử dụng công thức 1 1 ¹

. .

u u u

u u

 

  ^ ^  ^^   ^{ }

 



2



5



²



⁵

1 1

1

y x x

x x

    

 



²

 

²



⁶

  

²



⁶

5. 1 . 1 5 2 1 . 1

y x x  x x ^ x x x ^

           

Bài 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) ^y



^x7x



^{2. b) y }



^{1 x3}



^{5. c)} 2 ³

4 5

 

  

y x

x .

Hướng dẫn

a) Ta có: ^{y 2}



^x7x

 

^{. x7x}



^2



^x7x



^7x61



^.

b) Ta có: ^{y 5 1}



^x3

 

^{4 1x3}



^{ 15x2}



^1x3



^4.

c) Ta có:

2 2

2 2 3 2

5 5 10 5

3 4 4 3 4 4

      

              

y x x x

x x x x .

Bài 3. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y 1 2 xx² . b) y x³3x²2. Hướng dẫn

a) Ta có:



²



2 2

1 2 1

2 1 2 1 2

   

  

   

x x x

y

x x x x

.

b) Ta có:  



^{ }



^  

   

3 2 2

3 2 3 2

3 2 3 6

2 3 2 2 3 2

x x x x

y

x x x x

.

Bài 4. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a)

 

²

3

2 5

 

y

x . b)



^{2 1 1}



⁵

   y

x x . Hướng dẫn

a) Ta có:

 

   

   

2

4 4 3

3 2 5 12 2 5 12

2 5 2 5 2 5

   

 

      

  

x x

y

x x x

.

b) Ta có:

   

 

           

5 4

2 2 2

2 10 6

5 2 2

2

1 5 1 . 1 5 2 1

1 1

1

x x x x x x x

y

x x x x

x x

 

       

     

   

 

.

Bài 5. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a)

2 1 3

1 y x

x

  

    . b) ^y



^5x24x1



⁴



^7x3



^5.

Hướng dẫn a) Ta có:

   

 

2 2 2

2 4

9 2 1

2 1 2 1 2 1 3

3 3

1 1 1 1 1

 

   

     

                 

x x x x

y x x x x x .

b) Ta có: ^{y }_



^{5x2 4x1}



^4_^



^7x3



^5_



^7x3



^5_^



^5x24x1



^4.



²



³

  

⁵

 

⁴



²



⁴

4 5 4 1 10 4 7 3 5 7 3 .7. 5 4 1

         

y x x x x x x x .



^{5 2 4 1}



³



^{7 3}

 

^{44 10 4 7}



³



^{35 5}



^{2 4 1}



^

           

y x x x x x x x .



^{5 2 4 1}



³



^{7 3}



⁴



^{455 2 132 83}



      

y x x x x x .

Bài 6. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a)  2 2

 y x

a x

với a là tham số. b) ^y



^x2



^{3 .}

Hướng dẫn

a) Ta có:

   

2

2 2

2 2 2

2 2 2 2 3

 

   

 

a x x

a x a y

a x a x

.

b) Ta có:

   

 

 

 

3 2

3 3

2 3 2 3 2

2 2 2 2 2

   

   

 

x x x

y

x x .

Bài 7. Cho hàm số

4 2

 

y x

x

, tính ^y

 

⁰ .

Hướng dẫn

Ta có:

   

2

2

2 3

2 2

4 4 4

4 4

  

   

 

x x x y x

x x

. Suy ra

 

^{0 1}

  2

y .

Bài 8. Cho hàm số

2

3 2

3 2 1

2 3 2 1

 

  

x x

y

x x

, tính ^y

 

^{0 .}

Hướng dẫn

Ta có:

     

 

2 3 2 2 3 2

2

3 2

3 2 1 .2 3 2 1 3 2 1 . 2 3 2 1

2 3 2 1

 

        

 

 

x x x x x x x x

y

x x

   

 

2

3 2 2

3 2

2

3 2

9 4

6 2 2 3 2 1 3 2 1

3 2 1

2 3 2 1

      

 

 

 

x x

x x x x x

x x

y

x x

.

      

 

3 2 2 2 2

3 2 3 2 3 2

12 4 3 2 1 9 4 3 2 1 9 8 4

4 3 2 1 3 2 1 4 3 2 1

x x x x x x x x x

y

x x x x x x

         

  

      .

Suy ra:

 

^{0 4 1}

  4

y .

Bài 9. Cho hàm số



³



⁴

2

2 1

3 1

 

 

x x

y

x

, tính ^y

 

^{1 .}

Hướng dẫn

Ta có:



³

 

^{3 2}



² ₂



³



⁴

2

4 2 1 3 2 3 1 3 2 1

3 1

3 1

      

  



x x x x x x x

y x

x .

      

 

3 4

3 2 2 3

2 2

4 2 1 3 2 3 1 3 2 1

3 1 3 1

      

   

x x x x x x x

y

x x

.

      

 

3 3 2 2 3

2 2

2 1 4 3 2 3 1 3 2 1

3 1 3 1

 

        

   

x x x x x x x

y

x x

. Suy ra ^y

 

^{1 0.}

BÀI TẬP TỰ GIẢI

Bài 10. Tính đạo hàm của các hàm số sau bằng định nghĩa:

1) yx²6x1 2) yx² x 3) 4

4 y x

x

 



4) yx⁴2x² x 3 5) y x5 6) ^{ysin 2}



^x4



7) ^{ycos 4}



^x2018



^{8) ytan 5}



^x2



^{9) 1}

y 1

 x

 Bài 11. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) yx⁷3x⁴4x²4 x4 b) ⁴ 3

2 10 25

y x x

  x  c) ^y



^{x2 x 1}



^{2x23x1}



^{d) y}



^{2 x1 4}



^x3



e) 3 1

4 5

y x x

 

 f)

2 2

2 3 7

2 3

x x

y x x

 

  

Bài 12. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) ^y



^2x3

 

^{21 x4}



^{23 b) y 4x33x22}

Bài 13. Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau (a là hằng số):

a) 1 ⁴ 1 ³ 1 ^{2 3}

4 3 2

y x  x  x  x a b) ₂ 1 ₅

( 1)

y x x

  c) y3 (8 3x⁵  x²)

d) y (x 1)(x2)(x3) e) ₂2 1 y x

 x

 f) ₂5 3

1 y x

x x

 

 

g) 1

y

x x

 h)

2 1

y x

x

  i) y 2 5 xx²

j) yx²x x1 k) 1

1 y x

x

 

 l)

2 2

y x

a x

 

Bài 14. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a)

3 2

3 2 5

x x

y   x b) 2 4₂ 5₃ 6₄ y 7

x x x x

    c)

3 2 6 7

4

x x

y x

 



d) ^y_²_x^3x_



^x1



^{e) y1}₁^_ ^x_x ^{f) y  x}_x²²_⁷₃^x_x^5

g)

2 1

y x

x

  h) ^y



^xx2



^{32 i) 2 2 2}

1

x x

y x

 

 

j) ₂5 3 1 y x

x x

 

 

Bài 15. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) ^y



^x24x1



^{5 b) 2 2 3 1}

2 3

x x

y x

 

  c)

2 2

6 1

1

x x

y x x

  

  

d)

2 3

2 1

x x

y x

  

 e) 1

1 y x

x

 

 f) ²

1 2 y x

x

 



g)

2 2

1 1

x x

y x x

  

  h)

2 1

y x x

  i) ^y



^x1



^{x2 x 1}

CHUYÊN ĐỀ 3

TÍNH ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ TẠI Xo

Phương pháp:

Cách 1: Sử dụng định nghĩa tính đạo hàm tại là:

     

0

0 0

0 xlimx

f x f x

y x ^ x x

  

 Cách 2: Các em sử dụng công thức tính đạo hàm rồi thay vào.

BÀI TẬP MẪU

Bài 1. Tính đạo hàm của hàm số yx²2x tại x₀ 5. Hướng dẫn Cách 1: Sử dụng định nghĩa:

     

²



²



5 5

2 5 2.5

5 lim 5 lim

5 5

x x

x x

f x f

y ^ x ^ x

  

   

 

  

2

5 5

5 7

2 35

lim lim 12

5 5

x x

x x

x x

x x

 

 

 

  

 

Cách 2: Sử dụng công thức tính đạo hàm rồi thay số:

Ta có: ^{yx22x y}



^x22x



^2x2

Do đó ^y

 

^{5 2.5 2 12  .}

Bài 2. Tính đạo hàm của hàm số ^{ysin 2}



^x300



^{tại x0 600.}

Hướng dẫn Cách 1: Sử dụng định nghĩa:

   

0

0 0

0

60 0

sin 2 30 sin 90 60 lim

60

x

y x

x



 

 



         

0 0

0 0 0

0 0 0

0 0

60 60

2 cos 30 .sin 60 sin 60

lim lim .2 cos 30 2 cos 60 30 0

60 60

x x

x x x

x x x

 

  

     

 

Cách 2: Sử dụng công thức tính đạo hàm rồi thay số:

Ta có: ^{ysin 2}



^x300



^{ y}



^2x300



^{.cos 2}



^x300



^{2.cos 2}



^x300



Do đó ^y

 

^{600 2 cos 60}



^0300



^0.

Bài 3. Tính đạo hàm (bằng định nghĩa) của mỗi hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra:

a) yx² x tại x₀ 1 b) y x tại x₀ 1 c) ₂1 y 1

 x

 tại x₀ 0

d) 1

y 1

 x

 tại x₀ 2 e) y x²3 tại x₀ 1 Hướng dẫn

a) Ta có: ^f

 

^{1 }

lim0 x

y

  x

 





0

  

0 0

lim

x

f x x f x

  x

  



   

0

1 1

lim

x

f x f

  x

  

 

  

²

 

²



0

1 1 1 1

limx

x x

  x

      

 

 

lim0 1 1

x x

     b) Ta có: ^f

 

^{1 }

lim0 x

y

  x

 





0

  

0 0

lim

x

f x x f x

  x

  



   

0

1 1

lim

x

f x f

  x

  

 

0

1 1

lim

x

x

  x

  

  ^{ limx 0x}



^{1  1  x x1 1}



^{ limx 0}



^{1  1x 1}



^12

c) Ta có: ^f

 

^{0 }

lim0 x

y

  x

 





0

  

0 0

lim

x

f x x f x

  x

  



   

0

0 0

lim

x

f x f

  x

  

 

d) Ta có: ^f

 

^{2 }

lim0 x

y

  x

 





0

  

0 0

lim

x

f x x f x

  x

  



   

0

2 2

lim

x

f x f

  x

  

 

 

0

1 1

2 1 2 1

lim

x

x

  x

    

 

 

0

lim^x 3. 3 . x

x x

 

 

   ^{ limx 03.}



^{ x1 3}



^91

e) Ta có: ^f

 

^{1 }

lim0 x

y

  x

 





0

  

0 0

lim

x

f x x f x

  x

  



   

0

1 1

lim

x

f x f

  x

  

 

 

^{2 2}

0

1 3 1 3

lim

x

x

  x

    

 

 

²

0

2 4 2

lim

x

x x

  x

    

 

 

 

2

0 2

lim 2

. 2 4 2

x

x x

x x x

 

  

        

 

²

0

2 1

lim^x 2 4 2 2

x

x x

 

   

    

Bài 4. Tính đạo hàm của hàm số :

a)  ^

 2 1 y x

x tại x1 . b) 2

3 ( 1)

y x x

x

 

 

 

 

   tại x1; Hướng dẫn

a)

       

 

 

     

  



 

   

  ²

2 . 1 2 1

2

1 1

x x x x

x

x x

   

     

  

    

  

 ²  ²  ²

1 . 1 2

1 2 4 1 4

2

1 2 1 2 1

x x

x x x x x

x

x x x x x .

Vậy đạo hàm của hàm số tại x1 là : ^y

 

^{1 1}₂^.

b) ^^²_x^3x



^x1



^^{ }²_x^3x^.



^{x 1}



^²_x^3x



^x1



^

 

2

1 2 1

3 . 1 3

2

x x

x x x

   

       

   

Vậy đạo hàm của hàm số tại x1 là : ^y

 

^{1 5}₂^.

BÀI TẬP TỰ GIẢI

Bài 5. Tính đạo hàm của hàm số yx²2x4 tại x₀ 2 Bài 6. Cho hàm số ^{y f x}

 

^{ 2x21}

a) Tìm đạo hàm của hàm số tại x₀ 2 b) Suy ra giá trị 3 (2) 5 (2 3)f  f Bài 7. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm x0: a) y2x1 tạix₀ 2 b) yx² x tại x₀ 1

c) 1

1 y x

x

 

 tạix₀ 0 d) y 2x7 tại x₀ 1

Bài 8. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số sau (a là hằng số):

a) yax3 b) 1 ²

y2ax

c) 1

2 1

y x

 với 1

x 2 d) y 3x với x3

Bài 9. Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x₀ được chỉ ra bằng cách sử dụng công thức tính đạo hàm rồi thay x₀ vào :

1) yx⁵2x³3x5 tại x₀ 2 2)

2 1

1 y x

x

 

 tại x₀ 10 3) y x²4x1 tại x₀ 5 4) sin 2

y  x4 tại ₀ x _6

5) 2

5 y x

x

 

 tại x₀  2 6) ^y



^x23x



^x42



^{tại x0  3}

CHUYÊN ĐỀ 4

ĐẠO HÀM CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm lượng giác:

Đạo hàm Hàm hợp

(sin ) 'x cosx; (cos ) 'x  sinx

2

(tan ) ' 1 x cos

 x; 1₂

(cot ) ' x sin

  x

arcsin ' ¹ ₂ x 1

 x



 

2

arccos ' 1

1 x

x

  

arctan ' ₂¹ x 1

 x



(sin ) 'u u'.cosu

(cos ) 'u  u'sinu; tan ' ₂^' cos u u

 u

^cot ^' ₂^' sin u u

  u



^sinnu



^{ n.sinn1u. sin}



^u



^



^cosnu



^{n.cosn1u. cos}



^u



^



^tannu



^{n.tann1u. tan}



^u



^



^cotnu



^{ n co. tn1u co u.}



^t



^

I. Sử dụng công thức để tính đạo hàm hàm lượng giác:

BÀI TẬP MẪU

Bài 1. Tính đạo hàm của hàm số : 1) sin 2 cos

3

y x x. 2) ^y



^{sin 5x1}



²

3) ysin .cos 4x x 4) y2 tan² x5cotx² Hướng dẫn

1) Ta có: 1

2.cos 2 sin

3 3

y  x x

2) Ta có: ^{y 2 sin 5}



^x1

 

^{ sin 5x 1}



^{10 cos 5x}



^{sin 5x1}



^.

3) Ta có: y 



^sinx



^{.cos 4}xsin . cos 4x



x



cos .cos 4x x4sin .sin 4x x . Ngoài ra các em có thể tách ^{sin .cos 4 1}



^{sin 5 sin 3}



y x x2 x x sau đó tính đạo hàm.

4) Ta có: 2sin₃ 5_{2 2} ' cos sin

x x

y  x x

Bài 2. Tính đạo hàm của hàm số :

1) ysin 3x 2) y5sinx3cosx 3) ycos 2x1

4) sin( ) cos

3 6

y x   x 5) y4 cos 2x5sin(2x3) 6) y 3 sinxcosx2019x

7) yx².cos 3 2 sin 3x x x 8) 3 sin² 3 cos 2 ² 1 y   x4 x 

9) ytan 2x 10) ^{ycot 3}



^x1



^{11) tan 1}

2 y x

12) ycot x²1 13) tan

3

y x 14) y3cosxcot 2x

15) ytan 5xcot 4x 16) ^ytan



^{x22 x1}



^{17) ytanx1}₃^tan