CHỦ ĐỀ
5. ĐẠO HÀM
Bài 01
ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
I – ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM
1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
Cho hàm số y f x xác định trên khoảng a b; và x0 a b; . Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)
0
0 0 x
lim
xf x f x x x
thì giới hạn đĩ được gọi là đạo hàm của hàm số y f x tại x0 và kí hiệu là ' 0
f x (hoặc y x' 0 ), tức là
0
0 0
0
' lim .
x x
f x f x f x
x x
Chú ý:
Đại lượng x x x0 gọi là số gia của đối số x tại x0.
Đại lượng y f x f x0 f x0 x f x0 được gọi là số gia tương ứng của hàm số. Như vậy
0 0
' lim .
x
y x y
x 2. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa
Bước 1. Giả sử x là số gia của đối số x tại x0, tính y f x0 x f x0 . Bước 2. Lập tỉ số y
x . Bước 3. Tìm
lim0 x
y x.
3. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số
Định lí 1
Nếu hàm số y f x cĩ đạo hàm tại x0 thì nĩ liên tục tại x0. Chú ý:
a) Nếu y f x gián đoạn tại x0 thì nĩ khơng cĩ đạo hàm tại x0. b) Nếu y f x liên tục tại x0 thì cĩ thể khơng cĩ đạo hàm tại x0.
4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Định lí 2
Đạo hàm của hàm số y f x tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến M T0 của đồ thị hàm số tại điểm M0 x0; f x0 .
Định lí 3
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm M0 x0; f x0 là
0 0 0
– ' –
y y f x x x
trong đó y0 f x0 .
5. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm
Vận tốc tức thời: v t0 s t' 0 . Cường độ tức thời: I t0 Q t' 0 .
II – ĐẠO HÀM TRÊN MỘT KHOẢNG
Định nghĩa
Hàm số y f x được gọi là có đạo hàm trên khoảng a b; nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó.
Khi đó, ta gọi hàm số f ' : a b;
x f ' x
là đạo hàm của hàm số y f x trên khoảng a b; , kí hiệu là y' hay f ' x .
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1. TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA
Câu 1. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Nếu hàm số y f x không liên tục tại x0 thì nó có đạo hàm tại điểm đó. B. Nếu hàm số y f x có đạo hàm tại x0 thì nó không liên tục tại điểm đó. C. Nếu hàm số y f x có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó. D. Nếu hàm số y f x liên tục tại x0 thì nó có đạo hàm tại điểm đó. Câu 2. Cho f là hàm số liên tục tại x0. Đạo hàm của f tại x0 là:
A. f x0 .
B. f x0 h f x0 . h
C. 0 0
0
lim
h
f x h f x
h (nếu tồn tại giới hạn).
D. 0 0
lim0 h
f x h f x h
h (nếu tồn tại giới hạn).
Câu 3. Cho hàm số y f x có đạo hàm tại x0 là f x0 . Mệnh đề nào sau đây sai?
A.
0
0 0
0
lim .
x x
f x f x f x
x x B. 0 0 0
lim0 .
x
f x x f x
f x
x
C. 0 0 0
lim0 .
h
f x h f x f x
h D. 0
0 0
0
0
lim .
x x
f x x f x
f x
x x
Câu 4. Cho hàm số
3 4
khi 0
4
1 khi 0
4
.
x x
f x
x
Tính f 0 .
A. 1
0 .
f 4 B. 1
0 .
f 16 C. 1
0 .
f 32 D. Không tồn tại.
Câu 5. Cho hàm số
2 1 1
khi 0
0 khi 0
.
x x
f x x
x
Tính f 0 .
A. f 0 0. B. f 0 1. C. 1
0 .
f 2 D. Không tồn tại. Câu 6. Cho hàm số f x xác định trên \ 2 bởi
3 2
2
4 3
khi 1
3 2
0 k
.
hi 1
x x x
f x x x x
x Tính f 1 .
A. 3
1 .
f 2 B. f 1 1. C. f 1 0. D. Không tồn tại.
Câu 7. Cho hàm số 2
2
1 khi 0
khi 0.
x x
f x x x Khẳng định nào sau đây sai?
A. Hàm số không liên tục tại x 0. B. Hàm số có đạo hàm tại x 2. C. Hàm số liên tục tại x 2. D. Hàm số có đạo hàm tại x 0. Câu 8. Tìm tham số thực b để hàm số
2 2
khi 2
6 khi 2
2
x x
f x x
bx x
có đạo hàm
tại x 2.
A. b 3. B. b 6. C. b 1. D. b 6.
Câu 9. Cho hàm số 2 2 2 khi 0
1 khi 0
mx x x
f x nx x . Tìm tất cả các giá trị của các tham số m n, sao cho f x có đạo hàm tại điểm x 0.
A. Không tồn tại m n, . B. m 2, n.
C. n 2, m. D. m n 2.
Câu 10. Cho hàm số
2
khi 1
2
khi 1
x x
f x
ax b x
. Tìm tất cả các giá trị của các tham số
,
a b sao cho f x có đạo hàm tại điểm x 1.
A. 1
1, .
a b 2 B. 1 1
, .
2 2
a b C. 1 1
, .
2 2
a b D. 1
1, .
a b 2
Vấn đề 2. SỐ GIA CỦA HÀM SỐ
Câu 11. Tính số gia của hàm số y x2 2 tại điểm x0 2 ứng với số gia x 1.
A. y 13. B. y 9. C. y 5. D. y 2.
Câu 12. Tính số gia của hàm số y x3 x2 1 tại điểm x0 ứng với số gia x 1.
A. y 3x02 5x0 3. B. y 2x30 3x02 5x0 2.
C. y 3x02 5x0 2. D. y 3x02 5x0 2.
Câu 13. Tính số gia của hàm số 2 2
y x tại điểm x0 1 ứng với số gia x.
A. 1 2
2 .
y x x B. 1 2
2 .
y x x
C. 1 2
2 .
y x x D. 1 2
2 .
y x x
Câu 14. Tính số gia của hàm số y x2 4x 1 tại điểm x0 ứng với số gia x là:
A. y x x 2x0 4 . B. y 2x0 x.
C. y x 2x0 4 x . D. y 2x0 4 x. Câu 15. Tính số gia của hàm số 1
y x tại điểm x (bất kì khác 0) ứng với số gia x.
A. x .
y x x x B. x .
y x x x
C. x .
y x x D. x .
y x x
Câu 16. Tính tỷ số y
x của hàm số y 3x 1 theo x và x. A. y 0.
x B. y 1.
x C. y 2.
x D. y 3.
x Câu 17. Tính tỷ số y
x của hàm số y x2 1 theo x và x. A. y 0.
x B. y 2 .
x x
x C. y 2 .
x x
x D. y .
x x Câu 18. Tính tỷ số y
x của hàm số y 2x3 theo x và x. A.
3 3
2 2
x x .
y
x x B. y 2 2.
x x
C. y 6 2 6 2 2.
x x x x
x D.
2 2
3 3 .
y x x x x
x Câu 19. Tính tỷ số y
x của hàm số 1
y x theo x và x.
A. 1
y .
x x x x B. 1
y .
x x x x
C. 1 y .
x x x D.
1 . y
x x x
Câu 20. Đạo hàm của hàm số f x x2 x tại điểm x0 ứng với số gia x là:
A. 2
lim0 2 .
x x x x x B.
lim0 2 1 .
x x x
C.
lim0 2 1 .
x x x D. 2
lim0 2 .
x x x x x
Vấn đề 3. Ý NGHĨA VẬT LÝ CỦA ĐẠO HÀM
Câu 21. Một chất điểm chuyển động theo phương trình s t t2, trong đó t 0, t tính bằng giây và s t tính bằng mét. Tính vận tốc của chất điểm tại thời điểm t 2 giây.
A. 2m/ s. B. 3m/ s. C. 4m/ s. D. 5m/ s.
Câu 22. Một viên đạn được bắn lên cao theo phương trình s t 196t 4, 9t2 trong đó 0,
t t tính bằng giây kể từ thời điểm viên đạn được bắn lên cao và s t là khoảng
cách của viên đạn so với mặt đất được tính bằng mét. Tại thời điểm vận tốc của viên đạn bằng 0 thì viên đạn cách mặt đất bao nhiêu mét?
A. 1690m. B. 1069m. C. 1906m. D. 1960m.
Câu 23. Một chất điểm chuyển động có phương trình s t t3 3t2 9t 2, trong đó 0,
t t tính bằng giây và s t tính bằng mét. Hỏi tại thời điểm nào thì bận tốc của
vật đạt giá trị nhỏ nhất?
A. t 1s. B. t 2s. C. t 3s. D. t 6s.
Câu 24. Vận tốc của một chất điểm chuyển động được biểu thị bởi công thức 8 32
v t t t , trong đó t 0, t tính bằng giây và v t tính bằng mét/giây. Tìm gia tốc của chất điểm tại thời điểm mà vận tốc chuyển động là 11 mét/giây.
A. 6m/ s .2 B. 11m/ s .2 C. 14m/ s .2 D. 20m/ s .2 Câu 25. Một vật rơi tự do theo phương trình 1 2
s 2gt , trong đó g 9, 8 m/ s2 là gia tốc trọng trường. Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ
5s
t t đến t t với t 0, 001s.
A. vtb 49m/ s. B. vtb 49, 49m/ s. C. vtb 49, 0049m/ s. D. vtb 49, 245m/ s.
Vấn đề 4. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
Câu 26. Tìm hệ số góc k của tiếp tuyến của parabol y x2 tại điểm có hoành độ 1 2.
A. k 0. B. k 1. C. 1
4.
k D. 1
2. k
Câu 27. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y x3 tại điểm 1; 1 .
A. y 3x 4. B. y 1. C. y 3x 2. D. y 3x 2.
Câu 28. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong 1
y x tại điểm cĩ hồnh độ bằng 1.
A. x y 2 0. B. y x 2. C. y x 2. D. y x 2.
Câu 29. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y x3 tại điểm cĩ tung độ bằng 8.
A. y 8. B. y 12x 16. C. y 12x 24. D. y 12x 16.
Câu 30. Cho hàm số y x3 3x2 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm với trục tung.
A. y 2 .x B. y 2. C. y 0. D. y 2.
Câu 31. Cho hàm số y x3 3x2 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm với đường thẳng y 2.
A. y 9x 7; y 2. B. y 2.
C. y 9x 7; y 2. D. y 9x 7; y 2.
Câu 32. Cho hàm số y x3 3x2 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y 9x 7.
A. y 9x 7; y 9x 25. B. y 9x 25.
C. y 9x 7; y 9x 25. D. y 9x 25.
Câu 33. Cho hàm số y x3 3x2 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến vuơng gĩc với đường thẳng 1
45 .
y x
A. y 45x 173; y 45x 83. B. y 45x 173.
C. y 45x 173; y 45x 83. D. y 45x 83.
Câu 34. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong 1
y x biết hệ số gĩc của tiếp tuyến bằng 1
4.
A. x 4y 1 0 ; x 4y 1 0. B. x 4y 4 0 ; x 4y 4 0.
C. 1 1
4 ; 4.
4 4
y x y x D. 1
y 4x.
Câu 35. Cho hàm số y x3 3x2 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết cosin gĩc tạo bởi tiếp tuyến và đường thẳng : 4x 3y 0 bằng 3
5.
A. y 2; y 1. B. y 2; y 1. C. y 2; y 1. D. y 2; y 2.
Bài 02
CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
I – ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP
Định lí 1
Hàm số y xn n , n 1 có đạo hàm tại mọi x và xn / nxn 1. Định lí 2
Hàm số y x có đạo hàm tại mọi x dương và / 1 2 .
x x
II – ĐẠO HÀM CỦA TỔNG, HIỆU, TÍCH, THƯƠNG 1. Định lí
Định lí 3
Giả sử u u x , v v x là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có
' ' '
u v u v
' ' '
u v u v
' ' '
uv u v v u
2
' '
' 0 .
u u v v u
v v x
v v
2. Hệ quả
Hệ quả 1
Nếu k là một hằng số thì ku ' ku'.
Hệ quả 2
2
1 '
' v 0 .
v v x
v v
III – ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP
Định lí 4
Nếu hàm số u g x có đạo hàm tại x là u'x và hàm số y f u có đạo hàm tại u là y'u thì hàm hợp y f g x có đạo hàm tại x là y'x y' . ' .u ux
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1. ĐẠO HÀM CỦA HÀM ĐA THỨC
Câu 1. Cho hàm số 1 3 2
2 2 8 1
f x 3x x x , có đạo hàm là f x . Tập hợp những giá trị của x để f x 0 là:
A. 2 2 . B. 2; 2 . C. 4 2 . D. 2 2 .
Câu 2. Cho hàm số y 3x3 x2 1, có đạo hàm là y . Để y 0 thì x nhận các giá trị thuộc tập nào sau đây?
A. 2
9;0 . B.
9;0 . 2
C. 9
; 0; .
2 D.
; 2 0; .
9
Câu 3. Tính đạo hàm của hàm số f x x4 4x3 3x2 2x 1 tại điểm x 1. A. f 1 4. B. f 1 14. C. f 1 15. D. f 1 24.
Câu 4. Cho hàm số 1 3 2
2 1 4
y 3x m x mx , có đạo hàm là y . Tìm tất cả các giá trị của m để y 0 với x .
A. 1
1; .
m 4 B. 1
1; . m 4
C. 1
; 1 ; .
m 4 D. 1
1; . m 4
Câu 5. Cho hàm số 1 3 2
1 3
y 3mx m x mx , có đạo hàm là y . Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt là x x1, 2 thỏa mãn
2 2
1 2 6
x x .
A. m 1 2; m 1 2. B. m 1 2.
C. m 1 2; m 1 2. D. m 1 2.
Câu 6. Biết hàm số f x ax3 bx2 cx d a 0 có đạo hàm f x 0 với x . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. b2 3ac 0. B. b2 3ac 0. C. b2 3ac 0. D. b2 3ac 0.
Câu 7. Biết hàm số f x ax3 bx2 cx d a 0 có đạo hàm f x 0 với x . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. b2 3ac 0. B. b2 3ac 0. C. b2 3ac 0. D. b2 3ac 0.
Câu 8. Tính đạo hàm của của hàm số y x3 2x2 2.
A. f x 6x5 20x4 16x3. B. f x 6x5 16x3. C. f x 6x5 20x4 4x3. D. f x 6x5 20x4 16x3.
Câu 9. Cho hàm số y 2x2 13, có đạo hàm là y . Để y 0 thì x nhận các giá trị nào sau đây?
A. Không có giá trị nào của x. B. ;0 . C. 0 ; . D. . Câu 10. Tính đạo hàm của hàm số y 7x 54.
A. y 4 7x 5 .3 B. y 28 7x 5 .3
C. y 28 5 7x 3. D. y 28 5 7x 3. Câu 11. Tính đạo hàm của hàm số y 1 x3 5.
A. y 5x2 1 x3 4. B. y 15x2 1 x3 4. C. y 3x2 1 x3 4. D. y 5x2 1 x3 4. Câu 12. Tính đạo hàm của hàm số y x3 2x2 2016.
A. y 2016 x3 2x2 2015. B. y 2016 x3 2x2 2015 3x2 4x . C. y 2016 x3 2x2 3x2 4x . D. y 2016 x3 2x2 3x2 2x . Câu 13. Tính đạo hàm của hàm số y x2 2 2x 1 .
A. y 4 .x B. y 3x2 6x 2.
C. y 2x2 2x 4. D. y 6x2 2x 4.
Câu 14. Tính đạo hàm của hàm số f x x x 1 x 2 ... x 2018 tại điểm x 0. A. f 0 0. B. f 0 2018!. C. f 0 2018!. D. f 0 2018.
Câu 15. Tính đạo hàm của hàm số f x x x 1 x 2 ... x 2018 tại điểm 1004
x .
A. f 1004 0. B. f 1004 1004 !.
C. f 1004 1004 !. D. f' 1004 1004! .2
Vấn đề 2. ĐẠO HÀM CỦA HÀM PHÂN THỨC
Câu 16. Tính đạo hàm của hàm số 2 1 f x x
x tại điểm x 1.
A. f 1 1. B. 1
1 .
f 2 C. f 1 2. D. f 1 0.
Câu 17. Tính đạo hàm của hàm số 2 2 3 2 .
x x
y x
A. 3 2
' 1 .
2 y
x B. 2 6 27
' .
2
x x
y x
C. 2 4 25
' .
2
x x
y
x D.
2 2
8 1
' .
2
x x
y x Câu 18. Tính đạo hàm của hàm số 1 3
1 .
x x
y x
A. 9 2 42 1
' .
( 1)
x x
y x B.
2 2
3 6 1
' .
( 1)
x x
y x
C. y' 1 6x2. D. 1 6 22
' .
1 y x
x Câu 19. Tính đạo hàm của hàm số 2
2
x x
f x x tại điểm x 1.
A. f 1 4. B. f 1 3. C. f 1 2. D.f 1 5.
Câu 20. Cho hàm số 1 3 2 1 x x
f x x . Giải bất phương trình f x 0.
A. x \ 1 . B. x . C. x 1; . D. x .
Câu 21. Cho hàm số 3 1 f x x
x . Phương trình f x 0 có tập nghiệm S là:
A. 2
0; .
S 3 B. 2
3;0 .
S C. 3
0; .
S 2 D. 3
2;0 . S
Câu 22. Tính đạo hàm của hàm số 2 1 2 5.
y x x
A. 2
2
2 2
.
2 5
y x
x x
B. 2
2
2 2
.
2 5
y x
x x
C. y (2x 2)(x2 2x 5). D. 1 2 2.
y x
Câu 23. Hàm số nào sau đây có đạo hàm là hàm số 12 2x x ?
A. 3 1
x .
y x B.
2 3
3 x x .
y x C. x3 5x 1
y x D.
2x2 x 1
y x
Câu 24. Tính đạo hàm của hàm số 22 5 3 3. y x
x x
A. 2 2
2
2 10 9
' .
3 3
x x
y
x x
B. 2 2
2
2 10 9
' .
3 3
x x
y
x x
C. 2 2
2
2 9
' .
3 3
x x
y
x x
D. 2 2
2
2 5 9
' .
3 3
x x
y
x x
Câu 25. Tính đạo hàm của hàm số 2 22 7 3 .
x x
y x
A. 2 2
2
3 13 10
' .
3
x x
y
x
B. 2 2
2
' 3.
3
x x
y x
C. 2 2
2
2 3
' .
3
x x
y x
D. 2 2
2
7 13 10
' .
3
x x
y
x
Vấn đề 3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM CHỨA CĂN
Câu 26. Cho hàm số y 2 x 3 .x Tập nghiệm S của bất phương trình y' 0 là:
A. S ; . B. 1
; . S 9
C. 1
; .
S 9 D. S .
Câu 27. Tính đạo hàm của hàm số f x x 1 tại điểm x 1.
A. 1
' 1 .
f 2 B. f ' 1 1. C. f' 1 0. D. Không tồn tại.
Câu 28. Tính đạo hàm của hàm số y 1 2x2.
A. 2
' 1 .
2 1 2 y
x
B. 2
' 4 .
1 2 y x
x
C. 2
' 2 .
1 2 y x
x
D.
2
' 2 .
1 2 y x
x Câu 29. Tính đạo hàm của hàm số y x2 4x3.
A. 2
2 3
' 6 .
4
x x
y
x x
B. 2 3
' 1 .
2 4
y
x x
C. 2
2 3
' 12 .
2 4
x x
y
x x
D. 2
2 3
' 6 .
2 4
x x
y
x x
Câu 30. Cho hàm số f x x2 2 .x Tập nghiệm S của bất phương trình '
f x f x có bao nhiêu giá trị nguyên?
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 31. Cho hàm số f x 3x với x 0. Giá trị f 8 bằng:
A. 1
6. B.
1.
12 C.
1.
6 D.
1. 12 Câu 32. Tính đạo hàm của hàm số
3
1 1 .
f x x
A. 1 3
' .
f x 3x x B. 1 3
' .
f x 3x x
C. 3
' 1 .
3 f x
x x D. 3 2
' 1 .
3 f x
x x
Câu 33. Cho hàm số f x k.3x x. Với giá trị nào của k thì 3
1 2
f ?
A. k 1. B. 9
2.
k C. k 3. D. k 3.
Câu 34. Tính đạo hàm của hàm số f x x x.
A. 1
' .
f x 2 x B. 3
' .
f x 2 x
C. 1
' .
2 f x x
x D. ' .
2 f x x x Câu 35. Tính đạo hàm của hàm số y x x2 2 .x
A. 2
2 2
. 2 y x
x x
B. 2
2
3 4
. 2
x x
y
x x
C. 2
2
2 3
. 2
x x
y
x x
D. 2
2
2 2 1
. 2
x x
y
x x
Câu 36. Tính đạo hàm của hàm số y 2x 1 x2 x.
A. 2 2
2
4 1
2 .
2
y x x x
x x
B. 2 2
2
4 1
2 x .
y x x
x x
C. 2 2
2
4 1
2 .
2
y x x x
x x
D. 2 2
2
4 1
2 .
2
y x x x
x x
Câu 37. Tính đạo hàm của hàm số
2
1 .
1 y
x
A. ' 2 2 .
( 1) 1
y x
x x
B. 2 2 .
( 1) 1
y x
x x
C. 2 2 .
2( 1) 1
y x
x x
D. 2
2
( 1)
. 1 y x x
x Câu 38. Tính đạo hàm của hàm số
4 2
f x x
x
tại điểm x 0.
A. 1
' 0 .
f 2 B. 1
' 0 .
f 3 C. f' 0 1. D. f' 0 2.
Câu 39. Tính đạo hàm của hàm số
2
1 . 1 y x
x
A. 2
' 2 .
1 y x
x
B. 2 3
' 1 .
( 1)
y x x
C. 2 3
2( 1)
' .
( 1)
y x x
D. 2
2 3
' 1.
( 1)
x x
y x Câu 40. Tính đạo hàm của hàm số 2 1
2. y x
x
A. 5 2 2
' . .
2 1
2 1
y x x x
B. 1 5 2 2
' . . .
2 2 1 2 1
y x
x x
C. 1 2
' . .
2 2 1
y x
x D. 2
1 5 2
' . . .
2 2 2 1
y x
x x Câu 41. Tính đạo hàm của hàm số 2 1
x .
y x
A. 1 2 12
' 1 .
2 1
y x
x x B. 1 2
' .
2 1
y x
x
C. 1 2 12
' 1 .
2 1
y x
x x D. 1 2 12
' .
2 1
y x x
x x
Câu 42. Tính đạo hàm của hàm số 1
1 1.
y x x
A. 1 2
.
1 1
y
x x
B. 1
2 1 2 1.
y x x
C. 1 1
4 1 4 1.
y x x D.
1 1
2 1 2 1.
y x x
Câu 43. Tính đạo hàm của hàm số 2
3 2
3 2 1
2 3 2 1
x x
f x
x x
tại điểm x 0.
A. f ' 0 0. B. 1
' 0 .
f 2 C. Không tồn tại. D. f' 0 1.
Câu 44. Tính đạo hàm của hàm số 3
2 2
y a
a x
(a là hằng số).
A. 3
2 2a x 2 2 .
y
a x a x
B. 2a x3 2.
y a x
C. 3
2 2 2 2 .
2 y a x
a x a x
D.
3 2
2 2 2 2
3 2
. 2
a a x
y
a x a x
Câu 45. Cho hàm số y x x2 1. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. y' x2 1 y. B. 2 'y x2 1 y. C. y' x2 1 2 .y D. 2y x2 1 y'.
Bài 03
ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1. Giới hạn của sin x
x
Định lý 1
0
lim sin 1.
x
x x
Nếu
0
lim 0
x x u x thì
0
limsin 1
x x
u x
u x .
2. Đạo hàm của hàm số y sin x
Định lý 2
Hàm số y sinx cĩ đạo hàm tại mọi x và sinx cosx . Nếu y sinu và u u x thì sinu u. cosu .
3. Đạo hàm của hàm số y cos x
Định lý 3
Hàm số y cosx cĩ đạo hàm tại mọi x và cosx sinx .
Nếu y cosu và u u x thì cosu u sinu .
4. Đạo hàm của hàm số y tan x
Định lý 4
Hàm số y tanx cĩ đạo hàm tại mọi
x 2 k và tan 12 x cos
x .
Nếu y tanu và u u x thì
tan 2
cos u u
u .
5. Đạo hàm của hàm số y cot x
Định lý 5
Hàm số y cotx cĩ đạo hàm tại mọi x k và 12 cotx sin
x .
Nếu y cotu và u u x thì
cot 2
sin u u
u .
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1. TÍNH ĐẠO HÀM
Câu 1. Tính đạo hàm của hàm số sin 3
y 6 x .
A. 3 cos 3 .
y 6 x B. 3 cos 3 .
y 6 x
C. cos 3 .
y 6 x D. 3 sin 3 .
y 6 x
Câu 2. Tính đạo hàm của hàm số 1 2 2sin 3
y x .
A. cos 2 .
y x 3 x B. 1 2
cos .
2 3
y x x
C. 1
sin .
2 3
y x x D. 1 2
cos .
2 3
y x x
Câu 3. Tính đạo hàm của hàm số y sin x2 3x 2 .
A. y cos x2 3x 2 . B. y 2x 3 .sin x2 3x 2 . C. y 2x 3 .cos x2 3x 2 . D. y 2x 3 .cos x2 3x 2 . Câu 4. Tính đạo hàm của hàm số y x2tanx x .
A. 1
2 tan .
y x x 2
x B.
2 tan 1 .
y x x
x
C. 22 1
2 tan .
cos 2
y x x x
x x D.
2 2
2 tan 1 .
cos y x x x
x x
Câu 5. Tính đạo hàm của hàm số y 2 cosx2.
A. y 2 sinx2. B. y 4 cosx x2. C. y 2 sinx x2. D. y 4 sinx x2. Câu 6. Tính đạo hàm của hàm số 1
tan 2
y x .
A.
2
1 .
2 cos 1 2
y x B. 2
1 .
cos 1 2
y x
C.
2
1 .
2 cos 1 2
y x D. 2
1 .
cos 1 2
y x
Câu 7. Tính đạo hàm của hàm số y sin 2 x2 .
A. 2
2
2 2
cos 2 .
2
y x x
x
B. 2
2 cos 2 . 2
y x x
x
C. 2
2 cos 2 . 2
y x x
x
D. 2
2
1 cos 2 .
2
y x x
x Câu 8. Tính đạo hàm của hàm số y cos 2x 1.
A. sin 2 1
.
2 1
y x
x B. sin 2 1
.
2 1
y x
x
C. y sin 2x 1. D. sin 2 1 .
2 2 1
y x
x Câu 9. Tính đạo hàm của hàm số y cot x2 1.
A. 2 2 2 .
1. sin 1
y x
x x
B. 2 2 2 .
1. sin 1
y x
x x
C. 2 2
1 .
sin 1
y
x
D. 2 2
1 .
sin 1
y
x Câu 10. Tính đạo hàm của hàm số y sin sinx .
A. y cos sinx . B. y cos cosx .
C. y cos . cos sinx x . D. y cos . cos cosx x . Câu 11. Tính đạo hàm của hàm số y cos tanx .
A. 12
sin tan
y x cos
x B. 2
sin tan 1
y x cos
x
C. y sin tanx . D. y – sin tanx .
Câu 12. Tính đạo hàm của hàm số y 2 sin2x cos 2x x. A. y 4 sinx sin 2x 1. B. y 4 sin 2x 1.
C. y 4 cosx 2 sin 2x 1. D. y 4 sinx 2 sin 2x 1.
Câu 13. Tính đạo hàm của hàm số sin2 2
2 2 4
y x x .
A. 2 sin 4
y x 2 B. 2 sin cos .
2 2 2
y x x
C. 2 sin cos .
2 2 2
y x x x D. y 2 sin 4x .
Câu 14. Tính đạo hàm của hàm số y cos 23 x 1 .
A. y 3 sin 4x 2 cos 2x 1 . B. y 3 cos2 2x 1 sin 2x 1 . C. y 3 cos2 2x 1 sin 2x 1 . D. y 6 cos2 2x 1 sin 2x 1 . Câu 15. Tính đạo hàm của hàm số y sin 13 x .
A. y cos 13 x . B. y cos 13 x .
C. y 3 sin2 1 x . cos 1 x . D. y 3 sin2 1 x . cos 1 x . Câu 16. Tính đạo hàm của hàm số y tan3x cot 2x.
A. y 3 tan2x. cotx 2 tan 2 .x B. 3 tan22 22 cos sin 2 . y x
x x
C. 2 12
3 tan .
sin 2
y x
x D.
2
2 2
3 tan 2
cos sin 2 . y x
x x
Câu 17. Tính đạo hàm của hàm số sin cos sin cos
x x
y x x.
A. sin 2 2
. sin cos y x
x x B. sin2 cos2 2
. sin cos
x x
y
x x
C. 2 2 sin 2 2 . sin cos y x
x x D. 2 2
. sin cos y
x x
Câu 18. Tính đạo hàm của hàm số 2 tan 1 2
y x .
A. 2 4
sin 1 2 . y x
x B. 4
sin 1 2 .
y x
C. 2 4
sin 1 2 . y x
x D. 2 4
sin 1 2 .
y x
Câu 19. Tính đạo hàm của hàm số cos 2
3 1
y x
x . A. 2 3 1 sin 2 2 3cos 2
.
3 1
x x x
y
x
B. 2 3 1 sin 2 3 cos 2 3 1 .
x x x
y x
C. 2
3 1 sin 2 3cos 2 .
3 1
x x x
y
x
D. 2
2 3 1 sin 2 3cos 2 .
3 1
x x x
y
x
Câu 20. Cho f x 2x2 x 2 và g x f sinx . Tính đạo hàm của hàm số g x . A. g x 2 cos 2x sin .x B. g x 2 sin 2x cos .x
C. g x 2 sin 2x cos .x D. g/ x 2 cos 2x sin .x
Vấn đề 2. TÍNH ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM
Câu 21. Tính đạo hàm của hàm số f x 5 sinx 3 cosx tại điểm
x 2.
A. 3.
f 2 B. 3.
f 2 C. 5.
f 2 D. 5.
f 2 Câu 22. Tính đạo hàm của hàm số 3
2 sin 2
f x 5 x tại điểm
x 5.
A. 4.
f 5 B. 4.
f 5 C. 2.
f 5 D. 2.
f 5 Câu 23. Tính đạo hàm của hàm số f x 2 tanx tại điểm
x 4.
A. 1.
f 4 B. 4.
f 4 C. 2.
f 4 D. 4.
f 4 Câu 24. Tính đạo hàm của hàm số 2
tan 3
f x x tại điểm x 0.
A. f 0 3. B. f 0 4. C. f 0 3. D. f 0 3.
Câu 25. Tính đạo hàm của hàm số f x 2 sin 3 cos 5x x tại điểm
x 8.
A. 8 2.
f 8 B. 15 2
8 2 .
f
C. 8 2.
f 8 D. 2 4 2.
f 8
Câu 26. Tính đạo hàm của hàm số f x sin4x cos4x tại điểm
x 8.
A. 3
8 4.
f B. 1.
f 8 C. 1.
f 8 D. 0.
f 8 Câu 27. Tính đạo hàm của hàm số f x cos2x sin2x tại điểm
x 4.
A. 2.
f 4 B. 1.
f 4 C. 2.
f 4 D. 0.
f 4 Câu 28. Tính đạo hàm của hàm số f x sin 2x 2 cos 2x x tại điểm
x 4.
A. 1
4 4.
f B. .
4 4
f C. 1.
f 4 D. .
f 4 Câu 29. Tính đạo hàm của hàm số 2
cos 3
f x x tại điểm x 3.
A. 3 2
3 2
f B. 3 2
3 2
f C. 1.
f 3 D. 0.
f 3 Câu 30. Tính đạo hàm của hàm số 2
f x cos
x tại điểm 1
x 3. A. 1
3 8.
f B. 1 4 3
3 3
f C. 1
4 3.
f 3 D. 1
2 3.
f 3 Câu 31. Tính đạo hàm của hàm số 1
f x sin
x
tại điểm
x 2.
A. 1.
f 2 B. 1
2 2.
f C. 0.
f 2 D. Không tồn tại. Câu 32. Tính đạo hàm của hàm số f x tanx cotx tại điểm
x 4.
A. 2.
f 4 B. 0.
f 4 C. 2
4 2 .
f D. 1
4 2. f
Câu 33. Tính đạo hàm của hàm số f x sin sinx tại điểm
x 6.
A. 3
6 2
f B.
6 2
f C.
6 2
f D. 0
6 .
f
Câu 34. Cho hàm số cos 1 sin . f x x
x Tính giá trị biểu thức .
6 6
P f f
A. 4
3.
P B. 4
9.
P C. 8
9.
P D. 8
3. P Câu 35. Tính đạo hàm của hàm số sin 5 . cos3 2
3
f x x x tại điểm
x 2.
A. 3
2 6
f B. 3
2 4
f C. 3
2 3
f D. 3
2 2
f
Câu 36. Tính đạo hàm của hàm số f x sin x cos x tại điểm
2
x 16 .
A. 2 2.
f 16 B. 2
16 0.
f C. 2 2 2
f 16 D. 2 2
f 16 Câu 37. Hàm số f x x4 cĩ đạo hàm là f x , hàm số 2 sin
2
g x x x cĩ đạo
hàm là g x . Tính giá trị biểu thức 1
1 . P f
g
A. 4
3.
P B. P 2. C. P 2. D. 4
3. P Câu 38. Hàm số f x 4x cĩ đạo hàm là f x , hàm số 4 sin
4
g x x x cĩ đạo
hàm là g x . Tính giá trị biểu thức 2
2 . P f
g
A. P 1. B. 16
16 .
P C. 16
17.
P D. 1
16. P
Câu 39. Hàm số f x asinx bcosx 1 cĩ đạo hàm là f x . Để 1
0 2
f và
4 1
f thì giá trị của a và b bằng bao nhiêu?
A. 2
2 .
a b B. 2 2
; .
2 2
a b
C. 1 1
; .
2 2
a b D. 1
2. a b
Câu 40. Cho hàm số y f x cos2x với f x là hàm số liên tục trên . Trong các biểu thức dưới đây, biểu thức nào xác định hàm số f x thỏa mãn y x 1 với mọi
x ?
A. 1
cos 2 .
f x x 2 x B. 1
cos 2 .
f x x 2 x
C. f x x sin 2 .x D. f x x sin 2 .x
Bài 04
VI PHÂN
Cho hàm số y f x xác định trên khoảng a b; và cĩ đạo hàm tại x a b; . Giả sử x là số gia của x .
Ta gọi tích f x0 x là vi phân của hàm số y f x tại x ứng với số gia x, kí hiệu là df x hoặc dy, tức là
d y d f x f x x .
Chú ý:
Áp dụng định nghĩa trên vào hàm số y x, ta cĩ dx d x x x 1. x x.
Do đĩ, với hàm số y f x ta cĩ dy df x f x x.
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Tính vi phân của hàm số f x 3x2 x tại điểm x 2 ứng với x 0,1.
A. df 2 0, 07. B. df 2 1 .0
C. df 2 1, .1 D. df 2 0, 4.
Câu 2. Tính vi phân của hàm số
2
1 x
f x x tại điểm x 4 ứng với x 0, 002.
A. 1
d 4 .
f 8 B. 1
d 4 .
f 8000 C. 1
d 4 .
f 400 D. 1
d 4 .
f 1600 Câu 3. Tính vi phân của hàm số f x sin 2x tại điểm
x 3 ứng với x 0, 001.
A. d 1.
f 3 B. d 0,1.
f 3 C. d 0, 001.
f 3 D. d 0, 001.
f 3 Câu 4. Tính vi phân của hàm số 3
1 2 y x
x tại điểm x 3.
A. 1
d d .
y 7 x B. dy 7d .x C. 1
d d .
y 7 x D. dy 7d .x Câu 5. Cho hàm số f x 1 cos 2 .2 x Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. 2
sin 4
d d .
2 1 cos 2
f x x x
x
B.
2
sin 4
d d .
1 cos 2
f x x x
x
C. 2
cos 2
d d .
1 cos 2
f x x x
x
D. 2
sin 2 . 1 cos 2
df x x dx
x Câu 6. Tính vi phân của hàm số y x 1 .2
A. dy 2 x 1 d .x B. dy 2 x 1 .
C. dy x 1 d .x D. dy x 1 d .2 x Câu 7. Tính vi phân của hàm số y x3– 9x2 12x 5.
A. d y 3x2– 18x 12 d .x B. dy 3x2–18x 12 d .x C. dy 3x2–18x 12 d .x D. dy 3x2 18x 12 d .x Câu 8. Tính vi phân của hàm số 2 3
2 1. y x
x
A. 8 2
d d .
2 1
y x
x B. 4 2
d d .
2 1
y x
x
C. 4 2
d d .
2 1
y x
x
D. 7 2
d d .
2 1
y x
x Câu 9. Tính vi phân của hàm số 2 1
1 .
x x
y x
A. 2 2 2 2
d d .
1
x x
y x
x B. 2
2 1
d d .
1
y x x
x
C. 2 12
d d .
1
y x x
x D. 2 2 2 2
d d .
1
x x
y x
x
Câu 10. Tính vi phân của hàm số 1 22 1 . y x
x
A. 2
2
d 4 d .
1
y x x
x
B. 2
2
d 4 d .
1
y x
x
C. 4 2
d d .
y 1 x
x D. 2 2
d d .
1 y x
x Câu 11. Tính vi phân của hàm số x
y a b với a b, là hằng số thực dương.
A. 1
d d .
2
y x
a b x B. 2
dy d .x
a b x
C. 2
d x d .
y x
a b D.
d 1 d .
2
y x
x a b Câu 12. Tính vi phân của hàm số
2
4 1
. 2 y x
x
A. 1
2 2
d 8 d .
2
y x x
x
B. 1
2 2
d 8 d .
2
y x x
x
C. 3
2 2
d 8 d .
2
y x x
x
D. 3
2 2
d 8 d .
2
y x x
x Câu 13. Tính vi phân của hàm số y x 2 x2 3.
A. 2
2
d 3d .
3
x x
y x
x
B. 2
2
2 3
d d .
3
x x
y x
x
C. 2
2
2 2 3
d d .
3
x x
y x
x
D. 2
2
2 3
d d .
3
x x
y x
x Câu 14. Tính vi phân của hàm số y x x.
A.
2
d 1 d .
2
y x x
x x x
B.
2
2 1
d d .
4
y x x
x x x C.
2
d 2 d .
4
y x x
x x
D. 2 1
d d .
4
y x x
x x
Câu 15. Tính vi phân của hàm số y cot 2017x .
A. dy 2017 sin 2017x d .x B. 22017
d d .
sin 2017
y x
x
C. 22017
d d .
cos 2017
y x
x D. 22017
d d .
sin 2017
y x
x
Câu 16. Tính vi phân của hàm số tan x. y
x
A. 2
d 2 d .
4 cos
y x x
x x x B.
2
sin 2
d d .
4 cos
x
y x
x x x
C. 2
2 sin 2
d d .
4 cos
x x
y x
x x x D. 2
2 sin 2
d d .
4 cos
x x
y x
x x x
Câu 17. Tính vi phân của hàm số y sinx 2 .x
A. 2 cos
d d .
2 sin 2
y x x
x x B.
cos 2
d d .
2 sin 2
y x x
x x
C. cos 1
d d .
sin 2
y x x
x x D.
cos 1
d d .
sin 2
y x x
x x
Câu 18. Tính vi phân của hàm số 2 1
cos .
1 y x
x
A. 1 2 1
d . sin d .
1 1
y x x
x x x
B. 1 2 1
d . cos 2 .
1 1 y x
x x x
C. 1 2 1
d . sin d .
2 1 1
y x x
x x x
D. 1 2 1
d . sin 2 d .
1 1
y x x
x x x Câu 19. Cho hàm số 2 khi 0
2 khi 0.
x x x
f x x x Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. df 0 d .x B. 2
0
