Đề cương học kì 2 lớp 11 môn toán

(1)

Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn

Đề c-ơng ôn tập toán hk2 - Lớp 11

I. Giới hạn

Bài 1. Tính các giới hạn sau:

1)

4

4 lim 5

2

4 





 x

x x

x 2)

2 1 2

2 3

lim^x 2 1

x x



 

 

3)

lim1





x 3 2

1

2 2





 x x

x

4)

4

3 2

2

lim 16 2

x

x x





 5)

2

lim 2

7 3

x

 x



 

6)

₂

x 2

4x 1 3 lim^ x 4

 



7)

x 4

x 5 2x 1 lim^ x 4

  



8)

x 0

x 1 x 4 3

lim^ x

   

1)

3

2 1

lim 3

x

 x





2)

2 3 lim 3

2

2 





  x x x

x

3)

₂

2

1 ( 1)

3 lim 5







 x

x x

x

4)

2

| 2 |

lim 2

x

 x





1) ^lim



ⁿ² ^⁵ⁿ ^ⁿ



²⁾^lim^2.3_4.5ⁿⁿ ^_^3.5_5.2ⁿⁿ ³⁾ ^lim^₂x_^₁³ x

x 4)

3

3 2

2 3 4

lim 1

x

x x



 

  

5) 2 1

lim 5

2









 x

x x

x 6)

2 3 2

lim 3 1

x

x x x

x



 



7) lim( x² 2x 3 x)

x   





 8. lim(2  4 ²  3)





 x x x

x

1)lim ( ³ ² 1)

x x x x

    

2)

lim( ⁴ 2 ² 3)





 x x

x

3)

lim(2 ³ 2 ²  3)



 x x x

x

4)

lim 3 ² 5

x x x

 

Bài 5: Cho hà m số f(x) =

.

2 2















 





x khi m

x

x x khi

x x

Với giá trị nào của m thì hà m số liên tục tại x = - 2

Bài 6: Xét tính liên tục và tính đạo hàm (nếu có) tại điểm x

₀

của hàm số sau:

a)

3 1

( ) 3 2

x x

f x x

  

  

tại x

₀

= 1 b)









 

2 2

2 4 )

(

x x x x

f

2 ,







 x

x

tại x

₀

= -2.

Bài 7: CMR phương trỡnh sau cú ớt nhất hai nghiệm:

2x³10x 7 0

II. đạo hàm.

Bài 1: Tỡm đạo hàm cỏc hàm số sau:

1) yx³2x1 2)y2x⁴ 2x² 3x 3) y(x² x)(53x²) 4) y(t³2)(t1) 5) yx(2x1)(3x2) 6) y(x1)(x2)²(x3)³ 7) y(x² 5)³ 8) y = (1- 2t)¹⁰ 9) y = (x³+3x-2)²⁰ 10) y (x ⁷x)² 11) y x²3x 2 12) y x⁴ 6x² 7

13) 2

3 2



  x

y x 14)

4 2

5 6 2 ²



  x

x

y x 15)

1 2

2 

 x

y x 16) ₂ ₃

) 1 (

3



 

x y x

3 2 2 1

17. 2 3

 

 

x x

y x

18) y = ₂³ ² 2 x

x x

-

- + 19) y= x 1x² 20) ^y^ ^x^¹^ ^x^²

21) x

y 3x 6



 22) 3 4₂ 5₃ 6₄

x x x

y x   23)

3 2

4 3

2 2



 

x x

x

y x 24)

3

3 1 6



 



  

 x

x x y

,Nếu x >1

,Nếu x ≤1

(2)

25) _y ^{1 x}

1 x

 

 26) yx x 27) _y ¹

 x x 28)y (x1) x² x1 29)

2 2

2

a x y x

  , ( a là hằng số) 30) y = 3x² ax2a , ( a là hằng số)

Bài 2: Tìm đạo hàm các hàm số sau:

1) y = sin2x – cos2x 2) y = sin5x – 2cos(4x + 1) 3) y2sin2x.cos3x 4) ysin 2x1 5) y sin2x 6) ysin²xcos³x 7) y(1cotx)² 8)ycosx.sin²x 9) y = sin(sinx) 10) y = cos( x³ + x -2) 11)y sin (cos3x) ² 12) y = x.cotx

13) x

y x

sin 2

sin 1



  14) y cot (2x³ ) 4

  15) y tan^{x 1}

2

  16) _y ^{sin x} ^x

x sin x

 

17) y 1 2tan x 18) y 2 tan x ² 19)

x x

x y x

cos sin



  20)

sin⁴ 2x y

Bài 3: Tìm đạo hàm cấp 2 của các hàm số sau:

1) yx³2x1 2)y2x⁴ 2x²3 3)

2 3 2



  x

y x 4)

4 2

5 6 2 ²



  x

x y x

5) y = sin2x – cos2x 6) y = x.cos2x 7) y x 8) yx 1x²

Bài 4: Tìm vi phân của các hàm số:

1

)

yx⁴ 2x1

2)

y(x³ 2)(x1)

3)

4 2

5 6 2 ²



  x

x

y x

4)

y3sin²x.sin3x

Bài 5: a) Cho

f(x) 3x1

, tính f ’(1) b) Cho

^{f x}

  

^ ^{x 10}^



⁶

.

TÝnh f '' 2   

c)

^{f x}

 

^^{sin 3x}

. Tính :





 



 ' 18

f

;

^;

 

⁰

2 18

f ''  f '' f ''  

         

Bài 6: Cho hàm số: y = x³ + 4x +1. Viết PT tiếp tuyến của đồ thị hàm số trong các trường hợp sau:

a) Tại điểm có hoành độ x₀ = 1;

b) Tiếp tuyến có hệ số góc k = 31;

c) Song song với đường thẳng d: y = 7x + 3;

d) Vuông góc với đường thẳng : y = - ¹ 5 16 x .

Bài 7: Chứng minh rằng các hàm số sau thoả mãn các hệ thức:

a)

f(x)x⁵x³2x3

thoả mãn:

f'(1) f'(1)4f(0)

. b)

y ^{x 3}; 2y'² (y 1)y"

x 4

   



c) y = a.cosx +b.sinx thỏa mãn hệ thức: y’’ + y = 0 . d) y = cot2x thoả mãn hệ thức: y’ + 2y² + 2 = 0

Bài 8: Giải phương trình : y’ = 0 biết rằng:

1)

yx³3x² 9x5

2)

yx⁴ 2x²5

3)

yx⁴ 4x³3

4)

yx 1x²

5)

2

15

2 5





  x

x

y x

6)

x x

y 4





7)

2 4

 x

y x

8)

sin2 sin 3

2

1  

 x x

y

9)

ycos x sin x  x

10)

y 3sinxcosxx

11)

y20cos3x12cos5x15cos4x

Bài 8: Giải các bất phương trình sau:

1) y’ > 0 với

y x 3x ³ ²2 2) y’ < 4 với 2 3 2

1 3

1 3  2  

 x x x

y

(3)

3) y’ ≥ 0 với

1

2 2





  x

x

y x 4) y’>0 với yx⁴2x² 5) y’≤ 0 với y 2xx²

5) y'0 với

1

2 2





  x

x

y x 6) y'0 với x x

y 4



 Bài 9: Cho hàm số: ( 1) 3( 1) 2

3

2 3   2   

 x m x m x

y .

1) Tỡm m để phương trỡnh y’ = 0:

a) Cú 2 nghiệm phõn biệt. b) Cú 2 nghiệm trỏi dấu.

c) Cú 2 nghiệm dương phõn biệt. d) Cú 2 nghiệm âm . 2) Tỡm m để y’ > 0 với mọi x.

3) Tỡm m để y’ > 0 với mọi x > 0.

III. Phần hình học

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O; SA



^(ABCD);

SA = a 6. AM, AN là các đ-ờng cao của tam giác SAB và SAD;

1) CMR: Các mặt bên của chóp là các tam giác vuông. Tính tổng diện tích các tam giác đó.

2) Gọi P là trung điểm của SC. CMR: OP



(ABCD). Và P cách

đều các đỉnh của hình chóp.

3) CMR: BD



(SAC) , MN



^(SAC).

4) Chứng minh: AN



(SCD); AM



SC . 5) SC



^(AMN)

6) Dùng định lí 3 đ-ờng vuông góc chứng minh BN



SD 7) Tính góc giữa SC và (ABCD)

8) Hạ AQ là đ-ờng cao của tam giác SAC, chứng minh AM,AN,AQ đồng phẳng.

Bài 2: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , SA(ABC) . Kẻ AH , AK lần l-ợt vuông góc với SB , SC tại H và K , có SA = AB = a .

1) CMR: tam giác SBC vuông .

2) Chứng minh tam giác AHK vuông và tính diện tích tam giác AHK . 3) CMR: SC



^(AHK).

4) Gọi I là trung điểm của SC. CMR: I cách đều các đỉnh của hình chóp, tính khoảng cách đó theo a.

5) CMR: (SAB)



(SBC) (AHK)



(SBC), (AHK)



(SAC).

6) Tính góc giữa (SAB) và (SBC).

7) Tinh d(A, (SBC)), d(B, (SAC)), d(AH, SC).

Bài 3: Cho tứ diện OABC có OA, OB. OC đôi một vuông góc và OA=a 6, OB = OC = a. M,N,P là hình chiếu của O lên AB, AC, BC.

a) CMR: OABC, OBAC, OCOA.

b) Cmr: BC(OAP), OA  MN.

c) Tính góc giữa AP và (OBC).

d) CMR: các mặt phẳng (OBC), (OAC), (OAB) đôi một vuông góc.

e) CMR: (ABC)  (OAP).

f) Tính khoảng cách giữa OA và BC, OB và AC.

g) Tính góc giữa (OBC) và (ABC).

h) Tính d(O, (ABC) )

Bài 4: Cho tứ diện ABCD có (ABD) (BCD), ABD cân tại A; M , N là trung điểm của BD và BC a) Chứng minh AM (BCD), (ABC) (AMN). b) kẻ MH AN, cm MH(ABC).

Bài 5: Cho chóp S.ABC, đáy là tam gíc vuông tại C, SAC đều và nằm trong mp vuông góc với (ABC).

(4)

BC = a, AC = 2a. I là trung điểm của SC

1) CMR: (SBC) (SAC); (ABI)(SBC). 2) Tính góc giữa (SAC) và (ABI).

Bài 6: Cho chóp S.ABCD, ABCD là hình thang vuông tai A, B, có BC là đáy bé và góc ACD 90⁰. a)CMR: tam giác SCD, SBC vuông

b)Kẻ AH



SB, cmr: AH



^(SBC)

c)Kẻ AK



SC, cmr: AK



(SCD)

Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có SA



(ABCD) ; đáy ABCD là hình thang vuông tạ A và B, biết SA = AB = BC = a, AD = 2a.

1) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.

2) CMR: SD



AB.

3) Gọi M là trung điểm của SC. Tính góc giữa BM và (ABCD).

4) Tính góc giữa mp(SAD) và (SCD).

5) Tính d(D, (SBC)), d(B, (SCD)).

6) Tính d(AB, SD), d(SB, AD), d(SB, CI) với I là trung điểm của AD).

Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD , ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a;

SA=SB=SC=SD=a;

a) Tính đ-ờng cao của chóp.

b) CMR: (SAC)



(SBD), (SAC)



^(ABCD).

c) Gọi M là trung điểm của SC. CMR: (MBD)



(SAC).

d) Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy.

f) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) g) Tính khoảng cách giữa SC và BD; d(O, (SBC)) Bài 9: Cho chóp OABC có OA=OB=OC=a;

0 0 0

120 ; 60 ; 90

AOC  BOA BOC  . M là trung điểm của AC a) CMR: ABC là tam giác vuông, tam giác BOM vuông b) (OAC)



(ABC)

c) Tính góc giữa (OAB) và (OBC).

Bài 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C, CA=CB=2a, hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc với mặt đáy, cạnh SA=a. Gọi D là trung điểm của AB.

a)Cm: (SCD) (SAB)

b)Tính khoảng cách từ A đến (SBC)

c)Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) Bài 11: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a.

a)Tính khoảng cách giữa hai đ-ờng thẳng AB và CD b)Tính góc giữa câc cạnh bên và mặt đáy

c)Tính góc giữa các mặt bên và mặt đáy

d)Chứng minh các cặp cạnh đối vuông góc nhau.

Bài 12: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’; M, N là trung điểm của BB’ và A’B’

a)Tính d(BD, B’C’)

b)Tính d(BD, CC’), d(MN,CC’)

Bài 13: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB=BC=a; AC=a 2 a)cmr: BC vuông góc với AB’

b)Gọi M là trung điểm của AC, cm (BC’M) (ACC’A’)

c)Tính khoảng cách giữa BB’ và AC.

Bài 14: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC vuông tại C, CA=a; CB=b, mặt bên AA’B’B là hình vuông. Từ C kẻ đường thẳng CHAB, kẻ HKAA’

a) CMR: BCCK , AB’(CHK)

b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (AA’B’B) và (CHK)

(5)

c) Tính khoảng cách từ C đến (AA’B’B).

……… Hết ………