Ví dụ

(1)

*** Vừ Duy Mộng - Quế Cường - Quế Sơn - QN *** - 3 -

Phần 1:

Đại số

 Chuyên đề 1: Căn Thứcrút gọn biểu thức, chứng minh biểu thức A. Kiến thức cần nhớ:

- Cách đặt ĐKXĐ của một biểu thức

- Cách quy đồng khử mẫu hai hay nhiều phân thức B. Bài tập:



Rút gọn các căn thức sau:

Bài 1. Tìm giá trị các biểu thức sau bằng cách biến đổi, rút gọn thích hợp:

a, 9

196 49 16 81

25 b,

81 234 25. 214 16.

3 1 c.

567 3 , 34 .

640 d, 21,6 810. 11² 5² Bài 2. Phân tích các biểu thức sau thành các luỹ thừa bậc hai:

a, 8+2 15; b, 10-2 21; c, 12- 140 d, 5 + 24; e, 14+6 5 ; g, 8- 28 Bài 3. Phân tích thành thừa số các biểu thức sau:

a, 1 + 3 5 15 b, 10 14 15 21 c, 35 15 14 6 d, 3 + 18 3 8 e, xy +y x  x1 g, 3+ x +9 -x Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau:

a, ( 83 2 10)( 23 0,4) b, ( 0,2 (10)².3 + 2 ( 3 5)² c, ( 282 14 7 ). 7 + 7 8 d, ( 15 505 2003 450 ) : 10 e, 2 ( 23)²  2(3)² 5 (1)⁴ g, ( ): 6

3 216 2

8 6 3

2 



 h,

5 7 : 1 ) 3 1

5 15 2

1 7 ( 14



 



 i,

10 2 7

15 2 8 6 2 5







Bài 5. Chứng minh các đẳng thức sau: a, a b b

a : 1 ab

a b b

a  



 ( a, b > 0 và a  b )

b, ( 1+ ) 1 a

1 a

a 1 a

)(

1 a

a

a  



 

 (a > 0 và a 1);c, ( a

a 1

a a

1 



 )(

a 1



 )² =1 (a > 0 và a 1)

d, a

b ab 2 a

b . a

b b a

2 2

4 2

2 



 (a+b>0, b 0) Bài 6. Rút gọn rồi tính giá trị của các biểu thức sau:

a, 9a  912a4a² với a = -9 ; b, 1 + m 4m 4 2

m m

3 2  

 với m<2

c, 110a25a² 4a với a= 2 ; d, 4x- 9x² 6x1 với x=- 3

(2)

e, 6x² -x 6+1 với x =

2 3 3 2

Bài 7:Rút gọn các biểu thức sau:

4 2

4

2 4





  x

x A x

1 4 4 : 1 2 1

1 1 4

5 2

1

1 2 ₂ ₂



 



 





 

 

 x x

x x

x x B x

x y

y y x

y x y

x y C x

 



 



  2

2 2 2

2

x x

x

D  

 





 

 



 





 

 

1 1 1

1 1

: 1 1

1 1

1



 





 

 









 

 

1 2 1 : 1

1

1 x x x x

x

E x a

x x a a

x x

F a 2 2

2 2

 



 



 Gợi ý:

Khi làm các bài toán này cần:

- Đặt ĐKXĐ?

- Quy đồng khử mẫu, rồi làm gọn kết quả thu đ-ợc

1 2

2

1 2

2 khix A khix

 



  



2 B 1 2

 x



2 y C

x y

 

D 1

 x x 1

E x

 

Một số loại toán th-ờng kèm theo bài toán rút gọn I.Tính toán một biểu thức đại số

 Ph-ơng pháp:

Để tính giá trị của biểu thức P(x), biết x=a, ta cần:

+Rút gọn biểu thức P(x).

+ Thay x=a vào biểu thức vừa rút gọn

*

Ví dụ

^:

x x

x x A x

3 2

9 6

2 2







  Tính giá trị của A biết x 18.

2 2 1 2

2 1



 



 

a a

B Tính giá trị của B biết(a-6)(a-3)= 0

4 : 5 2 3 2

2

2  



 





 

 

 

x x x x

x x

C x Tính giá trị của C biết 2x²+3x =0

1 2

1 : 2

1 . 1 1 1

1

2 2

3  

 



 







 

 

x x

x x x

x

D x Tính giá trị của D biết x=

2007 2005

 

9 9 6 1

2 2





 

x

x x

E x Tính E biết x 16

(3)

4 4

ã 2

2 2



 

x x

x

F a Tính F biết x= a

a 

1 .

 Đáp án:

1 khi 3

3 3

(2 3) x x A

khi x x x





 

; ⁴

B 2 a

 

 & B=-4/5 ⁽ ²⁾& ²

5 5

C x C

x

  

1 1 D x

x

 



1 x -3 3

1- x khi x < -3 x - 3

x khi E x

 

 

II.Tìm giá trị của biến (ẩn) khi biết giá trị của biểu thức:

 Ph-ơng pháp:

Để tìm giá trị của x khi biết giá trị của P(x) =a , ta cần : + Rút gọn biểu thức P(x)

+ Giải ph-ơng trình P(x) =a.



Ví dụ

^:











 



 







 

 1

1 1

. 1 2

1 2

2

a a a

a a

A a

a) Tìm a để A>0 b) Tính giá trị của a để A=0











 









 

 



 

1 3

2 1 3

1 : 9

8 1 3

1 1 3

1

x x x

x x

x B x

Tìm x khi B=6/5











 

 









 

 1

2 1

: 1 1 1

x x x x

x x x

C x a) Tính C biết x=42 3 b)Tìm x khi C >1.



 





 

 

 



 







 



 

1 2 1

1 : 1 1 1 1

1

x2

x x x

D x a) Tính D khi x= ⁴^² ³ b)Tìm x để D=-3

E= _



 





 

 



 





 

 1

1 1 1 :

3 1

x x

x x a) Tính E khi x= 12 140 b) Tính x khi E >5

15 11 3 2 2 3

2 3 1 3

x x x

F

x x x x

  

  

   

a)Rút gọn F b)Tính x để F=1/2

    

   

2 2

2 3 1 4 2 3

1 3

x x x

G

x x

   

  

a)Rút gọn G

c)Tính G khi x 32 2

b)Tìm x để G >1

 Đáp án:

1 a; 1

A a

a

   ;a=1 ; 4; ¹

3 1 4

x x

B x x

x

   



1 6 3 3

; ; 1 or x < -2

1 3

x x

C C x

x

  

  



(4)

2 ; 1 D x

x

 



2 1

; 0

2

E x x

x

 

   ; ⁷ ^{9 5}

2 3

x x

F x x

  

 

² ³; 2 x < -1; G = ^{2 2 1} ...

1 2 2 1

G x x or

x

 

  

 

III. Tìm giá trị của biến x biết P(x) thỏa mãn điều kiện nào đó:

 Ph-ơng pháp:

Tr-ớc hết hãy rút gọn giá trị của biểu thức, sau đó căn cứ vào điều kiện nêu ra của bài toán mà lập luận tìm ra lời giải, Chẳng hạn:

Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức là nguyên?

Ta cần đ-a biểu thức rút gọn về dạng: R(x)= f(x)+

( ) a

g x sau đó lập luận:

R x( ) Z a g x hay( ) g(x) là -ớc của a (a là hằng số)



Ví dụ

^:

1) ²

  

2

4 2 3

6 9

x x x

A x x

  

   a) Rút gọn A b)Tính xZ để AZ?

2) x x x x

B x

 



 



 

2 1 6 5 3

2

Rút gọn B, Tính xZ để BZ?

3) 2

: 2 1 1



 











 



 

a a a a

a C a

a)Tìm a để biểu thức C không xác định

b)Rút gọn C c) Tính aZ để C Z?

4)

1 1

1 ³



 



 



 

x x x x x

x x

D

a)Rút gọn và tính giá trị của D khi x=5 b)Tìm giá trị nguyên d-ơng của x để DZ ?

5)E= _



 





 

 



 





 

 1

1 1 1 :

3 1

x x

x x :

x

x2 Tính xZ để E Z?

 Đáp án: 3 ⁴ A 3

  x

 ; ⁴ 1 ²

2 2

B x

x x

   

 

; ² ⁴ 2 ⁸

2 2

C a

a a

   

  ;^D^



^x^{ }^{1 1}



²^; ² ¹ ⁴

2 2

E x

x x

   

 

IV. Một số thể loại khác Bài 1. Chứng minh rằng:

a)



¹^ ²⁰⁰⁵



²^. ²⁰⁰⁶^² ²⁰⁰⁵^²⁰⁰⁴ b) ³ 5 27 ³ 5 27 2

c) ab

a a

b a b a

b a ab b

a b

b a

ab

a 1 1

1 2 .

2 3

2 2 3

2 3

2

2 





 



  

 



 









 





(5)

Bài 2. Cho B= _











 



 



1 1 1

1 1

: 2

1 x

x x

x x x

x

x a) Rút gọn B

b)CMR : B>3 với mọi x>0 ;x1. Bài 3. Cho C=

6 3 2 ab

6 6

3 2



 





b a

ab b

a ab

b a

a) Rút gọn C b) CMR nếu C=

81 81



 b

b thì 3 b a .

Bài 4. Cho

 

x x b b

x b x

b x x b b x b

x D b



 











 



 

2

.

a) Rút gọn D b) So sánh D với D.

Bài 5. Cho _







 

 



 







 



  1

1 2

2 4 1

2 : 1 4 1

1 4

x x x

x x

x E x

a) Rút gọn E. b) Tìm x để EE². c) Tìm x để

4

 1 E Bài 6. Cho

ab b a b ab

b b

ab

F a 

 

 



a) Tính F khi a= 42 3;b 42 3 b) CMR nếu

5 1



  b a b

a thì F có giá trị không đổi.

Bài 7. Cho biểu thức: A₁ = (

x 1

1 x 1

1

 

 ) : (

x 1

1 x 1

1

 

 ) +

x 1

1

 a) Rút gọn A1.

b) Tính giá trị của A1khi x=7+4 3.

c) Với giá trị nào của x thì A1 đạt giá trị nhỏ nhất ? Bài 8. Cho biểu thức: A₂ = ₂ ₂

2

) 2 x ( ) 1 x 2 (

4 ) 1 x (









a) Tìm x để A2 xác định. b) Rút gọn A2. c) Tìm x khi A2 =5.

Bài 9. Cho biểu thức: A₃ = (

1 x

1 x 1 x

1 x



 



 ):(

1 x

1 1 x

x 1 x

2

2  

 

 )

a) Rút gọn A³ b) Tìm giá trị của A3 khi x= 3 8 c) Tìm x khi A³= 5 Bài 10. Cho biểu : A₄ = (

a a

1 a a a a

1 a a



 



 ):

2 a





a) Với giá trị nào của a thì A4 không xác định. b) Rút gọn A4. c) Với giá trị nguyên nào của a thì A4 có giá trị tự nguyên ? Bài 11. Cho biểu thức: B₁ =

x x

x x 2 1 x

x



 



a) Rút gọn B1 b) Tính giá trị của B1khi x=3+ 8 c) Tìm x để B1> 0 ? B1< 0? B1=0

(6)

Bài 12. Cho biểu thức: B₂ =

6 a 2

a 3 6 a 2

3 a



 





a) Rút gọn B2 b) Tìm a để B²< 1? B2> 1?

Bài 13. Cho biểu thức: B₃= ( 1+

1 x

x

 ):(

1 x x x x

x 2 1

x 1



 

 )

a) Rút gọn B3 b) Tìm x để B3> 3? c) Tìm x để B3=7.

Bài 14. Cho biểu thức: B₄ = (

x x

1 1 x

x

 

 ):(

1 x

2 1 x

1

 

 ) a) Rút gọn B4 b) Tính giá trị của B4khi x=3+2 2 c) Giải ph-ơng trình B4 = 5

Bài 15. Cho biểu thức: B₅

= (

a b

a b a

a

 



):(

ab 2 b a

a a b

a a



 



)

a) Tìm điều kiện của a để B5 xác định. b) Rút gọn B5. c) Biết rằng khi a/b = 1/4 thì B⁵= 1, tìm giá trị của b.

Bài 16. Cho biểu thức: C₁ = x4 x4  x4 x4 a) Rút gọn C1 b) Tìm x để C1 = 4 Bài 17. Cho biểu thức: C₂ =

ab b a a ab

b b

ab

a  

 

 a) Rút gọn C2

b) Tính giá trị của C2khi a = 42 3 , b = 42 3

c) Chứng minh rằng nếu a/b = a+1/b+5 thì C2 có giá trị không đổi Bài 18. Cho biểu thức: C₃ =

6 b 3 a 2 ab

ab 6 6

b 3 a 2 ab

b 3 a 2



 





a) Chứng minh rằng b0 thì C3 có giá trị không phụ thuộc vào b b) Giải ph-ơng trình C3= -2.

c) Tìm a để C3 < 0? C3 > 0?

d) Tìm giá trị nguyên của a để C3có giá trị nguyên.

e) Chứng minh rằng nếu C3= b+81/b-81, khi đó b/a là một số nguyên chia hết cho 3.

Bài 19. Cho biểu thức: C₄ = (

1 x 2 x

2 x 1

x 2 x



 



 ).

2 1 x 2 x²   a) Xác định x để C4tồn tại. b) Rút gọn C4 c) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì C4 > 0.

d) Tìm giá trị của C4khi x = 0,16.

e) Tìm giá trị lớn nhất của C4. g) Tìm x thuộc Z để C4 thuộc Z.

Bài 20. Cho biểu thức: C₅ = ₃ ₂ ₂ ₃

3 2 2

3

y xy y x x







 a) Rút gọn C5.

b)Tính giá trị của C5khi x = 3, y = 2. c) Với giá trị nào của x, y thì C5 = 1.

(7)

Bài 21. Cho biểu thức: D₁ = (

x 1

1 1 x x

x 1

x x

2 x

 



 



 ):

2 1 x a) Rút gọn D1.

b) Chứng minh D1> 0 với x0,x 1. Bài 22. Cho biểu thức: D₂ = (

x y

y x y x

y

x ³ ³



 



 ):

y x

xy )

y x

( ²





a) Xác định x, y để D2có nghĩa. b) Rút gọn D2.

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của D2. d) So sánh D2 và D₂ . e) Tính giá trị của D2khi x = 1,8 và y = 0,2.

(8)

 Chuyên đề 2: Hàm số bậc nhất y=ax+b

 Kiến thức:

Cho hàm số y=ax+b (a≠0)

- Hàm số đồng biến khi a>0; nghịch biến khi a<0

- Nếu toạ độ (x₀;y₀) của điểm A thoả mãn hàm số y=f(x) thì điểm A thuộc đồ thị hàm số này.

- Ng-ợc lại, nếu điểm A(x₀;y₀) nằm trên đồ thị của hàm số y=f(x) thì toạ độ (x₀;y₀) của A thoả

mãn hàm số y=f(x).

- Cho hai đ-ờng thẳng (d₁): y=ax+b & (d₂): y= a₁.x+b₁ (a ≠ 0 ; a₁≠ 0) + (d₁) // (d₂)  a=a₁ & b≠ b₁

+ (d₁)  (d₂)  a= a₁ & b= b₁ + (d₁) cắt (d₂)  a≠ a₁ & b≠ b₁ + (d₁) ┴ (d₂)  a.a₁=-1

 Bài tập vận dụng:

Bài 1:Cho hàm số y= mx-2m+5.CMR hàm số luôn đi qua điểm cố định với mọi m.

Bài 2: Cho đ-ờng thẳng (d); y=(m-2)x-m+4.CMR (d) luôn đi qua điểm cố định với mọi m Bài 3: Cho các đ-ờng thẳng (d₁): y=mx-2(m+2) (m ≠ 0) và

(d₂): y= (2m-3)x +(m²-1) (m≠ 3/2):

a) CMR: (d₁) & (d₂) không thể trùng nhau với mọi m.

b) Tìm m để (d₁) // (d₂); (d₁) cắt (d₂); (d₁) ┴ (d₂)

Bài 4: CMR: 3 đ-ờng thẳng sau đây đồng quy: (d₁): y=-3x (d₂): y=2x+5 (d₃): y=x+4 Bài 5: Tìm m để ba đ-ờng thẳng sau đồng quy:(d₁):y=x-4; (d₂): y= -2x-1;(d₃): y= mx+2 Bài 6: Tính diện tích giới hạn bởi các đ-ờng thẳng :(d₁): y= ¹

3x;(d₂):y=-3x ;(d₃): y=-x+4 Bài 7: Cho đ-ờng thẳng (d₁):y=4mx - (m+5) & (d₂): y= (3m²+1)x+m²-4

a) CMR: (d₁) luôn đi qua điểm A cố định và (d₂) luôn đi qua điểm B cố định b) Tính khoảng cách AB. ; c) Tìm m để (d₁) // (d₂)

Bài 8. Cho hai hàm số : y = (k + 1 )x + 3 và y = (3-2k)x +1

Với giá trị nào của k thì đồ thị của hai hàm số cắt nhau? Song song với nhau? Hai đ-ờng trên có thể trùng nhau đ-ợc không ?

Bài 9. Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng: a. Có hệ số góc bằng 3 và đi qua điểm P(

2

;5 2 1 ) b. Có tung độ gốc bằng -2,5 và đi qua điểm Q(1,5 ; 3,5)

c. Đi qua hai điểmđiểm M(1 ; 2 ) và N (3 ; 6 )

d . Song song với đ-ờng thẳng y = 2x - 3 và đi qua điểm ( 3

;4 3 1 )

Bài 10.Cho 3 đ-ờng thẳng : y=2x+1(d₁) ; y=-x-2 (d₂); y=-2x-m (d₃) a. Tìm toạ độ giao điểm của hai đ-ờng thẳng (d₁) & (d₂)

b. Xác định m để 3 đ-ờng thẳng đã cho đồng quy

Bài 11. a. Vẽ đồ thị của các hàm số trên cùng hệ trục toạ độ :y=2x (1);y=0,3x (2); y=-x+6 (3)

b. Gọi các giao điểm của đ-ờng thẳng có ph-ơng trình (3) với các đ-ờng thẳng (1), (2) thứ tự là A, B; Tìm toạ độ của các điểm A,B.

c.Tính các góc của tam giác OAB.

(9)

 Chuyên đề 3:Ph-ơng trình và hệ ph-ơng trình bậc nhất Bất ph-ơng trình

I.Ph-ơng trình bậc nhất 1 ẩn số

 Ph-ơng pháp: ax+b=0 ax=-b  x=-b/a

Nếu ph-ơng trình không có dạng tổng quát thì cần biến đổi đ-a về dạng tổng quát rồi tính

*

Ví dụ:

Bài 1:Giải các ph-ơng trình:

a)



x³

 

²  ²x



x²



b)

        

4 1 2 12

5 2 3

5

1  

 

 



 x x x x x

x

c) 0

2 2

3 1 1 2 2 2

1

2 

 



 

 x x x

x x

* Ph-ơng trình dạng f(x) g(x) (1)

 Sơ đồ giải:

 

²

( ) 0(2) ( ) ( )

( ) ( ) (3) g x

f x g x

 

  

 

Giải (3) rồi đối chiếu với điều kiện(2) để loại nghiệm không thích hợp, nghiệm thích hợp là nghiệm của ph-ơng trình đã cho.



Ví dụ

^:

Bài 2:Giải ph-ơng trình: a) 3x87 b) x² x12x c)



^{2 3}^ ^x



² ^³^x^¹

* Ph-ơng trình dạng f(x) g(x) h(x)

 Sơ đồ giải:- Đặt điều kiện có nghĩa của ph-ơng trình:

0 ) (



x h

x g

x f

- Bình ph-ơng 2 vế , rút gọn đ-a về dạng(1)

Ví dụ:

Bài 3:Giải ph-ơng trình:

a) 5x 1x b) 1x 1 x c) 22 x 10 x 2 d) 3x 1 x 1 2 Bài 4:Giải ph-ơng trình:

a) 5 x 1x b) 3x 1 10x 1 5

(10)

* Ph-ơng trình dạng f x( ) g x( )  h x( )

 Sơ đồ giải:

- Đặt đk có nghĩa của ph-ơng trình

0 ) (



x h

x g

x f

-Bình ph-ơng hai vế(có thể chuyển vế hợp lí rồi bình ph-ơng) sau đó cần phải đối chiếu nghiệm vừa tìm đ-ợc với điều kiện!

*

Ví dụ:

Bài 5:Giải ph-ơng trình

a) x 5 x 3 2x7 b) x 1 x 7 12x IV. Bất ph-ơng trình

*Dạng 1: Bất ph-ơng trình bậc nhất hai ẩn a.x+b>0 hoặc a.x+b<0 + Ph-ơng pháp: ax+b>0  ax>-b  x>-b/a nếu a>0

x<-b/a nếu a<0 +

Ví dụ

^:

Bài 6: Cho ph-ơng trình:

3 2

1 6 3 5 1

2 x x x

x      a) Giải bất ph-ơng trình

b) Tìm nghiệm nguyên âm của bất ph-ơng trình.

Dạng 2: BPT phân thức B

A>0 , BPT tíchA.B>0

*Cách giải: Mỗi bất ph-ơng trình t-ơng đ-ơng với 2 hệ bpt :

0 0 0 0 A B A B

 

 

 

 



*

Ví dụ:

Bài 6: Giải các ph-ơng trình sau:

1)2x(3x-5) <0 2) 1

2 1

2

 



 x x

x

x 3)(x-1)²-4 <0

*Dạng 3: ( ) ^{( )} ( ) f x a f x a

f x a

  

   

Bài 7: Giải ph-ơng trình: x4 x1

(11)

*Dạng 4: ( ) ^{( )}

( ) f x a f x a

f x a

 

     hoặc f(x) aa f(x)a Bài 8: Giải ph-ơng trình: 1

2 4

2 2

 



 x x

x x V. Hệ ph-ơng trình

* Ph-ơng pháp:

*

Ví dụ

: Cho hệ ph-ơng trình ³ ²

9 6 1

x my x y

 

  

 (1)

a) Giải (1) khi m=

2

1 b)Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất c) Tìm m để (1) có vô nghiệm d) Tìm m để (1) có nghiệm ⁰

0 x y

 

 



^{Bài tâp:}

Bài 1.Giải các ph-ơng trình và bất ph-ơng trình sau:

a) 25

20 5

5 5

5

2 

 

 



 x x x x

x b)

   

1

2 1 7

4 1

2 2

2







  x

x x

c) x² 368 d) x² 2x2 1 d)

e)



^x^³



^x^²



^^x^¹² ^f) x1 x21 g) x 4x² 4x15 Bài 2. Giải các hệ ph-ơng trình sau

a)

1 1 3 2 2

1 1 1 2 1

 

 

 

 

y x

y

x b)

4 5 3

1 1 1









y x

y

x c)

1 5

1 5 1













x y

y x

d) 2 2

 

 x

x

x e)

0 5

0 5 ) ( 3 ) (

2 ²













 y x

y x y

x f)

12 3 3

8 ) ( 3 ) (

5 ²













y x

y x y

x

Bài 3.Cho hệ pt: ³ 3 mx y x my

  

  

 a)Tìm m để hệ có nghiệm(x;y)=(-2;5)

b)Tìm m để hệ có vô số nghiệm; vô nghiệm? ; c) Tìm m để hệ có nghiệm ⁰ 0 x y

 

  Bài 4. Cho hệ ph-ơng trình:

2 mx my m mx y m

 

  

 (m: là tham số)

a)Giải và biện luận hệ ph-ơng trình; b)Tìm điều kiện của m để hệ có nghệm thỏa mãn x>0;y<0.

Bài 5.Tìm m để hệ ph-ơng trình sau : ⁵

2 3 7

mx y x my

  

  

 có nghiệm thỏa mãn điều kiện: x>0; y<0 Bài 6) Tìm a để hệ ph-ơng trình: ³

ã 4 6

x ay a x y

 

  

 có n⁰ thỏa mãn x>1; y>0.

Bài 7)Tìm a để 3 đ-ờng thẳng sau: (d₁) 2x +y =5 (d₂) 3x-2y =4 (d₃) a x +5y =11 đồng quy?

(12)

Bài 8)Giải hệ ph-ơng trình ² ³ ⁸

3 1

x y x y

 

  

 & ⁴ ³ ²

3 x y

x y

  

  

 Bài 9) Giải hệ ph-ơng trình sau: a) ₂ ₂ ⁵

5 x y xy

x y

  

  

 b) ³⁰

35 x y y x x x y y

  



 



c)

64 1 1 1

4 xy x y

 

  

 d) ₂ ₂ ¹¹ 30 x xy y x y xy

  

  

 e)

2 2

19 7 x y xy

x y xy

   

   

 Bài 10. Giải hệ ph-ơng trình sau :

2

3 1

x y x y

 

   



2 0

3 1

x y x y

 

   

 x2x3y3y21 x22x2yy1510

 



^ ^



 2 y x 4

5 y 3 x

8

  

^ ^



 5 y x 2

3 y x

2 



 _ _





2 y x

4 9 y 1 x

1

 

 



^ ^





 7 1 y 4 x

0 3 y x

1 1

1 3 4

5 x y

x y

  

 

   

 

 



^ ^





36 5 y 1 x 1

4 3 y 6 x

5 



 _ ^ _ ^

 

 

1 1 y

1 2 x

1

1 1 y

3 2 x

2

 

 



_ ^ _ ^

 

 

y 3 x

1 y x

1

y 1 x

3 y x

2

Bài 11. Giải các hệ ph-ơng trình : a.

  

^ ^ ^ ^





0 5 ) y x ( 3 ) y x ( 2

0 5 y x

2

b.

 



^ ^ ^ ^





8 ) y x ( 3 ) y x ( 5

12 y 3 x 2

2

Bài 12. Cho hệ ph-ơng trình :

  

^ ^





) 1 ( 2

) 2 ( 1

b ay x

by ax

a. Xác định a,b để hệ có nghiệm x= 2;y= 3 ; b. Tìm a,b để hệ vô số nghiệm

Bài 13. Cho hệ ph-ơng trình :

 

 



_ _ _





3 y x ) 1 a (

a y

ax

a. Giải hệ ph-ơng trình với a=- 2

b. Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện x+y>0 Bài 14. Cho hệ ph-ơng trình



 ^ ^



 a ay x

1 y

ax ;

a. Giải hệ ph-ơng trình với a= 2-1

b. Chứng minh hệ ph-ơng trình có nghiệm với mọi a

(13)

*** Võ Duy Mộng - Quế Cường - Quế Sơn - QN *** - 15 -

c. T×m a sao cho hÖ cã nghiÖm (x;y) tho¶ m·n x>0; y>0

(14)

 Chuyên đề 4: ph-ơng trình bậc hai- Định lí vi ét và ứng dụng

I.Ph-ơng trình bậc hai:

1) Ph-ơng trình bậc hai khuyết:

* Ph-ơng pháp: Phân tích vế phải thành nhân tử, rồi đ-a về dạng ph-ơng trình tích.

*

Ví dụ

: Giải ph-ơng trình sau:

a) 2x²-50x =0 b) 54x² =27x

c) 2

4 5

3 2

2   

x x

d)

4 1 2 3

2 2

1 ² ²

2   x   x 

x 2) Ph-ơng trình dạng đầy đủ:

* Ph-ơng pháp: Giải theo công thức nghiệm của ph-ơng trình bậc hai:

*

Ví dụ

: Giải ph-ơng trình:

a) 1 2 0

1   

 x

x x

x b)

1 2 1

1 2

2   

 x

x

x c) ₂ ¹ ¹ ⁷

7 12 2 6 40

x x  x 

  

3)Ph-ơng trình giải đ-ợc bằng cách đặt ẩn số phụ:

* Ví dụ: Giải các ph-ơng trình

a) (x²+2x)² -2(x²+2x) -3 =0 c) 4x⁴ +12x³-47x²+12x+4=0

b) x⁴-5x²-6 =0 d) x²+

2 5 x -

2 3=0

 Bài tập

: Giải các ph-ơng trình sau:

a)(6x²-7x)²- 2(6x²-7x) -3 =0 ; b)(x+

x

1)²-4,5(x+

x

1) +5=0 c)(x-1)(x+2)(x+4)(x+7)=16 ; d)

2

2 8

1 x x

x

 

    II.Điều kiện nghiệm của ph-ơng trình bậc hai ax²+bx+c =0:

 Ph-ơng pháp:

Cho ph-ơng trình bậc hai ax²+bx+c = 0 (1) + ĐK để (1) vô nghiệm: ⁰

0 a

 

 + ĐK để (1)Có 2 nghiệm pb: ⁰ 0 a

 

 + ĐK để (1)Có nghiệm kép: ⁰

0 a

 

 + ĐK để (1)Có 2 nghiệm trái dấu: a.c<0 + ĐK để (1)Có nghiệm: ⁰

0 a

 

 + ĐK để (1) có 2n₀ d-ơng:

0 0 0 S P

 

 

 

(15)

+ ĐK để (1) có 2n₀âm:

0 0 0 S P

 

 

 

+ ĐK để (1)có 2n₀ cùng dấu: ⁰ 0 P

 

 

(Khi đó nếu Tổng 2n₀ d-ơng thì 2n₀ mang dấu d-ơng và ng-ợc lại)

 Ví dụ:

Bài 1:Cho ph-ơng trình: (m-1)x² -2(m+1x + m-2=0 (1) a) Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt b) Giải ph-ơng trình khi m= 5

Bài 2: Cho ph-ơng trình :(m+2)x² + 6mx + (4m +1)=0. Tìm m để ph-ơng trình có nghiệm kép?

Bài 3: Cho ph-ơng trình :m²x² + mx +4 =0 . Tìm m để ph-ơng trình vô nghiệm?

Bài 4: Cho ph-ơng trình :x² -2(k-1)x + 2k -5 =0 a)CMR: Ph-ơng trình luôn có nghiệm?

b)Tìm k để ph-ơng trình có 2 nghiệm cùng dấu.Khi đó 2n₀ mang dấu gì?

Bài 5: Xác định k để pt :3x² - (2k+1)x +k²- 4 =0 có 2 nghiệm trái dấu?

Bài 6: Xác định k để pt :x²- 2kx +2k -3 =0 có hai nghiệm phân bịêt cùng dấu?

Bài 7:Cho pt : 2x² +14x +2m-3 =0

a)Tìm m để pt có 1 nghiệm bằng - 3.Tìm nghiệm thứ hai?

b) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu? Nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn?

Bài 8: Cho pt: x²-2mx+2m-1=0

a) m=? để ph-ơng trình có nghiệm kép

b) m=? để ph-ơng trình có hai nghiệm cùng dấu.Khi đó 2 n₀ mang dấu gì?

III.Bài toán liên quan giữa nghiệm ph-ơng trình và hệ thức Vi-ét:

 Ph-ơng pháp:

Nếu pt bậc 2 :ax²+bx+c = 0

có 2 nghiệm x₁, x₂ thì tổng và tích các nghiệm đó là:

1 2

1. 2

x x b a x x c

a

   



 



Tìm điều kiện của tham số để ph-ơng trình bậc II có nghiệm thỏa mãn một điều kiện cho tr-ớc. Nếu

đk cho tr-ớc có chứa biểu thức x₁²+x₂² hoặc x₁³+x₂³ thì cần áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ:

x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂

x₁³+x₂³=(x₁+x)³-3x₁x₂(x₁+x₂).

Tất nhiên các giá trị của tham số rút ra từ đk , phải thỏa mãn đk 0

(16)

 Ví dụ:

Bài 1:Cho ph-ơng trình bậc hai: x²- 2(m+1)x + m² +3 =0 (1) a) Tìm m để (1) có 2 n₀ d-ơng?

b) Tìm m để (1) có 2 n₀ x₁,x₂ thỏa mãn 7 7 22

1 2 2

1  

x x x

x Bài 2:Cho ph-ơng trình : x²+2kx+2-5k =0 (2) k: tham số

a) Tìm k để pt(2) có n₀ kép?

b) Tìm k để (1) có 2 n₀ x₁,x₂ thỏa mãn x₁²+x₂²=10 Bài 3: Cho ph-ơng trình bậc hai: x²- (2m+3)x + m -3 =0 (1)

a) CMR pt luôn có nghiệm với mọi x.

b) Tìm m để pt có một nghiệm gấp đôi nghiệm kia?

Bài 4: Cho ph-ơng trình: x²-2(m+2)x +m+1 =0 (x là ẩn)

a) Tìm các giá trị của m để ph-ơng trình có hai nghiệm trái dấu?

b) Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của ph-ơng trình. Tìm giá trị của m để: x₁(1-2x₂)+x₂(1-2x₂)=m². Bài 5:Cho ph-ơng trình mx²-(m-4)x +2m =0.

Tìm m để ph-ơng trình có hai nghiệm x₁, x₂ thoả mãn: 2(x₁²+x₂²)-x₁.x₂=0.

Bài 6:Cho ph-ơng trình x²-(m-1)x +5m-6=0.

Tìm m để ph-ơng trình có hai nghiệm x₁, x₂ thoả mãn: 4x₁+3x₂=1 Bài 7:Cho ph-ơng trình x²-2(m+1)x+m²+3=0.

Tìm m để ph-ơng trình có hai nghiệm x₁, x₂ thoả mãn : 2(x₁+x₂)-3x₁.x₂+9=0.

Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số?

 Ph-ơng pháp: Từ biểu thức của định lí Vi - ét ,ta tiến hành khử tham số để thu đ-ợc biểu thức không phụ thuộc vào tham số

 Ví dụ

^:

Bài 1:Cho ph-ơng trình: x²-(k-3)x +2k+1 =0 có các nghiệm là x₁,x₂. Tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm độc lập với k.

Bài 2:Cho ph-ơng trình bậc hai: x²- (2m+3)x + m -3 =0 có các nghiệm là x₁,x₂. Tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm độc lập với k.

Bài 3: Cho ph-ơng trình bậc hai: (m+1)x²-2(m-1)x+m =0. Tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm độc lập với m?.

Bài 4: Cho ph-ơng trình bậc hai: (m-1)x²-2(m-2)²x +m+3=0. Tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm

độc lập với m?.

(17)

Lập ph-ơng trình bậc hai khi biết hai nghiệm của chúng

 Ph-ơng pháp:

- Lập tổng