Các Dạng Toán Liên Quan Đến Số Thập Phân Vô Hạn Tuần Hoàn

(1)

ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 10 – SỐ THẬP PHÂN

CHỦ ĐỀ 2: SỐ THẬP PHÂN VÔ HẠN TUẦN HOÀN

PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. KHÁI NIỆM

a) Khái niệm:

Khi viết phân số a

b dưới dạng số thập phân ta thực hiện phép chia a cho b, nếu phép chia a cho b không bao giờ chấm dứt

Ví dụ:

2 0,6666...

3

;

17 1,5454...

11

  

; …

Tuy phép chia không chấm dứt nhưng phần thập phân của kết quả phép chia có một nhóm chữ số lặp đi lặp lại vô hạn lần. Ta nói số thập phân thu được là số thập phân vô hạn tuần hoàn và nhóm chữ số lặp đi lặp lại trong phần thập phân là chu kì của nó.

b) Cách viết:

Để viết số thập phân vô hạn tuần hoàn, người ta đặt chu kì trong dấu ngoặc. Chẳng hạn:

2

 

0,6666... 0, 6

3  

; 17

 

1,5454... 1, 54 11

    

; … 7

 

0, 2121... 0, 21 ;

33 

7

 

0,31818... 0,3 18

22 

Chú ý: Số thập phân vô hạn tuần hoàn chia thành hai dạng

- Số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn nếu chu kì bắt đầu ngay sau dấu phẩy.

VD: ^{0, 6}

 

_;^{0, 21}

 

_;^^{1, 54}

 

- Số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp nếu chu kì không bắt đầu ngay sau dấu phảy, phần thập phân đứng trước chu kì gọi là phần bất thường,

VD: ^{0,3 18}

 

có chu kì là 18 và phần bất thường là 3.

2. NHẬN BIẾT MỘT PHÂN SỐ VIẾT ĐƯỢC DƯỚI DẠNG SỐ THẬP PHÂN VÔ HẠN TUẦN HOÀN ĐƠN HAY TẠP.

- Nếu một phân số tối giản mà mẫu có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì phân số đó viết thành số thập phân vô hạn tuần hoàn. Đặc biệt

+) Nếu mẫu không có ước nguyên tố 2 và 5 thì viết được thành số thập phân vô hạn tuần hoàn

(2)

+) Nếu mẫu có một trong các ước nguyên tố 2 và 5 thì viết được thành số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp.

+) Ví dụ: khi chia ⁷ cho ³³ được số thập phân vô hạn, Ta có:

7

33 0, 212121... ^^{0, 21}

 

Số 7

33 cũng có thể viết dưới dạng ^{0, 2121}

 

_hoặc^{0, 2 12}

 

. So với cách viết ^{0, 21}

 

có chu kì 21 thì cách viết thứ hai có chu kì lớn hơn, cách viết thứ ba có chữ số thập phân liền trước chu kì và chữ số cuối cùng của chu kì bằng nhau, ta không chọn những cách viết này.

+) Số thập phân vô hạn tuần hoàn gọi là đơn nếu chu kì bắt đầu ngay sau dấu phẩy, ví dụ ^{0, 21}

 

_;

gọi là tạp nếu chu kì không bắt đầu ngay sau dấu phảy, phần thập phân đứng trước chu kì gọi là phần bất thường, ví dụ ^{0,3 18}

 

có chu kì là 18 và phần bất thường là 3.

3. VIẾT SỐ THẬP PHÂN VÔ HẠN TUẦN HOÀN DƯỚI DẠNG PHÂN SỐ:

- Quy tắc viết số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số:

+ Muốn viết phần thập phân của số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn dưới dạng phân số, ta lấy chu kì làm tử, còn mẫu là một số gồm các chữ số 9, số chữ số 9 bằng số chữ số của chu kì. Ví dụ:

 

⁶ ²

 

²¹ ⁷

0, 6 ; 0, 21

9 3 99 33

   

+ Muốn viết phần thập phân của số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp dưới dạng phân số, ta lấy số gồm phần bất thường và chu kì trừ đi phần bất thường làm tử, còn mẫu là một số gồm các chữ số 9 kèm theo các chữ số 0, số chữ số 9 bằng số chữ số của chu kì, số chữ số 0 bằng số chữ số của phần bất thường. Chẳng hạn:

 

^{16 1} ¹

5,1 6 5 5 ;

90 6

  

 

^{318 3 315} ⁷

0,3 18

990 990 22

   

- Tổng quát:



1 2



^{1 2}

0, ... ...

99...9

n n

n

a a a a a a 

 .

 

1 2 1 2

0,b b b a a a... _k ... _n ^{ }

1 2... 1 2... 1 2...

99...9 00...0

k n k

n k

b b b a a a b b b



PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI

Dạng 1: Viết phân số dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn I.Phương pháp giải:

Để viết một tỉ số hoặc một phân số a

b dưới dạng số thập phân ta làm phép chia :a b II.Bài toán:

Bài 1:

(3)

Các phân số sau viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn? Tại sao? Hãy viết các phân số dưới dạng đó.

10 15;

5 11;

2 13;

13 22;

5 24. Lời giải:

a) Xét phân số 10 15

5

3

 mẫu của phân số có ước nguyên tố là 3 nên 10

15viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Vậy:

10

15 ^^{0, 666...}^^0,(6) b) Xét phân số

5 11

 mẫu của phân số có ước nguyên tố là ¹¹ nên 5

Vậy:

5

110, 454545...0,(45) c) Xét phân số

2 13

Vậy:

2

13 0,153846153846...0, (153846) d) Xét phân số

13 13 22  2.11

 mẫu của phân số có ước nguyên tố là ¹¹ nên 13

Vậy:

13

22 0,590909...0,5(90)

e) Xét phân số ³

5 5

24  2 .3

Vậy:

5

24 = 0, 208333...0, 208(3) Bài 2:

a) Khi viết phân số 5

7 dưới dạng số thập phân, hỏi chữ số thứ ²⁰²¹ sau dấu phẩy là chữ số nào?

(4)

b) Tìm chữ số thập phân thứ ¹⁰⁰ sau dấu phẩy của phân số 17

900 (viết dưới dạng số thập phân).

c) Tìm chữ số thập phân thứ 2 sau dấu phẩy của phân số ¹⁰ 24

27 (viết dưới dạng số thập phân).

Lời giải:

a) Ta có:

5

7 0, 714258 714258...^^{0, 714258}

 

Số thập phân ^{0, 714258}

 

là số thập phân vô hạn tuần hoàn có chu kì gồm ⁶ chữ số.

Mà: 2021 6.336 5  , như vậy ²⁰²¹ chia cho ⁶dư ⁵nên chữ số thập phân thứ ²⁰²¹ sau dấu phẩy của ^{0, 714258}

 

là chữ số 5.

b) Ta có:

17 0, 018888...

900  0, 01(8)

Số thập phân ^0,01(8)là số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp mà phần bất thường có hai chữ số và chu kì có 1 chữ số là 8 .

Ta lại có: 100 2 nên chữ số thập phân thứ ¹⁰⁰ sau dấu phẩy của số ^0,01(8) là chữ số 8 . c) Ta có:

24

27 1, (4117647058823529) là số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn mà chu kì gồm 16 chữ số.

Mà: 2¹⁰1024 64.16 , suy ra 2 chia 16 dư 0 nên chữ số thập phân thứ ¹⁰ 2 sau dấu phẩy là chữ số 9.¹⁰ Dạng 2: Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số

I.Phương pháp giải:

- Muốn viết phần thập phân của số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn dưới dạng phân số với + Tử: là chu kì

+ Mẫu: là một số gồm các chữ số 9, số chữ số 9 bằng số chữ số của chu kì.

 

⁶ ²

 

²¹ ⁷

0, 6 ; 0, 21

9 3 99 33

   

Tổng quát:



1 2



^{1 2}

0, ... ...

99...9

n n

n

a a a a a a 

 .

- Muốn viết phần thập phân của số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp dưới dạng phân số với + Tử: phần bất thường và chu kì trừ đi phần bất thường.

+ Mẫu: một số gồm các chữ số 9 kèm theo các chữ số 0, số chữ số 9 bằng số chữ số của chu kì, số chữ số 0 bằng số chữ số của phần bất thường.

 

^{16 1} ¹

5,1 6 5 5 ;

90 6

  

(5)

 

^{318 3 315} ⁷

0,3 18

990 990 22

    - Tổng quát:

 

1 2 1 2

0,b b b a a a... _k ... _n ^{ }

1 2... 1 2... 1 2...

99...9 00...0

k n k

n k

b b b a a a b b b



II.Bài toán:

Bài 3:

Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số:

 

0, 27

; ^{0, 703}

 

_;^{0, 571428}

 

_;^{2, 01 6}

 

_;^{0,1 63}

 

_;^{2, 41 3}

 

_;^{0,88 63}

 

Lời giải:

a) ^{0, 27}

 

^ ²⁷₉₉ ^₁₁³

b) ^{0, 703}

 

^⁷⁰³₉₉₉ ^¹⁹₂₇

c) ^{0, 571428}

 

^⁵⁷¹⁴²⁸₉₉₉₉₉₉ ^⁴₇

d) ^{2, 01 6}

 

^²^{16 1}₉₀₀^ ^²₉₀₀¹⁵ ^²₆₀¹

e) ^{0,1 63}

 

^^{163 1}₉₉₀^ ^₅₅⁹

f) ^{2, 41 3}

 

^²^{413 41}₉₀₀^ ^²³¹₇₅

g) ^{0,88 63}

 

^^{8863 88}₉₉₀₀^ ^ ³⁹₄₄

Bài 4:

Các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau có bằng nhau không ?

0, (a a1 2); ^0,(^{a a a a}^{1 2 1 2}⁾; ^{0, (}^{a a a}¹ ^{2 1}⁾ Lời giải:

Ta có: ^{0, (}^{a a}^{1 2}⁾

1 2

 a a99

1 2 1 2

0,(a a a a )a a a a^{1 2 1 2}9999 101. _{1 2} 101.99

 a a _{1 2}

 a a99

1 2 1

0, (a a a ) ^{1 2 1}990 ¹

a a a a _{1 2}0

a a990 _{1 2}.10 99.10

a a _{1 2}

 a a99 Vậy ^0,(^{a a}^{1 2}⁾ = ^{0, (}^{a a a a}^{1 2 1 2}⁾ = ^{0, (}^{a a a}¹ ^{2 1}⁾

(6)

Nhận xét: Như vậy từ phân số

1 2

99 a a

ta có thể viết được các dạng nhiều số thập phân vô hạn tuần hoàn khác nhau như ^{0, (}^{a a}^{1 2}⁾; ^0,(^{a a a a}^{1 2 1 2}⁾; ^{0, (}^{a a a}¹ ^{2 1}⁾;…nhưng cách viết ^0,(^{a a}^{1 2}⁾ thuận tiện hơn, do đó người ta chọn cách viết này.

Dạng 3: Tính giá trị biểu thức số I.Phương pháp giải:

Để thực hiện các phép tính về số thập phân vô hạn tuần hoàn trước hết ta viết chúng dưới dạng phân số tối giản rồi thực hiện các phép toán trên phân số.

II.Bài toán:

Bài 5: Tính:

a) ^{0,1 6}

 

^^{1, 3}

 

b) ^{1, 3}

 

^{0,1 2 .2}

 

⁸

 11

c) ^{10, 3}

 

^^{0, 4}

 

^^{8, 6}

 

d) ^{12, 1}

 

2,3 6 : 4, 21

 



 

Lời giải:

a) ^{0,1 6}

 

^^{1, 3}

 

^^{16 1}₉₀^ ^¹₉³

15 12 90 9

  1 8

 6 6 9

6 3

2

b) ^{1, 3}

 

^{0,1 2 .2}

 

⁸

 11 3 12 1 30

1 .

9 90 11

  

12 11 30. 9 90 11

  12 3

9 9

  ¹⁵

 9 5

 3

c) ^{10, 3}

 

^^{0, 4}

 

^^{8, 6}

 

^¹⁰^{3 4}_{9 9}^{ }⁸₉⁶

93 4 78

9 9 9

  

19

 9

d) ^{12, 1}

 

2,3 6 : 4, 21

 



 

1 33 21

12 2 : 4

9 90 99

 

  

(7)

67 21 9 : 4

90 99



877 99 90 417.

 9647

4170 Bài 6:

Tìm x, biết:

a) ^_^{0, 37}

 

^^{0, 62 .}

 

^_ ^x^¹⁰

b) 0, 12 :1, 6

   

x: 0, 4

 

c)

   

 

0, 3 0, 384615 133 50

0, 0 3 13 85

 

 

x

Lời giải:

a) ^_^{0, 37}

 

^^{0, 62 .}

 

^_ ^x^¹⁰

37 62 99 99 x 10

 

   

99 10

99x

 

10

 x Vậy x10.

b) 0, 12 :1, 6

   

x: 0, 4

 

12 6 4

:1 :

99 9 x 9

 

4 12 9

: .

9 99 15

x 

4 4

:9 55

x  4 4. x 55 9

  16 x 496

 

Vậy

16

 496 x

c)

   

 

0, 3 0, 384615 133 50

0, 0 3 13 85

 

 

x

(8)

3 384615 3 9 999999 13 50

3 13 85

90

  x

 



1 5 3

3 13 13 10

391 17

30

  x

 

28 3 10 391

39 13x 17 30.

  

28 3 10 391

39 13x 17 30.

  

3 23 28

13x 3 39

  

3 271

13x 39

 

271 3 39 13:

 x

271 13 39 3.

 x

271 1

9 309

 x 

Vậy

271.

 9 x Bài 7:

Thay các chữ cái bởi các chữ số thích hợp: ^0,^{x y}

 

^^0,^{y x}

 

^^{8.0, 0 1}

 

, biết rằng ^{x y}^{ }⁹ Lời giải:

Ta có: ^0,^{x y}

 

^^0,^{y x}

 

^^{8.0, 0}



8

90 90 90

xy x yx y

 

 ^{xy x yx y}^{ } ^{ }⁸

¹⁰^{x y x}^{  }¹⁰^{y x y}^{  }⁸

⁸^x^⁸^y^⁸

 ^{x y}^{ }¹ Mà ^{x y}^{ }⁹

Do đó: ^x^^5,^y^⁴.

Vậy ^{0,5 4}

 

^^{0, 4 5}

 

^^{8.0, 0 1}

 

(9)

Bài 8:

Cho

1 1,00...01 A

(số chia cĩ 99 chữ số 0 sau dấu phảy). Tính ^A với 300 chữ số thập phân.

Lời giải:

Ta cĩ:

1 1,00...01

A  

99 0

1 1, 0...0 1

chữsố







100 0

99 0

1 0...0 1 0...0 1

chữsố

chữsố .

Nhân cả tử và mẫu với 

100 9

99...9

chữsố , ta được: A

 

 

100 100

9...90...0 9...99...9 .

Theo quy tắc viết số thập phân vơ hạn tuần hồn đơn thành phân số thì số 0,







100 100

9...9 0...0

viết thành phân số trên.

Vậy   

100 100 100

0,9...90...09...9...

 A Bài 9:

Cho số x0,12345...998999 trong đĩ ở bên phải dấu phảy ta viết các số từ 1 đến 999 liên tiếp nhau.

Chữ số thứ 2003 ở bên phải dấu phảy là chữ số mấy? Vì sao?

Lời giải:

Xét dãy 2003 chữ số đầu tiên sau dấu phẩy của x. Gọi chữ số thứ 2003là a. Chia dãy số trên thành ba nhĩm:

  

nhóm I nhóm II nhóm III

1234567891011...99100101...x

Nhĩm I cĩ 9 chữ số, nhĩm II cĩ 180 chữ số, nhĩm III cĩ:

2003 9 180 1814   (chữ số).

Ta thấy 1814 chia 3 được 604 dư ².

Số thứ 604 kể từ 100 là: 100 604 1 703   .

Hai chữ số tiếp theo số 703 là chữ số 7 và chữ số 0 (thuộc số 704 ).

Vậy a0.

Chữ số thứ 2003 ở bên phải dấu phảy là chữ số 0 Bài 10:

Thay các dấu * bởi các chữ số thích hợp:

(10)

Lời giải:

Xét phép trừ thứ hai, ta có: ^{*** ** *}^ ^

 số bị trừ có dạng ^10*

 số bị trừ ^*** ^ 100 (vì chữ số đơn vị của số bị trừ là chữ số 0 thêm vào để tìm các chữ số thập phân của thương).

Đặt số chia, thương và tích riêng thứ nhất theo thứ tự là ab_;^{c deg}^, _; ^mn

Ta thấy ^{10 :}^ab^^0,^deg nên ¹⁰⁰⁰⁰^^{ab deg}^. . (Với d 0 (vì nếu d 0 thì ^{ab eg}^. ^¹⁰⁰⁰⁰), ^g^⁰ (vì nếu d 0 thì thương đã dừng lại ở e))

^deg là ước của ^{10 000} và có ba chữ số.

Suy ra ^deg bằng ⁵³ ^¹²⁵ hoặc ⁵⁴ ^⁶²⁵. Tương ứng âb bằng 80 hoặc 16 + Trường hợp âb^⁸⁰ thì ^mn^⁸⁰, trái với 80 10 ***  (số bị chia), loại + Trường hợp âb^¹⁶ thì ^c^^6,^mn^⁹⁶, số bị chia là 96 10 106  Vậy ta có 106 :16 6,625

(11)

Dạng 4: Kiểm tra một biểu thức phân số viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn (đơn hay tạp).

I.Phương pháp giải:

Đối với các phân số đó, nếu mẫu không có ước nguyên tố 2 và 5 thì viết được thành số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn, nếu mẫu có một trong các ước nguyên tố 2 và 5 thì viết được thành số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp.

II.Bài toán Bài 11:

Chứng tỏ rằng: các phân số sau viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.

22 5 143

 n

n ;

21 4 7 n n



;

79! 79 5609



n



ⁿ^



Lời giải:

a)

Ta có:

22 11.2 11 5

 



n n

11



 ^²²n^⁵11, mà ¹⁴³ⁿ^^{11.13 11}ⁿ^ , do đó

22 5 143

 n

n rút gọn đến khi tối giản thì mẫu số vẫn chứa thừa số là 11_.



22 5 143

 n

n



ⁿ^



khi viết thành số thập phân thì ở dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn b)

Ta có:

21 7 4

n

7



 ^²¹ⁿ^⁴7, mà ^{7 7}ⁿ , do đó

21 4 7 n n



rút gọn đến khi tối giản thì mẫu số vẫn chứa thừa số là 7 .



21 4 7 n n





ⁿ^



khi viết thành số thập phân thì ở dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.

c) Ta có:

79! 79 5609

 n

1.2.3...79 79 71.79.

 

n

1.2.3...78 1 71.

 

n

Ta có:

1.2.3...78 71 1



71



 1.2.3...78 1  71, mà ⁷¹ⁿ^⁷¹, do đó

21 4 7 n n



rút gọn đến khi tối giản thì mẫu số vẫn chứa thừa số là số nguyên tố 71 .



79! 79 5609



n



ⁿ^



Bài 12:

Với mọi số tự nhiên n0, khi viết các phân số sau dưới dạng số thập phân, ta được số thập phân hữu hạn hay vô hạn ? Nếu là số thập phân vô hạn thì số đó là số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn hay tạp?

(12)

a)

3 2 3 12

n n

n



;

b)

6 1

12 n

n



Lời giải:

a) Ta có:

 

2 3 1

3 3 1

12 12 4

n n n n n

n n

    

Vì mẫu của phân số là ^{4 2}^ ² nên

3 2 3 12



n n

n đổi ra số thập phân hữu hạn.

b) Xét phân số:

6 1

12 n

n



Ta có:

6 3 1



 n

3





⁶n^¹3 mà 12n3.4n3

 phân số

6 1

12 n

n



rút gọn đến khi phân số tối giản, mẫu vẫn có ước là 3

 phân số

6 1

12 n

n



đổi thành số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Mặt khác:

Ta có:

6 2 1



 n

2





⁶n^¹2 mà 12n2.6n2

 phân số

6 1

12 n

n



rút gọn đến khi phân số tối giản, mẫu vẫn có ước là 2

 phân số

6 1

12 n

n



đổi thành số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp.

Bài 13:

Khi viết các phân số sau dưới dạng số thập phân, ta được số thập phân hữu hạn, hay vô hạn tuần hoàn đơn, hay vô hạn tuần hoàn tạp:

a) ³⁵ ³

 

70

n n

;

b)



10987654321

      

1 2 3 n N

n n n 

   ?

(13)

Lời giải:

a) Ta có:

35 7 3

n

7



 35n 3

  7, mà ^{70 7} ,

do đó

35 3 70 n

rút gọn đến khi tối giản thì mẫu số vẫn chứa thừa số là 7 .

 ³⁵ ³

 

70

n n

viết thành số thập phân thì ở dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Mặt khác:

35 5 3

n

5



 35n 3

  5, mà ^{70 5} ,

do đó phân số

35 3 70 n

rút gọn đến khi tối giản thì mẫu số vẫn chứa thừa số là 5 . Vậy ³⁵ ³

 

70

n n

viết thành số thập phân thì ở dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp.

b) Xét phân số



10987654321

      

1 2 3 n

n n n 

   

Tổng các chữ số của tử số là: 1 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1          46

 tử số 10987654321^³

Mà mẫu số



ⁿ^¹

 

ⁿ^²

 

ⁿ^³



là tích của ba số tự nhiên liên tiếp





ⁿ^¹

 

ⁿ^²

 

ⁿ^³



_₃

Do đó phân số



10987654321

      

1 2 3 n

n n n 

   

rút gọn đến khi tối giản thì mẫu số vẫn chứa thừa số là 3

 ³⁵ ³

 

70

n n

Mặt khác: 10987654321^²;



ⁿ^¹

 

ⁿ^²

 

ⁿ^³



_₂

 phân số



10987654321

      

1 2 3 n

n n n 

   

rút gọn đến khi tối giản thì mẫu số vẫn chứa thừa số là 2

Vậy



10987654321

      

1 2 3 n

n n n 

   

khi viết thành số thập phân thì ở dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp.

Bài 14:

3 3 2 2 5

m m m

C   

 

(14)

a) Chứng tỏ C là phân số tối giản.

b) Phân số C được viết dưới dạng số thập phân hữu hạn hay số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Lời giải:

a) Xét phân số:

3 2

3 2 5

( 1)( 2) 6

m m m

C m m m

  

   



^m^



Gọi ƯCLN của tử số và mẫu của phân số C là d



^d^^,^d^¹



.

Ta có:

3 3 2 2 5

( 1)( 2) 6

m m m d

m m m d

   

   







³ ²



( 1)( 2) 6 3 2 5

m m m m m m d

        

^m³^³^m²^²^m^{ }⁶



^m³^³^m²^²^m^⁵



^^d

 1d

 d 1

 ƯCLN của tử số và mẫu của phân số C là 1 Vậy C là phân số tối giản.

b) Vì ^{m m}^;( ^^1);(^m^²⁾ là ba số tự nhiên liên tiếp nên trong ba số ^{m m}^;( ^^1);(^m^²⁾có một số chia hết cho ², và một số chia hết cho ³.

 m m( 1)(m2) 6 Mà ^{6 6}

( 1)( 2) 6 6 m m m

     ( 1)( 2) 6 3 m m m

    

 Phân số

3 2

3 2 5

( 1)( 2) 6

m m m

C m m m

  

    tối giản khi phân tích mẫu có chứa thừa số là 3 nên C khi viết thành số thập phân thì ở dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Dạng 5: Chứng minh I.Phương pháp giải:

Sử dụng các phép biến đổi của số thập phân vô hạn tuần hoàn và tính chất chia hết,... để chứng minh một số bài toán.

II.Bài toán:

Bài 15:

Cho ^A là số lẻ không tận cùng bằng 5. Chứng minh rằng tồn tại một bội của ^A gồm toàn chữ số 9 . Lời giải:

Xét phân số 1

A, mẫu A không chứa thừa số nguyên tố 2 và 5 nên 1

A viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn.

(15)



1 2...

1

99...9

n

a a a A

 ^{1 2} 9...9 . ... _n

n

A a a a

 

99...9

n

 A Vậy tồn tại một bội của ^A gồm toàn chữ số 9.

Bài 16:

Cho ^A là số lẻ không tận cùng bằng 5. Chứng minh rằng tồn tại một bội của ^A gồm toàn chữ số 1_. Lời giải:

Xét phân số 1

A, mẫu A không chứa thừa số nguyên tố 2 và 5 nên 1

A viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn.

Ta có: 

1 2...

1

99...9

n

a a a A

 ^{1 2} 9...9 . ... _n

n

A a a a

 

99...9

n

 A 9.11...1

n

 A

 

¹

Mà ước chung của A và 9 chỉ có thể là 1; 3; 9.

+ Nếu ƯC



^A^,9



^¹ thì từ (1) suy ra 11...1 

n

A .

+ Nếu ƯC



^A^,9



^³_{thì đặt}_A_₃_B_{, ta có}



^B^,3



^¹_.

Từ (1) suy ra 9.11...1 3

n

 B 3.11...1

n

 B 11...1

n

 B

3

11...1 3

n

  B A

+ Nếu ƯC



^A^,9



^⁹_{thì đặt}_A_₉_B_.

Từ (1) suy ra 9.11...1 9

n

 B 11...1

n

 B

9

11...1 9

n

  B A Vậy tồn tại một bội của ^A gồm toàn chữ số 1_. Bài 17:

(16)

Tìm phân số dương tối giản nhỏ hơn 1 biết rằng khi chia tử cho tử cho mẫu ta được một số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn chu kì có 3 chữ số và phân số này bẳng lập phương của một phân số khác.

Lời giải:

Gọi ^abc chu kì của số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn



⁰^^abc^⁹⁹⁹



 Phân số cần tìm phải có dạng: ⁹⁹⁹ abc

Ta có: ⁹⁹⁹ abc

3 .373

 abc ²

3 3

.37 3 .37

abc

 

2 3

.37

abc3.37

Đặt

   

2 3 3

3 3

.37 .37

3.37  3.37

abc x



x^ ^*



2 3 3

.37 .37

abc x

abc x ³.37 , mà abc999

 x² 27 hay x3

 ^x^

 

^{1; 2}

Với x1 thì abc037, ta được phân số:

037 999

1

 27

1 3

3

   

 

Với x2 thì abc2 .37 296³  , ta được phân số:

296 999

8

27

2 3

3

   

  Vậy phân số cần tìm là

1 27;

8 27 Bài 18:

Viết tiếp vào mỗi chỗ chấm hai phân số theo quy luật:

a)

1 1 1 1 1 1

; ; ; ; ; ;...

2 4 5 8 10 16 .

b)

1 1 1 1 1 1

; ; ; ; ; ;...

3 6 7 9 11 12 Lời giải:

a) Ta thấy các phân số:

1 1 1 1 1 1

; ; ; ; ;

2 4 5 8 10 16viết được dưới dạng phân số thập phân hữu hạn có tử bằng 1 và mẫu tăng dần.

Vậy hai phân số điền tiếp vào chỗ chấm là:

1 1;

20 25, ta được dãy số:

1 1 1 1 1 1 1 1

; ; ; ; ; ; ; . 2 4 5 8 10 16 20 25 b) Ta thấy các phân số:

1 1 1 1 1 1

; ; ; ; ;

3 6 7 9 11 12viết được dưới dạng phân số thập phân vô hạn tuần hoàn có tử bằng 1 và mẫu tăng dần.

(17)

Vậy hai phân số điền tiếp vào chỗ chấm là:

1 1;

13 14, ta được dãy số:

1 1 1 1 1 1 1 1

; ; ; ; ; ; ; . 3 6 7 9 11 12 13 14

 HẾT 