Các Bài Toán Liên Quan Đến Số Thập Phân Hữu Hạn

(1)

ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 10 - SỐ THẬP PHÂN CHỦ ĐỀ 1: SỐ THẬP PHÂN HỮU HẠN

PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. KHÁI NIỆM:

Khi viết phân số a

b dưới dạng số thập phân ta thực hiện phép chia a_chob và gặp một trong hai trường hợp sau:

- Phép chia a_chob kết thúc sau hữu hạn bước.

Ví dụ:

3 0,75 4 

;

37 1, 48 25

; …

Khi đó số thập phân thu được gọi là số thập phân hữu hạn.

- Phép chia a_chob không bao giờ chấm dứt.

Ví dụ:

2 0,6666...

3 

;

17 1,5454...

11

  

; …

Tuy phép chia không chấm dứt nhưng phần thập phân của kết quả phép chia có một nhóm chữ số lặp đi lặp lại vô hạn lần. Ta nói số thập phân thu được là số thập phân vô hạn tuần hoàn và nhóm chữ số lặp đi lặp lại trong phần thập phân là chu kì của nó.

2. NHẬN BIẾT MỘT PHÂN SỐ LÀ SỐ THẬP PHÂN HỮU HẠN:

Nếu một phân số tối giản với mẫu dương mà mẫu không có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.

PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI

Dạng 1: Viết phân số dưới dạng số thập phân.

I.Phương pháp giải:

Để viết một tỉ số hoặc một phân số a

b dưới dạng số thập phân ta làm phép chia a b: II.Bài toán:

Bài 1: Viết phân số sau dưới dạng số thập phân 97 200 ;

124 25 ;

63

20

; 139 50

 . Lời giải:

Cách 1: Thực hiện phép tính chia tử cho mẫu ta được:

97 0 485 200 , 124 4 96

25  ,

(2)

63 3 15

20 ,

   139 2 78

50 ,

  

Cách 2: Phân tích mẫu ra thừa số rồi bổ sung các thừa số phụ đề mẫu là lũy thừa của 10:

97 97 5 485 0 485 200 200 5 1000

. ,

 .  

124 124 4 496 4 96 25 25 4 100

. ,

 .  

63 63 5 315 3 15

20 20 5 100

. ,

.

     

139 139 2 278 2 78

50 50 2 100

. ,

.

     

Bài 2: Viết kết quả phép tính dưới dạng số thập phân:

a)

1 1 1

5.6 6.7 ... 24.25 A   

b)

2 2 2 2

2.4 4.6 6.8 ... 98.100

B    

Lời giải:

a )

1 1 1

5.6 6.7 ... 24.25 A   

1 1 1 1 1 1

5 6 6 7 ... 24 25

A          

1 1 4 0,16

5 25 25 A    Vậy A0 16, .

b )

2 2 2 2

2.4 4.6 6.8 ... 98.100

B    

1 1 1 1 1 1 1 1

2 4 4 6 6 8 ... 98 100

B             

       

1 1

2 100 B 

49 0 49 B100  ,

(3)

Vậy B0 49, .

a)

1 1 1 ... 1

5.10 10.15 15.20 395.400

A    

b)

33 33 33 33

11.16 16.21 21.26 ... 61.66

B    

Lời giải:

a)

1 1 1 1

5.10 10.15 15.20 ... 395.400

A    

5 5 5 5

5 ...

5.10 10.15 15.20 395.400

A    

1 1 1 1 1 1 1 1

5 ...

5 10 10 15 15 20 395 400

A       

1 1

5A 5 400 79 0 0395 A2000 , b)

33 33 33 33

11.16 16.21 21.26 ... 61.66

B    

5 5 5 5

5 33. ...

11.16 16.21 21.26 61.66 B      

1 1 1 1 1 1

5 33. ...

11 16 16 21 61 66

B        

1 1

5 33

11 66 B   

 

5 33 5 B .66

1 0 5 B 2 , Vậy B0 5, .

Bài 4: Tính giá trị của biểu thức và viết kết quả dưới dạng số thập phân:

3 3 3 3 25 25 25 48

... ...

1.8 8.15 15.22 106.113 50.55 55.60 95.100 113 A             Lời giải:

(4)

Ta có :

3 3 3 3

1.8 8.15 15.22 ... 106.113

B    

7 7 7 7

7 3 ...

1.8 8.15 15.22 106.113 B      

1 1 1 1 1 1 1 1

7 3 ...

1 8 8 15 15 22 106 113

B          

 

3 1 1

B  113

 

112 3.112 48

3.113 7.113 113

   

B B

.

25 25 25

50.55 55.60 ... 95.100

C   

5 5 5

5 ...

50.55 55.60 95.100 C     

1 1 1

5 50 100 20 C   

  _.

Khi đó :

48 48 1 48

131 113 20 113 0,05 A B C      

.

Bài 5: Kết quả của biểu thức sau biểu diễn số thập phân nào?

a)

2 2 2 2

2 3 4 24

. . ...

1.3 2.4 3.5 23.25 A

b)

2 2 2 2

1 2 3 99

. . ...

1.2 2.3 3.4 99.100 B

Lời giải:

a,

2 2 2 2

2 3 4 24

. . ...

1.3 2.4 3.5 23.25 A

2.2 3.3 4.4 24.24 . . ....

1.3 2.4 3.5 23.25 A

   



2.3.4...24 2.3.4...24

  

1.2.3....23 3.4.5...25 A

24.2 48 25 25 1,92

A  

Vậy Kết quả phép tính biểu diễn số thập phân 1 92, .

(5)

b)

2 2 2 2

1 2 3 99

. . ...

1.2 2.3 3.4 99.100 B

1 1 2 2 3 3 99 99 1 2 2 3 3 4 99 100

. . . .

B . . ....

. . . .



   



1.2.3....99 1.2.3...99

  

1.2.3...99 2.3.4...100 B

1 0,01 B100 

Vậy Kết quả phép tính biểu diễn số thập phân 0 01, . Bài 6: Chứng tỏ kết quả phép tính sau là một số nguyên :

a)

1999 1999 1999

1 1 ... 1

1 2 1000

1000 1000 1000

1 1 ... 1

1 2 1999

A

       

    

    

        

    

b)

1 1 1 1

1 1 1 ... 1

2 3 4 999

B           

Lời giải:

2000 2001 2002 2999 1001 1002 1003 2999

. . ... : . . ....

1 2 3 1000 1 2 3 1999

A    

     

2000.2001.2002...2999 1.2.3...1999 1.2.3.4...1000 . 1001.1002....2999

A    

     

1001.1002....1999 1001.1002...1999 1

A 

Vậy kết quả phép tính trên là một số nguyên.

b)

1 1 1 1

1 1 1 ... 1

2 3 4 999

B            3 4 5 1000 1000

. . .... 500

2 3 4 999 2

B  

Vậy kết quả phép tính trên là một số nguyên.

Bài 7: Kết quả phép tính sau có viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn không?

1 1 1 1

1 1 1 ... 1

4 9 16 400

A          

     

Lời giải:

(6)

1 1 1 1

1 1 1 ... 1

4 9 16 400

A            3 8 15 399

. . ....

4 9 16 400 A

1.3 2.4 3.5 19.21 . . ...

2.2 3.3 4.4 20.20 A

   

1.2.3...19 3.4.5...21 2.3.4...20 2.3.4.5...20 A

21 21

0,525 20.2 40

A  

Vậy kết quả phép tính viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.

Bài 8: Viết kết quả phép tính dưới dạng số thập phân : a)

2 2 2 2 2 2 2 2

2 3 4 5 6 7 8 9. . . . 3 8 15 24 35 48 63 80 A

b)

8 15 24 2499 . . ...

9 16 25 2500 B

Lời giải:

a)

2.2 3.3 4.4 8.8 9.9 . . .... . 1.3 2.4 3.5 7.9 8.10 A

   



2.3.4...8.9 2.3.4...8.9

  

1.2.3...7.8 3.4.5...9.10 A

9.2 9 10 5 1,8 A  

b)

8 15 24 2499 . . ...

9 16 25 2500 B

2.4 3.5 4.6 49.51 . . ....

3.3 4.4 5.5 50.50 B

   



2.3.4...49 4.5.6...51

  

3.4.5...50 3.4.5...50 B

2.51 17

0, 68 50.3 25

B  

a) ² ² ² ²

3 8 15 99 . . ...

2 3 4 10 A

b)

1 1 1 1

1 1 1 ... 1

2 3 4 1000

B           

(7)

Lời giải:

a)

1.3 2.4 3.5. . .... 9.11 2.2 3.3 4.4 10.10 A

   



1.2.3...9 3.4.5...11

  

2.3.4...10 2.3.4...10 A

1.11 0,55 A10.2

b)

1 1 1 1

1 1 1 ... 1

2 3 4 1000

B           

1 2 3 999 1

. . .... 0,001

2 3 4 1000 1000 B       

Dạng 2: Kiểm tra xem một phân số có viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.

-Viết phân số về dạng tối giản và có mẫu dương.

- Phân tích mẫu ra thừa số nguyên tố.

- Nếu mẫu chỉ có ước nguyên tố là 2 và 5 thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.

II.Bài toán:

Bài 10: Giải thích tại sao các phân số sau viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn rồi viết chúng dưới

dạng đó:

6 9 39 121 204 378

1 ; ; ; ; ;

8 25 60 220 160 375

 

 Lời giải:

Các phân số

6 9 39 121 204 378

1 ; ; ; ; ;

8 25 60 220 160 375

 

 viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn vì các mẫu không có ước nguyên tố khác 2 và 5.

6 14 7

1 1,75

8 8 4

 

    

(mẫu 4 2 ²)

9 0,36

25 

( mẫu ^{25 5}^ ²) 39 13

0, 65 60  20 

(mẫu ^{20 2 .5}^ ² ) 121 11

220 20 0,55

(mẫu ^{20 2 .5}^ ² )

204 51

1, 275 160 40

   

 (mẫu ^{40 2 .5}^ ³ )

(8)

378 126

1,008 375 125 

(mẫu ^{125 5}^ ³)

Bài 13: Chứng tỏ rằng các số sau viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn với n . a)

36 9 6 n

b)

28 14 35 n

c)

8 24 100

 n

d)

6 2 12 18 120 n  n Lời giải:

a)

 

3. 12 3

36 9 3.12 3.3 12 3

6 2.3 2.3 2

n  n  n  n .

Phân số sau khi đã rút gọn có mẫu là 2 nên số đó là số thập phân hữu hạn.

b)

 

7. 4 2

28 14 7.4 7.2 4 2

35 7.5 7.5 5

n n n n

  

.

Phân số sau khi đã rút gọn có mẫu là 5 nên số đó là số thập phân hữu hạn.

c)

 

4. 2 6

8 24 2 6

100 4.25 25

n  n n

     

Có ^{25 5}^ ²

Phân số sau khi đã rút gọn có mẫu là 25 nên mẫu chỉ có ước nguyên tố là 5.

Vậy số đó là số thập phân hữu hạn.

d)



²



2 6. 2 3 2

6 12 18 2 3

120 6.20 20

n n

n  n     n  n

Có ^{20 2 .5}^ ²

Phân số sau khi đã rút gọn có mẫu là 20 nên mẫu chỉ có ước nguyên tố là 2 và 5.

Vậy số đó là số thập phân hữu hạn.

Bài 11: Mỗi phân số sau có viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn hay không? Vì sao?

a) ³ ² ³

 

12

n n

 

b) ¹² ² ²⁴

 

20

n n

 

(9)

c) ¹⁸ ³ ¹² ³⁰

 

60

n n n

n n

   

Lời giải:

a)

 

2 3 1

3 3 3 . 3 .1 1

12 3 .4 3 .4 4

n n n n n n n n

n n n

      

Có 4 2 ²

Mẫu có ước nguyên tố là 2 nên phân số viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.

b)

   

2 4 . 3 6

12 24 3 6

20 4 .5 5

n n

n n n

     

Phân số sau khi rút gọn có mẫu là 5 nên phân số đó viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.

c)

3 2 2

18 12 30 6 .( 3 2 5) 3 2 5

60 6 .10 10

n n n n n n n n

n n

         

Có 10 2.5

Phân số sau khi rút gọn có mẫu là 10, mẫu chỉ có ước nguyên tố là 2 và 5 nên phân số đó viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.

Bài 12: Các phân số sau có viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn không? vì sao?

a)

3 1

3 n

n





ⁿ^



b)

14 6 7 n n





ⁿ^



Lời giải:

a)

3 1 3 1 1

3 3 3 1 3

n n

n n n n

    

Vì 1

3n có mẫu là 3n có ước nguyên tố là 3

Nên 1

3n không viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn

3 1

3 n n

 

không viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.

b)

14 6 14 6 6

7 7 7 2 7

n n

n n n n

    

Vì 6

7n có mẫu là 7n có ước nguyên tố là 7

Nên 6

7n không viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn

(10)

14 6 7 n n

 

Bài 13: Các phân số sau không viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn:

a)

48 5 42

n n





ⁿ^



b)

6 5

18 n

n





ⁿ^



Lời giải:

a)

48 5 42

n n





ⁿ^



ta có: 48 3n ; ^{5 ! 3}48n5 3! và: 42 3n

Do đó

48 5 42

n n



khi viết được dưới dạng phân số tổi giản thì mẫu vẫn chứa thừa số nguyên tố 3.

Vậy

48 5 42

n n



b)

6 5

18 n

n





ⁿ^



ta có: 6n6; ^{5 ! 6}^⁶ⁿ^^{5 6}^! và: 18 6n

Do đó

6 5

18 n

n



khi viết được dưới dạng phân số tổi giản thì mẫu vẫn chứa thừa số nguyên tố 3.

Vậy

6 5

18 n

n



Dạng 3: Tìm điều kiện để một phân số viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.

-Viết phân số về dạng tối giản và có mẫu dương.

- Phân tích mẫu ra thừa số nguyên tố.

- Nếu mẫu chỉ có ước nguyên tố là 2 và 5 thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.

II.Bài toán

Bài 14: Tìm số tự nhiên x10 sao cho phân số 2 6 x

viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.

Lời giải:

(11)

Ta có:

2 2

6 2.3

x  x

Mẫu chứa thừa số nguyên tố khác 2 và 5 nên để phân số 2 2.3 x

viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn thì



^x^^{2 3}







x ²



B

  

³ 0;3;6;9;12;...



    và x10

2 0 2

x    x _(loại);

2 3 1

x   x (thoả mãn);

2 6 4

2 9 7

2 12 10

x   x (loại).

Các trường hợp còn lại không thoả mãn Vậy x



1; 4; 7 .



Bài 15: Tìm số tự nhiên x; 0 x 20 để phân số

2 3

14

x x

x



viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.

Lời giải:

Ta có:

 

2 3 3 3

14 .7.2 7.2

x x x x x

x x

    

Mẫu chứa thừa số nguyên tố khác 2 và 5 nên để phân số 3 7.2 x

viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn thì



^x^^{3 7}







x ³



B

  

⁷ 0;7;14; 21;...



   

và 0 x 20

3 0 3

x    x _(loại);

3 7 4

3 14 11

3 21 18

3 28 25

x   x (loại).

Các trường hợp còn lại không thoả mãn.

Vậy x



4; 11; 18 .



Bài 16: Cho x và y là các số nguyên tố có một chữ số. Tìm x và y để các phân số sau viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.

(12)

a) 5.7.

M x

 y

b)

7 48 N x

 y Lời giải:

a) ^5.7.

M x

 y

Để M viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn thì mẫu không có ước nguyên tố khác 2 và 5 Nên số nguyên tố x7 và số nguyên tố ^y^

 

^2;5

Vậy x7_;^y^

 

^2;5 _.

b) ⁴

7 7.

48 2 .3.

x x

N  y  y

Để N viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn thì mẫu không có ước nguyên tố khác 2 và 5 Nên số nguyên tố x3 và số nguyên tố ^y^



^2;5;7



Vậy x3_;^y^



^2;5;7



_.

Bài 17: Thay các chữ cái bởi các chữ số khác 0 thích hợp, biết ^{1: 0,}^{ab a b c}^{  } . Lời giải:

1: 0,ab a b c   1:100

ab a b c

   

100 a b c

 ab   

100chia hết cho ab

 

¦ 100

ab

Mà ^{a b}^, là các chữ số khác 0 nên:

25 ab

100 a b c 25

   

2 5 c 4 c 3

      Vậy a2_;b5_;c3_.

(13)

Bài 18: Thay các chữ cái bằng các số thích hợp:

a) 1: 0,abc a b c   b) 1: 0, 0abcd a b c d    Lời giải:

a) Có a; b_;c là các chữ số

0 9

, , a b c a b c

  

  

   

 

 

1 a b c 27

    

1: 0,abc 1000 a b c

 abc    1000 abc a b c.( )

   

a b c

   là ước của 1000 không vượt quá 27 1: 0,125 1 2 5

   

Vậy a1_;b2_;c5_.

b) Có a; b_;c; d là các chữ số

0 9

, , , a b c d a b c d

  

  

  

  

 

 

1 a b c 27

     10000

1: 0,0abcd    a b c d abcd

10000 ( )

 abcd a b c d   a b c d

    là ước của 1000 và 10    a b c d 36

1: 0, 06235 6 2 3 5

    

Vậy ^a⁼⁶; ^b⁼²; ^c⁼³; ^d ⁼⁵.

(14)

Bài 19: Có bao nhiêu số thập phân ^{a bc}^, thoả mãn phân số 4 a b c 

viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn là ^{a bc}^, với c0_.

Lời giải:

Vì a; b_;c là các chữ số và c0

0 9

, , a b c a b c N

  

  

   

 



1 a b c 27

     Phân số 4

a b c 

viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn là ^{a bc}^, 4 ,

a b c

  a bc

 

Vì ^{a bc}^, là số thập phân nên a b c  chia cho 4 dư 1 hoặc chia 4 dư 3 Ta có bảng sau:

a b c  1 3 5 7 9 11 13

,

a bc ^{0, 25} ^0,75 ^{1, 25} ^{1, 75} ^{2, 25} ^{2, 75} ^{3, 25}

a b c  15 17 19 21 23 25 27

,

a bc ^3,75 ^{4, 25} ^{4, 75} ^{5, 25} ^5,75 ^{6, 25} ^6,75

Vậy ta được 14 số cần tìm.

Bài 20: Tìm các phân số tối giản có có tử và mẫu là các số nguyên dương, mẫu khác 1. Biết rằng tích của tử và mẫu bằng 1260 và phân số này có thể viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.

Lời giải:

Gọi phân số tối giản phải tìm là a

b với ,a b^,ƯCLN(^{a b}^, )⁼¹ Ta có: ab1260 2 .3 .5.7 ² ²

Để phân số a

b có thể viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn thì mẫu số b chỉ có ước nguyên tố là 2 và 5

Mà a

b là phân số tối giản và ƯCLN(^{a b}^, ) =¹

 b không chứa thừa số ³² ; 7_vàb1_nên^b^



^4;5;20



(15)

Ta có bảng sau:

a 4 5 20

b 315 252 63

a b

315 4

252 5

63 20

Vậy các phân số thoả mãn là 315

4 ; 252

5 ; 63 20 .

Bài 21: Tìm các phân số tối giản có tử và mẫu là các số nguyên dương, mẫu khác 1. Biết tích của tử và mẫu là 4200 và phân số này viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.

Lời giải:

Gọi phân số tối giản phải tìm là a

b với ,a b^, ƯCLN(^{a b}^, )⁼¹ Ta có: ab4200 2 .3.5 .7 ³ ²

Để phân số a

b có thể viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn thì mẫu số b chỉ có ước nguyên tố là

2

và 5 Mà

a

b là phân số tối giản và ƯCLN

( )

a b, =1



b không chứa thừa số 3; 11 và b1_nênb



8; 25; 200



Ta có bảng sau

b 8 25 200

a 525 168 21

a b

525 8

168 25

21 200

Vậy các phân số thoả mãn là 525

8 ; 168

25 ; 21 200.

Bài 22: So sánh 9 2005

11 0,81

  

 

  và ⁴⁰¹⁰ 1 10 . Lời giải:

2005 2005 2005 2005

9 9 81 9 9 1

0,81 .

11 11 100 1100 11 100

         

       

       

2005 2005 2005

4010 4010

9 1 9 1 1

. .

11 100 11 10 10

     

        

(16)

Vậy

2005

4010

9 1

11 0,81 10

   

 

 

 HẾT 