DẠNG 1: CÁC DẠNG TOÁN VỀ TẬP HỢP Q CÁC SỐ HỮU TỈ.
I. LÝ THUYẾT:
- Số hữu tỉ là các số có thể biểu diễn được dưới dạng phân số a
(
a,b ,b 0 .)
b
- Tập hợp các số hữu tỉ được kí hiệu là (x là số hữu tỉ thì ghi là x )
- Ta có thể biểu diễn mọi số hữu tỉ trên trục số. Trên trục số, điểm biểu diễn số hữu tỉ được gọi là điểm x.
+ Các số nguyên ta đã biết biểu diễn trên trục số.
+ Tương tự cách biểu diễn số nguyên ta biểu diễn số hữu tỉ a
(
a,b ,b 0)
b
+ như
sau:
Chia đoạn có độ dài 1 đơn vị thành b phần bằng nhau, lấy một đoạn làm đơn vị mới thì điểm biểu diễn số hữu tỉ a
b cách gốc 0 là a đơn vị mới.
+ Với số hữu tỉ a
b có tử số và mẫu số trái dấu ta biểu diễn tương tự nhưng chia đoạn 1 đơn vị bên trái gốc 0.
Ví dụ: Để biểu diễn số hữu tỉ 3
5 ta chia đoạn 1 đơn vị thành 5 phần, điểm biểu diễn số 3
5 như hình vẽ:
- Với hai số hữu tỉ bất kỳ x, y ta luôn có hoặc x = y hoặc x < y hoặc x > y. Ta có thể so sánh hai số hữu tỉ bằng cách viết chúng dưới dạng phân số rồi so sánh hai phân số đó.
+ Nếu x < y thì trên trục số, điểm x ở bên trái điểm y;
+ Số hữu tỉ lớn hơn 0 được gọi là số hữu tỉ dương;
+ Số hữu tỉ nhỏ hơn 0 được gọi là số hữu tỉ âm;
+ Số hữu tỉ 0 không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm.
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN:
Dạng 1.1: Sử dụng các ký hiệu , , , , , . 1. Phương pháp giải:
Nắm vững ý nghĩa của từng ký hiệu:
- Kí hiệu đọc là “phần tử của” hoặc “thuộc”.
- Kí hiệu đọc là “không phải là phần tử của” hoặc “không thuộc”.
- Kí hiệu đọc là “là tập hợp con của”.
- Kí hiệu chỉ tập hợp các số tự nhiên.
- Kí hiệu chỉ tập hợp các số nguyên.
- Kí hiệu chỉ tập hợp các số hữu tỉ.
- Các kí hiệu ; dùng để so sánh giữa phần tử với tập hợp.
- Các kí hiệu dùng để so sánh giữa các tập hợp với nhau.
2. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Điền kí hiệu ( , , ) thích hợp vào ô trống:
5 – 4 – 2
3 5
− 3
5
−
Giải:
Các kí hiệu ; dùng để so sánh giữa phần tử với tập hợp.
Các kí hiệu dùng để so sánh giữa các tập hợp với nhau.
Vì 5 là số tự nhiên nên 5 Vì – 4 là số nguyên nên – 4
Vì 2
2 1
− = − nên – 2 có thể biểu diễn được dưới dạng số hữu tỉ.
Do đó – 2 .
Vì −3 5nên 3 5
− không phải là số nguyên. Do đó 3 5 .
−
Vì 3 5
− biểu diễn dưới dạng a
(
a,b , b 0)
b nên 3
5
− là số hữu tỉ. Do đó 3 . 5
−
Vì mọi số nguyên đều biểu diễn được dưới dạng số hữu tỉ nên , mà
nên .
Từ đó, ta điền ký hiệu thích hợp vào ô trống như sau:
5 – 4 – 2
3 5
− 3
5
−
Dạng 1.2: Biểu diễn số hữu tỉ.
1. Phương pháp giải:
- Số hữu tỉ thường được biểu diễn dưới dạng phân số tối giản.
- Khi biểu diễn số hữu tỉ trên trục số, ta thường viết số đó dưới dạng phân số tối giản có mẫu dương. Khi đó mẫu của phân số cho biết đoạn thẳng đơn vị cần được chia thành bao nhiêu phần bằng nhau.
+ Trường hợp 1: a > 0, khi đó a
b là số hữu tỉ dương, ta chia khoảng có độ dài 1 đơn vị làm b phần bằng nhau, ta được đơn vị mới bằng 1
bđơn vị cũ, tiếp theo lấy về phía chiều dương trục Ox a phần, ta được vị trí của số a
b. + Trường hợp 2: a < 0, khi đó a
b là số hữu tỉ âm, ta chia khoảng có độ dài 1 đơn vị làm b phần bằng nhau, ta được đơn vị mới bằng 1
b đơn vị cũ, tiếp theo lấy về phía chiều âm trục Ox a phần, ta được vị trí của số a
b. 2. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 2:
a) Trong các phân số sau, những phân số nào biểu diễn số hữu tỉ 2 :
−5
6 3 12 6 10
; ; ; ; ?
15 15 30 20 35
− − −
−
b) Biểu diễn số hữu tỉ 2
−5 trên trục số.
Giải:
a) Ta có 2 2
5 5
= −
− . Rút gọn các phân số đã cho ta được:
6 2 3 1 12 2 6 3 10 2
; ; ; ; .
15 5 15 5 30 5 20 10 35 7
− = − − = − =− = − =−
−
Vậy các phân số biểu diễn số hữu tỉ 2
−5 là 6 12
; .
15 30
−
−
b) Vì 2
1 0
− 5
− nên 2
−5 nằm giữa -1 và 0 trên trục số, ta chia đoạn này thành 5 phần. Phân số 2
−5 được biểu diễn trên trục số như sau:
2
−5
-2 – 1 0 1 2 Dạng 1.3: So sánh các số hữu tỉ.
1. Phương pháp giải:
Ta có thể so sánh hai số hữu tỉ bằng cách viết chúng dưới dạng phân số rồi so sánh hai phân số đó bằng một trong các cách sau:
- Đưa về các phân số có cùng mẫu số dương rồi so sánh tử số.
- So sánh với số 0, so sánh với số 1, với –1,…
- Dựa vào phần bù của 1: So sánh các phần bù rồi suy ra kết quả.
- So sánh với phân số trung gian.
- Có thể sử dụng tính chất sau: Nếu a, b, c và a < b thì a + c < b + c
2. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 3: So sánh các số hữu tỉ:
a) 4
x= 7 và 3 y 11
= − .
b) 213
x 300
= − và y 18
= 15
− . c) x = – 0,75 và 3
y 2
=− . Giải:
a) 4 3
x 0; y 0
7 11
= =− nên 4 3
7 11
− hay x > y.
b) 18 360 213 213 18
15 300 300 300 15
− − −
=
− − hay x > y.
c) 3 3 6
0,75 ;
4 2 4
− − −
− = = , mà 3 6
x y
4 4
− − .
III. BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1: Điền kí hiệu ( , , ) thích hợp vào ô trống:
–3 –8 –15
3
4 2
7
−
Bài 2:
a) Trong các phân số sau, những phân số nào biểu diễn số hữu tỉ 5 4:
−
10 20 40 25 45
; ; ; ; ?
8 16 28 20 35
− − −
− −
b) Biểu diễn số hữu tỉ 5
−4 trên trục số.
Bài 3: So sánh các số hữu tỉ:
a) 2
x= 3 và 2 y= 5.
b) 221
x 115
= − và y = 2 7. c) x = – 0,75 và 1
y 4
=− .
Bài 4: Điền kí hiệu ( , , ) thích hợp vào ô trống:
–6 –4 – 9
7 3
−
Bài 5: Viết ba số hữu tỉ xen giữa các số hữu tỉ sau:
a) 1 3 và 1
4 b) 1
10
− và 1 100
− .
Bài 6: Trên giá sách có 40 quyển sách Toán, 20 quyển sách Văn. Lập tỉ số của các loại sách với số sách đang có trên giá.
Bài 7: Cho a , b , b > 0, n *. Hãy so sánh hai số hữu tỉ a
b và a n b n.
+ + Bài 8: So sánh các phân số sau bằng cách nhanh nhất (không quy đồng):
a) 1
−25 và 1 1225. b) 216
217 và 104 103. c) 12
−19 và 14
−17. d) 13
−27 và 131313 272727
− .
Bài 9: Cho số hữu tỉ a 3
x .
2
= − Với giá trị nào của a thì:
a) x là số dương;
b) x là số âm;
c) x không là số dương và cũng không là số âm.
Bài 10: Cho số hữu tỉ 2a 1
y .
3
= −
− Với giá trị nào của a thì:
a) y là số dương;
b) y là số âm;
c) y không là số dương và cũng không là số âm.
Hướng dẫn giải:
Bài 1: Đáp số:
–3 –8 –15
3
4 2
7
−
Bài 2:
a) Ta có 5 5
4 4
=−
− . Rút gọn các phân số đã cho, ta được:
10 5 20 5 40 10 25 5 45 9
; ; ; ;
8 4 16 4 28 7 20 4 35 7
− − − − − − − −
= = = = =
− −
Vậy các phân số biểu diễn số hữu tỉ 5
−4 là 10 20 25
; ; .
8 16 20
− −
−
b) 5
2 1
− 4 −
− nên 5
−4 nằm giữa –2 và –1 trên trục số và chia khoảng này thành 4 phần để lấy biểu diễn số hữu tỉ 5
4.
− Bài 3: So sánh các số hữu tỉ:
a) Hai phân số 2 3 và 2
5 có cùng tử số, mẫu số của phân số nào lớn hơn thì bé hơn.
b) Vì 221 115 0
− và 2
7 0 nên 221 2 115 7.
− c) Ta có: – 0,75 = 3 1
4 4 .
− − Bài 4:
–6 –4 – 9
7 3
−
Bài 5: Viết ba số hữu tỉ xen giữa các số hữu tỉ sau:
a) Quy đồng hai phân số trên, mẫu số chung của hai phân số 1 3 và 1
4 là B(48). Ta tìm ba phân số xen giữa 16
48 và 12 48. b) 1
10 0,1
− = − , 1 100 0,01
− = −
Bài 6: Tổng số sách là 40 + 20 = 60 quyển.
Tỉ lệ sách Toán và Văn so với tổng số sách trên giá lần lượt là: 40 2 20 1
; .
60 =3 60 =3 Bài 7:
Ta có: a(b + n) = ab + an b(a + n) = ab + bn Vì b > 0, n * nên b + n > 0 +) Nếu a > b thì ab + an > ab + bn
a(b + n) > b(a + n)
a a n.
b b n
+ +
+) Nếu a < b thì ab + an < ab + bn
a(b + n) < b(a + n)
a a n.
b b n
+ +
+) Nếu a = b thì a a n.
b b n
= + + Bài 8:
a) Vì 1 25 0
− ; 1
12250 1 1
25 1225
− .
b) 216 104 216 104
Do 1; 1
217 103 217 103.
c) 12 14 14 14 12 14
Do ;
19 19 19 17 19 17
− − − − − − .
d) 131313 13.10101 13 272727 27.10101 27
− = − = − .
Bài 9: Cho số hữu tỉ a 3
x .
2
= −
a) x là số dương khi tử số và mẫu số cùng dấu.
Mà mẫu số là 2 > 0 nên tử số là a – 3 > 0. Vậy a > 3.
b) x là số âm khi tử số và mẫu số khác dấu.
Mà mẫu số là 2 > 0 nên tử là số a – 3 < 0. Vậy a < 3.
c) x không là số dương và cũng không là số âm, nghĩa là x = 0.
Mà mẫu số là 2 ≠ 0 nên tử số a – 3 = 0 hay a = 3.
Bài 10: Cho số hữu tỉ y 2a 1. 3
= −
− Với giá trị nào của a thì:
a) y là số dương khi tử số và mẫu số cùng dấu, mà mẫu số là –3 < 0 nên tử số bé hơn 0. Vậy 1
a .
2
−
b) y là số âm khi tử số và mẫu số khác dấu, mà mẫu số là –3 < 0 nên tử số lớn hơn
0. Vậy 1
a .
2
−
c) y không là số dương và cũng không là số âm, nghĩa là x = 0, có mẫu số là -3 ≠ 0 nên tử số bằng 0. Vậy 1
a .
2
= −
