Cách giải bài tập Cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ cơ bản và nâng cao | Toán lớp 7

(1)

DẠNG 2: PHÉP TOÁN CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA TRONG TẬP HỢP SỐ HỮU TỈ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN.

I. LÝ THUYẾT:

1. Cộng, trừ hai số hữu tỉ:

- Mỗi số hữu tỉ đều viết được dưới dạng phân số a

(a, b ; b 0).

b   Ta cộng trừ số hữu tỉ bằng cách viết chúng dưới dạng phân số có mẫu số dương rồi áp dụng quy tắc cộng, trừ phân số.

- Phép cộng số hữu tỉ có các tính chất của phép cộng phân số: Giao hoán, kết hợp, cộng với số 0. Mỗi số hữu tỉ đều có một số đối.

2. Quy tắc chuyển vế:

Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức ta phải đổi dấu số hạng đó.

x, y,z : x y z x z y.

      

3. Quy tắc nhân, chia số hữu tỉ:

Với hai số hữu tỉ a c

x ; y

b d

 

- Nhân hai số hữu tỉ: a c ac x.y .

b d bd

  . - Chia hai số hữu tỉ: a c a d ad

x : y : .

b d b c bc

   (y0).

4. Chú ý:

- Phép cộng trong , ta cũng có những tổng đại số, trong đó có thể đổi chỗ các số hạng, đặt dấu ngoặc để nhóm các số hạng một cách tùy ý như các tổng đại số trong

.

- Phép nhân trong có các tính chất cơ bản: giao hoán, kết hợp, nhân với 1, tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng.

- Thương của phép chia x cho y gọi là tỉ số của x và y, kí hiệu là ^x y .

(2)

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN:

Dạng 2.1: Cộng, trừ hai số hữu tỉ.

1. Phương pháp giải:

- Viết hai số hữu tỉ dưới dạng hai phân số có cùng một mẫu dương (bằng cách quy đồng mẫu của chúng);

- Cộng, trừ hai tử số, mẫu chung giữ nguyên;

- Rút gọn kết quả (nếu có thể).

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính: 3 1

5 3

 

Giải: 3 1 9 5 9 5 4

5 3 15 15 15 15

  

    

Dạng 2.2: Viết một số hữu tỉ dưới dạng tổng hoặc hiệu của hai số hữu tỉ.

Một trong các phương pháp giải có thể là:

- Viết số hữu tỉ dưới dạng phân số có mẫu dương.

- Viết tử của phân số thành tổng hoặc hiệu của hai số nguyên.

- Tách ra hai phân số có tử là các số nguyên vừa tìm được.

- Rút gọn phân số (nếu có thể).

Ví dụ 2: Viết số hữu tỉ 7 12

 dưới các dạng sau đây:

a) 7 12

 là tổng của hai số hữu tỉ âm.

b) 7 12

 là hiệu của hai số hữu tỉ dương.

Giải:

a) 7 12

 là tổng của hai số hữu tỉ âm là: 7 1 5

12 6 12

     vì 2 5 1 5 7 12 12 6 12 12.

       b) 7

12

 là hiệu của hai số hữu tỉ dương là: 7 19 12 1 12

   vì 19 12 19 7

1 .

12 12 12 12

     Dạng 2.3: Tìm số hạng chưa biết trong một tổng hoặc một hiệu.

(3)

Áp dụng quy tắc chuyển vế: Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức, ta phải đổi dấu số hạng đó.

Ví dụ 3: Tìm x biết:

a) 2 4

x 3 5

b) 1 1

x1510 Giải:

a) 2 4

x 3 5 4 2 x  5 3 x 2

15

Vậy 2

x 15 là giá trị cần tìm.

b) 1 1

x1510

1 1

x 1015 x 1

 6 Vậy 1

x  6 là giá trị cần tìm.

Dạng 2.4: Nhân, chia hai số hữu tỉ.

- Viết hai số hữu tỉ dưới dạng phân số.

- Áp dụng quy tắc nhân, chia phân số;

- Rút gọn kết quả (nếu có thể).

Ví dụ 4: Tính:

(4)

a) 1 3,5. 1 .

4

 

 

  b) 5

: ( 2).

17

 

Giải:

a) 1 7 5 7.( 5) 35

3,5. 1 . 4,375.

4 2 4 2.4 8

  

     

 

 

b) ⁵: ( 2) ^{5 1}. ^{( 5).1} ⁵ .

17 17 2 17.( 2) 34

      

 

Dạng 2.5: Viết một số hữu tỉ dưới dạng tích hoặc thương của hai số hữu tỉ.

- Viết số hữu tỉ dưới dạng phân số;

- Viết tử và mẫu của phân số dưới dạng tích của hai số nguyên;

- “Tách” ra hai phân số có tử và mẫu là các số nguyên tìm được;

- Lập tích hoặc thương của các phân số đó.

Ví dụ 5: Viết số hữu tỉ 5 12

 dưới các dạng sau đây:

a) 5 12

 là tích của hai số hữu tỉ.

b) 5 12

 là thương của hai số hữu tỉ.

Giải:

a) 5 12

 là tích của hai số hữu tỉ là: 5 1 5 12 6 2.

   vì 1 5 1.5 5

. .

6 2 6.2 12

    b) 5

12

 là thương của hai số hữu tỉ là: 5 5 12 12 : 2

 

 vì ⁵: 2 ^{5 1}. ^5.1 ⁵.

6 6 2 6.2 12

    

Dạng 2.6: Thực hiện các phép tính với nhiều số hữu tỉ.

- Thứ tự thực hiện phép tính: Trong một dãy các phép tính cộng, trừ, nhân, chia ta thực hiện nhân, chia trước cộng, trừ sau.

- Đối với phép tính có dấu ngoặc, ta áp dụng quy tắc dấu ngoặc đối với các số hữu tỉ:

+ Nếu có các dấu ngoặc tròn, ngoặc vuông, ngoặc nhọn thì làm theo thứ tự trước hết tính trong ngoặc tròn rồi đến ngoặc vuông, cuối cùng là ngoặc nhọn.

(5)

+ Nếu có các dấu ngoặc tròn, ngoặc vuông, ngoặc nhọn thì làm theo thứ tự trước hết tính trong ngoặc tròn rồi đến ngoặc vuông, cuối cùng là ngoặc nhọn.

+ Có thể bỏ dấu ngoặc rồi tính hoặc nhóm các số hạng một cách thích hợp:

a, b : (a b) a b.

       2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 6: Tính:

a) 2 4 1

5 3 2

   

     

    b) 5 12 21

. .

6 7 15

  

 

   Giải:

a) 2 4 1 2 4 1 12 40 15 43

5 3 2 5 3 2 30 30 30 30 .

    

   

             b) 5 12 21 5.12.21 5.6.2.7.3

. . 2.

6 7 15 6.7.15 6.7.5.3

        

Dạng 2.7: Tính giá trị biểu thức bằng cách thuận tiện nhất.

Đối với những bài tính nhanh, với mọi a, b, c  ta có thể áp dụng các tính chất sau:

- Tính chất giao hoán:

+ Phép cộng: a + b = b + a;

+ Phép nhân: a.b = b.a.

- Tính chất kết hợp:

+ Phép cộng: (a + b) + c = a + (b + c);

+ Phép nhân: (a.b).c = a.(b.c).

- Tính chất phân phối giữa phép nhân với phép cộng: a(b + c) = ab + ac.

- Tính chất phân phối giữa phép nhân với phép trừ: a(b - c) = ab - ac.

Ví dụ 7: Tính nhanh:

a) 1 5 1 1 2 11

3 7 3 6 7 6

     

(6)

b) 3 4 3 10

. .

5 75 7 Giải:

1 5 1 1 2 11 1 1 5 2 1 11

a)3 7 3 6 7 6 3 3 7 7 6 6

0 1 2

3

       

             

     

  



b) 3 4 3 10 3 4 10 3 6

. . .2

5 7 5 7 5 7 7 5 5

 

       III. BÀI TẬP VẬN DỤNG:

Bài 1: Tính:

a) 2 11

13 26

  b) 5

2 8

  

c) 13 5

15 18

 

 Bài 2: Tính:

a) 2 3 5 11

  b) 13 1

30  5

c)

 

⁴ ⁴

5

 

   

  Bài 3: Tìm ba cách viết số hữu tỉ 8

15

 dưới dạng:

a) Tổng của hai số hữu tỉ âm.

b) Hiệu của một số hữu tỉ âm và một số hữu tỉ dương.

Bài 4: Tìm x biết:

a) 3 1

x 8 12

b) 1 2 1

x 3 5 3

 

     c) 2 1

x 2

5   3

d) 2 3 1

15 x 10 5

     Bài 5: Tính:

(7)

a) 9 17 34 4.

 b) 17 4

15 3 : c) 1 4

4 : 2

5 5

 

 

 

Bài 6: Tìm ba cách viết số hữu tỉ 8 15

 dưới dạng:

a) Tích của hai số hữu tỉ.

b) Thương của hai số hữu tỉ.

Bài 7: Tính:

a) 3 4 3

5 3 4

   

      

b) 5 2 3

8 5 10

 

   c) 1 9 12

. .

6 8 11

 

 

   d) 17 51 3

: .

18 36 5

 

 

 

Bài 8: Tính nhanh:

25 46 18 5 126 37

A .

3 5 7 3 5 2

     

5 3 13 3

B . . .

9 11 28 11

   

     

   

Bài 9: Bỏ ngoặc rồi thực hiện phép tính:

a) 1 1 1

12 6 4

 

   

b) 1 5 1 3

3 4 4 8

   

      

c) 3 5 1 2

4 3 12 9

   

      

Bài 10: Tính giá trị biểu thức

3 3 3 3

4 5 7 11

M .

13 13 13 13

4 5 7 11

  



  

(8)

Hướng dẫn giải:

Bài 1: Tính:

a) 2 11 4 11 15

13 26 26 26 26 .

        

b) 5 16 5 21

2 .

8 8 8 8

   

    

c) 13 5 78 25 103

15 18 90 90 90 .

      

 Bài 2: Tính:

a) 2 3 22 15 7

5 11 55 55 55.

     

b) 13 1 13 6 7 30  5 3030 30.

c)

 

⁴ ⁴ ²⁰ ⁴ ¹⁶^.

5 5 5 5

 

 

      Bài 3:

a) Ba cách viết tổng của hai số hữu tỉ âm:

8 1 7 8 2 6 8 1 1

; ; .

15 15 15 15 15 15 15 3 5

             

b) Ba cách viết hiệu của một số hữu tỉ âm và một số hữu tỉ dương.

8 2 2 8 7 1 8 1 1

; ; .

15 5 15 15 15 15 15 5 3

           

Bài 4: Áp dụng quy tắc chuyển vế và cộng, trừ các số hữu tỉ để tìm x.

a) 7

x 24

  b) 2

x  5

c) 25

x 6

 

d) 1

x 30

  Bài 5:

a) ^{9 17}. ^9.17 ¹⁵³ ⁹. 34 4 34.4 136 8

     b) 17 4 17 3 17.3 17

: . .

15 3 15 4 15.4  20

(9)

c) 1 4 21 14 21 5 3

4 : 2 : . .

5 5 5 5 5 14 2

  

   

 

 

Bài 6:

a) Ba cách tích của hai số hữu tỉ:

8 2 4 8 1 8 8 4

. ; . ; 2. .

15 3 5 15 5 3 15 15

         b) Ba cách thương của hai số hữu tỉ.

8 15 8 1 5 8 1 5

4 : ; : ; : .

15 2 15 3 8 15 6 16

        

Bài 7:

a) 3 4 3 36 80 45 89

5 3 4 60 60 60 60 .

  

   

         

b) 5 2 3 25 16 12 29

8 5 10 40 40 40 40.

 

      

c) 1 9 12 9.12 9

. . .

6 8 11 6.8.11 44

   

 

  

d) 17 51 3 17 36 3 17.36.3 2

: . . . .

18 36 5 18 51 5 18.51.5 5

    

 

 

Bài 8:

25 46 18 5 126 37 A 3  5  7  3 5  2

25 5 46 126 18 37

3 3 5 5 7 2

     

            295 69

10 16 .

14 14

   

5 3 13 3 5 13 3 3 6

B . . . 2.

9 11 9 11 9 9 11 11 11

      

             Bài 9: (Áp dụng quy tắc bỏ ngoặc)

a) 1 1 1 1 1 1 1

12 6 4 12 6 4 2

 

      

(10)

b) 1 5 1 3 1 5 1 3

3 4 4 8 3 4 4 8

     

          

1 5 1 3 53 3 4 4 8 24

    

c) 3 5 1 2 3 5 1 2

4 3 12 9 4 3 12 9

     

          

3 5 1 2 23

4 3 12 9 9

     Bài 10:

1 1 1 1

3 3 3 3 3

4 5 7 11 3

4 5 7 11

M .

13 13 13 13 1 1 1 1 13

4 5 7 11 13 4 5 7 11

    

    

  

 

       

 