Cách giải bài tập Số thập phân hữu hạn, số thập phân vô hạn tuần hoàn | Toán lớp 7

(1)

HỮU HẠN, SỐ THẬP PHÂN VÔ HẠN TUẦN HOÀN.

I. LÝ THUYẾT:

- Nếu một phân số tối giản với mẫu dương mà mẫu không có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.

- Nếu một phân số tối giản với mẫu dương mà mẫu có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.

- Mỗi số hữu tỉ được biểu diễn bởi một số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn. Ngược lại, mỗi số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn biểu diễn một số hữu tỉ.

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN:

Dạng 7.1: Nhận biết một phân số viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.

1. Phương pháp giải:

- Viết phân số dưới dạng phân số tối giản với mẫu dương.

- Phân tích mẫu dương đó ra thừa số nguyên tố.

- Nhận xét:

+ Nếu mẫu này không có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.

+ Nếu mẫu này có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Trong hai phân số sau, phân số nào viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn, phận số nào viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn?

55 63

; .

300 360

 

Giải:

+) Xét phân số 55 300,

 ta có: 55 11

300 60 ;

 

 60 = 2².3.5.

Mẫu này có ước nguyên tố 3 khác 2 và 5 nên phân số 11 60

 viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.

(2)

Ta có: 55 11

0,18(3).

300 60

 



+) Xét phân số 63 360,

 ta có: 63 7

360 40;

 

 60 = 2³.5.

Mẫu này không có ước nguyên tố 3 khác 2 và 5 nên phân số 7 40

 viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.

Ta có: 63 7

0,175.

360 40

  



Dạng 7.2: Viết một tỉ số hoặc một phân số dưới dạng số thập phân.

Để viết một tỉ số hoặc một phân số a

b dưới dạng số thập phân ta làm phép chia a : b.

Ví dụ 2: Dùng dấu ngoặc để chỉ rõ chu kì trong thương (viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn) của các phép chia sau:

a) 4,15 : 3 b) 8,75 : 6 c) 15,23 : 11

Giải:

a) 4,15 : 3 = 1,38333… = 1,38(3).

b) 8,75 : 6 = 1,41666… = 1,41(6).

c) 15,23 : 11 = 1,38454545… = 1,38(45).

Dạng 7.3: Viết số thập phân hữu hạn dạng phân số tối giản.

- Viết số thập phân hữu hạn dưới dạng một phân số có tử là số nguyên tạo bởi phần nguyên và phần thập phân của số đó, mẫu là một lũy thừa của 10 với số mũ bằng số chữ số ở phần thập phân của số đã cho.

- Rút gọn phân số nói trên.

Ví dụ 3: Viết các số thập phân hữu hạn sau đây dưới dạng phân số tối giản:

a) 0,42 b) 0,125 c) –8,12

(3)

a) 0,42 = . 100 50 b) 0,125 = 125 1

1000 8. c) –8,12 = 812 203

100 25 .

  

Dạng 7.4: Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số tối giản.

Để giải dạng toán này cần có kiến thức bổ sung sau đây:

Số thập phân vô hạn tuần hoàn gọi là đơn nếu chu kì bắt đầu ngay sau dấu phẩy.

Phần thập phân đứng trước chu kỳ gọi là phần bất thường.

Người ta đã chứng minh được các quy tắc sau:

a) Muốn viết phần thập phân của số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn dưới dạng phân số, ta lấy chu kì làm tử, còn mẫu là một số gồm các chữ số 9, số chữ số 9 bằng số chữ số của chu kì.

b) Muốn viết phần thập phân của số thập vô hạn tuần hoàn tạp dưới dạng phân số, ta lấy số gồm phần bất thường và chu kì trừ đi phần bất thường làm tử, còn mẫu là một số gồm các chữ số 0 bằng số chữ số của phần bất thường.

Ví dụ 4: Hai số 0,(45) và 0,4(54) có bằng nhau không ? Giải:

Cách 1: Áp dụng hai quy tắc viết số thập phân vô hạn tuần hoàn (đơn và tạp) dưới dạng phân số.

Ta có: 0,(45) = 45 5 99 11.

0,4(54) = 454 4 450 5 990 990 11.

  

Vậy 0,(45) = 0,4(54).

Cách 2:

(4)

Ta có: 0,(45) =0,(01).45 = 1 5

.45 .

99 11 0,4(54) = 0,4 + 0,0(54) = 0,4 + 1

10.0,(01).54 = 0,4 + 54 5 99011. Vậy 0,(45) = 0,4(54).

III. BÀI TẬP VẬN DỤNG:

Bài 1: Giải thích vì sao các phân số sau viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn rồi viết chúng dưới dạng đó: ⁵; ⁷ ;¹³; ²¹.

32 125 80 50

 

Bài 2: Trong các số sau, số nào viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn? Giải thích? Biểu diễn các số đó dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc số thập phân vô hạn.

55 ;

300

63 ;

360

21 ; 750

28 . 735

Bài 3: Viết các phân số sau đây dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn, chỉ rõ chu kì sau đó sắp xếp các phân số theo chiều tăng dần của chu kì.

8 17 39 86 4

; ; ; ; .

11 6 110 55 99

Bài 4: Giải thích vì sao các phân số sau viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn rồi viết chúng dưới dạng đó: ⁵; ⁷ ;¹³; ²¹

32 125 80 50

 

Bài 5: Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số tối giản:

a) 0,2(3) b) 1,4(51)

c) 0,(31) d) –3,24(41)

Bài 6: Tìm x, biết:

a) 0,(37).x + 1,2(32) = 1 b) 0,(26).x = 1,2(31)

Bài 7:Tìm số tự nhiên x < 100 sao cho phân số ^x ²

105

 viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.

(5)

a) 2 3, 4(12) . 0,5 3 2  3 3 2  2 b)



0,(5).0,(2) : 3 :



^{1 33} ².1¹ :⁴

3 25 5 3 3

   

   

   

Bài 9: Tìm ba phân số có tổng bằng 37

144, các tử của chúng tỉ lệ với 4:3:5; các mẫu số của chúng tỉ lệ với 1:2:4. Chứng tỏ rằng các phân số này viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn rồi viết dạng thập phân của chúng.

Bài 10: Tính:

a) ⁵ ^{1, 2 8}

 

^{2. 1}² ³

9 3

 

     b) ^{0, 2}

 

¹⁵ ^{1, 4 3}

 

 6

c) ²¹ ^{0,34 5}

 

^:¹ ^{3, 6}

 

5 5

   

 

 

Hướng dẫn giải:

Bài 1: Vì mẫu số của các phân số chỉ có các ước là 2 và 5.

Bài 2:

55 11

300  60

 = 0,18(3)

63 7

0,175 360  40 



21 7

0,028 750  250

28 4

0,38095...

735105 Bài 3:

     

8 17 4

0, 72 ; 2,8 3 ; 0, 4

11 6  9

(6)

   

39 86

0,3 545 ; 1,56 36 .

110 55

   

Các số hữu tỉ theo thứ tự tăng dần là: 86 39 4 8 17

; ; ; ; .

55 110 9 11 6

 Bài 4:

a) 1 304

0,3 3 0, 42

3 75

  

b) 4 4 112

12,(13) 0,(13) 12

9   9  9

Bài 5:

a) Cách 1: ^{0, 2 3}

 

^{23 2} ⁷

90 30

  

Cách 2: Ta chú ý: ¹ ^{0, 1 ;}

 

¹ ^{0, 01}

 

9  99 

 

¹ ^{1 1} ⁷

0, 2 3 0, 2 0,0(1).3 3. .

5 10 9 30

    

b) 1, 4(51) 1, 4 0,0 51

 

⁷ 51. ¹ .0,(01)

5 10

   

7 1 1 479

51. .

5 10 99 330

  

c) ^{0, 31}

 

^{31.0, 01}

 

^31. ¹ ³¹

99 99

  

d) ^{3, 24 41}

 

^{3, 24} ^41. ¹ ^. ¹ ³²¹¹⁷

100 99 9900

 

     

Bài 6:

a) 0,(37).x + 1,2(32) = 1 37 23

x 1 1

99  99   23

x  37 b) 0,(26).x = 1,2(31)  26 229

x 1

99  990  1219 x  260 Bài 7:

(7)

Vậy phân số

105 viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn khi(x2) 21. Từ đó, x có thể là các giá trị {19; 40; 61; 82}

Bài 8:

a) 1 4 1 1 1 508

2 3, 4(12) . 0,5 3

2 3 3 2 2 165

 

       

 

b)



0,(5).0,(2) : 3 :



^{1 33} ².1¹ :⁴ ⁷⁹

3 25 5 3 3 225

     

   

   

Bài 9:

Gọi ba phân số phải tìm là x, y, z x y z 137

   44

4 3 5

x : y : z : : 16 : 6 : 5 1 2 4

 

x 12 1,(09) 11

y 9 0, 4(09) 22

z 15 0,34(09) 44

  



  

  



Bài 10:

a) ⁵ ^{1, 2 8}

 

^{2. 1}² ³

9 3

 

    

5 26 14 337

1 2.

9 90 3 45

    

b) ^{0, 2}

 

¹⁵ ^{1, 4 3}

 

 6

2 5 39 28

1 1

9 6 90 45

   

c) ²¹ ^{0,34 5}

 

^:¹ ^{3, 6}

 

5 5

   

 

 

(8)

1 311 1 6 1009

2 : 3

5 900 5 9 180

 

      

(9)