SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2012- 2013 Môn: Toán lớp 10 Nâng cao
Dành cho tất cả các lớp Buổi thi: … ngày …/…/2012
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi gồm 01 trang
--- Câu 1. (1 điểm) Cho hàm số
2 3
( ) 4 9 f x x
x x
. a. Tìm tập xác định của hàm số.
b. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số.
Câu 2. (2 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình:
a. x2 x 2 4x2. b.
1 2
2
5 3
2 1
x x y
x y x
.
Câu 3. (2,5 điểm) Cho hàm số y(2m5)x22(m1)x3 có đồ thị Cm . a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m2.
b. Chứng minh rằng khi 5
m 2thì Cm luôn cắt đường thẳng ( ) :d y 3x 3tại hai điểm có tọa độ không đổi.
Câu 4. (4 điểm)
1. Cho tam giác ABC, lấy các điểm M N, sao cho MA2MB0,3NA2NC0. a. Biểu thị AM AN, theo AB AC, .
b. Chứng minh M N G, , thẳng hàng, trong đó G là trọng tâm tam giác ABC. c. Giả sử ABa AC, 5 ,a MN 2 3a với a0, tính số đo góc BAC của tam
giác ABC.
2. Trong mặt phẳng tọa độ cho A(1;1), ( 1;3),B H(0;1). a. Chứng minh A B H, , không thẳng hàng.
b. Tìm tọa độ điểm C sao cho H là trực tâm tam giác ABC. Câu 5. (0,5 điểm)
Giải hệ phương trình
2 3
4 x xy y
x y x xz z
x z y yz z
y z
--- HẾT ---
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KỲ 1 – MÔN TOÁN LỚP 10 NĂM HỌC 2012 – 2013
Câu Đáp án Điểm
1.
(1,0 điểm)
a. (0,5 điểm) Hàm số xác định khi 2
3
2 2
4 0 2 2
0 0
9 0
3
x x x
x x
x x
x
0,25
Vậy hàm số có tập xác định D
2;0 0; 2
. 0,25b. (0,5 điểm) Ta có x D thì
( ) ( )
x D
f x f x
. 0,25
Vậy f x( ) là hàm số lẻ. 0,25
2.
(2,0 điểm)
a. (1,0 điểm)
Đặt y x 2 ,y0. Ta có 2 2 0 1 2 2
y y y y
y
(vì y0). 0,5
Từ đó 2 2 2 2 4
2 2 0
x x
x x x
. Vậy tập nghiệm S{0;4}. (Học sinh có thể dùng cách phá dấu giá trị tuyệt đối)
0,5
b. (1,0 điểm)
Điều kiện x0,x y 0. 0,25
1 2 1
2 1
1 1
1 1
5 3 4 3
1 2
2
x x y x x x
x y y
x y
x y x
.
0,5
Vậy hệ có nghiệm ( ; )x y (1;3). 0,25
3.
(2,5 điểm)
a. (1,5 điểm)
Khi m2thì y x2 2x3. Tập xác định DR. 0,25 Bảng biến thiên
x 1
y
4
0.5
Đồ thị: giao với trục tung tại A(0;3), giao với trục hoành tại B( 3;0), (1;0) C , trục đối xứng có phương trình x 1.
0,25
0,5 b. (1,0 điểm)
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
2 2
(2m5)x 2(m1)x 3 3x 3 (2m5)(x x) 0
0,25
Khi 5
m 2 phương trình trên luôn có hai nghiệm x0,x1. 0,25 Từ đó Cm luôn cắt ( )d tại hai điểm có tọa độ không đổi là
(0;3), (1;0)
M N với 5
m 2.
0,5
4.
(4,0 điểm
1a. (0,5 điểm) Từ giả thiết rút ra được 2 , 2
AM AB AN 5AC. 0,5
1b. (1,0 điểm) Ta có MN ANAM 25AC2AB 25
AC5AB
,
1 1 1
2 5
3 3 3
MG MA MB MC MA MB AC ABAC .
0.5
Từ đó 3 5
MG2MN. Vậy M N G, , thẳng hàng. 0.5 1c. (1,0 điểm)
Ta có 2 2 , 2 2
AM AB a AN5AC a. Từ đó áp dụng Định lí cos cho tam giác AMN:
0.25
2 2 2
cos 1
2 . 2
AM AN MN
MAN AM AN
. 0.5
Vậy BACMAN 1200. 0.25
2a. (0,5 điểm) Ta có AH ( 1;0),BH(1; 2) , mà 1 0
1 2
nên AH BH, không cùng phương. Từ đó A B H, , không thẳng hàng.
0,5
2b. (1,0 điểm)
Giả sử C x y( ; ), ta có AC(x1;y1),BC(x1;y3). 0,25 Để H là trực tâm tam giác ABC thì . 0
. 0
AH BC BH AC
0,25
1 0 1
2 1 0 0
x x
x y y
. Vậy C( 1;0) . 0,5
5.
(0,5 điểm
Điều kiện (xy y)( z z)( x)0. Hệ tương đương với
1 1 1 1 7 12
12 7
1 1 1 1 5 12
2( )
2 12 5
3( )
1 1 1 1 1 12
3 12
x y x x xy x y
xz x z y
x z y
yz y z
z
y z z
(Dễ thấy xy0,xz0,yz0).
Vậy hệ có một nghiệm ( ; ; ) 12 12; ; 12 7 5
x y z .
0,5
