Gọi X là tập hợp các tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh của ( )H

(1)

SỞ GD VÀ ĐT HÀ NỘI TRƯỜNG THPT PHÙNG KHẮC

KHOAN-THẠCH THẤT

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2020 – 2021

MÔN THI: TOÁN 11 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)

Đề thi gồm: 01 trang Câu 1. (2,5 điểm) Giải phương trình cos 2x=2sin²x+4 cosx

Câu 2. (4,5 điểm)

a. Giải hệ phương trình :

2 2

2

2 1 2 2

xy x y x y

x y y x x y

 + + = −



− − = −



b. Tính giới hạn

2

1

2020(2021 ) 2020

lim^x 1

I x

→ x

− −

= −

Câu 3. (3,0 điểm)

a. Tìm hệ số của x⁹ trong khai triển nhị thức Niu-tơn

15

2 3

2x x

 − 

 

 

b. Cho một đa giác lồi ( )H có 30 đỉnh A A₁ ₂...A₃₀. Gọi X là tập hợp các tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh của ( )H . Chọn ngẫu nhiên 2 tam giác trong X . Tính xác suất để chọn được 2 tam giác là các tam giác có 1 cạnh là cạnh của đa giác (H).

Câu 4. (3,0 điểm) Cho dãy số

( )

un xác định bởi: ¹

( )

1

7 2

7 4

2 5

n n

n

u u n

u u



+

 =

 

 +

 =

 +

a. Gọi

( )

vn là dãy số xác định bởi 2 1

n n

n

v u u

= −

+ . Chứng minh rằng dãy số

( )

vn là một cấp số nhân lùi vô hạn.

b. Tính giới hạn của dãy số

( )

un Câu 5. (5,0 điểm)

a. Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình bình hành, ( ) là mặt phẳng thay đổi qua AB và cắt các cạnh SC SD, lần lượt tại M N, (M khác ,S C và N khác ,S D. Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng AN và BM . Chứng minh rằng biểu thức AB BC

T = MN − SK có giá trị không đổi.

b.Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C. ' ' ' có đáy là tam giác đều cạnh a, các mặt bên đều là hình vuông. Gọi M N E, , lần lượt là trung điểm của các cạnh AB AA A C, ', ' '. Tính diện tích thiết diện khi cắt lăng trụ ABC A B C. ' ' ' bởi mặt phẳng

(

^MNE

)

^.

Câu 6. (2,0 điểm) ). Cho , ,x y z là 3 số thực dương thỏa mãn x+ + =y z 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2 2 2

xy yz zx

P= xy z + yz x + zx y

+ + +

--- Hết ---

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên học sinh: ………...… Số báo danh:………

ĐỀ CHÍNH THỨC

(2)

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT PHÙNG KHẮC

KHOAN - THẠCH THẤT -

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG KHỐI 11 NĂM HỌC: 2020-2021

MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút

Câ u

Nội dung Điể

m 1 Giải phương trình sau: cos 2x=2sin² x+4 cosx

2.5 cos 2x=2sin2 x+4 cosx

2 2

2

2 cos 1 2(1 cos ) 4 cos 4 cos 4 cos 3 0

cos 3 2 cos 1

2

x x x

x x

 − = − +

 − − =

 =

 

 = −



1.5

+ 3

cosx= 2 (vô nghiệm)

+ 1 2

cos 2 ,

2 3

x= −  = x  +k  k KL: Vậy phương trình có nghiệm 2

3 2 ,

x=   +k  k

1.0

2.a a. Giải hệ phương trình :

( )

2 2

2 1

2 1 2 2 2

xy x y x y

x y y x x y

 + + = −



− − = −

 2.0

ĐK: x1; y0

( )

¹ ² ² ²

( ) ( ) ( )( )

( )( 1 ) 0

0

2 1

xy y x y x y

y x y x y x y x y

x y y x y

x y

 + + + = −

 + + + = − +

 + + − + =

 + =

  = +

0.5

0.5 +) x+ =y 0 (Loại do x1; y0)

+) x=2y+1 thế vào (2) ta được

(2 1) 2 2 4 2 2

2 ( 1) 2 2

( 1)( 2 2) 0

1

2 2 2

y y y y y y

y y y

y y

y

y y

+ − = + −

 + = +

 + − =

 = −

  =  =

+) Với y= −1 ( )L

+) Với ^y^{=  =}² ^x ⁵

(

^TM

)

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm

( ) ( )

^{x y}^; ⁼ ^5;2

0.5

(3)

2.b Tính giới hạn

2

1

2020(2021 ) 2020

lim^x 1

I x

→ x

− −

= − 2,5

( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ( ) )

2 2

2

1 1 2

2

1 2 1 2

2020 2021 2020

2020(2021 ) 2020

lim lim

1 1 2020(2021 ) 2020

2020 1 2020 1 2

lim lim 1

1 2020(2021 ) 2020 2020(2021 ) 2020 2

x x

I x x x

x x

x x x

→ →

− −

= =

− − − +

− − − −

= = = = −

− − + − +

1.0

1.5

3.a Tìm hệ số của x⁹ trong khai triển nhị thức Niutơn

15

2 3

2x x

 − 

 

  1.5

( )

15 15 15

2 2

15 0 15

15 30 3

15 0

3 3

2 . 2

.2 . 3 .

k k k

k

k k k k

k

x C x

x x

C x

−

=

− −

=

 −  = − 

   

   

= −



Hệ số của x⁹ trong khai triển tương ứng với k thỏa mãn: 30 3− k =  =9 k 7 Hệ số của x⁹ trong khai triển

15

2 3

2x x

 − 

 

  là: C₁₅⁷.2 .( 3)⁸ − ⁷ = −C₁₅⁷.2 .3⁸ ⁷

0.5

0.5 0.5

3.b

Cho một đa giác lồi (H)có 30 đỉnh A A₁ ₂...A . Gọi X là tập hợp các tam ₃₀ giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh của (H). Chọn ngẫu nhiên 2 tam giác trong X . Tính xác suất để chọn được 2 tam giác là các tam giác có 1 cạnh là cạnh của đa giác (H).

1.5

Số tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác (H)là: C₃₀³ =4060 Số phần tử của không gian mẫu n( ) =C₄₀₆₀²

Gọi A là biến cố: ’’Hai tam giác được chọn là các tam giác có 1 cạnh là cạnh của đa giác ( )H ”.

+)Số tam giác có 1 cạnh là cạnh của (H): - Chọn ra một cạnh của đa giác (H) có C¹₃₀

- Chọn ra 1 trong 26 đỉnh không kề với đỉnh thuộc cạnh đã chọn của (H) có C¹₂₆

 Số tam giác có 1 cạnh là cạnh của (H) là C C¹₃₀. ₂₆¹ =780

2 780

2 780 2 4060

( ) ( ) 247

6699 n A C

P A C C

 =

 = =

KL: Vậy xác suất để chọn được 2 tam giác là tam giác có 1 cạnh là cạnh của đa giác (H) là 247

6699

0.5

0.5

(4)

4

Cho dãy số

( )

un xác định bởi: ¹

( )

1

7 2

7 4

2 5

n n

n

u u n

u u



+

 =

 

 +

 =

 +

a. Gọi

( )

vn là dãy số xác định bởi 2 1

n n

n

v u u

= −

+ . Chứng minh rằng dãy số

( )

vn là một cấp số nhân lùi vô hạn.

b. Tính giới hạn của dãy số

( )

un

3.0

Ta có:

1 1

1

7 4

2 2 5 2 3 6 1 2 1

7 4 .

1 1 9 9 3 1 3

2 5

n

n n n n

n n

n n n n

n

u

u u u u

v v

u u u u

u

+ +

+

+ −

− + − −

= = = = =

+ + + + +

+

Suy ra ₁ 1

n 3 n

v₊ = v . Vậy

( )

vn là một cấp số nhân với công bội ₁ ¹

1

1 2 1

3, 1 3

q v u u

= = − =

+ Vì q 1 nên

( )

vn là một cấp số nhân lùi vô hạn.

1.0

+)

1 1

1

1 1 1

. 3 3 3

n n

n

vn v q

−

−    

= =    =   limv_n =0

Ta có 2 2

1 1

n n

u v

v u

u v

− +

=  =

+ −

Do đó 2

lim lim 2

1

n n

n

u v

v

= + =

−

0.5

5a Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình bình hành, ( ) là mặt phẳng thay đổi qua AB và cắt các cạnh SC SD, lần lượt tại M N, . Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng AN và BM . Chứng minh rằng biểu thức

AB BC

T = MN − SK có giá trị không đổi.

2.0

(5)

Ta có +)

( ) ( ) (

^AB

)

MN SCD MN AB CD

AB CD



 

 =  





+) ^SK

(

^SAD

) (

^SBC

)

SK AD BC AD BC

 = 

 



Từ đó suy ra:

AB CD CS

MN MN MS

BC CM

SK SM

= =

=

AB BC CS CM MS 1

MN SK MS SM MS

 − = − = =

0.5

5b Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C. ' ' ' có đáy là tam giác đều cạnh a, các mặt bên đều là hình vuông. Gọi M N E lần lượt là trung điểm của các , , cạnh AB AA A C, ', ' '. Tính diện tích thiết diện khi cắt lăng trụ ABC A B C. ' ' ' bởi mặt phẳng

(

^MNE

)

^.

3.0

*) Dựng thiết diện

0.5

S K

N

M

D

B C A

H M

N

E

F

J I

C'

B' A'

B A C

(6)

Trên

(

^{ACC A}^{' '}

)

^gọi ^; ^' ^AI=C'J=^a

NEAC=I NECC = J 2

Trên

(

^ABC

)

^gọi ⁼^a

IM BC=H BH 4

Trên

(

^{BCC B}^{' '}

)

^gọi ^{' '} ^'=^a

HJB C = F FC 4

Thiết diện là ngũ giác MNEFH

1.0

0.5

Tính diện tích thiết diện

2

2 2 2

3 3 3 3 3 3 5 18

3 3 ; ( ) ( ) ;

4 4 4 2 4 4

a a a a a a

IH = MH = = HJ = + = IJ =

 HIJ

vuông tại H

EFJ

IHJ HIJ

2

IHJ MNI JEF IJ

. 2 1 2 . 1 1 1

. ; .

.IJ 3 3 9 . 3 3 9

2 1 3 3 3 5 3 15

. .

3 3 4 4 16

MNI

MNEFH H

S IM IN S JE JF

S IH S JI JH

a a a

S S S S S

= = = = = =

 = − − = = =

0.5

0.5 6 Cho x y z là 3 số thực dương thỏa mãn , , x+ + =y z 2. Tìm giá trị lớn nhất

của biểu thức:

2 2 2

xy yz zx

P= xy z + yz x + zx y

+ + +

2.0

Ta có:

( ) ( )( )

¹

2 2

xy xy xy x y

xy z xy z x y z x z y z x z y z

 

= =   + 

+ + + + + +  + + 

Đẳng thức xảy ra

^x ^y x y

x z y z

 =  =

+ +

Tương tự :

¹

2 2

yz y z

yz x y x z x

 

  + 

+  + +  Đẳng thức xảy ra  =y z

¹

2 2

zx z x

zx y z y x y

 

  + 

+  + + 

Đẳng thức xảy ra

 =z x

1 3

2 2 2 2 2

xy yz zx x y y z z x

P xy z yz x zx y x y y z z x

 + + + 

 = + + + + +   + + + + + =

Dấu bằng xảy ra khi

²

x= = =y z 3

Vậy

_max ³

P =2

khi

²

x= = =y z 3

0.5

Nếu học sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì

vẫn cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định

^.