Đề thi HK1 Toán 8 năm học 2018 - 2019 trường THCS Dịch Vọng - Hà Nội - THCS.TOANMATH.com

(1)

GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888014879 Facebook: https://facebook.com/nhphuclk

Website: https://chiasefull.com Youtube:https://youtube.com/nguyenhuuphuc2017

TRƯỜNG THCS DỊCH VỌNG

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I NĂM HỌC 2018 − 2019

MÔN: TOÁN 8 Thời gian làm bài: 90 phút.

Bài 1. (2,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) 5x y² +10xy

b) x² −2xy + y² − 25 c) x³ − +8 2 (x x − 2) d) x⁴ + x y^{2 2} +y⁴ Bài 2. (2,0 điểm) 1) Tìm x biết:

a) x x( − 3) 5+ x = x² − 8 b) 3(x + 4)− x² − 4x = 0 c) 7x³ +12x² − 4x = 0

2) Tìm a sao cho đa thức x⁴ −x³ + 6x² −x +a chia hết cho đa thức

− +

2 5

x x

Bài 3. (2,0 điểm) Thực hiện phép tính

a) + +

− ≠

2

3 3

2 2 2

( , 0)

2 2

x x

xy xy x y

b) −

− + ≠ ±

− + −

2 2

4 1 13

( 5)

5 5 25

x x

x x x x

(2)

Bài 4. (3,5 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A, AB < AC , đường cao AH . Gọi I là trung điểm của AB. Lấy điểm K đối xứng với B qua H . Qua A dựng đường thẳng song song với BC cắt HI tại D

a) Tứ giác AKHD là hình gì? Chứng minh?

b) Chứng minh tứ giác AHBD là hình chữ nhật. Từ đó tính diện tích của tứ giác AHBD nếu AH = 6cm AB; = 10cm

c) Tam giác vuông ABC phải có thêm điều kiện gì để tứ giác AHBD là hình vuông?

d) M là điểm đối xứng với A qua H . Chứng minh AK ⊥CM Bài 5. (0,5 điểm) Cho các số thực x y, thỏa mãn đẳng thức

+ + + − + =

2 2

5x 8xy 5y 4x 4y 8 0

Tính giá trị của biểu thức: P = (x +y)⁸ +(x +1)¹¹ +(y −1)²⁰¹⁸

(3)

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1. (2,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) 5x y² +10xy

= 5 (xy x + 2)

b) x² −2xy + y² − 25

= (x² −2xy + y²) 25−

= (x −y)² − 5²

= (x − −y 5)(x − +y 5) c) x³ − +8 2 (x x − 2)

= (x³ − 8) 2 (+ x x − 2)

= (x³ −2 ) 2 (³ + x x − 2)

= (x −2)(x² + 2x + 4) 2 (+ x x −2)

= (x −2)(x² + 2x + 4 + 2 )x

= (x −2)(x² + 4x + 4)

= (x −2)(x +2)² d) x⁴ + x y^{2 2} +y⁴

= x⁴ + 2x y^{2 2} +y⁴ − x y^{2 2}

= (x⁴ + 2x y^{2 2} +y⁴)− x y^{2 2}

= (x² + y^{2 2}) −( )xy ²

= (x² + y² −xy x)( ² +y² +xy)

(4)

Bài 2. (2,0 điểm) 1) Tìm x biết:

a) x x( − 3) 5+ x = x² − 8

− + − ² + =

( 3) 5 8 0

x x x x

− + − + =

2 2

3 5 8 0

x x x x

+ = 2x 8 0

2x = −8

= −

= − 8 : 2 4 x

x

b) 3(x + 4)− x² − 4x = 0 + − ² + = 3(x 4) (x 4 )x 0

+ − + =

3(x 4) x x( 4) 0

+ − =

(x 4)(3 x) 0

⇒ x + 4 = 0 hoặc 3 −x = 0

⇒ x = −4 hoặc x = 3 c) 7x³ +12x² − 4x = 0

+ − =

.(7 2 12 4) 0

x x x

− + =

(7 2)( 2) 0

x x x

= 0

x hoặc 7x −2 = 0 hoặc x + 2 = 0

= 0

x hoặc = 2

x 7 hoặc x = −2

(5)

2) Tìm a sao cho đa thức x⁴ −x³ + 6x² −x +a chia hết cho đa thức

− +

2 5

x x

− + − + − +

− + +

− +

−

4 3 2 2

2 2

6 5

5 1

5 5

x x x x a x x

x x x x

x x a x x

a

Suy ra: x⁴ −x³ + 6x² −x +a chia hết cho x² −x + 5 khi

− 5 = 0 ⇒ = 5

a a

Vậy a = 5 thì đa thức x⁴ − x³ + 6x² −x +a chia hết cho đa thức

− +

2 5

x x

−

(6)

Bài 3. (2,0 điểm) Thực hiện phép tính

a) + +

− ≠

2

3 3

2 2 2

( , 0)

2 2

x x

xy xy x y

+ − +

= ² +

3 3

2 (2 2)

2 2

x x

xy xy

+ − − + − −

= + =

− − −

= = =

2 2

3 3 3

2

3 3 3

2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 ( 2) 2

2 2 2

x x x x

xy xy xy

x x x x x

xy xy y

b) −

− + ≠ ±

− + −

2 2

4 1 13

( 5)

5 5 25

x x

x x x x

− −

= + +

− + −

2 2

4 1 13

5 5 25

x x

x x x

− −

= + +

− + − +

4 1 2 13

5 5 ( 5)( 5)

x x

x x x x

+ − − −

= + +

− + + − − +

4( 5) 1( 5) 2 13

( 5)( 5) ( 5)( 5) ( 5)( 5)

x x x x

x x x x x x

+ − + −

= + +

− + + − − +

4 20 1 5 2 13

( 5)( 5) ( 5)( 5) ( 5)( 5)

x x x x

x x x x x x

+ − + + −

= − +

4 20 5 2 13

( 5)( 5)

x x x x

x x

− +

= − +

2 10 25

( 5)( 5)

x x

− −

= =

− + +

( 5)2 5

( 5)( 5) 5

x x

x x x

(7)

Bài 4. (3,5 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A, AB < AC , đường cao AH . Gọi I là trung điểm của AB. Lấy điểm K đối xứng với B qua H . Qua A dựng đường thẳng song song với BC cắt HI tại D

d) M là điểm đối xứng với A qua H . Chứng minh AK ⊥CM Lời giải

Xét ∆IAD và ∆IBH có:

IAD = IBH (Hai góc so le trong, AD / /BC )

= ( ) IA IB gt

AID = BIH (Hai góc đối đỉnh) Do đó: ∆IAD = ∆IBH g c g( . . )

⇒ AD = BH (Hai cạnh tương ứng)

Mà BH = HK (vì K đối xứng với B qua H ) ⇒ AD = HK (1)

H K I

D

B C

A

(8)

Ta lại có: AD / /HK (vì AD / /BC và H K, ∈BC ) (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AKHD là bình bình hành (tứ giác có 2 cạnh đối song song và bằng nhau)

Xét tứ giác AHBD có:

/ /

AD BH (vì AD / /BC H, ∈BC )

= ( )

AD BH cmt

Suy ra tứ giác AHBD là hình bình hành (tứ giác có 2 cạnh đối song song và bằng nhau)

Mà AHB = 90⁰ (vì AH ⊥ BC)

Do đó: AHBD là hình chữ nhật (Hình bình hành có 1 góc vuông)

Xét ∆AHB vuông tại H , theo định lí Pitago ta có:AB² = AH² + HB²

⇒ HB² = AB² −AH² = 10² −6² = 100− 36 = 64

⇒ HB = 8cm

Diện tích hình chữ nhật AHBD là: S_AHBD = AH BH. = 6.8 = 48(cm²)

H K I

D

B C

A

(9)

Hình chữ nhật AHBD là hình vuông khi AH = BH

⇒ ∆AHB cân tại H . Mà AHB = 90⁰

⇒ ∆AHB vuông cân tại H

⇒ ABH = BAH = 45⁰ (vì ABH = BAH và ABH +BAH = 90⁰) Ta có: ABH +ACB = 90⁰ (∆ABC vuông tại A, hai góc nhọn phụ nhau)

= 90⁰ − = 90⁰ −45⁰ = 45⁰

ACB ABH

⇒ ABC = ACB = 45⁰

⇒ ∆ABC vuông cân tại A

Vậy∆ABC vuông cân tại A thì tứ giác AHBD là hình vuông

H K I

D

B C

A

(10)

d) M là điểm đối xứng với A qua H . Chứng minh AK ⊥CM

Gọi N là giao điểm của AK và CM. Ta chứng minh KNC = 90⁰ Xét ∆ABK có AH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên

∆ABK cân tại A⇒ ABK = AKB Mà AKB =CKN (Hai góc đối đỉnh)

⇒ ABK =CKN (3) Xét ∆AHC và ∆MHC có:

HC là cạnh chung

= = 90⁰ AHC MHC

= ( ) HA HM gt

Do đó: ∆AHC = ∆MHC c g c( . . )

⇒ ACH = MCH (Hai góc tương ứng) (4)

Từ (3) và (4) suy ra: CKN +NCK = ABK + ACH

Mà ABK + ACH = 90⁰(∆ABC vuông tại A, hai góc nhọn phụ nhau)

⇒CKN + NCK = 90⁰

N

M H K I

D

B C

A

(11)

Xét ∆CKN có: CKN + NCK = 90⁰

⇒ KNC = 90⁰

⇒ AK ⊥CM

(12)

Bài 5. (0,5 điểm) Cho các số thực x y, thỏa mãn đẳng thức

+ + + − + =

2 2

5x 8xy 5y 4x 4y 8 0

Tính giá trị của biểu thức: P = (x +y)⁸ +(x +1)¹¹ +(y −1)²⁰¹⁸ Lời giải

+ + + − + =

2 2

5x 8xy 5y 4x 4y 8 0

⇒ x² + 4x² + 8xy + y² + 4y² + 4x − 4y + 4 + 4 = 0

⇒ (x² + 4x + 4) (+ y² − 4y + 4) (4+ x² + 8xy + 4 )y² = 0

⇒ (x +2)² +(y −2)² + 4(x² +2xy +y²) = 0

⇒ (x +2)² +(y −2)² + 4(x +y)² = 0 Ta có:

+ ≥ 

− ≥  ⇒ + + − + + ≥

+ ≥ 

2

2 2 2 2

2

( 2) 0

( 2) 0 ( 2) ( 2) 4( ) 0

4( ) 0

x

y x y x y

x y

với mọi x y, ∈ ℝ

Dấu “=” xảy ra khi

 + =  + =

 = −

  

− = ⇒ − = ⇒

   =

 + =  + = 



2 2

2

( 2) 0 2 0

( 2) 0 2 0 2

0 2

4( ) 0

x x

y y x

x y y x y

Thay x = −2;y = 2 vào biểu thức P = (x +y)⁸ +(x +1)¹¹ +(y −1)²⁰¹⁸

= − +( 2 2)⁸ + − +( 2 1)¹¹ +(2 1)− ²⁰¹⁸ P

= + − +

=

11 2018

0 ( 1) 1 0 ( 1) 1 0

P P P