Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM Khoa Khoa học ứng dụng
Bộ môn Toán
ĐÁP ÁN MÔN ĐẠI SỐ Ngày thi: 22/12/2017
Câu Ý Đáp án Điểm
C. 1
a
det 25, det 5A 5 det A 5 25 5 . 2 8 6 4
3 4 3
, det 0. 0.5
6 2 4 3 5 4
3 2 9 16 ,
det 2 9 16.
0.5
b
det 5 det 3 2
2 3 5 1 ,
det 0 ⇔ 1 ∨ 5.
Với λ 1:
2 2 0 2 2 0 0 0 4
~ 1 1 0 0 0 1
0 0 0 , ⇔ 1
1 0
, ∈ .
Vậy không gian riêng của A ứng với trị riêng 1 là 1 Span 1 1 0 và một cơ sở là 1 1 0
0.5
Với λ 5:
5 2 2 0
2 2 0
0 0 0
~ 1 1 0 0 0 0
0 0 0 , ⇔ 1
1 0
1 1 0
, , ∈ .
Vậy không gian riêng của A ứng với trị riêng 5 là 5
Span 1 1 0 , 0 0 1 và một cơ sở là 1 1 0 , 0 0 1
0.5
c
Đặt √ , √ , thì , , là một cơ sở trực chuẩn của gồm các
véc tơ riêng của A. 0.5
Đặt và diag 1,5,5 . Khi đó P là một ma trận trực giao và phép đổi biến là phép biến đổi trực giao để đưa dạng toàn phương Q về dạng chính tắc:
5 5 .
0.5
C. 2 a
Đặt . Ta có det 2 0 nên họ các véc tơ cột của H là độc lập tuyến tính, nghĩa là họ véc tơ F =
{
u u u1, ,2 3}
là độc lập tuyến tính. Từ là không gian ba chiều và F có ba véc tơ ta suy ra rằng F là một cơ sở của .0.5
Giả sử . Phương trình véc tơ này tương đương với hệ phương trình tuyến tính có ma trận bổ sung . Giải hệ này ta được 20, ,
. Vậy tọa độ của véc tơ theo cơ sở F là 20 .
0.5
b
Ta có
a a
3
1 2
2 3 2 3
| 2 3 0 | , Span 1 , 0 .
0 1
a b c
W b a b c b b c
c c
ìé ù ü ìé ù ü ì é ù é ùü
ï ï ï- + ï ï - ï
ïê ú ï ïê ú ï ï ê ú ê úï
ï ï ï ï ï ï
ïê ú ï ïê ú ï ï ê ú ê úï
ï ï ï ï ï ï
=íïïïïïîê úê úê úë û Î + - = ýïïïïïþ=íïïïïïîêêêë úúúû Î ýïïïïïþ= íïïïïïî = êêêë úúúû =ê úê úê úë ûýïïïïïþ
Dễ
thấy, họ véc tơ , là một hệ sinh độc lập tuyến tính của W. Vậy B là một cơ sở của W và dim 2.
1.0
c
Do , là một cơ sở của W nên
∈ | ∈ | ,
∈ | ⋅ 0, ⋅ 0 .
0.5
Ta có ⋅ 0, ⋅ 0 ⇔ 2 0,3 0 ⇔ 2 , 3 . Vậy
2 3 | ∈ Span 1 2 3 . 0.5
d
Ta có dim 1 nên mọi họ con gồm 1 véc tơ khác véc tơ không của là một cơ sở. Do đó họ S =
{
2017;2018}
(có chứa hai véc tơ khác 0 ) không là một cơ sở của nhưng là một hệ sinh của . Một cơ sở của ta có thể lấy là 2017 (hoặc đơn giản {1}).1.0
C. 3
Ta có Ker Nul ∈ | và
1 0 2 1 0 2 1 0 2 2 1 1 0 1 3 0 1 3 . 1 2 4 0 2 6 0 0 0 A
é - ù é - ù é - ù
ê ú ê ú ê ú
ê ú ê ú ê ú
=ê - ú ê ú ê ú
ê ú ê ú ê ú
ê ú ê ú ê ú
ë û ë û ë û
0.5
Vậy Nul ∈ | 2 , 3 Span 2 3 1 và chiều
của KerT là 1. 0.5
C. 4
Ba mặt phẳng có phương trình đã cho chỉ có một điểm chung duy nhất khi và chỉ khi hệ phương trình
( ) ( )
( ) ( )
1 2 3
: 3,
: 1,
: 2 2 2 2
x y mz
x my z m
m x y z
w w w
ìï + + =
ïïïï + - = +
íïïï + + - =
ïïî
có duy nhất một nghiệm. Điều này xảy ra khi và chỉ khi ma trận hệ số của hệ có định thức khác 0 (vì trong trường hợp đang xét ma trận này là ma trận vuông).
0.5
Ta có ma trận hệ số của hệ là
1 1
1 1
2 2 2 có định thức là 2 2.
Vậy hệ có duy nhất nghiệm khi và chỉ khi 2 2 0 (phương trình 2 2 0 chỉ có duy nhất một nghiệm xấp xỉ 0.6956).
0.5
C. 5
Trước hết phép nhân ma trận cũng là một phép toán trên H. Thật vậy, giả sử 0
0 ∈ , 0
0 ∈ . Khi đó 0
0 ∈ .
Do phép nhân hai ma trận có tính chất kết hợp nên phép toán này trên H cũng có tính chất kết hợp.
Dễ thấy phần tử đơn vị của H là 1 0
0 1 vì với mọi ∈ .
0.5
Phần tử nghịch đảo của 0
0 ∈ chính là 0
0 ∈ (để ý rằng 0).
Cuối cùng, với 0
0 ∈ , 0
0 ∈ ta có 0
0 0
0 , nghĩa là phép toán này trên H giao hoán.
Từ tất cả những điều chứng tỏ trên ta suy ra rằng H là một nhóm Aben.
0.5
Tổng điểm 10.0
