a. Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai?

Cô: Lê Thị Thanh Phương Tổ Toán

Trường THPT Bình Chánh

Xét 2 mệnh đề chứa biến

a. Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai?

b. Với mọi thì P(n), Q(n) đúng hay sai?

( ) :"3

3 1"& ( ) :"2

", * P n  + n Q n  n n 

* n  Trả lời:

a. P(n) Q(n)

n ? 3n+1

1 2 3 4 5

3

n ? n

1 2 3 4 5

2

b. Với mọi P(n) sai; Q(n) chưa thể khẳng định chắc chắn là đúng hay sai.

* n 

3 9 27

81 243

4 7 10 13 16











2

8 16

32 5

4 3 2 1 4











Đ Đ Đ Đ

Đ

Đ

Đ

Đ

Đ

S

Chương III: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

§1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC

1. Phương pháp qui nạp toán học

Để chứng minh mệnh đề đúng với mọi ta thực hiện theo các

bước sau: n *

1 n =  k

B1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n=1

B2: Giả sử mệnh đề đúng với (Giả thiết qui nạp-GTQN) Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1

2. Ví dụ áp dụng:

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi n N*, ta có:

( 1)

1 2 3 ... (1)

2 n n n + + + + + =

Lời giải:

+) Với n = 1, ta có , vậy đẳng thức (1) đúng.

= + =

+) Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là (GTQN) ( 1) 1 2 3 ...

2 k k k + + + + + =

Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k+1, tức là phải chứng minh:

( 1)[( 1) 1]

1 2 3 ... ( 1) (2)

2

k k

k k + + +

+ + + + + + =

Thật vậy:

VT (2) = + + + + + + (1 2 3 ... k ) ( k 1)

( )

2 2

2 1

( 1) 3 2

( 1)

2 2 2

k k k

k k k k

k + + +

+ + +

= + + = =

  ( )

( 1) ( 1) 1 ( 1) 2 3 2

(2) 2 2 2

k k k k k k

VP = + + + = + + = + +

Vậy với mọi n N*, ta có: ( 1)

1 2 3 ... (1)

2 n n n + + + + + =

(2) (2)

VT VP

 =

Lời giải:

+) Với n = 1, ta có ,vậy Q(n) đúng. VT = 2

=  2 VP = 1

+) Giả sử Q(n) đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là: 2

 k ( G TQN )

Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi n N*, ta có: Q n ( ) : "2

 n " đúng.

Ta phải chứng minh Q(n) đúng với n = k+1, tức là phải chứng minh: 2

 + k 1

Thật vậy, theo GTQN: 2

 k

2.2

2. k

 

Vậy với mọi n N*, ta có: Q n ( ) : "2

 n " đúng.

Kiểm tra Q(n) đúng với n=1

( )

2

k k k 1 vì k 1

  +  + 

2

k 1

  +

§1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC 1. Phương pháp qui nạp toán học

Để chứng minh mệnh đề đúng với mọi ta thực hiện theo các

bước sau:

n  *

1 n =  k

B1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n=1

B2: Giả sử mệnh đề đúng với (Giả thiết qui nạp-GTQN) Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1

2. Ví dụ áp dụng:

Chú ý: (SGK- 82)

B2: Giả sử mệnh đề đúng với (Giả thiết qui nạp-GTQN) Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1

B2: Giả sử mệnh đề đúng với n=k ≥ p (Giả thiết qui nạp-GTQN) Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1

Để chứng minh mệnh đề đúng với mọi n ≥ p ta thực hiện theo các bước sau:

B1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n=p

:   n N * u

= 13

− 1 6 (1) CMR

1

1

13 1 12 6

u = − =

1

1

13

1 6 u

=

−

▪ Với n = 1 ta có: (Mệnh đề (1) đúng)

▪ Giả sử mệnh đề (1) đúng với n = k≥ 1, nghĩa là:

Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k+ 1, tức là : Thật vậy:

13

1 6 u

= −

1

1

13

1 13.13

1 u

=

− = −

13(13

1) 12

= − +

13 u

12 6

= +

Vậy với mọi n N*, ta có: u

= 13

− 1 6 13.13

13 12

= − +

( )

* 2

: 1.4 2.7 ... (3 1) ( 1) 2

n n n n n

  + + + + = +

CMR

▪ Với n = 1, ta có VT= 1.(3.1+1) =4 = 1.(1+1)²=VP, đẳng thức (2) đúng

▪ Giả sử đẳng thức đúng với n = k≥ 1, nghĩa là:

1.4 + 2.7 ... + + k k (3 + = 1) k k ( + 1)

Ta phải chứng minh đúng với n = k+ 1, tức là :

   

( )

1.4 2.7 ... + + + k k (3 + + + 1) ( k 1) 3( k + + = 1) 1 ( k + 1) ( k + + 1) 1 *

Thật vậy:

 

(*) [1.4 2.7 ... (3 1)] ( 1) 3( 1) 1 VT = + + + k k + + + k k + +

 

( 1)

( 1) 3( 1) 1

k k k k

= + + + + + ( k 1)[ ( k k 1) 3 k 4]

= + + + + ( k 1)( k

4 k 4)

= + + + ( k 1)( k 2)

= + + (*)

= VP

(GTQN)

Vậy với mọi n N*, ta có: 1.4 2.7 ... + + + n n (3 + = 1) n n ( + 1)

( k 1)( k 2)

= + +

3

 3 k + 1

( )

: n    2, n N : 3

 3 n + 1 3 CMR

▪ Với n = 2, ta có VT(1) = 9 > 7 = VP(1), bất đẳng thức (3) đúng

▪ Giả sử bất đẳng thức (3) đúng với n = k≥ 1, nghĩa là:

Ta phải chứng minh bđt đúng với n = k+ 1, tức là : Thật vậy: theo giả thiết qui nạp có:

3

 3( k + + 1) 1

3

 3 k +  1 3

 3(3 k + 1)

3

9 k 3

  +

3

3 k 4 6 k 1

  + + −

6 k −  1 0 : 3

 + 3 k 4

V× nª n

Vậy: n    2, n N cã : 3

 3 n + 1

•Nêu phương pháp qui nạp toán học ?

•Chú ý khi chứng minh mệnh đề đúng với số tự nhiên n ≥ p ?

• Học thuộc và nắm chắc qui trình chứng minh bài toán bằng phương pháp qui nạp.

• Các bài tập về nhà 1,2,3,4,5 SGK/82+83.

• Đọc bài : Bạn có biết Suy luận qui nạp.

§ 1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC