Bài 2. Khối đa diện lồi và khối đa diện đều A. Lý thuyết
I. Khối đa diện lồi.
Khối đa diện lồi (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của (H) luôn thuộc (H). Khi đó đa diện xác định (H) được gọi là đa diện lồi.
Ví dụ 1. Các khối chóp tam giác, tứ giác, các khối lăng trụ tam giác, khối lăng trụ tứ giác… đều là những khối đa diện đều.
- Người ta chứng minh được rằng, một khối đa diện là khối đa diện lồi khi và chỉ khi miềm trong của nó luôn nằm về một phía đối với mỗi mặt phẳng chứa một mặt của nó.
II. Khối đa diện đều.
- Định nghĩa: Khối đa diện đều là khối đa diện lồi có tính chất sau đây:
a) Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh.
b) Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt.
Khối đa diện đều như vậy được gọi là khối đa diện đều loại {p; q}.
Từ định nghĩa trên ta thấy các mặt của khối đa diện đều là những đa giác đều bằng nhau.
- Định lí: Chỉ có năm loại khối đa diện đều. Đó là các loại {3; 3}; loại {4; 3};
loại {3; 4}; loại {5; 3} và loại {3; 5}.
Tùy theo số mặt của chúng, năm loại khối đa diện đều kể trên theo thứ tự gọi là các khối tứ diện đều, khối lập phương, khối bát diện đều (hay khối tám mặt đều), khối mười hai mặt đều và khối hai mươi mặt đều.
Bảng tóm tắt của năm loại khối đa diện đều.
Loại Tên gọi Số đỉnh Số cạnh Số mặt
{3; 3} Tứ diện đều 4 6 4
{4; 3} Lập phương 8 12 6
{3; 4} Bát diện đều 6 12 8
{5; 3} Mười hai mặt đều 20 30 12
{3; 5} Hai mươi mặt đều 12 30 20
Ví dụ 2. Chứng minh rằng nếu khối đa diện có các mặt là những tam giác thì tổng các mặt của nó phải là một số chẵn.
Lời giải:
Gọi số cạnh và số mặt của đa diện lần lượt là c và m .
Vì mỗi mặt có ba cạnh và mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên ta có số cạnh của đa diện là 3m
c 3m 2c
2 .
Do đó, 3mchia hết cho 2 mà 3 không chia hết cho 2 nên m phải chia hết cho 2, nghĩa là m là số chẵn.
Vậy nếu khối đa diện có các mặt là những tam giác thì tổng các mặt của nó phải là một số chẵn.
B. Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho bốn hình sau, hỏi có bao nhiêu hình đa diện lồi?
Lời giải:
Trong bốn hình đã cho thì chỉ có hình 3 là hình đa diện lồi.
Bài 2. Cho khối tứ diện đều ABCD. Chứng ming rằng:
a) Trọng tâm các mặt của khối chóp đó là 4 đỉnh của 1 tứ diện đều.
b) Các trung điểm các cạnh của khối đó là các đỉnh của một khối tám mặt đều.
Lời giải:
a) Gọi Q và M lần lượt là trung điểm của CD; CB.
Gọi G1; G2; G3; G4 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC; ACD; ABD và BCD Gọi a là độ dài cạnh của tứ diện, ta có
1 2
2 2 a a
G G MQ .
3 3 2 3
Tương tự; G1G4 = G1G3 = G2G3 = G2G4 = G3G4 = a
3 nên G1G2G3G4 là một tứ diện đều cạnh a
3 .
b) Gọi N; P; R; S lần lượt là trung điểm các cạnh AD; AB; AC; BD Theo tính chất đường trung bình, ta có:
QM = QN = QS = QR = PM = PN = PS = PR = a 2.
Do đó các trung điểm các cạnh của khối đó là các đỉnh của một khối tám mặt đều.
Bài 3. Chứng minh rằng tâm các mặt của hình lập phương là các đỉnh của một bát diện đều.
Lời giải:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.
Giả sử độ dài cạnh của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ là a.
Gọi M; N; P; Q; E; F lần lượt là tâm các mặt của hình lập phương.
Ta có: 1 a 2
AC a 2 MN AC
2 2
Tương tự ta tính được:
MP = MQ = ME = MF = NP = NQ = NE = NF = PQ = PE = PF= QE = QF = EF = a 2
2 Do đó, MNPQEF là một bát diện đều.
