Đề tuyển sinh lớp 10 chuyên môn Toán (chuyên) năm 2022 - 2023 sở GD&ĐT Vĩnh Long - THCS.TOANMATH.com

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO

VĨNH LONG KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN

NĂM HỌC 2022 – 2023 Môn: TOÁN (chuyên) Khóa thi ngày: 04/6/2022

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (2.0 điểm)

a) Cho biểu thức

3 2 1 1

8 2 :

   

  

 

 

x x

P x x x x _với x0 _vàx4. Rút gọn biểu thức

P và tìm giá trị của P _tại x14 6 5 _.

b) Tính giá trị biểu thức

3 2 2 3 2 2

17 12 2 17 12 2

  

  _.

Câu 2. (1.0 điểm) Cho phương trình x²(m2)x m  3 0 ₍x là ẩn số, mlà tham số).

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x¹, ² sao cho biểu thức A2x x1 2



x1x2



²3 đạt giá trị lớn nhất.

Câu 3. (1.5 điểm)

a) Giải phương trình x 1 2x 1 5_.

b) Giải hệ phương trình ²

( 3)(2 ) 30

5 13

  



  



x x x y

x x y _.

Câu 4. (1.5 điểm)

a) Cho ^{A2 1}



^{202322023 ... 20222023}



. Chứng minh rằng A chia hết cho 2022_. b) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình 2x²5y² 4x21_.

Câu 5. (2.0 điểm) Cho đường tròn

 

^O đường kính AB_{. Gọi} H là điểm thuộc đoạn thẳng AO ₍H  A_, H O_{). Qua H} vẽ đường thẳng vuông góc với AB, đường thẳng này cắt đường tròn

 

^O _{tại C và D}. Hai đường thẳng BC _{và AD} cắt nhau tại M _{. Gọi} N là hình chiếu của M _trên đường thẳng AB_.

a) Chứng minh ACN  AMN _. b) Chứng minh CH² NH OH. _.

c) Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt NC _tạiE. Chứng minh đường thẳng EB _{đi qua} trung điểm của đoạn thẳng CH_.

Câu 6. (1.0 điểm) Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn



^{O R;}



, trên dây cung DC _lấy điểm E _{sao cho} DC3DE, đường thẳng AE cắt cung nhỏ DC _{tại M . Gọi I} là giao điểm của

BM _và DC_{, vẽ} OH vuông góc với DM _tại H . Tính độ dài các đoạn thẳng AE _và DI _theo R_. Câu 7. (1.0 điểm) Cho hai số thực không âm a_, b_.

a) Chứng minh ^{a b  2}



^a2b2



_.

ĐỀ CHÍNH THỨC

b) Biết a²b² 6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2

 2

  P ab

a b _. - HẾT -

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ... SBD: ...

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH LONG NĂM HỌC 2022 – 2023

Môn thi: TOÁN (chuyên) HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu 1. (2.0 điểm)

a) Cho biểu thức

3 2 1 1

8 2 :

x x

P x x x x

   

     với ^x0 và^x4. Rút gọn biểu thức ^P và

tìm giá trị của ^P tại x 14 6 5_.

b) Tính giá trị biểu thức

3 2 2 3 2 2

17 12 2 17 12 2

  

  .

Câu Điểm

1 2.0

Với ^x0;x4, ta có:

3 2 1 1

8 2 :

   

    

x x

P x x x x



^{x x2}

 

^{3x x2 2x 4}

 

^{x x2}

 

^{2x x2 4x 4}



^{. x}

     

 

 

       

 

0.25



^{x 2}



^{xx22 x 4}



^{. x x 2 xx 4.}

 

 

   0.25

Ta có x14 6 5 9 2.3. 5 5     



3 5



²  x



3 5



²  3 5  3 5. 0.25 Khi đó, ta có: P14 6 5 2. 3³



⁵ 5



4 ^{24 8 53} ⁵ 8. 3



³ ⁵5



^18.

      0.25

b)



^{3 2 23 2 2}



^{2 }



^{3 2 23 2 2}



^{2  3 2 21  3 2 21 0.5}

1 1 1 1

2 1 2 1 2

2 1 2 1

    

 

 

(vì 2 1 0  )

0.5

Câu 2. (1.0 điểm) Cho phương trình x²(m2)x m  3 0 _(x là ẩn số, mlà tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x¹, ² sao cho biểu thức A2x x1 2



x1x2



²3 đạt giá trị lớn nhất.

2 1.0

Ta có ^{ }



^m2



^{24(m 3) m28m16}



^m4



^{2 0}

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt khi   0 (m4)²   0 m 4 ^0.25

1 2 2

x x  m

 0.25

ĐỀ CHÍNH THỨC

 

²

 

²

1 2 1 2 1 2 1 2

2 3 6 3

A x x  x x   x x  x x   m²10m19 0.25 6 ( 5)2 6,

A m m

      _.

Dấu đẳng thức xảy ra khi m   5 0 m 5 (thỏa điều kiện m4) Vậy ^A đạt giá trị lớn nhất là ^{Max A6} khi m5.

0.25

Câu 3. (1.5 điểm)

a) Giải phương trình x 1 2x 1 5_. b) Giải hệ phương trình ²

( 3)(2 ) 30

5 13

x x x y x x y

  

   

 .

3 1.5

Ta có x 1 2x 1 5 1

3 2 2 ( 1)(2 1) 25

x

x x x

 

      

0.25

2

1

2 2 3 1 27 3

x

x x x

 

      ^{2 2}

1 9

4(2 3 1) (27 3 ) x

x x x

  

      .

0.25

2

1 9

150 725 0 x

x x

  

      x 5. 0.25

b) Hệ đã cho tương đương với

2 2

( 3 )(2 ) 30

3 2 13

x x x y

x x x y

   



   



Suy ra ^x23x và ^{2x y} là 2 nghiệm của phương trình

2 10

13 30 0

3 t t t

t

 

     

Vậy hệ đã cho tương đương với

2 3 10

2 3 ( ) x x

x y I

  

  

 hoặc

2 3 3

2 10 ( ) x x

x y II

  

  



0.25

Giải (I):

2 2 2 1

3 10 3 10 0

5 13

x y

x x x x

x y

   

           

Giải (II):

2

3 21

13 21

3 3 0 2

3 21

13 21

2

x y

x x

x y

     



   

     



Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm

3 21

;13 21 2

   

 

 

 ;

3 21

;13 21 2

   

 

 

 ;



^{2; 1}



_;



^5;13



_.

0.5

Câu 4. (1.5 điểm)

a) Cho ^{A2 1}



^{202322023 ... 20222023}



. Chứng minh rằng A chia hết cho 2022_. b) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình 2x²5y²4x21_.

4 1.5

a) Với 2 số nguyên dương a b, bất kì ta có: a²⁰²³b²⁰²³(a b )_. Ta có:

2023 2023

2023 2023

2023 2023

2 1 2021 2022 2 2 2020 2022 ...

2 1010 1012 2022

  

 

  

 

  

 







0.25

Và 2.1011²⁰²³2022 ; ^20222023²⁰²² 0.25

Suy ra ^{A2 1}



^{202322023 ... 20222023}



²⁰²² 0.25 b) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 2x²5y²4x21 ₍₁₎

 

²

 

2 2 2

2x 5y 4x212 x1 5 4y 0.25

Mà ²



^x1



^{2 05 4}



^y2



^{ 0 y2  4 y2}

 

^{1; 4} 0.25 + y² 1vào (1) tìm được

2 2

2 4 16 0

4 x x x

x

 

      

+ y² 4vào (1) tìm được

2

2 6

2 4 1 0 2

2 6

2 x

x x

x

  



   

  



Vậy các nghiệm nguyên của phương trình là:

  

2,1 ; 2, 1 ; 4,1 ; 4, 1

 



 

 



.

0.25

Câu 5. (2.0 điểm) Cho đường tròn

 

^O đường kính AB. Gọi ^H là điểm thuộc đoạn thẳng ^AO (H  A_, H O). Qua ^H vẽ đường thẳng vuông góc với ^AB, đường thẳng này cắt đường tròn

 

^O

tại C và ^D. Hai đường thẳng BC và ^AD cắt nhau tại^M. Gọi N là hình chiếu của ^M trên đường thẳng ^AB.

a) Chứng minh ACN AMN _. b) Chứng minh CH² NH OH. _.

c) Tiếp tuyến tại ^A của đường tròn (O) cắt NC tại^E. Chứng minh đường thẳng ^EB đi qua trung điểm của đoạn thẳng CH .

5 2.0

a) Tứ giác ^MNAC có MNA MCA  90^o 90^o 180^o 0.25

nên ^MNAC là tứ giác nội tiếp. 0.25

ACN AMN

  _. 0.25

b) Ta có: ACN AMN

 

AMN ADC (do MN//DC vì cùng vuông góc với AB) ABCD suy ra H là trung điểm của ^CD.

0.25 Tam giác ^ACD là tam giác cân do AH vừa là đường cao, vừa là trung tuyến.

Suy ra ADC ACD . Từ đó ta có: ACN ACD_. ^0.25

Ta có: NCO ACN ACO ACD OAC     90^O_{. Suy ra} CN CO.

 NCO vuông tại ^C CH² NH OH. . ^0.25

c) ACE EAC (cùng bằng 1  2sd AC

). AEC cân tại E ^E thuộc đường trung trực của^AC. Gọi F  AEBM

Ta có ^C thuộc đường tròn đường kínhFA. Nên đường trung trực của ^AC phải cắt đường kính FA tại tâm của đường tròn này. Suy ra E là trung điểm củaFA.

0.25

Gọi ^{K CHBE}. Ta có: ^{CH / /FA} nên

CK KH BK

FE EA BE

 

  

 . Mà FE EA nên ^{CK KH} . Vậy BE đi qua trung điểm của ^CH .

0.25

Câu 6. (1.0 điểm) Cho hình vuông ^ABCD nội tiếp đường tròn



^{O R;}



, trên dây cung ^DC lấy điểm E sao cho ^DC3DE, đường thẳng AE cắt cung nhỏ ^DC tại M . Gọi I là giao điểm của

BM và ^DC, vẽ ^OH vuông góc với DM tại H. Tính độ dài các đoạn thẳng AE và DI theo R.

6 1.0

Ta có AD R 2_;

2 3 DE R

;

2

2 2 2 2 2 5

2 9 3

AE AD DE  R  R  R

. 0.25

Tam giác DOM _{cân tại} O _mà OH DM Suy ra

 1 1  

2 2

DOH  DOM  sd DM DAM

DH DE

OHD ADE

OD AE

  ∽    10

  R10

DH 10

5 DM R

 

0.25

Ta có ^{DEM ∽ AEC} _(g-g)

ME DE MD

CE AE AC

  

2 2

. 1

10 ME DE MD

AE CE AC

   1 1

5 6

ME ME

AE AM

   

0.25

// 1

6

EI ME

EI AB

AB AM

   1 2

6 6

EI AB R

  

2 2 2

3 6 2

R R R

DI DE EI

     

.

0.25

Câu 7. (1.0 điểm) Cho hai số thực không âm a, b. a) Chứng minh ^{a b  2}



^a2b2



_.

b) Biết ^{a2b2 6}. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2 P ab

a b

  .

7 1.0

a) Ta có: ^{2ab a 2b2 }



^{a b}



^{2 2}



^a2b2



^{  a b 2}



^a2b2



_. ^0.25

b)

 

²



^{2 2}

  

^{2 4 2}

2 2

2 2 2 2 2

     

      

       

a b a b a b

P ab a b

a b a b a b a b 0.25

2 3 2 2 2 3

      

a b a b

2 1

2 1 3

 

  

a b

Vậy

1 3 3 3

2 3 2

1 3 2

     P 

.

0.25

Dấu ^{“ ”} xảy ra khi

2 2 6

3 a b a b

a b

 

 

  

 

. Vậy

3 3 3

x 2

Ma P 

khi a b  3_.

0.25

- HẾT -