Đoàn Ngọc Dũng -

TRẮC NGHIỆM TÍCH PHÂN

GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG

I. ĐỊNH NGHĨA

Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên một khoảng K, a và b là hai phần tử bất kỳ của K, F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của f(x) và được ký hiệu là



^b

a

dx ) x (

f . Vậy theo định nghĩa, ta có : f(x)dx F(x)^b_a F(b) F(a)

b

a







 (công thức Newton-Leibniz)

 Dấu



là dấu tích phân.

 Biểu thức f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân, f(x) là hàm số dưới dấu tích phân.

 f(x)dx là vi phân của mọi nguyên hàm của f(x).

 a và b gọi là các cận của tích phân (a là cận dưới, b là cận trên), x gọi là biến số lấy tích phân.

 Chú ý :

 Giả thiết hàm số f(x) liên tục trên K đảm bảo rằng nó có nguyên hàm trên K.

Do đó công thức (1) sẽ vô nghĩa nếu f(x) không liên tục trên [a ; b]. Ví dụ: ¹

1

1dx





x là không tính được.

Vì vậy, khi tính tích phân



^b

a

dx ) x (

f , rất cần kiểm tra tính liên tục của hàm số f(x) dưới dấu tích phân, vì theo định nghĩa ta chỉ xét tích phân các hàm số liên tục.

 Việc gọi a là cận dưới, b là cận trên của tích phân không có nghĩa là phải có a < b. Tuy nhiên nếu a < b thì đoạn [a ; b] còn gọi là đoạn lấy tích phân.

 Tích phân (1) chỉ phụ thuộc vào hàm số f(x) và các cận của tích phân mà không phụ thuộc vào ký hiệu biến số tích phân. Nói cách khác, các tích phân:



^b

a

dx ) x (

f ,



^b

a

dt ) t ( f ,



^b

a

du ) u (

f , … là như nhau.

 Công thức (1) cũng cho cách tính tích phân theo 2 bước:

 Bước 1 : Tính nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) trên đoạn [a ; b].

 Bước 2 : Thế các cận vào rồi tính hiệu F(b) – F(a).

II. Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN

Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a ; b] thì tích phân



^b

a

dx ) x (

f là

diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a và x = b.

III. CÁC TÍNH CHẤT

Giả sử các hàm số f(x), g(x) liên tục trên K và a, b, c là ba số bất kỳ thuộc K. Khi đó ta có:

(Trên đây ta giả thiết rằng các tích phân đều tồn tại)

1)



^{a }

a

0 dx ) x (

f 2)



^a

b

dx ) x (

f = –



^b

a

dx ) x ( f

3)



^{b }



a

b

a

dx ) x ( f k dx ) x (

kf (k  R) 4)



^{b  }



^



a

b

a

b

a

dx ) x ( g dx ) x ( f dx )]

x ( g ) x ( f [

5)



^{c }



^



a

b

a

c

b

dx ) x ( f dx ) x ( f dx ) x (

f 6) f(x)  0 trên đoạn [a ; b] 



^b

a

dx ) x (

f  0

7) f(x)  g(x) trên đoạn [a ; b] thì:



^{bf(x)dx }



^bg(x)dx

8) m  f(x)  M trên đoạn [a ; b] thì: m(b – a) 



^b

a

dx ) x (

f  M(b – a) 9) Nếu t biến thiên trên đoạn [a ; b] thì: G(t) =



^t

a

dx ) x (

f là một nguyên hàm của hàm số f(t) và G(a) = 0.

 Chú ý 1 :

Nếu f(x) là hàm liên tục trên [–a ; a] và với a > 0 thì:

 

















khif(x)lẻtrên[ a ;a]

a]

; a [ trên chẵn f(x) khi 0

dx ) x ( f dx 2

) x ( f

a

0 a

a

Nhớ rằng : Dấu hiệu để nhận biết tích phân của hàm số chẵn hay lẻ là cận dưới và cận trên đối nhau, hay có cận bằng 0 và so f(–x) với f(x).

 Chú ý 2 :

a) Nếu f(x) là hàm liên tục trên [0 ; 1] thì: ^



^



^/2

0 2

/

0

dx ) x (cos f dx ) x (sin f

Thí dụ :

3 xdx 2 cos xdx

sin

2 /

0 3 2

/

0

3 







^



b) Khi làm bài tập phải nhớ:

 

^f(x)dx



^{' = f(x).}

Nguyên hàm các hàm số sơ cấp thường gặp Một số công thức nguyên hàm mở rộng 1)



^{0dx= C}

2)



^{1dx= x + C}

3) (ax²₂ bx c) ' ²

dx ln ax bx c C (a 0) ax bx c

 

    

 



4)



^xndx _n^xn_^₁^{1 C} (n  –1; n  R) 4*)



^(axb)ndx= _a^1(ax_n^_^b₁^{)n1 C}

5)



^dx_x = ln x  + C 5*) ^dx

axb



⁼ _a^{1ln axb C (a  0)}

6)



^dx_x^{2 = }_x^{1+ C 6*)}



^dx_x^{n }_(n^₁₎¹_x^{n1 C (x  0)}

7) 2 x C

x

dx  



^{(x  0) 7*)}



_ax^dx_b ⁼ _a^{2 axbC (a  0)}

8)



cosx.dxsinxC 8*)



^{cos(axb)dx =} _a^{1sin(axb)C (a  0)}

9)



sinx.dxcosxC 9*)



^{sin(axb)dx=1}_a^{cos(axb)C (a  0)}

10)



^{exdx = ex + C} 10*) e^{ax b}dx ¹ e^{ax b} C

a

    



11) ^xdx ^x C ln

   



 (0 <   1) 11*) ^{ax b} 1 ^{ax b}

dx C

a ln

  

   



 (0 <   1)

12) 2



²



dx 1 tan x dx tan x C

cos x    

 

^12*)



_{cos (ax}^2dx _b) ^{ 1}_a^{tan(ax b) C}

13) 2



²



dx 1 cot x dx cot x C

sin x     

 

^13*)



_{sin (ax}^{2 dx}_b) ^{ 1}_a^{cot(ax b) C}

PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

GVBM :ĐOÀN NGỌC DŨNG

I. PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH

Tính tích phân theo công thức : f(x)dx F(x)^b_a F(b) F(a)

b

a







 (công thức Newton-Leibniz)

Để tính



^b

a

dx ) x (

f ta phân tích f(x) dưới dấu tích phân theo một tổng những hàm số rồi áp dụng những công thức tích phân căn bản. Cần chú ý các tính chất sau :

1)



^{a }

a

0 dx ) x (

f 2)



^a

b

dx ) x (

f = –



^b

a

dx ) x ( f

3)



^{b }



a

b

a

dx ) x ( f k dx ) x (

kf (k  R) 4)



^{b  }



^



a

b

a

b

a

dx ) x ( g dx ) x ( f dx )]

x ( g ) x ( f [

 Tích phân chỉ phụ thuộc vào hàm số f(x) và các cận của tích phân mà không phụ thuộc vào ký hiệu biến số tích phân. Nói cách khác, các tích phân :



^b

a

dx ) x (

f ,



^b

a

dt ) t ( f ,



^b

a

du ) u (

f , … là như nhau.

II. TÍCH PHÂN HÀM CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Muốn tính : I =



^b

a

dx ) x (

f , ta thực hiện các bước sau :

Bước 1 : Xét dấu hàm f(x) trên đoạn [a ; b] để loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

Bước 2 : Áp dụng công thức : I =



^



^



^b

c c

a b

a

dx ) x ( f dx ) x ( f dx ) x (

f (với c  [a ; b])

III. TÍCH PHÂN HÀM CỰC TRỊ Trên đoạn [a ; b]. nếu :

 f(x) – g(x)  0 thì Max[f(x) , g(x)] = f(x) ; min[f(x) , g(x)] = g(x)

 f(x) – g(x)  0 thì Max[f(x) , g(x)] = g(x) ; min[f(x) , g(x)] = f(x) IV. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA

Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa các căn thức dạng a² x² , a² x² , x² a² , thì nếu không có cách biến đổi nào khác thì nên đổi sang các hàm số lượng giác để làm mất căn thức.

Dạng Cách đặt Điều kiện của t

2

2 x

a  x = a.sint t  _^^{ }_^

; 2 2

2

2 x

a  x = a.tgt t  _



 



 

; 2 2

2

2 a

x  x =

t cos

a t 

 







 

\ 2

; 0

 Chú ý :

a) Nếu : –a ≤ x ≤ a (a > 0) thì đặt x = a.sint 



 



 



 

 t 2

2 (hoặc x = acost) b) Nếu : 0 ≤ x ≤ a (a > 0) thì đặt x = asin²t 



 



 



t 2

0 (hoặc x = acos²t) c) Nếu ax thì đặt x = a.cost

V. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Ta có : I =



^b

a

dx ) x ( ' u )].

x ( u [ f

Bước 1 : Đặt t = u(x) và tính vi phân dt = u’(x)dx.

Bước 2 : Đổi cận tích phân : x a b

t  

 Chú ý : Điều kiện u(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a ; b].

Bước 3 : Biến đổi

 

^







b

a

dt ) t ( f dx ) x ( ' u )].

x ( u [ f I

Bước 4 : Tính I



^f(t)dt F(t) F()F()







VI. PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN

Công thức tính tích phân từng phần:



^{ }



^b

a b a b

a

vdu uv

udv

 Loại 1 : I =

















b 

a x

dx e

x cos

x sin ).

x ( p

Bước 1 : Đặt u = p(x) và tính vi phân du = p’(x)dx.

dv =















 ex

x cos

x sin

và tính v =

















ex

x sin

x cos

Bước 2 : Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có : I = p(x)



































 _b

a x

b

a x

dx ) x ( ' p . e

x sin

x cos

e x sin

x cos

(1)

Bước 3 : Tính

















b

a x

dx ) x ( ' p . e

x sin

x cos

. Thay kết quả tìm được vào (1) ta được I.

 Loại 2 : I =



^b

a

xdx ln ).

x ( p

Bước 1 : Đặt u = lnx và tính vi phân du = x dx. dv = p(x) và tính v =



^{p(x)dxP(x)}

Bước 2 : Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có : I = P(x). ^



^b

a b

a dx

x ) x ( x P

ln (1)

Bước 3 : Tính



^b

a

x dx ) x (

P . Thay kết quả tìm được vào (1) ta được I.

 Loại 3 : I =



^b_^{ }_^

a

xdx x e cos

x sin

Đặt











 



 dx e dv

x cos

x u sin

x

 Loại 4 : Loại đặc biệt.

VII. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ 1) Một số công thức :

0) a ( C b ax aln 1 b ax ) dx

a    





0) (a C c bx ax ln c dx bx ax

)' c bx ax ) (

b ₂ ²

2     











2) Các dạng tổng quát :

 Dạng 1 : dx (a 0) c

bx ax

I ₂ 1 









Xét  = b² – 4ac của phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) 1) Nếu  = 0, thì : ax² + bx + c

2

2 



 

 

 a

x b

a nên C

a 2 x b

1 a 1

a 2 x b

dx a

I 1 ₂ 



 





 

 





2) Nếu  > 0, thì : ax² + bx + c = a(x – x1)(x – x2) (với x1 < x2)

 Cách 1 : Phân tích thành phân thức: 



 





 



 



 _{2 1 2 1 2} x x₁

1 x

x 1 ) x x ( a

1 )

x x )(

x x ( a

1

 Cách 2 : Sử dụng đồng nhất thức.

 Cách 3 : CASIO :

Phân tích thành dạng: ₂mx n mx n A B

(x a)(x b) x a x b

x bx c

 

  

   

 

Ta muốn tìm hệ số nào, ta xóa nghiệm dưới mẫu của thừa số đó trong mx n (x a)(x b)



  và bấm CALC đúng nghiệm dưới mẫu của nó.

Để tìm A. Ta nhập mx n (x b)



 và CALC x = a sẽ tìm được A.

Để tìm B. Ta nhập mx n (x a)



 và CALC x = b sẽ tìm được B.

Ta có: ₂ 1 1 A B

(x 3)(x 1) x 3 x 1

x 4x 3  

   

 

Để tìm A. Ta nhập 1

(x 1) và CALC x = 3 sẽ tìm được A 1

2. Để tìm B. Ta nhập 1

(x 3) và CALC x = 1 sẽ tìm được B 1

 2 .

Do đó : ₂ ^{1 1 1 1 1}

(x 3)(x 1) 2 x 3 x 1 x 4x 3

 

        

   

 Chú ý : Ta chú ý thêm công thức : C a x

a lnx a 2

1 a x

dx

2

2 



 



 Ta có:

 

2 2 2 2

1 1 1

x 4x 3 (x 4x 4) 1 x 2 1

      

Do đó:

 

5 1

2 2 2

4 0

1 dx

I dx

x 4x 3 x 2 1

 

   

 

5 5

4 4

x 2 1

1 1 x 3 1 1 1 1 3

I ln ln ln ln ln

1 x 2 1 2 x 1 2 2 3 2 2

2 1

    

          

3) Nếu  < 0, thì :



















  

 



 

 











   



 

 







2 2 2

2

a 4 a

2 x b a a

4 a 2 x b a c bx ax

Đặt: (tan t 1)dt

a dx 4

t a tan 4 a 2

x b      ²  . Ta tính được I.

 Dạng 2 : dx (a 0) c

bx ax

e

I ₂dx 











Phương pháp : Ta biến đổi:

  

^









   



 

 

 



 





 

c bx ax

dx a

2 e bd cdx

bx ax

b ax 2 a 2 dx d c bx ax

e

I ₂dx _{2 2}

 Tích phân



^

  

  dx

c bx ax

b ax

I₁ 2₂ có dạng : dx lnax bx c C (a 0)

c bx ax

)' c bx ax

( ₂

2

2     











 Tích phân



^

  

 ax bx c

I_{2 2} dx có dạng 1 mà ta đã biết.

 Ghi chú : Nếu ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm, ta có thể tính I bằng phương pháp đồng nhất.

 Dạng 3 : ^I



_Q^P(₍^x_x⁾₎^dx

Phương pháp :

a) Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x) thì ta phải chia P(x) cho Q(x).

b) Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì ta dùng đồng nhất thức để phân tích thành các tổng.

Các trường hợp có thể xảy ra :

 TH1 : Mẫu số có nghiệm đơn:

c x

C b x

B a x

A ) c x )(

b x )(

a x (

) x ( P )

x ( Q

) x ( P

 

 

 





 

 TH2 : Mẫu số có nghiệm đơn và vô nghiệm :

c bx ax

C Bx x

A ) c bx ax )(

x (

) x ( P )

x ( Q

) x ( P

2

2  

 



 







 

 TH3 : Mẫu số có nghiệm bội: _{3 2} ) ( ) (

) ( )

( ) (

b x a x

x P x

Q x P



 

) ( ) ( ) ( ) ( )

( ^{3 2 2} x b

E b

x D a

x C a

x B a

x A

 

 

 

 

 

 Chú ý : Nhiều khi trong một số trường hợp đặc biệt, qua một phép biến đổi nào đó ta có thể đưa một hữu tỉ về dạng đơn giản.

a) Tích phân dạng: dx

c bx ax

x

2



4 _{ }

b) Tích phân dạng: (a b)

) b x ( ) a x (

dx

2

2 





 : Sử dụng đồng nhất thức : 1

b a

) b x ( ) a x

( ²

 

 











c) Tích phân dạng:



_(xa^dx_)(xb)

_ Với x + a > 0 và x + b > 0, đặt t = xa  xb _ Với x + a < 0 và x + b < 0, đặt t = xa  xb d) Tích phân có dạng:



_{   }

c bx ax ) x (

dx

2 .

Bước 1 : Đặt t =





x 1

Bước 2 : Bài toán được chuyển về: I =



_t² _^dt_t

 Chú ý : Phương pháp trên có thể được áp dụng cho dạng tổng quát hơn là:



_{ } ^ _{ }

c bx ax ) x (

dx ) B Ax (

2 n

VIII. TÍCH PHÂN LIÊN KẾT

Đôi khi, thay vì tính trực tiếp tích phân I =



^b

a

dx ) x (

f ta có thể liên kết với một tích phân J =



^b

a

dx ) x (

g .

Rồi tính tổng I + J và hiệu I – J.

Giải hệ phương trình :











 N J I

M J

I ta tìm được I, J.

Nhờ liên kết như vậy việc tính toán tích phân trở nên đơn giản hơn.

IX. MỘT SỐ DẠNG KHÁC

1) Nếu f(x) liên tục và là hàm lẻ trên đoạn [–a ; a] với a > 0 thì: I =







a

a

0 dx ) x ( f

2) Tích phân hàm số mũ và logarit:

Để tính



^xm.f(x)dx. Với f(x) là hàm mũ hay logarit thì thường sử dụng phương pháp tích phân từng phần.

 Một số công thức : a)



^{exdxex C ; b)}



^axdx _ln^ax_a^C

_ Khi f(x) = logax thì viết logax = a ln

x ln

_ Khi f(x) = x^m.logax thì đặt







 dx x dv

x log u

m

a (tức là đặt sao cho số mũ của x tăng)

3) Dựa vào việc xem xét cận của tích phân và tính chất của hàm số dưới dấu tích phân ta có thể lựa chọn phép đặt ẩn phụ. Thông thường: I =



^b

a

dx ) x ( f .

x có thể đặt x = a + b – t. Ngoài ra : a) Với I =



 a

a

dx ) x (

f có thể đặt x = –t. b) Với I = ^



^/2

0

dx ) x (

f có thể đặt x = t 2

 .

c) Với I =



^

0

dx ) x (

f có thể đặt x =  – t. d) Với I = ²



^

0

dx ) x (

f có thể đặt x = 2 – t.

DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG – THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY

 VẤN ĐỀ 1 : DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

I. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C): y = f(x); trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b tính bởi công thức : S =



^b

a

dx x

f( ) (a  b)

1) Nếu f(x)  0 với mọi x  [a ; b] thì: S =



^b

a

dx x f( ) 2) Nếu f(x)  0 với mọi x  [a ; b] thì: S = –



^b

a

dx x f( )

3) Nếu thì: S =



^



^b

c c

a

dx x f dx x

f( ) ( )

4) Nếu thì: S = ^



^



^b

c c

a

dx x f dx x

f( ) ( )

x a c b f(x) + 0 – x a c b f(x) – 0 +

II. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị (C): y = f(x); (C’): y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x

= b tính bởi công thức: S =



^{b }

a

dx x g x

f( ) ( )

1) Nếu f(x)  g(x) với mọi x  [a ; b] thì: S =



^{b }

a

dx x g x

f( ) ( )]

[

2) Nếu f(x)  g(x) với mọi x  [a ; b] thì: S =



^{b }

a

dx x f x

g( ) ( )]

[

3) Nếu thì: S =



^{ }



^{b }

c c

a

dx x f x g dx x g x

f( ) ( )] [ ( ) ( )]

[

4) Nếu thì: S =



^{ }



^{b }

c c

a

dx x g x f dx x f x

g( ) ( )] [ ( ) ( )]

[

 VẤN ĐỀ 2 : THỂ TÍCH VẬT THỂ

Cho một vật thể trong không gian tọa độ Oxyz. Gọi B là phần của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b.

Gọi S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (a ≤ x ≤ b). Giả sử S = S(x) là một hàm liên tục.

Người ta chứng minh được rằng thể tích V của B là: ^b

a

V



S(x) dx

 VẤN ĐỀ 3 : THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY I. Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh

trục hoành hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C): y = f(x); trục hoành và các đường thẳng x = a, x = b (với a  b) tính bởi công thức:

II. Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) : y = f(x); (C’) : y = g(x) và các đường thẳng

x = a, x = b (với a  b) tính bởi công thức: (f(x)  g(x)  0,  x  [a ; b]) III. Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh

trục tung hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) : x = g(y) và các đường thẳng y = c, y = d (với c  d) tính bởi công thức:

 Chú ý khi tính thể tích vật thể tròn xoay :

Hình phẳng giới hạn bởi 4 đường Quay quanh trục Thể tích khối tròn xoay

y = f(x) ; y = 0 ; x = a ; x = b Ox ^



^b

a

2(x)dx f

V

y = f(x) ; y = g(x) ; x = a ; x = b

(với f(x)  g(x)) Ox ^



^b



^



a

2 2(x) g (x)dx f

V

x = f(y) ; x = 0 ; y = c ; y = d Oy ^



^d

c

2(y)dy f

V x a c b

f(x) – g(x) + 0 – x a c b f(x) – g(x) – 0 +

V = ^



^b

a

dx x f²( )

V = ^



^{b }

a

dx x g x

f ( ) ( )]

[ ^{2 2}

x = g(y) V = ^



^d

c

2(y)dy g

TRẮC NGHIỆM TÍCH PHÂN

 DẠNG 1 : LÝ THUYẾT TÍCH PHÂN

Câu 1.2 : Cho F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) trên [a ; b]. Phát biểu nào sau đây sai ? A. ^bf

 

xdx F

   

b F a

a





 ^{B. af}

 

^{x dx 0}

a



 ^C.

  

^



^b

 

a b

a

dt t f dx x

f D.

  

^



^a

 

b b

a

dx x f dx x f

Câu 1.2 : (SGK) Cho hai tích phân ^



^/2

0

2xdx

sin và ^



^/2

0

2xdx

cos , hãy chỉ ra khẳng định đúng:

A. ^



^



^/2

0 2 2

/

0

2xdx cos xdx

sin B. ^



^



^/2

0 2 2

/

0

2xdx cos xdx

sin C. ^



^



^/2

0 2 2

/

0

2xdx cos xdx

sin D. Không so sánh được

Câu 1.3 : Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào là đẳng thức đúng ?

A.

 









 ¹

1 4

/

4 /

xdx xdx

sin B.



^













 ^/4

4 / 4

/

4 /

xdx cos xdx

sin C.

 











1

1 2 4

/

4 /

dx x xdx

sin D. ^



^







1

0 2 4

/

4 /

dx x xdx sin

Câu 1.4 : Cho hai hàm số y = f(x), y = g(x), số thực kR là các hàm số khả tích trên [a , b]R và c[a , b]. Khi đó biểu thức nào sau đây là biểu thức sai

A.



^



^



^b

c c

a b

a

dx x f dx x f dx x

f( ) ( ) ( ) B. Nếu f(x)0,x[a,b] thì



^{b }

a

dx x

f( ) 0

C.



^{b }



a

b

a

dx x f k dx x f

k. ( ) ( ) D.



^

 

^b

a b

a b

a

dx x g dx x f dx x g x

f( ). ( ) ( ) . ( )

Câu 1.5 : Cho u(x), v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên [a ; b], ta có:

(1)



^{ }



^b

a b

a

b

a vdu

uv

udv (2)



^{ }



^b

a b

a

b

a vudx

uv

udv . '

A. (1) đúng và (2) sai B. (1) sai và (2) đúng C. (1) sai và (2) sai D. (1) đúng và (2) đúng Câu 1.6 : Nếu f(x) là hàm số lẻ liên tục trên đoạn [2; 2] và



^{2 }

0

2 dx ) x (

f thì



 0

2

dx ) x (

f bằng :

A. 2 B. 0 C. 2 D. 4

Câu 1.7 : Nếu f(x) là hàm số chẵn liên tục và







2

2

8 dx ) x (

f thì



 0

2

dx ) x (

f bằng :

A. 4 B. 4 C. 16 D. 8

Câu 1.8 : Cho hai hàm số y = f1(x) và y = f2(x) liên tục trên đoạn [a ; b]. Viết công thức tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hai hàm số đó và hai đường thẳng x = a, x = b.

A. ^



^b

  

^

  

a

2

1 x f x dx

f

S B. ^



^b

  

^

  

a

1

2 x f x dx

f

S C. ^



^b

 

^

 

a

2

1 x f x dx

f

S D. ^



^b

  

^

  

a

2

1 x f x dx

f S Câu 1.9 : Chọn phát biểu Đúng trong các phát biểu sau :

A. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi (C): y = f(x), Ox: y = 0 và x = a, x = b là ^



^b

 

a

dx x f

S .

B. Hình phẳng (H) giới hạn bởi (C): y = f(x), Ox : y = 0, x = a, x = b khi quay (H) quanh trục Ox ta được một

vật thể tròn xoay có thể tích được tính theo công thức ^



^b

 

a

2 x dx f

V .

C. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi (C1): y = f(x), (C2): y = g(x) và x = a, x = b được tính bởi công thức

   



^



b

2

2 x g x dx

f

S .

D. Hình phẳng (H) giới hạn bởi (C1) : y = f(x), (C2) : y = g(x), x = a, x = b khi quay (H) quanh trục Ox ta được một vật thể tròn xoay có thể tích được tính theo công thức ^



^b

   

^

a

dx x g x f

S .

Câu 1.10 : Chọn phát biểu Sai trong các phát biểu sau :

A. Hình phẳng (H) giới hạn bởi (C): y = f(x), Ox: y = 0, x = a, x = b khi quay (H) quanh trục Ox ta được một vật thể tròn xoay có thể tích được tính theo công thức ^



^b

 

a

2 x dx f

V .

B. Hình phẳng (H) giới hạn bởi (C1): y = f(x), (C2): y = g(x), x = a, x = b khi quay (H) quanh trục Ox ta được một vật thể tròn xoay có thể tích được tính theo công thức ^



^b

 

^

 

a

2

2 x g x dx

f

S .

C. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi (C1): y = f(x), (C2): y = g(x) và x = a, x = b được tính bởi công thức

   



^

^b

a

2

2 x g x dx

f

S .

D. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi (C): y = f(x), Ox: y = 0 và x = a, x = b là ^



^b

 

a

dx x f

S .

Câu 1.11 : Chọn phát biểu Sai trong các phát biểu sau :

A. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi (C1): y = f(x), (C2): y = g(x), (C3): y = h(x) và x = a, x = b, x = c được tính bởi công thức ^

     

^



^



^b

    

^



c c

a

dx x h x g dx x h x f

S .

B. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi (C1): y = f(x), (C2): y = g(x) và x = a, x = b. Với x  [a ; b] và c  [a ; b] thì ^

     

^



^



^b

    

^



c c

a

dx x f x g dx x g x f

S .

C. Hình phẳng (H) giới hạn bởi (C1): y = f(x), (C2): y = f(x), 1: y = f(a), 2: y = f(b), f^1(y)  g^1(y)  0 khi quay (H) quanh trục Oy ta được một vật thể tròn xoay có thể tích được tính theo công thức

       

 

 



^{  }





b f

a

1 2

1 y 2 g y dy

f

V .

D. Hình phẳng (H) giới hạn bởi (C) : y = f(x), Oy : x = 0, 1 : y = f(a), 2 : y = f(b) khi quay (H) quanh trục Oy ta được một vật thể tròn xoay có thể tích được tính theo công thức

   

 

 







b f

a f

2dy y f

V .

Câu 1.12 : Chọn phát biểu Đúng trong các phát biểu sau :

A. Nếu f(x) – g(x) không đổi dấu trên [a ; b] khi đó ta được đem dấu trị tuyệt đối ra ngoài tích phân :

          



^{  }



b

a b

a

dx x g x f dx x g x f

S .

B. Hình phẳng (H) giới hạn bởi (C1) : y = f(x), (C2) : y = g(x), x = a, x = b, f(x)  g(x)  0 khi quay (H) quanh trục Ox ta được một vật thể tròn xoay có thể tích được tính theo công thức ^



^b

    

^



a

dx x g x f

V .

C. Thể tích của một hình phẳng (H) khi quay (H) quanh trục Ox có thể âm hoặc dương.

D. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x = f(y), x = g(y) và hai đường thẳng y = a, y = b là

   



^



b

a

2

2 y g y dy

f

S .

Câu 1.13 : (CÂU 22 ĐMH 2017) Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b), xung quanh trục Ox.

A. ^



^b

 

a

2 x dx f

V B. ^



^b

 

a

2 x dx f

V C. ^



^b

 

a

dx x f

V D. ^



^b

 

a

dx x f V Câu 1.14. (CÂU 24 ĐMH 2017) Tính ^



^{2 }

1

2 1dx x

x 2

I bằng cách đặt u = x² – 1, mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. ^



³

0

du u 2

I B. ^



²

1

du u

I C. ^



³

0

du u

I D. ^



²

1

du 2 u

I 1

Câu 1.15. (CÂU 6 ĐMH 2018) Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a ; b]. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b (a < b). Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức

A. ^



^b

 

a

2 xdx f

V B. ^{ }



^b

 

a

2 x dx f 2

V C. ^



^b

 

a 2

2 f x dx

V D. ^



^b

 

a 2 f xdx V

Câu 1.16. (CÂU 33 ĐMH 2020 – LẦN 2) Xét ²xe dx

0 x²



, nếu đặt u = x² thì ²xe dx

0 x²



^bằng

A.



²

0 udu e

2 B.



⁴

0 udu e

2 C.



²

0 udu 2 e

1 D.



⁴

0 udu 2 e 1

Câu 1.17. (CÂU 34 ĐMH 2020 – LẦN 2) Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x², y = 1, x

= 0 và x = 1 được tính bởi công thức nào dưới đây?

A. ^



¹



^



0

2 1dx

x 2

S B. ^



¹



^



0

2 1dx

x 2

S C. ^



¹



^



0

2 12dx x

2

S D. ^



¹



^



0

2 1dx

x 2 S

ĐÁP ÁN DẠNG 1 TÍCH PHÂN

Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Đáp án C C A D D C A C D C

Câu 11 12 13 14 15 16 17

Đáp án C A A C A D D

 DẠNG 2 : TÍNH GIÁ TRỊ ĐƠN GIẢN Câu 2.1 : Tính



^{1 } _^{ }

0

2

3 dx

1 x

5 x 3 x 9

x .

A. 3

2 B.

3

28 C.

3

4 D.

3

2

Câu 2.2 : Tính



²



^



0

3 2

2 8x x dx

x

11 .

A. 12³ 4 B. 24³ 4 C. 18³ 4 D. 36³ 4

Câu 2.3 : Tính



⁴ _{ }

2 x2 x 2

3 dx .

A. ln2 B. 3ln2 C. ln2 D. 3ln2

Câu 2.4 : Tính I =



¹ _x²_^dx_4x3^.

A. 2 ln3



I B.

2 ln3 3

1

I C.

2 ln3 2

1



I D.

2 ln3 2

 1 I Caâu 2.5 : Tính ^



^/2 _

0 2 sinx

xdx cos . A. 2

ln3 B.

3

ln2 C. ln6 D. ln3

Caâu 2.6 : Tính ^



 2 /

6 /

5xdx sin x

cos .

A. 6463 B.

12821 C.

6465 D.

12863 Caâu 2.7 : Tính ^



 4 /

12

/ sin2xtan2x

dx .

A. 4

1 B.

2

1 C.

2

1 D.

8 1

Caâu 2.8 : Tính ^



^/2

0

2xdx sin . A. 8

 B.

6

 C.

4

 D.

3



Caâu 2.9 : Tính I = ^



^/4 _

0

xdx 2 cos x 2 sin

x cos . x

sin .

A. 16

 B.

2

 C.

4

 D.

8



Caâu 2.10 : Tính I =



²

1

2lnxdx

x .

A. 24ln27 B.

3 2 7 ln

8  C.

3 2 7 3ln

8  D.

9 2 7 3ln

8 

Caâu 2.11 : Tính I = ^



^/2

0

x.cosxdx

e .

A. e^2 1 B. _







 1 2

1 ^₂

e C. _







 1 2

1 ^₂

e D. e^2

Caâu 2.12 : Tính



^{4  }

1 2

2 dx

x 2

4 x 3 x

2 .

A. 3ln2 2

1 B. 3ln2

2

3 C. 3ln2

2

3 D. 3ln2

2 1

Caâu 2.13 : Tính



¹ _{ }

0 x x2 1

xdx

2 .

A. ²₃



^{2 21}



^B. ₃²



^{2 21}



^C. ₃⁴



^21



^D. ₃⁴



^21



Caâu 2.14 : Tính



^{1 }

2 / 1

2

3 dx

x 1 1 x

1 .

A. ₃¹



^{2 25 5}



^B. ₃¹



^{5 52 2}



^C. ₃¹



^{2 25 5}



^{D. 1}₃



^{5 52 2}



Caâu 2.15 : Tính



²

1 x

2 dx

xe ² .

A. ^e₄²



^{e6 1}



^{B. e}₂²



^{e4 1}



^{C. e}₄²



^{e4 1}



^{D. e}₂²



^{e6 1}



Caâu 2.16 : Tính I =



^







2 /

2x(2 1 cos2x)dx

sin .

A. 3

1

 B.

2

1

 C.

3 1 2 

 D.

3 2 2 



Caâu 2.17 : Tính I =



² _ ^ _

0

2 3 2

7

5 dx

x x

x .

A. I =2ln2ln3 B. I =2ln3ln4 C. I =2ln23ln3 D. I =2ln33ln2 Caâu 2.18 : Tính



^4_^{  }_^

1

x dx x 2 3

A. 2(7 – 2ln 2) B. 2(7 + 2ln 2) C. 2(7 + 4ln 2) D. 2(7  4ln 2)

Caâu 2.19 : (CAÂU 25 ÑMH 2017) Tính tích phaân ^



^

0

3x.sinxdx cos

I .

A. ⁴

4

I1 B. I = ⁴ C. I = 0 D.

4 I1 Caâu 2.20 : (CAÂU 26 ÑMH 2017) Tính tích phaân ^



^e

1

xdx ln x

I .

A. 2

I 1 B.

2 2

I e²  C.

4 1

I e²  D.

4 1 Ie² 

Caâu 2.21 : (CAÂU 19 ÑMH 2018) Tích phaân



² _

0 x 3

dx baèng

A. 225

16 B.

3

log 5 C.

3

ln 5 D.

15 2 Caâu 2.22 : (CAÂU 22 THPT QG 2018)



^{2 }

1 1 x

3 dx

e baèng

A. ₃¹



^{e5 e2}



^B. ₃^{1e5 e2 C. e5 e2 D.} ₃¹



^{e5 e2}



Caâu 2.23 : (CAÂU 20 THPT QG 2018)



^{1 }

0 1 x

3 dx

e baèng

A.



e e



3

1 4  B. e⁴ – e C. ₃¹



^{e4 e}



^{D. e3 – e}

Caâu 2.24 : (CAÂU 19 THPT QG 2018)



² _

1 3x 2

dx baèng

A. 2ln2 B. ln2

3

1 C. ln2

3

2 D. ln2

Caâu 2.25 : (CAÂU 20 THPT QG 2018)



² _

1 2x 3

dx baèng

A. 5

ln7

2 B. ln35

2

1 C.

5

ln7 D.

5 ln7 2 1

Câu 2.26 : (CÂU 17 ĐMH 2021) Tích phân ^{2 3}

1



x dx ^bằng A. 15

3 B. 17

4 C. 7

4 D. 15

4 Câu 2.27 : (CÂU 41 ĐMH 2021) Cho hàm số ^{f x}

 

^{x 12}₂ ^{khi x 2}

x 2x 3 khi x 2

  

 

  

 .

Tích phân ²

 

0

f 2sin x 1 cosxdx





 ^bằng

A. 23

3 B. 23

6 C. 17

6 D. 17

3 ĐÁP ÁN DẠNG 2 TÍCH PHÂN

Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Đáp án D D A D A B C C A D

Câu 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Đáp án B B D B A D D B C C

Câu 21 22 23 24 25 26 27

Đáp án C A A C D D B

 DẠNG 3 : ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT ĐỂ TÍNH GIÁ TRỊ

Câu 3.1 : (CÂU 23 ĐMH 2017) Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên đoạn [1 ; 2], f(1) = 1 và f(2) = 2. Tính

  

 ²

1

dx x ' f I

A. I = 1 B. I = 1 C. I = 3 D.

2 I 7 Câu 3.2 : (CÂU 25 ĐMH 2017) Cho ⁴f

 

x dx 16

0



 ^{. Tính }



²

 

0

dx x 2 f

I .

A. I = 32 B. I = 8 C. I = 16 d. I = 4

Câu 3.3 : (CÂU 38 ĐMH 2017) Cho hàm số f (x) thỏa mãn ¹



^{x 1}

  

^{f' x dx 10}

0





 và 2f(1) – f(0) = 2. Tính

  

 ¹

0

dx x f I

A. I = 12 B. I = 8 C. I = 12 D. I = 8

Câu 3.4 : (CÂU 44 ĐMH 2017) Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thoả f

   

x f x  22cos2x, x  R.

Tính



^

 







2 3

2 3

dx x f

I .

A. I = 6 B. I = 0 C. I = 2 D. I = 6

Câu 3.5 : (CÂU 25 THPT QG 2017) Cho ⁶f

 

xdx 12

0



 ^{. Tính }



²

 

0

dx x 3 f

I .

A. I = 6 B. I = 36 C. I = 2 D. I = 4

Câu 3.6 : (CÂU 21 THPT QG 2017) Cho ²f

 

x dx 2

1







và ²g

 

x dx 1

1









. Tính

      









2

1

dx x g 3 x f 2 x

I .

A. 2

I 5 B.

2

I 7 C.

2

I17 D.

2 I11

Câu 3.7 : (CÂU 25 THPT QG 2017) Cho f

 

x dx 5

2

0







. Tính ^



²

  

^



0

dx x sin 2 x f

I .

A. I = 7 B.

5 2

I 



 C. I = 3 D. I = 5 + 

Câu 3.8 : (CÂU 50 ĐMH 2018) Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn f(1) = 0,



^'f

 

^x



^{dx 7}

1

0

2 



^{và 1x f}

 

^{x dx 1}₃

0

2 



. Tích phân



¹

 

0

dx x

f bằng

A. 5

7 B. 1 C.

4

7 D. 4

Câu 3.9 : (CÂU 6 ĐMH 2019) Cho ¹f

 

x dx 2

0



 ^{và 1g}

 

^{x dx 5}

0



 ^{, khi đó}



¹

  

^

  

0

dx x g 2 x

f bằng

A. 3 B. 12 C. 8 D. 1

Câu 3.10 : (CÂU 7 ĐMH 2020 – LẦN 1) Nếu ²f

 

x dx 2

1





 ^{và 3f}

 

^{x dx 1}

2



 ^thì



³

 

1

dx x

f bằng

A. 3 B. 1 C. 1 D. 3

Câu 3.11 : (CÂU 18 ĐMH 2020 – LẦN 2) Nếu ¹f

 

x dx 4

0



 ^thì



¹

 

0

dx x f

2 bằng

A. 16 B. 4 C. 2 D. 8

Câu 3.12 : (CÂU 23 THPT QG 2020 – LẦN 1) Biết ³f

 

x dx 3

1



 . Giá trị của



³

 

1

dx x f

2 bằng

A. 5 B. 9 C. 6 D.

2 3

Câu 3.13 : (CÂU 28 THPT QG 2020 – LẦN 1) Biết F(x) = x² là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R. Giá trị của



²



^

  

1

dx x f

2 bằng

A. 5 B. 3 C.

3

13 D.

3 7 Câu 3.14 : (CÂU 21 THPT QG 2020 – LẦN 2) Biết ³f

 

x dx 3

2



 ^{và 3g}

 

^{x dx 1}

2



 ^{. Khi đó}



³

    

^



2

dx x g x

f bằng

A. 4 B. 2 C. 2 D. 3

Câu 3.15 : (CÂU 37 THPT QG 2020 – LẦN 2) Biết ¹



f

 

x 2x



dx 3

0





 ^{. Khi đó}



¹

 

0

dx x

f bằng

A. 1 B. 5 C. 3 D. 2

Câu 3.16 : (CÂU 16 ĐMH 2021) Nếu ²

 

1

f x dx 5



^{và 3}

 

2

f x dx 2



^{thì 3}

 

1

f x dx



^bằng

A. 3 B. 7 C. 10 D. 7

Câu 3.17 : (CÂU 2 THPT QG 2021 – ĐỢT 1) Nếu ⁴

 

1

f x dx3



^{và 4}

 

1

g x dx 2

<