Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2022 - 2023 trường chuyên Sơn La - THCS.TOANMATH.com

(1)

(2)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO SƠN LA

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2022 - 2023

MÔN THI: TOÁN (Chuyên) Ngày thi: 07/06/2022 Thời gian làm bài: 150 phút ĐỀ BÀI:

Câu 1. (2,0 điểm)

Cho biểu thức: ² ⁵ : 1 ³

(

0 ; 1 ; 4

)

1 2 4

A x x x x

x x x x +

   

= + + − −   − −  ≥ ≠ ≠ a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm các giá trị nguyên của x để A đạt giá trị nguyên.

Câu 2. (2,0 điểm)

a) Giải hệ phương trình: ₂2 1 0₂

4 3 1

y x x xy y

− − =



− + =



b) Giải phương trình: ^x²⁺²^x^{+ =}^{7 3}

(

^x²⁺¹

) (

^x⁺³

)

Câu 3. (2,0 điểm)

a) Tìm giá trị của tham số k để đường thẳng

( )

d1 : y= − +x 2 cắt đường thẳng

( )

d2 : y=2x+ −3 k tại một điểm nằm trên trục hoành.

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol

( )

P y x^: = ² và đường thẳng

( )

d y^: =²mx m− +¹ (Với m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để

( )

d cắt

( )

P tại hai điểm phân biệt có hoành độ x x₁; ₂ thỏa mãn: x₁ − x₂ > 3.

Câu 4. (2,5 điểm)

Cho ∆ABC có ba góc nhọn

(

AB AC>

)

nội tiếp đường tròn

(

O R;

)

. Đường cao AH của ABC

∆ cắt đường tròn

(

O R;

)

tại điểm thứ hai là D. Kẻ DM ⊥ AB tại M.

a) Chứng minh tứ giác BMHD nội tiếp được đường tròn và DA là tia phân giác của ^MDC. b) Từ D kẻ DN ⊥ AC tại N. Chứng minh ba điểm M H N, , thẳng hàng.

c) Cho P AB= ²+AC²+BD CD²+ ². Tính giá trị biểu thức P theo R. Câu 5. (1,0 điểm)

a) Cho x y, là các số thực dương thỏa mãn:

(

^x⁺ ^x²⁺¹

)(

^y⁺ ^y²^{+ =}^{1 2.}

)

Tính giá trị biểu thức Q x y= ²+ +1 y x²+1.

b) Cho x y, là các số thực dương thỏa mãn: 4x²+4y²+17xy+5 5x+ y ≥1. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=17x²+17y²+16 .xy

---Hết---

(3)

LỜI GIẢI ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TỈNH SƠN LA NĂM HỌC 2022 – 2023

Câu 1. (2,0 điểm)

Cho biểu thức: ² ⁵ : 1 ³

(

0 ; 1 ; 4

)

1 2 4

A x x x x

x x x x +

   

= + + − −   − −  ≥ ≠ ≠ a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm các giá trị nguyên của x để A đạt giá trị nguyên.

Lời giải:

a) Với

( )( )

0 2 5 : 4 3

1 ; 4 1 1 2 4

x A x x

x x x x x

 

 ≥ ⇒ = + +   − − 

 ≠  + + −   − 

  

( )

( )( ) ( )( ) ( )

( )( )

2 2 5: 1 2 1 : 1 1 2 4

4 4 1

1 2 1 2 1 2

x x x x x x x x

A x x x x x x x x x

− + +  −  + +  −  +  − 

⇒ = + −  − = + −  − = + − ⋅ − 

( )

( ) ( )( )

( )( )

1 2 2 2

2 1 1 1

x x x x

A x x x x

 

+  − +  +

⇒ = ⋅ =

  −

−  − + 

Vậy 2

1 A x

x

= +

−

b) Ta có: 2 1 3 1 3

1 1 1

x x

A x x x

+ − +

= = = +

− − −

Để A đạt giá trị nguyên ³ 1

( ) {

3 1 ; 3

}

1 x U

x ∈ ⇒ − ∈ = ± ±

−  Lập bảng:

x−1 - 1 1 - 3 3

x 0 2 - 2 4

x 0 4 16

TM Loại Loại TM

Vậy x∈

{

^{0; 16}

}

⇒ ∈A ^. Câu 2. (2,0 điểm)

a) Giải hệ phương trình: ₂2 1 0₂

4 3 1

y x x xy y

− − =



− + =



b) Giải phương trình: ^x²⁺²^x^{+ =}^{7 3}

(

^x²⁺¹

) (

^x⁺³

)

Lời giải:

a) Ta có:

( )

2 2 2 2

2 1 1

2 1 0

4 3 1 4 3 1 2

y x y x

x xy y x xy y

= +

− − = 

 ⇔ 

 

− + =  − + =

 

Thay (1) vào (2) ta được: 4x²−3 2 1x x

(

+ +

) (

2 1x+

)

² = ⇔1 4x²−6x²−3x+4x²+4 1 1x+ =

(4)

( )

2 0

2 0 2 1 0 1

2 x

x x x x

x

 =

⇔ + = ⇔ + = ⇔  = −

 Với x= ⇒0 y =1

Với ¹ 0

x=−2 ⇒ =y

Vậy

(

x y^;

) (

= ^{0 ; 1 ;}

)

−₂¹^{; 0}

b) ĐKXĐ: x ≥ −3 ^⇒ ^PT ^⇔ ^x²^{+ +}^{1 2}

(

^x^{+ =}^{3 3}

) (

^x²⁺¹

) (

^x⁺^{3 *}

) ( )

Đặt:

( )

2

3 0 ; 0

1 a x

a b

b x

 = +

 ≥ >

 = +



( )

* b² 2a² 3ab 2a² 3ab b² 0 2a² 2ab ab b² 0 2a a b b a b

( ) ( )

0

⇒ ⇔ + = ⇔ − + = ⇔ − − + = ⇔ − − − =

(

a b

)(

²a b

)

⁰ ₂^{a b} ⁰₀ ₂^{a b}

a b a b

− = =

 

− − = ⇔  − = ⇔  =

TH1: Nếu a b x ³ x² ¹ x² ¹ x ³ x² x ^{2 0} ^x ₂¹

(

TM

)

x

 = −

= ⇔ + = + ⇔ + = + ⇔ − − = ⇔  =

TH2: Nếu 2 2 3 ² 1 ² 1 4

(

3

)

² 4 11 0 ² ¹⁵

( )

2 15

a b x x x x x x x TM

x

 = +

= ⇔ + = + ⇔ + = + ⇔ − − = ⇔ 

 = − Vậy ^S^{= −}

{

^{1;2; 2}^± ¹⁵

}

Câu 3. (2,0 điểm)

a) Tìm giá trị của tham số k để đường thẳng

( )

d1 : y= − +x 2 cắt đường thẳng

( )

d2 : y=2x+ −3 k tại một điểm nằm trên trục hoành.

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol

( )

P y x^: = ² và đường thẳng

( )

d y: =2mx m− +1 (Với m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để

( )

d cắt

( )

P tại hai điểm phân biệt có hoành độ x x₁; ₂ thỏa mãn: x₁ − x₂ > 3.

Lời giải:

a) Giả sử A x

(

_A ; y_A

)

là giao điểm của đường thẳng

( )

d1 : y= − +x 2 và

( )

d2 : y=2x+ −3 k

Do: A nằm trên trục hoành và 1

( )

0 0 0

2 ; 0

2 0 2 2

A A A

A A A A

y y y

A d A

y x x x

= = =

  

∈ ⇒  = − + ⇒  = − + ⇒  = ⇒ Mà: A d∈ ₂ ⇒ =0 2.2 3+ − ⇒ =k k 7

Vậy k =7 thỏa mãn yêu cầu bài toán

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm giữa

( )

P và

( )

d :

( )

2 2 1 2 2 1 0 1 ; 2 ; 1

x = mx m− + ⇔ x − mx m+ − = a= b= − m c m= −

Ta có: ' '²

( )

² 1.

(

1

)

² 1 ² 2. .^{1 1 3} ¹ ² ³ 0

2 4 4 2 4

b ac m m m m m m m  m

∆ = − = − − − = − + = − + + = −  + > ∀

( )

P

⇒ luôn cắt

( )

d tại hai điểm phân biệt với ∀m

(5)

Theo Vi-Et ta có: ¹ ²

1 2

2 1

x x b m

c a

x x m

a

 + = =−



 = = −



Mà: ^x¹ ⁻ ^x² ^> ³ ^⇔ ^x¹ ⁻ ^x² ² ^>

( )

³ ² ^⇔ ^x¹²⁺^x²²⁻²^{x x}^{1 2} ^{> ⇔}³

(

^{x x}¹ ⁺ ²

)

²⁻⁴^{x x}^{1 2} ^>^{3 *}

( )

Thay vào (*) ta được:

( )

²m ²−⁴

(

m− >¹

)

³ ⇔ ⁴m²−⁴m+ > ⇔^{1 0}

(

²m−¹

)

² > ⇔⁰ m ≠ ¹₂

Vậy ¹

m ≠ 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán Câu 4. (3,0 điểm)

Cho ∆ABC có ba góc nhọn

(

AB AC>

)

nội tiếp đường tròn

(

O R;

)

. Đường cao AH của ABC

∆ cắt đường tròn

(

O R;

)

tại điểm thứ hai là D. Kẻ DM ⊥ AB tại M.

a) Chứng minh tứ giác BMHD nội tiếp được đường tròn và DA là tia phân giác của ^MDC. b) Từ D kẻ DN ⊥ AC tại N. Chứng minh ba điểm M H N, , thẳng hàng.

c) Cho P AB= ²+AC²+BD CD²+ ². Tính giá trị biểu thức P theo R. Lời giải:

a) Ta có:  DHB DMB= =90^ ⇒ DHMB nội tiếp

 ₂ ₂ 1 

D B 2 HM

⇒ = =

Mà:  ₁ ₂ 1  D B 2 AC

⇒ = =

 ¹ ²

( )

²

D D B

⇒ = = ⇒ đpcm

b) Ta có:  ABDC nội tiếp C ₁ = ABD (góc ngoài tứ giác nội tiếp)

1 2

4

O

N

1 2

2 3 1

M

D

C H B

A

(6)

( )

. ^{ }4 3

NCD MBD g g D D

⇒ ∆ ≈ ∆ ⇒ = (hai góc tương ứng)

Mà:  NCHD nội tiếp (Vì:  N H= =90^)

 ₄ ₁

D H

⇒ =

Mặt khác:  ₃ ₂ 1

D = H = 2MB ⇒ H ₁ = H₂ Do: C, H, B thẳng hàng nên ta có đpcm.

c) Câu 5. (1,0 điểm)

a) Cho x y, là các số thực dương thỏa mãn:

(

^x⁺ ^x²⁺¹

)(

^y⁺ ^y²^{+ =}^{1 2.}

)

Tính giá trị biểu thức Q x y= ²+ +1 y x²+1.

b) Cho x y, là các số thực dương thỏa mãn: 4x²+4y²+17xy+5 5x+ y ≥1. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=17x²+17y²+16 .xy

Lời giải:

a) Ta có:

(

^x⁺ ^x²⁺¹

)(

^y⁺ ^y²^{+ = ⇔}^{1 2}

) (

^x⁺ ^x²⁺¹

)(

^y⁺ ^y²⁺¹

)(

^{− +}^x ^x²^{+ = − +}^{1 2}

) (

^x ^x²⁺¹

) (

^y ^y² ¹

)

²^x ² ^x² ^{1 1}

( )

⇔ + + = − + +

(

²

)

²

( )

: 1 2 2 1 2

TT x+ x + = − +y y +

Trừ (1) với (2) vế theo vế: x y− + x²+ −1 y²+ = − +1 2y 2 2x+ y²+ −1 2 x²+1

( ) ( 2 2 ) ( )

2

( )

2

3 1 1 0 1 3 0

1 1

x y x y x y x y

x y

 + 

 

⇔ − − + − + = ⇔ −  − + + + =

2 1 2 1 3 3 0 x y

x y x y

 =

⇔  + + + − − =

TH1: Nếu ² ² ₂ 2 ₂

1 2 1 2

1 2 2 2

x y x x x x x

x x x

 <

= ⇔ + + = ⇔ + = − ⇔ 

+ = − +



1 2 3

4 4

x 2 2 y Q

⇔ = = = ⇒ =

TH2: Nếu x²+ +1 y²+ − −1 3 3x y=0

---Hết---