Chuyên đề hình học tọa độ Oxyz – Đặng Việt Đông - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

(1)

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

(2)

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

Dạng 1: Tìm tọa độ điểm, tọa độ vec tơ thỏa đk cho trước Dạng 2: Tính độ dài đoạn thẳng

Dạng 3: Xét sự cùng phương, sự đồng phẳng

Dạng 4: Bài toán về tích vô hướng, góc và ứng dụng Dạng 5: Bài toán về tích có hướng và ứng dụng

PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Dạng 1: Tìm tâm và bán kính, ĐK xác định mặt cầu

Dạng 2: PTMC biết tâm, dễ tính bán kính (Chưa học PTMP) Dạng 3: PTMC biết 2 đầu mút của đường kính

Dạng 4: PTMC ngoại tiếp tứ diện

Dạng 5: PTMC qua nhiều điểm, thỏa ĐK

Dạng 6: PTMC biết tâm, tiếp xúc với mặt phẳng Dạng 7: PTMC biết tâm và đường tròn trên nó Dạng 8: PTMC biết tâm và ĐK của dây cung Dạng 9: PTMC biết tâm thuộc d, thỏa ĐK

Dạng 10: PTMC biết tâm thuộc mặt phẳng, thỏa ĐK Dạng 11: PTMC biết tâm, thỏa ĐK khác

Dạng 12: PTMC thỏa mãn ĐK đối xứng

Dạng 13: Toán Max-Min liên quan đến mặt cầu Dạng 14: Điểm thuộc mặt cầu thỏa ĐK

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Chưa học PTĐT) Dạng 1: Tìm VTPT, các vấn đề về lý thuyết

Dạng 2: PTMP trung trực của đoạn thẳng

Dạng 3: PTMP qua 1 điểm, dễ tìm VTPT (không dùng tích có hướng) Dạng 4: PTMP qua 1 điểm, VTPT tìm bằng tích có hướng

Dạng 5: PTMP qua 1 điểm, tiếp xúc với mặt cầu Dạng 6: PTMP qua 1 điểm, cắt mặt cầu

Dạng 7: PTMP qua 1 điểm, thỏa ĐK về góc, khoảng cách Dạng 8: PTMP qua 1 điểm, thỏa ĐK khác

Dạng 9: PTMP qua 2 điểm, VTPT tìm bằng tích có hướng Dạng 10: PTMP qua 2 điểm, thỏa ĐK về góc, khoảng cách Dạng 11: PTMP qua 2 điểm, thỏa ĐK khác

Dạng 12: PTMP qua 3 điểm không thẳng hàng Dạng 13: PTMP theo đoạn chắn

Dạng 14: PTMP song song với mp, thỏa ĐK

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Có sử dụng PTĐT) Dạng 1: Tìm VTPT, các vấn đề về lý thuyết

(3)

Dạng 2: PTMP qua 1 điểm, dễ tìm VTPT (không dùng tích có hướng) Dạng 3: PTMP qua 1 điểm, VTPT tìm bằng tích có hướng (đường-mặt) Dạng 4: PTMP qua 1 điểm và chứa đường thẳng

Dạng 5: PTMP qua 1 điểm, thỏa ĐK khác

Dạng 6: PTMP qua 2 điểm, VTPT tìm bằng tích có hướng Dạng 7: PTMP qua 2 điểm, thỏa ĐK về góc, khoảng cách

Dạng 8: PTMP chứa 1 đường thẳng, thỏa ĐK với đường thẳng khác Dạng 9: PTMP chứa 1 đường thẳng, thỏa ĐK với mặt phẳng

Dạng 10: PTMP chứa 1 đường thẳng, thỏa ĐK về góc, khoảng cách Dạng 11: PTMP chứa 1 đường thẳng, thỏa ĐK với mặt cầu

Dạng 12: PTMP theo đoạn chắn thỏa ĐK với đường thẳng Dạng 13: PTMP song song với mp, thỏa ĐK

Dạng 14: Toán Max-Min liên quan đến mặp phẳng Dạng 15: Điểm thuộc mặt phẳng thỏa ĐK

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Dạng 1: Tìm VTCP, các vấn đề về lý thuyết

Dạng 2: PTĐT qua 1 điểm, dễ tìm VTCP (không dùng t.c.h) Dạng 3: PTĐT qua 1 điểm, VTCP tìm bằng t.c.h (cho 2 mp) Dạng 4: PTĐT qua 1 điểm, VTCP tìm bằng t.c.h (cho 2 đt) Dạng 5: PTĐT qua 1 điểm, VTCP tìm bằng t.c.h (cho đt+mp) Dạng 6: PTĐT qua 1 điểm, cắt d1, có liên hệ với d2

Dạng 7: PTĐT qua 1 điểm, cắt d, có liên hệ với mp (P) Dạng 8: PTĐT qua 1 điểm, cắt d1 lẫn d2

Dạng 9: PTĐT qua 1 điểm, vừa cắt – vừa vuông góc với d

Dạng 10: PTĐT qua 1 điểm, vuông góc với d, thỏa ĐK khoảng cách Dạng 11: PTĐT qua 1 điểm, thỏa ĐK khác

Dạng 12: PTĐT cắt 2 đường thẳng d1,d2, thỏa ĐK khác Dạng 13: PTĐT nằm trong (P), vừa cắt vừa vuông góc với d Dạng 14: PTĐT thỏa ĐK đối xứng

Dạng 15: PT giao tuyến của 2 mặt phẳng

Dạng 16: PT đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau Dạng 17: PT hình chiếu vuông góc của d lên (P)

Dạng 18: Toán Max-Min liên quan đến đường thẳng Dạng 19: Điểm thuộc đường thẳng thỏa ĐK

TOÁN TỔNG HỢP VỀ ĐT-MP-MC Dạng 1: Xét VTTĐ giữa 2 mp

Dạng 2: Xét VTTĐ giữa 2 đt Dạng 3: Xét VTTĐ giữa đt và mp Dạng 4: Xét VTTĐ giữa mp và mc Dạng 5: Xét VTTĐ giữa đt và mc Dạng 6: Góc giữa hai mặt phẳng

(4)

Dạng 7: Góc giữa hai đường thẳng

Dạng 8: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Dạng 9: Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng Dạng 10: Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng Dạng 11: Khoảng cách giữa hai đối tượng song song Dạng 12: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Dạng 13: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng Dạng 14: Tìm giao điểm của hai đường thẳng cắt nhau Dạng 15: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt cầu

Dạng 16: Hình chiếu vuông góc của điểm lên đường, mặt (và ứng dụng) Dạng 17: Tìm điểm thỏa ĐK đối xứng

MIN, MAX VÀ TOÁN THỰC TẾ Dạng 1: Toán Max-Min tổng hợp

Dạng 2: Toán thực tế

(5)

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

I. VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN:

1. Định nghĩa

Trong không gian, véc tơ là một đoạn thẳng có định hướng tức là đoạn thẳng có quy định thứ tự của hai đầu.

Chú ý: Các định nghĩa về hai véc tơ bằng nhau, đối nhau và các phép toán trên các véc tơ trong không gian được xác định tương tự như trong mặt phẳng.

2. Véc tơ đồng phẳng

a. Định nghĩa: Ba véc tơ a b c  , ,

khác 0

gọi là đồng phẳng khi giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

Chú ý:

n véc tơ khác 0

gọi là đồng phẳng khi giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

Các giá của các véc tơ đồng phẳng có thể là các đường thẳng chéo nhau.

b. Điều kiện để ba véc tơ khác 0

đồng phẳng:

Định lý 1: a b c, ,

  

đồng phẳng  m n, R a: mbnc

  

c. Phân tích một véc tơ theo ba véc tơ không đồng phẳng:

Định lý 2: Cho ba véc tơ e e e  ₁, ,₂ ₃

không đồng phẳng. Bất kỳ một véc tơ a



nào trong không gian cũng có thể phân tích theo ba véc tơ đó, nghĩa là có một bộ ba số thực



x x x1, 2, 3



duy nhất sao cho:

1 1 2 2 3 3

a x ex ex e

Chú ý: Cho ba véc tơ a b c  , ,

khác 0 : , ,

a b c

  

đồng phẳng nếu có ba số thực m n p, , không đồng thời bằng 0 sao cho:

0 manb pc

, ,

a b c

  

không đồng phẳng nếu từ manbpc0mn p0

   

II. TỌA ĐỘ CỦA VÉC TƠ:

Trong không gian xét hệ trục Oxyz, có trục Ox vuông góc với trục Oy tại O, và trục Oz vuông góc với mặt phẳng (Oxy) tại O. Các vectơ đơn vị trên từng trục Ox, Oy, Oz lần lượt là ^ⁱ^



^{1; 0; 0 ,}



^^j^



^{0; 0;1 ,}





^0;0;1



k



.

1. Nếu aa i₁a j₂a k₃

thì a



a a a1; 2; 3



. 2. M x( _M;y_M;z_M)OMx i_My j_Mz k_M

3. Cho A x



A^;yA^;zA



và B x



B^;yB^;zB



ta có: AB(x_B x_A;y_By z_A; _Bz_A) và

2 2 2

( _B _A) ( _B _A) ( _B _A) AB x x  y y  z z .

4. M là trung điểm AB thì M ; ;

2 2 2

A B A B A B

x x y y z z

 

 

 .

III. TỌA ĐỘ CỦA VÉCTƠ

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . 1. a ( ;a a a₁ ₂; ₃)

 a a i₁a j₂a k₃ 2. Cho a( ;a a a₁ ₂; ₃)

và b( ; ; )b b b₁ ₂ ₃ ta có

(6)

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2

1 1

2 2

3 3

a b

a b a b

a b

 

  

 



 

1 1 2 2 3 3

( ; ; )

a b  a b a b a b

 

1 2 3

. ( ; ; )

k a ka ka ka

1 1 2 2 3 3

. . os(a; )

a b a b c b a b a b a b

     

2 2 2

1 2 3

a  a a a

1 1 2 2 3 3

2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3

. . .

os os(a, )

.

a b a b a b

c c b

a a a b b b

  ^ ^

   

 

(với a0 ,b0

   

) a

 và b

vuông góc a b . 0a b₁.₁a b₂. ₂a b₃. ₃ 0 a

 và b

cùngphương

1 1

2 2

3 3

:

a kb k R a kb a kb a kb

 

     

 



 

III. TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG:

Tích có hướng của a ( ;a a a₁ ₂; ₃)

và b( ; ; )b b b₁ ₂ ₃ là :

2 3 3 1 1 2

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

2 3 3 1 1 2

a a a a a a

, ; ; ( ; ; )

b b b b b b

a b   a b a b a b a b a b a b

      

 

 

 

1. Tính chất : , a b a

  

 

  

,a b,   b

  

, sin( , )

a b a b a b

  

 

     

a

 và b



cùng phương  a b,   0

  

a

 ,b

 ,c



đồng phẳng  a b c, . 0

  

2. Các ứng dụng tích có hướng :

Diện tích tam giác : ¹[ , ]

ABC 2

S   AB AC Thểtích tứ diệnVABCD=1

[ , ].

6   AB AC AD

Thể tích khối hộp: VABCDA’B’C’D’ =[  AB AD AA, ]. ' IV. MỘT SỐ KIẾN THỨC KHÁC:

1. Nếu M chia đoạn AB theo tỉ số k ( MAk MB

) thì ta có :

; ;

1 1 1

A B A B A B

M M M

x kx y ky z kz

x y z

k k k

  

  

   Với k ≠ 1

2. G là trọng tâm của tam giác ABC  ; ;

3 3 3

A B C A B C A B C

G G G

x x x y y y z z z

x   y   z  

  

3. G là trọng tâm của tứ diện ABCD GA GB GC GD       0

(7)

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3 DẠNG 1: TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM, TỌA ĐỘ VEC TƠ THỎA ĐK CHO TRƯỚC

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các vectơ ^a^ ^



^{3; 2;1}^



^,^b^ ^{ }



^{1;1; 2}^



^,^c^^



^{2;1; 3}^



^,



^{11; 6;5}



u  

. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. u2a3b c 

. B. u2a3b c 

. C. u3a2b2c

. D. u3a2b c 

.

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm ^A



^{1; 2;0}^



^và^B



^^{3;0; 4}



. Tọa độ của véctơ AB

 là

A.



^{4; 2; 4}^{ }



^. ^B.



^^4;2;4



^. ^C.



^{ }^{1; 1;2}



^. ^D.



^{ }^{2; 2;4}



^.

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M thỏa mãn hệ thức OM 2jk

  

. Tọa độ của điểm M là:

A. ^M



^{0; 2;1}



^. ^B.^M



^{1; 2; 0}



^. ^C.^M



^{2;1; 0}



^. ^D.^M



^{2; 0;1}



^.

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ^OM^{} ^



^{1;5; 2}



^,^ON^^



^{3; 7; 4}^



^{. Gọi}^P là điểm đối xứng với M qua N. Tìm tọa độ điểm P.

A. ^P



^{5;9; 3}^



^. ^B.^P



^{2;6; 1}^



^. ^C.^P



^{5;9; 10}^



^. ^D.^P



^{7;9; 10}^



^.

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm ^A



^{1;3;5 ,}



^B



^{2;0;1 ,}



^C



^{0;9; 0 .}



Tìm trọng tâm G của tam giác ABC .

A. ^G



^{1;5; 2}



^. ^B.^G



^{1; 0;5}



^. ^C.^G



^{1; 4; 2}



^. ^D.^G



^{3;12; 6}



^.

Câu 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABCbiết (1; 2; 4), (2;3; 5), (3; 4;1)

A  B  C  . Tìm toạ độ trọng tâm Gcủa tam giác ABC? (2; 1;0)

G  .

A. G( 2;1; 0) . B. Ta có ^G



^{2; 1; 0}^



^{. C.}^G^{(18; 9; 0)}^ ^. ^D.^G^{(6; 3; 0)}^ ^.

Câu 7: Cho các vectơ ^a^^



^{1; 2;3}



_;^b^^{ }



^{2; 4;1}



_;^c^^{ }



^1;3;4



_{. Vectơ}_v^_₂_a^_₃_b^_₅_c^ có tọa độ là A. ^v^ ^



^{23; 7;3}



^. ^B.^v^^



^{7; 23;3}



^. ^C.^v^^



^{3; 7; 23}



^. ^D.^v^^



^{7;3; 23}



^.

Câu 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm ^A



^{1; 2; 1}^



^,^B



^{2; 1; 3}^



^,^C



^^{3; 5; 1}



^{. Tìm}

tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

A. ^D



^^{2; 8; 3}^



^. ^B.^D



^^{2; 2; 5}



^. ^C.^D



^^{4; 8; 5}^



^. ^D.^D



^^{4; 8; 3}^



^.

Câu 9: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm ^A



^{3; 2;5}^



. Hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng tọa độ



^Oxz



^là

A. ^M



^3;0;5



^. ^B.^M



^{3; 2; 0}^



^. ^C.^M



^{0; 2;5}^



^. ^D.^M



^{0; 2;5}



^.

Câu 10: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm ^A



^{2; 2; 2}^



^,^B



^^3;5;1



^,^C



^{1; 1; 2}^{ }



^.

Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC?

A. ^G



^{2; 5; 2}^



^. ^B.^G



^{0; 2; 1}^



^. ^C.^G



^{0; 2; 3}



^. ^D.^G



^{0; 2; 1}^ ^



^.

Câu 11: Trong không gian cho ba điểm A



5; 2; 0 ,



B



2; 3; 0



và ^C



^{0; 2; 3}



. Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là

A.



^{2; 0; 1}^



^. ^B.



^{1;1; 2}^



^. ^C.



^{1; 2;1 .}



^D.



^{1;1;1 .}



Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có ^A



^^{1; 2;3 ,}



^B



^{2; 4; 2}



và tọa độ trọng tâm ^G



^{0; 2;1}



. Khi đó, tọa độ điểm C là:

(8)

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4 A. ^C



^^{1;0; 2}^



^. ^B.^C



^{1; 0; 2}



^. ^C.^C



^{ }^{1; 4; 4}



^. ^D.^C



^{1; 4; 4}



^.

Câu 13: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm ^I



^^{5; 0; 5}



là trung điểm của đoạn M N , biết



^{1; 4; 7}^



M . Tìm tọa độ của điểm N .

A. ^N



^^{11; 4; 3}



^. ^B.^N



^^{11; 4; 3}^



^. ^C.^N



^{ }^{2; 2; 6}



^. ^D.^N



^^{10; 4; 3}



^.

Câu 14: Trong không gian Oxyz với hệ tọa độ



^{O i j k}^{; ; ;}^{ } ^



^cho^OA^^{ }²ⁱ^^⁵^k^. Tìm tọa độ điểm A. A.



^{5; 2;0}^



^. ^B.



^^{2; 0;5}



^. ^C.



^^2;5;0



^. ^D.



^^2;5



^.

Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm ^M



^{3;1; 0}



^và^MN^{}^{  }



^{1; 1;0 .}



Tìm tọa độ của điểm N .

A. ^N



^^{2; 0; 0}



^. ^B.^N



^{2; 0; 0}



^. ^C.^N



^{4; 2; 0}



^. ^D.^N



^^{4; 2; 0}^



^.

Câu 16: Trong không gian Oxyz, cho điểm ^A



^{1; 2;3}



. Tìm tọa độ điểm A₁ là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng



^Oyz



^.

A. A1



1; 0; 0



. B. A1



0; 2;3



. C. A1



1; 0;3



. D. A1



1; 2;0



. Câu 17: Trong không gian Oxyz, cho ^^a^



^{1; 2; 3}^



^;^b^^{ }



^{2; 2; 0}



. Tọa độ vectơ c2a3b

là:

A. ^c^^



^{4; 1; 3}^{ }



^. ^B.^c^^



^{8; 2; 6}^{ }



^. ^C.^c^^



^2;1;3



^. ^D.^c^^



^{4; 2; 6}^{ }



^.

Câu 18: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho ba điểm . Tìm tọa

độ điểm M thỏa mãn .

A. . B. M



5;5; 0



. C. M



2; 6; 4



. D. M



2; 6; 4



. Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm ^A



^{3; 4; 5}



^,^B



^^{1; 0;1}



. Tìm tọa độ điểm M

thõa mãn MA MB   0 .

A. ^M



^{2; 4; 6}



^. B. ^M



^{4; 4; 4}



. C. ^M



^{1; 2; 3}



^. ^D.^M



^{  }^{4; 4; 4}



^.

Câu 20: Trong không gian Oxyzcho ba điểm ^A



^1;1;1



^,^B



^{5; 1; 2}^



^,^C



^{3; 2; 4}^



Tìm tọa độ điểm M thỏa

mãn 2  0

    MA MB MC .

A. 4; ^{3 9};

2 2

 

  

 

M . B. 4; ³; ⁹

2 2

 

 

 

 

M . C. 4; ;^{3 9}

2 2

 

 

 

M . D. 4; ^{3 9};

2 2

 

  

 

M .

Câu 21: Trong không gian Oxyz, cho ^a^ ^{ }



^{3; 2;1}



^{và điểm} ^A



^{4; 6; 3}^



. Tìm tọa độ điểm B thỏa mãn ABa

  .

A.



^{ }^{1; 8; 2}



^. ^B.



^{7; 4; 4}^



^. ^C.



^{1;8; 2}^



^. ^D.



^{ }^{7; 4; 4}



^.

Câu 22: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, các véctơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz lần lượt là i

 , j

 , k



, cho điểm ^M



^{2; 1; 1}^



. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. OM2  i j k

. B. OM    i j 2k

. C. OMk  j 2i

. D.

2

OM k   j i .

Câu 23: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm ^A



^{4;1; 2}^



^{. Tọa độ}điểm đối xứng với A qua mặt phẳng



^Oxz



^là

A. ^A



^{4; 1; 2}^



^. ^B.^{A  }



^{4; 1; 2}



^. ^C.^A



^{4; 1; 2}^{ }



^. ^D.^A



^{4;1; 2}



^.

Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC có 3 đỉnh



^{1; 2; 3 ,}

 

^{2; 3;5 ,}

 

^{4;1; 2}



A  B C  . Tính tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC .

Oxyz ^A



^{3; 2;1 ,}

 

^B ^{1; 1; 2 ,}^

 

^C ^{1; 2; 1}^



2

OM AB AC

  

 



2; 6; 4



M  

(9)

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5 A. ^G



^{8; 6; 30}^



^. ^B.^G



^{7; 2; 6 .}



^C. ^{7 2}^{; ; 2}

G3 3 

 

 . D. ^G



^{6; 4;3}



^.

Câu 25: Trong không gian Oxyz, cho 3 vec tơ ^a^^



^{2; 1;0}^



^,^b^ ^{  }



^{1; 3; 2}



^,^c^^{   }



^{2; 4; 3}



. Tọa độ của

2 3

u a b c .

A.



^{3; 7; 9}



^B.



^^5;^^{3; 9}



^C.



^^3;^^7;^⁹



^D.



^{5; 3;}^⁹



Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm ^M



^{3; 2;3 ,}^

 

^I ^{1; 0; 4 .}



Tìm tọa độ điểm N sao cho I là trung điểm của đoạn MN .

A. ^N



^{0;1; 2}



^. ^B. ^{2; 1;}⁷

N 2

  

 

. C. ^N



^^{1; 2; 5}



^. ^D.^N



^{5; 4; 2}^



^.

Câu 27: Trong không gian Oxyz cho các điểm.

 3; 4;0 ;    0;2;4 ;  

^{4; 2;1}



A

B

C . Tọa độ diểm D trên trục Ox sao cho ADBC là:

A. ^D



^{0; 0;0}



^^D



^{0; 0; 6}^



^. ^B.^D



^{0;0; 3}^



^^D



^{0; 0;3}



^.

C. ^D



^{0;0; 0}



^^D



^{6; 0; 0}



^. ^D.^D



^{0;0; 2}



^^D



^0;0;8



^.

Câu 28: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm ^A



^{1; 2; 4}^



^và^B



^^{3; 2; 2}



. Toạ độ của AB

 là

A.



^^{2; 4; 2}^



^. ^B.



^^{4;0; 6}



^. ^C.



^{4; 0; 6}^



^. ^D.



^^{1; 2; 1}^



^.

Câu 29: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho u3i2j2k

. Tìm tọa độ của u .

A. ^u^^



^{2;3; 2}^



^. ^B.^u^ ^



^{3; 2; 2}^



^. ^C.^u^^



^{3; 2; 2}^



^. ^D.^u^^{ }



^{2;3; 2}



^.

Câu 30: Trong không gian Oxyz , cho ba vectơ: a (2; 5;3)

, ^b^^



^{0;2; 1}^



^,^c^ ^



^1;7;2



. Tọa độ vectơ

4 1 3

x  a3b c là

A. 121 17

5; ;

3 3 x   



. B.

11; ;1 55 x   3 3 



.

C. 5 53

11; ; x   3 3 



. D. 1 1

; ;18 x  3 3 



.

Câu 31: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm ^A



^{1; 4; 2}^



^,^B



^{4; 2; 3}^



^,^C



^^{3;1; 5}



. Tìm tọa độ đỉnh D của hình bình hành ABCD.

A. ^D



^{  }^{6; 5 10}



^. ^B.^D



^{0; 7; 0}



^. ^C.^D



^{ }^{6; 5;10}



^. ^D.^G



^{ }^{2; 1;3}



^.

Câu 32: Cho ^a^ ^{ }



^{1; 2; 3}



^,^b^^



^{2; 1; 0}



^{, với}^c^^²^{a b}^{ }^ thì tọa độ của c là

A.



^^{4; 3; 3}



^B.



^^{1; 3; 5}



^C.



^^{4; 1; 3}



^D.



^^{4; 3; 6}



Câu 33: Trong không gian Oxyz, cho điểm ^M



^{1; 2; 3}



. Hình chiếu của M lên trục Oy là điểm A. ^R



^{1; 0; 0}



^. ^B.^S



^0;0;3



^. ^C.^P



^{1; 0;3}



^. ^D.^Q



^{0; 2; 0}



^.

Câu 34: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ ^a^ ^



^2;^^{5; 3}



^,^b^ ^



^{0; 2; 1}^



^{. Tọa độ}^vectơ

x



thỏa mãn 2a x b

   là

A.



^^{4; 12;}^⁷



^. ^B.



^^{4; 12;}^³



^. ^C.



^^{4; 2;}^⁷



^. ^D.



^^{4; 2; 3}



^.

Câu 35: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ^a^ ^{ }



^{5; 2; 3}



^và^b^^



^{1; 3; 2}^



. Tìm tọa độ của

(10)

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6

vectơ 1 3

3 4

u a b . A. ^{11 35 5}; ;

12 12 2

u  

  

 



. B. ¹¹; ^{19 5};

12 12 2

u  

   

 



. C. ^{29 35}; ; ¹

12 12 2

u  

   

 



. D. ²⁹; ¹⁹; ¹

12 12 2

u  

    

 



. Câu 36: Trong không gian Oxyz, cho vectơ a



biểu diễn của các vectơ đơn vị là a  2 i k 3j

. Tọa độ của vectơ a

 là

A.



^{2; 3;1}^



^. ^B.



^{2;1; 3}^



^. ^C.



^{1; 3; 2}^



^. ^D.



^{1; 2; 3}^



^.

Câu 37: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các vectơ ^a^^



^{2; 1;3}^



^,^b^ ^



^{1;3; 2}^



. Tìm tọa độ của vectơ c  a 2b

.

A. ^c^^



^{0; 7; 7}^ ^



^. ^B.^c^^



^{4; 7;7}^



^. ^C.^c^^



^{0; 7;7}^



^. ^D.^c^^



^0;7;7



^.



^{2; 3; 4}



^,^B



^{6; 2; 2}



. Tìm tọa độ véctơ .

AB



A. ^^AB^



^{4;3; 4}



^. ^B.^^AB^



^{4; 1; 2}^{ }



^. ^C.^^AB^{ }



^{2;3; 4}



^. ^D.^^AB^



^{4; 1; 4}^



^.

Câu 39: Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho hai điểm ^A



^{3; 2;1}



^,^B



^^{1; 0; 5}



. Tìm tọa độ trung điểm của đoạn AB.

A. I(2; 2; 6). B. I( 1; 1; 1)  . C. I(2; 1; 3). D. I(1; 1; 3).

Câu 40: Cho tam giác ABC biết ^{A 2;4; 3}



^



và trọng tâm G của tam giác có toạ độ là ^{G 2;1;0}

 

^{. Khi đó}

ABAC

 

có tọa độ là.

A.



^{0;4; 4}^



^. ^B.



^{0; 4;4}^



^. ^C.



^{0; 9;9}^



^. ^D.



^{0;9; 9}^



^.

Câu 41:

Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm là ^A



^{1;3; 1}^



^,^B



^{3; 1;5}^



. Tìm tọa độ của điểm M thỏa mãn hệ thức MA3MB

. A. ^{7 1}; ;3

M3 3 

 

 . B. ^M



^{4; 3;8}^



^. ^C. ^{5 13}^; ^;1

M3 3 

 

 . D. ^{7 1}; ;3 M3 3 

 

 . Câu 42: Cho tam giác ABC biết ^A



^{2; 1;3}^



và trọng tâm G của tam giác có toạ độ là ^G



^{2;1; 0}



^{. Khi đó}

ABAC

 

có tọa độ là

A.



^{0;6;9 .}



^B.



^{0;9; 9}^



^. ^C.



^{0; 9;9}^



^. ^D.



^{0;6; 9}^



^.

Câu 43: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyzcho hình hộp ABCD A B C D.    . Biết ^A



^{2; 4;0}



^,^B



^{4; 0;0}



^,



^{1; 4; 7}



C   và ^D



^6;8;10



. Tọa độ điểm B là

A. ^B^



^{8; 4;10}



^. ^B.^B^



^{6;12; 0}



^. ^C.^B^



^10;8;6



^. ^D.^B^



^{13; 0;17}



^.

Câu 44: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD A B C D.     có ^A



^{1; 0;1}



^, ^B



^{2;1; 2}



^, ^D



^{1; 1;1}^



^,



^{4;5; 5}



C  . Tính tọa độ đỉnh A của hình hộp.

A. ^A



^{3; 4; 6}^



^. ^B.^A



^{4; 6; 5}^



^. ^C.^A



^{2;0; 2}



^. ^D.^A



^{3;5; 6}^



^.

Câu 45: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình hộp ABCD A B C D.     có ^A



^{0; 0; 0}



^,^B



^{3; 0; 0}



^,



^{0; 3; 0}



D , ^D



^{0; 3;}^³



. Toạ độ trọng tâm tam giác A B C  là

A.



^{2; 1;}^²



^. ^B.



^{1; 2;}^¹



^. ^C.



^{2 ; 1;}^¹



^. ^D.



^{1; 1;} ^²



^.

(11)

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7 Câu 46: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD A B C D.    . Biết ^A



^^{3; 2;1}



^,



^{4; 2; 0}



C , ^{B }



^2;1;1



^,^D^



^{3;5; 4}



. Tìm tọa độ A của hình hộp ABCD A B C D.    .

A. ^{A  }



^{3; 3;3}



^. ^B.^{A   }



^{3; 3; 3}



^. ^C.^{A }



^3;3;1



^. ^D.^{A }



^3;3;3



^.

Câu 47: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp , biết rằng ,

, , . Tìm tọa độ điểm .

A. . B. ^C^



^{7; 4; 4}



^. ^C.^C^



^{10; 4; 4}



^. ^D.^{C }



^{13; 4; 4}



^.

Câu 48: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD A B C D.    . Biết ^A



^{1; 0;1}



^,^B



^{2;1; 2}



, ^D



^{1; 1;1}^



^,^C



^{4;5; 5}^



. Gọi tọa độ của đỉnh ^{A a b c}^



^{; ;}



^{. Khi đó}^{2a b c}^{ } ^bằng?

A. 7 . B. 2. C. 8 . D. 3 .

Câu 49: Trong không gian Oxyz cho biết ^A



^^2;3;1



^; ^B



^2;1;3



. Điểm nào dưới đây là trung điểm của đoạn AB?

A. ^M



^{0; 2; 2}



^. ^B.^N



^{2; 2; 2}



^. ^C.^P



^{0; 2;0}



^. ^D.^Q



^{2; 2;0}



^.

Câu 50: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm ^M



^{1; 2;3}^



^,^N



^{3; 0; 1}^



^{và điểm}^I ^{là trung}

điểm của MN. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. OI2i  j 2k

B. OI4i2 jk

C. OI2  i j k

D.

4 2 2

OI i j k

Câu 51: Cho các vectơ ^a^^



^{1;2;3 ;}



^b^^{ }



^{2; 4;1 ;}



^c^^{ }



^{1;3; 4}



^{. Vectơ}v2a3b5c

   

có tọa độ là A.



3; 7; 23 .



B.



7; 3; 23 .



C.



23; 7; 3 .



D.



7; 23; 3 .



Câu 52: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm ^A



^{1; 2; 4}



^,^B



^{2; 4; 1}^



. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác OAB.

A. ^G



^{1; 2;1}



^. ^B.^G



^2;1;1



^. ^C.^G



^2;1;1



^. ^D.^G



^6;3;3



^.

Câu 53: Trong không gian với hệ tọa độ cho hình hộp có và . Tọa độ trọng tâm của tam giác là.

A.



^{1; 2; 1}^



^. _B.



^{2;1; 2}^



_. _C.



^{2;1; 1}^



_. _D.



^{1;1; 2}^



_.

Câu 54: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 3 điểm ^A^{3; 2;3 ,}^  ^B ^{4;3;5 ,} ^C ^{1;1; 2}^ . Tính tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

A. ^D



^{0; 4; 4}^



^. ^B.^D



^^{4;0; 4}



^. ^C.^D



^{4; 0; 4}



^. ^D.^D



^{0; 4; 4}^{ }



^.



^{3; 2;3}^



^và^B



^^{1; 2;5}



. Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB.

A. ^I



^{2; 2; 1}^{ }



^. ^B.^I



^^{2; 2;1}



^. ^C.^I



^{1;0; 4}



^. ^D.^I



^2;0;8



^.

Câu 56: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm ^K



^{2; 4; 6}



^{, gọi}^K^ là hình chiếu vuông góc của K lên Oz, khi đó trung điểm của OK có tọa độ là:

A.



^{0; 2; 0 .}



^B.



^{0; 0;3 .}



^C.



^{1;0; 0 .}



^D.



^{1; 2;3 .}



Câu 57: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ ^^AO^³



^ⁱ^⁴^^j



^²^k^^⁵^^j. Tọa độ của điểm A là A. ^A



^{3; 5; 2}^



^. ^B.^A



^{3; 2; 5}^



^. ^C.^A



^{3;17; 2}



^. ^D.^A



^{ }^{3; 17; 2}



^.

.

ABCD A B C D    A



^^{3; 0; 0}





^{0; 2; 0}



B ^D



^0;0;1



^A



^{1; 2;3}



^C



^{13; 4; 4}



C

,

Oxyz ABCD A B C D.     ^A



^{0;0;0 ,}



^B



^{3;0;0 ,}





^0;3;0



D ^D



^{0;3; 3}^



^{A B C}^{ }

(12)

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 8 Câu 58: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ^M



^{2; 4; 3}^



^,^MN^{}^{  }



^{1; 3; 4}



^,^MP^^{  }



^{3; 3;3}



^,



^{1; 3; 2}



MQ 



. Tọa độ trọng tâm G của tứ diện MNPQ là:

A. 5 5 3

; ; 4 4 4 G  

 

 

. B. 5 7 3

4 4 4; ; G  

 

 

. C. 1 1 3

; ; 4 4 4 G  

 

 

. D. 1 1 3

; ; 3 4 4 G  

 

 

. Câu 59: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyzcho ^A



^^{1; 2; 3}



^,^B



^{1; 0; 2 .}



Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn

2.

AB MA

 

? A. 2; 3;⁷

M 2

  

 . B. 2;3;⁷ M 2

 

 . C. ^M



^^{2; 3; 7}



^. ^D.^M



^^{4; 6; 7}



^.

Câu 60: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm ^A



^{1;3; 2}



^,^B



^{2; 1;5}^



^,^C



^{3; 2; 1}^



^{. Tìm toạ}

độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

A. ^D



^0;0;8



^. ^B.^D



^{2; 6; 4}^



^. ^C.^D



^{4; 2; 4}^



^. ^D.^D



^{2; 6;8}



^.

Câu 61: Cho tam giác ABC, biết ^A



^{1; 2; 4}^



^,^B



^{0; 2;5}



^,^C



^5;6;3



. Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là

A. ^G



^6;3;3



^. ^B.^G



^{2; 2; 4}



^. ^C.^G



^{4; 2; 2}



^. ^D.^G



^{3;3; 6}



^.



^^1;5;3



^và^M



^{2;1; 2}^



. Tìm tọa độ điểm B biết M là trung điểm của đoạn AB.

A. ^B



^{5; 3; 7}^ ^



^. ^B.^B



^^4;9;8



^. ^C.^B



^{5;3; 7}^



^. ^D. ¹^;3;¹

2 2

 

 

 

B .

Câu 63: Trong không gian Oxyz, tìm tọa độ của véc tơ  6 8 4

   

u i j k.

A. ^u^ ^{ }



^{6;8; 4}



^. ^B.^u^^{ }



^{3; 4; 2}



^. ^C.^u^^



^{6;8; 4}



^. ^D.^u^^



^{3; 4; 2}



^.

Câu 64: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm ^A



^{3;4;2 ,}



^B



^{ }^{1; 2;2}



^và^G



^1;1;3



là trọng tâm của tam giác ABC. Tọa độ điểm C là

A. ^C



^{0;1; 2}



^. ^B.^C



^0;0;2



^. ^C.^C



^1;1;5



^. ^D.^C



^{1;3; 2}



^.

Câu 65: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho các điểm ^M



^{1; 2;3}



^;^N



^{3; 4; 7}



. Tọa độ của véc- tơ MN



là

A.



^{2;3;5 .}



^B.



^{2; 2; 4 .}



^C.



^{  }^{2; 2; 4}



^. ^D.



^{4; 6;10 .}



Câu 66: Cho ^a^ ^{ }



^2;1;3



^,^b^^



^1;2;^m



^{. Vectơ}a



vuông góc với b

 khi

A. m2 B. m0 C. m1 D. m 1

Câu 67: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn véc tơ ^a^ ^



^2;3;1



^,^b^^



^5;7;0



^,^c^^



^{3; 2; 4}^



và ^d^^



^{4;12; 3}^



. Mệnh đề nào sau đây sai ? A. d     a b c

. B. a b c  , ,

là ba véc tơ không đồng phẳng.

C. 2a3bd2c

   

. D. a b   d c

. Câu 68: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm tọa độ u

biết u2i3j5k .

A. ^u^ ^



^{5; 3; 2}^



^. ^B.^u^^



^{2; 3; 5}^



^. ^C.^u^ ^



^{2; 5; 3}^



^. ^D.^u^^{ }



^{3; 5; 2}



^.

Câu 69: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC với ^A



^^{1; 2; 0}



^,^B



^{3;1; 2}



^,^C



^^{2; 0;1}



. Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

A. ^G



^{0; 1;1}^



^. ^B.^G



^{1; 0; 1}^



^. ^C.^G



^{0;1; 1}^



^. ^D.^G



^0;1;1



^.

(13)

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 9 Câu 70: Trong không gian với hệ tọa độ



^{O i j k}^{, , ,}^{  }



^{, cho}^OM^^



^{2; 3; 1}^ ^



. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. 23 

OM i j k. B. ^M



^^2;3;1



^. ^C.^M



^{ }^{1; 3;2}



^. ^D. ^OM^^²^ⁱ^³^{ }^{j k}^

.

Câu 71: Trong không gian Oxyz, cho OA3i 4j5k

   

. Tọa độ điểm A là

A. ^A



^{ }^{3; 4;5}



^. ^B.^A



^{3; 4; 5}^



^. ^C.^A



^^{3; 4;5}



^. ^D.^A



^{3; 4;5}



^.

Câu 72: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm ^M



^{3;1; 0}



^vàMN  



1; 1;0 .



Tìm tọa độ của điểm N .

A. ^N



^^{2; 0; 0}



^. ^B.^N



^{2; 0; 0}



^. ^C.^N



^{4; 2; 0}



^. ^D.^N



^^{4; 2; 0}^



^.

Câu 73: Trong không gian Oxyz, cho điểm ^A



^{1; 2; 3}^



. Hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng



^Oyz



^{là điểm}^M^. Tọa độ của điểm M là

A. ^M



^{1; 2;0}^



^. ^B.^M



^{0; 2;3}^



^. ^C.^M



^{1; 0; 0}



^. ^D.^M



^{1; 0;3}



^.

Câu 74: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với ^A



^^{2; 4;1}



^,^B



^{1;1; 6}^



^,^C



^{0; 2;3}^



. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. A. ^{1 5}; ; ⁵

2 2 2

G 

 

 

  B. ¹;1; ²

3 3

G 

 

 

  C. ^G



^^{1;3; 2}^



^D. ¹^{; 1;}²

3 3

G 

  

 

Câu 75: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm ^A



^{1; 2;3}



^và ^B



^^{2;1; 2}



. Tìm tọa độ điểm M thỏa 2

MB MA

 

.

A. ^M



^{4;3; 4}



^. ^B.^M



^^1;3;5



^. ^C