SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM
KỲ THI OLYMPIC 24/3 TỈNH QUẢNG NAM NĂM 2021
Môn thi : TOÁN 10
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 20/03/2021
Câu 1 (5,0 điểm).
a) Giải phương trình 3 x 1 3 3 x 4 x
2 4 x 3 2 0.
b) Giải hệ phương trình
2
2 0
2 3 2( 3 2) 2 1 0
y x xy
x x y y x x
Câu 2 (4,0 điểm).
a) Cho hàm số
2
1 3 khi 3
6 12 khi 3
x x x
y x x x
có đồ thị (C).
Tìm tất cả các điểm trên đồ thị (C) có tung độ bằng 4.
b) Cho parabol ( ) P : y x
2 bx c . Tìm các hệ số b c , để ( ) P đi qua A (2;1) và cắt trục hoành tại hai điểm B C , sao cho tam giác IBC đều, với I là đỉnh của ( ). P
Câu 3 (4,0 điểm).
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
( ) 3 1 f x x 2 x
trên nửa khoảng 1; .
b) Cho hai số thực dương x y , thỏa mãn
x y xy 3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3 3
x x y y
P x y y x
Câu 4 (3,0 điểm).
a) Cho hình vuông ABCD , M là trung điểm của BC , N nằm trên cạnh CD sao cho
2 ,NC ND
K là trung điểm của AB . Hai điểm
I J,lần lượt là trọng tâm của hai tam giác
, .
AMN BCN
Hãy biểu thị vectơ
IJ
theo hai vectơ AB AD ,
và chứng minh IJ vuông góc với DK . b) Cho tam giác ABC có AB 2 3, AC 4, BAC
150 .
0Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho BAM 120 .
0Tính độ dài các đoạn thẳng MB MC , .
Câu 5 (4,0 điểm).
a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A (3;1) và đường thẳng (d) có phương trình 2 x y 1 0 . Viết phương trình đường tròn (C) đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng (d) tại B (1;3).
b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại B. Các điểm M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC và I (7;3) là trọng tâm của tam giác ABN . Điểm E thuộc cạnh AC sao cho IE IA ( E khác A ) và đường thẳng IE có phương trình
2 13 0
x y . Điểm M thuộc đường thẳng ( ) : d
1x 3 y 12 0 , B thuộc đường thẳng ( ) : d
2x y 2 0 và A có hoành độ lớn hơn 5. Tìm tọa độ các điểm A, B, C.
–––––––––––– Hết ––––––––––––
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: …..……….………. Số báo danh: ……….………
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 1/6 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NAM
KỲ THI OLYMPIC 24/3 TỈNH QUẢNG NAM NĂM 2021
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Môn thi: TOÁN 10 (Đáp án – Thang điểm gồm 06 trang)
Câu Đáp án Điểm
Câu 1 (5,0 điểm)
a) Giải phương trình 3 x 1 3 3 x 4 x2 4x 3 2 0 2,5 Điều kiện: 1 x 3.
3 x 1 4 x
24 x 3 3 3 x 2 0
3( x 1 3 x) 4 (x 1)(3 x) 2 0 (1)
Đặt
t x 1 3 x t ( 0) t
2 2 2 ( x 1)(3 x )
Phương trình (2) trở thành: 3t2(t2 2) 2 0 2
2
2 3 2 0 1
(loai) 2 t t t
t
2 1 3 2 2
t x x x
(thỏa).b) Giải hệ phương trình
2
2 0
2 3 2( 3 2) 2 1 0
y x xy
x x y y x x
2,5
Điều kiện 1
, 0
x 2 y
2 0
y x xy
(y x ) (x xy) 0 ( y2 x)( y x) 02 0 ( 0) 4
y x y x y x
Khi đó pt thứ hai viết lại: x22x 3 2(x2) 2x 1 0
x24x4
2(x2) 2x 1 (2x 1) 0 x 2 2 x 1
20
2
2 1 2 2 5
6 5 0
x x x x
x x
Suy ra được nghiệm của hệ: (5 ; 20).
Trang 2/6
Câu 2(4,0 điểm)
a) Cho hàm số 2 1 3 khi 3
6 12 khi 3
x x x
y x x x
có đồ thị (C).
Tìm tất cả các điểm trên đồ thị (C) có tung độ bằng
4.
2,0
y x 1 3 x x ( 3)
4 1 3 4 3 3
y x x x x
2
3 0
3 ( 3)
x
x x
23
7 6 0
x
x x
3 1 ( 1; 4)
1 6
x x A
x x
y x
2 6 x 12 ( x 3)
2
2(loai)
4 6 12 4 (4;4)
4
y x x x B
x
Vậy có hai điểm thỏa đềA ( 1;4), (4;4). B
b) Cho parabol
( ) P
:y x
2 bx c
. Tìm các hệ sốb c ,
để( ) P
đi qua A(2;1) và cắt trục hoành tại hai điểm B C, sao cho tam giácIBC
đều, vớiI
là đỉnh của ( ).P 2,0
Parabol
y x
2 bx c
đi quaA (2;1)
nên2 b c 3
(1) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và trục hoành là
x
2 bx c 0
(*) (P) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt B, CPhương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
x x
1,
2 b
2 4 c 0
Parabol (P) có đỉnh
4 2
( ; )
2 4
b c b
I
Giả sử :
B x ( ;0), ( ;0)
1C x
2 ; trong đóx x
1,
2là hai nghiệm của pt (*)Tam giác IBC đều khi 3 4 2 1 2 3
. .
2 4 2
IH BC c b x x
2 2 2
1 2 1 2
(4 ) 3
( ) 4 .
16 4
c b x x x x
2 2
(4 ) 2 3
( 4 ).
16 4
c b b c
2 2 2 2
(b 4 c) 12(b 4 )c b 4c 12
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ :
2
2 3 0
4 12 3
b c b
b c c
hoặc 8
13 b c
.
Trang 3/6
Câu 3(4,0 điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
( ) 3 1 f x x 2 x
trên nửa khoảng 1; .
1,51 5 1
( ) 3
2 2 2 2
x x f x x
x x
5.1 1 7
2 2 2 2 2
x
x
Dấu “ = ” xảy ra khi
1
1 1.
2 2
x x x
x
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số f x ( ) trên nửa khoảng 1; là 7 .
2
b) Cho hai số thực dươngx y ,
thỏa mãn x y xy 3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3 3
y y P x x
x y y x
2.5
Đặt t x y t, 0, ta có: ( )2 2
3 4 4
x y t
x y xy x y t
2 4 12 0 ( 6)( 2) 0 2
t t t t t
. Suy ra x y 2 (dấu “=” xảy ra khi x y 1).
2 2
2 2
3 3 4 ( 3 ) 4 ( 3 )
y y
x x x y
P x y y x x x y y y x
2 2
4 4
5 3 5 3
x y
x y y x
(bất đẳng thức Côsi) 4( )2
8( )
x y x y
(bất đẳng thức a2 b2 (a b)2
x y x y
với x0, y0)
1
2 x y
Suy ra: P1, P 1 x y 1. Vậy minP1 khi x y 1.
Trang 4/6
Câu 4(3,0 điểm)
a) Cho hình vuông ABCDcó cạnh bằng
a , M
là trung điểm của BC,N
nằm trên cạnh CD sao cho NC 2ND,K
là trung điểm củaAB .
Hai điểm I J, lần lượt là trọng tâm của hai tam giác AMN BCN, . Hãy biểu thị IJtheo hai vectơ AB AD, ; chứng minh IJ vuông góc với DK.
1,5
IJ AJ AI
1 1
3 AB AC AN 3 AA AM AN
1 1 1
3AB 3AC 3AM
1 1 1 1
3AB 3 AB AD 3AB 2 AD
1 1
3AB 6AD
1 1 1
. ( )( )
3 6 2
IJ DK AB AD AB AD
2 2
1 1
6AB 6AD 0
Suy ra
IJ
vuông góc với DK.b) Cho tam giác
ABC
cóAB 2 3, AC 4,
BAC 150 .
0 ĐiểmM
nằm trên cạnhBC
sao cho BAM120 .0 TínhMB MC , .
1,5
1. . .sin 3
21. . .sin 2 2
AMB AMC
AB AM BAM S
MB
MC S AM AC MAC
2 2 2. . .cos 2 13
BC AB AC AB AC BAC
3 6 13
5 5
MB BC
2 4 13
5 5
MC BC Cách khác :
ABC AMB AMC
S S S
1 1 1
. . .sin . . .sin . . .sin
2 AB AC BAC 2 AB AM BAM 2 AM AC MAC
0 0 0
1 1 1
.2 3.4.sin150 .2 3. .sin120 . .4.sin 30
2 2 AM 2 AM
1 1 1 3 1 1 4 3
.2 3.4. .2 3. . . .4.
2 2 2 AM 2 2 AM 2 AM 5
2 2 6 13
2. . .cos
MB AB AM AB AM BAM 5
2 2 4 13
2. . .cos
MC AM AC AM AC MAC 5
Trang 5/6
Câu 5(4,0 điểm)
a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm
A (3;1)
và đường thẳng (d) có phương trình2 x y 1 0
. Viết phương trình đường tròn (C) đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng (d) tạiB (1;3).
1,5 + Gọi ( ; )I a b là tâm của đường tròn (C).
( 1; 3)
BI a b
+ (d) có một vectơ chỉ phương là u(1; 2)
+ Đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng (d) tại
B (1;3)
nên. 0 1( 1) 2( 3) 0 2 7 (1)
BI u a b a b
+ Đường tròn (C) đi qua A(3;1) nênAI BI a b 0 (2) Từ (1) và (2) suy ra 7
a b 3. Suy ra 7 7 ( ; ).
I 3 3 Bán kính của đường tròn là 2 5 3 . R IA
Suy phương trình đường tròn (C): 7 2 7 2 20
( ) ( )
3 3 9
x y
b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác
ABC
vuông cân tại B. Các điểm M,N lần lượt là trung điểm của AB, AC vàI (7;3)
là trọng tâm của tam giácABN .
Điểm E thuộc cạnh AC sao cho
IE IA
(E
khácA
) và đường thẳngIE
có phương trìnhx 2 y 13 0
. Điểm M thuộc đường thẳng( ) : d
1x 3 y 12 0
, B thuộc đường thẳng( ) : d
2x y 2 0
và A có hoành độ lớn hơn5.
Tìm tọa độ các điểm A, B, C.2,5
(HV: 0,25 điểm)
Chứng minh được tứ giác BINE nội tiếp và suy ra BIE900. Viết được phương trình đường thẳng BI là
2 x y 11 0.
Mặt khác B thuộc
( ) : d
2x y 2 0
,suy raB (3; 5).
M thuộc ( )d1
M (12 3 ; ) m m
3 (3;3). 0
1 (9;1)
m M
MB MI
m M
(3;11) (loai) (15;7) A A
. VậyM (9;1), (15;7). A
3 (3;7)
MN MI N
Suy ra ptđt AC là y 7 C( 9;7).
Trang 6/6 Ghi chú:
Trong những ý chưa phân rã ra 0,25đ thì nếu cần Ban Giám khảo có thể thống nhất rã ra chi tiết 0,25đ, nhưng lưu ý tổng điểm cả ý đó vẫn không đổi ;
Nếu học sinh có cách giải khác đúng, chính xác và logic thì Ban Giám khảo thảo luận và thống nhất thang điểm cho điểm phù hợp với Hướng dẫn chấm.