P là giao điểm thứ hai của (O1) và (O2)

(1)

Câu 1 (4,0 điểm) Giải phương trình sau trên tập số thực:

2 2 3

1x  x   x 1 1 x 1.

Câu 2 (4,0 điểm) Cho tam giác ABC. Gọi (O₁) là đường tròn đi qua B và tiếp xúc với AC tại A; (O₂) là đường tròn đi qua C và tiếp xúc với AB tại A. P là giao điểm thứ hai của (O₁) và (O2); K L, theo thứ tự là giao điểm thứ hai của (O₁), (O₂) với đoạn thẳng BC . Gọi ( )S là đường tròn ngoại tiếp tam giác PKL.

a) Chứng minh rằng: AK AL, tiếp xúc với ( )S .

b) Gọi Q là giao điểm thứ hai của ( )S và AP; E là giao điểm của QK và AB; F là giao điểm của QL và AC. Chứng minh rằng các điểm A K L S E F, , , , , cùng thuộc một đường tròn.

(Chú ý. Ta kí hiệu ( )X là đường tròn có tâm X ).

Câu 3 (4,0 điểm) Cho đa thức f x( )x⁴x³mx²nx p, trong đó m n p, , là các số nguyên đôi một phân biệt, khác không, sao cho f m( )m⁴ m³ và f n( )n⁴n³. Tìm m n p, , .

Câu 4 (4,0 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương ( , )a b thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:

i) ab² là lũy thừa của một số nguyên tố;

ii) a²b chia hết cho ab².

Câu 5 (4,0 điểm) Cho tập S {1, 2,3,..., 2025}. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất n sao cho: Với mọi tập con T của S gồm n phần tử, tồn tại hai phần tử phân biệt u v T,  sao cho u v 20.

---HẾT---

Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ... Số báo danh: ...

TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XIII TUYÊN QUANG 2017

ĐỀ THI OLYMPIC MÔN TOÁN LỚP 10

Ngày thi: 29 tháng 7 năm 2017

Thời gian làm bài:180 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi có 01 trang)

ĐỀ CHÍNH THỨC