Ước chung và ước chung lớn nhất I

(1)

Bài 12. Ước chung và ước chung lớn nhất I. Nhận biết

Câu 1: Số x là ước chung của số a và số b nếu:

A. x vừa là ước của a vừa là ước của b B. x là ước của a nhưng không là ước của b C. x là ước của b nhưng không là ước của a D. x không là ước của cả a và b

Lời giải

Theo lý thuyết: Số x là ước chung của số a và số b nếu x vừa là ước của a vừa là ước của b.

Chọn đáp án A.

Câu 2: Chọn khẳng định đúng:

A. Mọi số tự nhiên đều có ước chung với nhau.

B. Mọi số tự nhiên đều có ước là 0

C. Số nguyên tố chỉ có đúng 1 ước là chính nó

D. Hai số nguyên tố khác nhau thì không có ước chung Lời giải

+ Đáp án A: Đáp án này đúng vì mọi số tự nhiên đều có ước chung là 1 + Đáp án B: Đáp án này sai, vì 0 không là ước của bất kì một số nào cả + Đáp án C: Đáp án này sai, vì số nguyên tố có 2 ước là 1 và chính nó + Đáp án D: Đáp án này sai, vì 2 số nguyên tố có ước chung là 1 Chọn đáp án A.

Câu 3: ƯCLN của a và b là:

A. bằng b nếu a chia hết cho b B. bằng a nếu a chia hết cho b C. ước chung nhỏ nhất của a và b D. hiệu của 2 số a và b

Lời giải

Nếu a chia hết cho b thì b là ước của a.

(2)

Mà b cũng là ước của b nên là ước chung của a và b.

Hơn nữa b là ước lớn nhất của b nên ƯCLN (a, b) = b.

Vậy ƯCLN của a và b là bằng b nếu a chia hết cho b.

Câu 4: Chọn câu sai.

A. Ước chung lớn nhất của hai số a và b là số lớn nhất trong các ước chung của a và b

B. Ước chung của hai số là ước của ước chung lớn nhất của chúng C. Hai số nguyên tố cùng nhau là hai số có ước chung lớn nhất bằng 1

D. Ước chung lớn nhất của hai số a và b là số bé nhất trong các ước chung của a và b

Lời giải

Theo lý thuyết, ta có:

+ Ước chung lớn nhất của hai số a và b là số lớn nhất trong các ước chung của a và b

+ Ước chung của hai số là ước của ước chung lớn nhất của chúng + Hai số nguyên tố cùng nhau là hai số có ước chung lớn nhất bằng 1 Vậy đáp án A, B, C đúng và D sai.

Chọn đáp án D.

Câu 5: Điền từ thích hợp vào chỗ chấm.

Nếu a ⁝ 7 và b ⁝ 7 thì 7 là ………. của a và b.

A. ước chung lớn nhất B. ước chung

C. bội

(3)

D. bội chung Lời giải

Nếu a ⁝ 7 thì 7 là ước của a, b ⁝ 7 thì 7 là ước của b, vậy 7 là ước chung của a và b.

Do đó: Nếu a ⁝ 7 và b ⁝ 7 thì 7 là ước chung của a và b.

Chọn đáp án B.

Câu 6: Điền từ thích hợp vào chỗ chấm.

Nếu 19 là số lớn nhất sao cho a ⁝ 19 và b ⁝ 19 thì 19 là ………. của a và b.

A. ước chung

B. ước chung lớn nhất C. bội chung

D. bội chung lớn nhất Lời giải

Nếu a ⁝ 19 thì 19 là ước của a, b ⁝ 19 thì 19 là ước của b, vậy 19 là ước chung của a và b.

Hơn nữa, 19 lại là số lớn nhất thỏa mãn a ⁝ 19 và b ⁝ 19 nên 19 là ước chung lớn nhất của a và b.

Do đó: Nếu 19 là số lớn nhất sao cho a ⁝ 19 và b ⁝ 19 thì 19 là ước chung lớn nhất của a và b.

Câu 7: Cho các bước sau, sắp xếp theo thứ tự để được cách tìm ước chung lớn nhất bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố.

1. Chọn ra các thừa số nguyên tố chung 2. Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố

(4)

3. Lấy tích các lũy thừa đã chọn, ta nhận được ước chung lớn nhất cần tìm 4. Với mỗi thừa số nguyên tố chung, ta chọn lũy thừa với số mũ nhỏ nhất A. 1 – 2 – 3 – 4

B. 2 – 3 – 4 – 1 C. 2 – 1 – 4 – 3 D. 1 – 4 – 3 – 2 Lời giải

Theo lý thuyết: cách tìm ước chung lớn nhất bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố.

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung

Bước 3: Với mỗi thừa số nguyên tố chung, ta chọn lũy thừa với số mũ nhỏ nhất Bước 4: Lấy tích các lũy thừa đã chọn, ta nhận được ước chung lớn nhất cần tìm.

Vậy ta sắp xếp theo thứ tự 2 – 1 – 4 – 3.

Chọn đáp án C.

Câu 8: Viết tập hợp các ước chung của 9 và 15.

A. ƯC(9, 15) = {1; 3}

B. ƯC(9, 15) = {0; 3}

C. ƯC(9, 15) = {1; 5}

D. ƯC(9, 15) = {1; 3; 9}

Lời giải Ta có:

(5)

Các ước của 9 là: 1, 3, 9.

Các ước của 15 là: 1, 3, 5, 15.

Do đó các ước chung của 9 và 15 là: 1, 3.

Vậy tập hợp các ước chung của 9 và 15 là: ƯC(9, 15) = {1; 3}.

Câu 9: Ước chung lớn nhất của 9 và 15 là:

A. 15 B. 9 C. 3 D. 1 Lời giải

Các ước của 9 là: 1, 3, 9.

Các ước của 15 là: 1, 3, 5, 15.

Do đó các ước chung của 9 và 15 là: 1, 3.

Ta thấy 3 là số lớn nhất trong các ước chung của 9 và 15.

Vậy ƯCLN(9, 15) = 3.

Câu 10: Tìm ƯCLN(16, 32, 112)?

A. 4 B. 8 C. 16 D. 32

(6)

Lời giải

Ta có: 32 ⁝ 16; 112 ⁝ 16.

Vậy ƯCLN(16, 32, 112) = 16.

II. Thông hiểu

Câu 1: Tìm ƯCLN của 25, 45 và 225 bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố.

A. 18 B. 3 C. 15 D. 5 Lời giải

Ta phân tích các số đã cho ra thừa số nguyên tố, ta được:

25 = 5 . 5 = 5²

45 = 3 . 15 = 3 . 3 . 5 = 3² . 5 225 = 9 . 25 = 3² . 5²

Các thừa số nguyên tố chung là 5, với số mũ nhỏ nhất là 1.

Vậy ƯCLN(25, 45, 225) = 5¹ = 5.

Câu 2: Tập hợp ước chung của 12; 18 và 24 là:

A. {1; 2; 3}

B. {1; 2; 3; 6}

(7)

C. {1; 2; 3; 4}

D. {1; 2; 3; 4; 6}

Lời giải

Ta đi tìm các ước của 12, 18 và 24:

Các ước của 12 là: 1; 2; 3; 4; 6; 12 Các ước của 18 là: 1; 2; 3; 4; 6; 9; 18 Các ước của 24 là: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24 Suy ra, ƯC(12, 18, 24) = {1; 2; 3; 6}.

Câu 3: Cho a = 3². 5 . 7 và b = 2⁴. 3 . 7. Tìm ƯCLN của a và b.

A. ƯCLN(a, b) = 3 . 7 B. ƯCLN(a, b) = 3². 7² C. ƯCLN(a, b) = 2⁴. 5 D. ƯCLN(a, b) = 2⁴. 3². 5 . 7 Lời giải

Ta có: a = 3². 5 . 7 và b = 2⁴. 3 . 7

Các thừa số nguyên tố chung của a và b là 3 và 7.

Số mũ nhỏ nhất của 3 là 1, số mũ nhỏ nhất của 7 là 1.

Vậy ƯCLN(a, b) = 3 . 7 Chọn đáp án A.

Câu 4: Số tự nhiên a lớn nhất thỏa mãn 90 ⁝ a và 135 ⁝ a là:

A. 15

(8)

B. 30 C. 45 D. 60 Lời giải

Vì 90 ⁝ a nên a là ước của 90 và 135 ⁝ a nên a là ước của 135 Suy ra a là ước chung của 90 và 135.

Vì a là số lớn nhất thỏa mãn điều kiện trên nên a = ƯCLN (90, 135).

Phân tích các số 90 và 135 ra thừa số nguyên tố, ta được:

90 = 2 . 3². 5 135 = 3³. 5

Vậy ƯCLN(90, 135) = 3². 5 = 45 hay a = 45.

Câu 5: Trong hai số sau, hai số nào là hai số nguyên tố cùng nhau:

A. 2 và 6 B. 3 và 10 C. 6 và 9 D. 15 và 33 Lời giải Ta có:

ƯC(2, 6) = {1; 2} nên ƯCLN(2, 6) = 2 ƯC(3, 10) = {1} nên ƯCLN(3, 10) = 1

(9)

ƯC(6, 9) = {1; 3} nên ƯCLN(6, 9) = 3 ƯC(15, 33) = {1; 3} nên ƯCLN(15, 33) = 3

Chú ý: Hai số gọi là nguyên tố cùng nhau nếu chúng có ước chung lớn nhất là 1.

Vậy 3 và 10 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Chọn đáp án B

Câu 6: Tìm số tự nhiên lớn nhất biết 18 ⁝ x và 32 ⁝ x.

A. 4 B. 2 C. 3 D. 6 Lời giải:

Vì 18 ⁝ x nên x là ước của 18 và 32 ⁝ x nên x là ước của 32 Suy ra x là ước chung của 18 và 32.

Vì a là số lớn nhất thỏa mãn điều kiện trên nên a = ƯCLN (90, 135).

Phân tích các số 90 và 135 ra thừa số nguyên tố, ta được:

90 = 2 . 3². 5 135 = 3³. 5

Vậy ƯCLN(90, 135) = 3². 5 = 45 hay a = 45.

Câu 7: Phân số 5

9 bằng phân số nào sau đây?

A. 10 20

(10)

B. 90 108 C. 60

130 D. 55

99 Lời giải

Ta thấy các phân số đã cho ở phần đáp án đều chưa phải là phân số tối giản, do đó ta đi rút gọn các phân số đó.

Để rút gọn các phân số đưa về tối giản, ta chia cả tử và mẫu của phân số đó cho ƯCLN của tử và mẫu.

+) 10 20

Ta có: 20 chia hết cho 10 nên ƯCLN(10, 20) = 10 Nên 10 10 :10 1 5

20 20 :10  2 9. Do đó đáp án A sai.

+) 90 108

Ta có: ƯCLN(90, 108) = 18 Nên 90 90 :18 5 5

108 108 :18 6 9. Do đó đáp án B sai.

+) 60 130

Ta có: ƯCLN(60, 130) = 10 Khi đó: 60 60 :10 6 5

130130 :10 13 9. Do đó đáp án C sai.

(11)

+) 55 99

Ta có: ƯCLN(55, 99) = 11 Khi đó: 55 55 :11 5

99 99 :119. Do đó đáp án D đúng.

III. Vận dụng

Câu 1: Một đội y tế có 36 bác sĩ và 108 y tá. Có thể chia đội y tế đó nhiều nhất thành mấy tổ để các bác sĩ cũng như các y tá được chia đều vào mỗi tổ?

A. 36 B. 18 C. 9 D. 6 Lời giải

Gọi số tổ có thể chia là a, a ^*

Vì các bác sĩ và y tá được chia đều vào mỗi tổ nên 36 ⁝ a và 108 ⁝ a và a lớn nhất.

Do đó, a = ƯCLN(36, 108)

Vì 108 ⁝ 36 nên ƯCLN(36, 108) = 36.

Vậy a = 36 hay có thể chia nhiều nhất thành 36 tổ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 2: Một căn phòng hình chữ nhật dài 680 cm, rộng 480 cm. Người ta muốn lát kín căn phòng đó bằng gạch hình vuông mà không có viên gạch nào bị cắt xén. Hỏi viên gạch có độ dài lớn nhất là bao nhiêu?

A. 5 cm B. 10 cm C. 20 cm

(12)

D. 40 cm Lời giải

Gọi chiều dài của viên gạch là x, x ^*

Để lát kín căn phòng mà không có viên gạch bào bị cắt xén thì x phải là ước của chiều dài và chiều rộng căn phòng.

Hay 680 ⁝ x và 480 ⁝ x

Do đó x là ước chung của 680 và 480, mà x là lớn nhất Suy ra x = ƯCLN(680, 480)

Ta có: 680 = 2³ . 5 . 17 480 = 2⁵ . 3 . 5

Do đó: ƯCLN(680, 480) = 2³ . 5 = 8. 5 = 40 hay x = 40 (t/m).

Vậy để lát kín căn phòng mà không có viên gạch nào bị cắt xén thì độ dài cạnh viên gạch lớn nhất là 40 cm.

Câu 3: Lớp 9A có 45 học sinh, lớp 9B có 42 học sinh, lớp 9C có 48 học sinh. Trong ngày khai giảng, ba lớp cùng xếp thành một số hàng dọc như nhau để diễu hành mà không lớp nào có người lẻ hàng. Số hàng dọc nhiều nhất có thể xếp được là:

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 Lời giải

Gọi a là số hàng dọc nhiều nhất có thể xếp được, a ^* Suy ra 45 ⁝ a, 42 ⁝ a, 48 ⁝ a và a lớn nhất

Do đó, a = ƯCLN(45, 42, 48) Ta có:

(13)

45 = 3². 5 42 = 2 . 3 . 7 48 = 2⁴. 3

Suy ra, ƯCLN(45, 42, 48) = 3 hay a = 3 (t/m).

Vậy số hàng dọc nhiều nhất có thể xếp được là 3 hàng.

Câu 4: Hoa có 48 viên bi đỏ, 30 viên bi xanh và 60 viên bi vàng. Hoa muốn chia đều số bi vào các túi, sao cho mỗi túi có đủ 3 loại bi. Hỏi Hoa có thể chia vào nhiều nhất bao nhiêu túi mà mỗi túi có số bi mỗi màu bằng nhau.

A. 6 B. 8 C. 4 D. 12 Lời giải

Gọi số túi mà Hoa chia được là x (túi), x ^*

Vì số bi mỗi màu ở mỗi túi cũng bằng nhau nên 48 ⁝ x, 30 ⁝ x và 60 ⁝ x.

Do đó x là ước chung của 48, 30 và 60 Mà x là lớn nhất nên x = ƯCLN(48, 30, 60) Ta có: 48 = 2⁴ . 3

30 = 2 . 3 . 5 60 = 2² . 3 . 5

Do đó: ƯCLN(48, 30, 60) = 2 . 3 = 6 hay x = 6 (t/m).

Vậy Hoa chia được nhiều nhất 6 túi mà mỗi túi có số bi mỗi màu bằng nhau.

Câu 5: Một căn phòng hình chữ nhật dài 72 dm, rộng 56 dm. Người ta muốn lát kín căn phòng đó bằng gạch hình vuông mà không có viên gạch nào bị cắt xén. Hỏi viên gạch có độ dài lớn nhất là bao nhiêu?

(14)

A. 8 dm B. 10 dm C. 6 dm D. 12 dm Lời giải

Gọi chiều dài viên gạch là x, x ^*

Để lát kín căn phòng mà không có viên gạch nào bị cắt xén thì x phải là ước của chiều dài và chiều rộng căn phòng.

Hay 72 ⁝ x và 56 ⁝ x

Suy ra x là ước chung của 72 và 56.

Mà x là lớn nhất nên x = ƯCLN(72, 56).

Ta có: 72 = 2³ . 3² 56 = 2³ . 7

Do đó: x = ƯCLN(72, 56) = 2³ = 8 (t/m).

Vậy để lát kín căn phòng mà không có viên gạch nào bị cắt xén thì độ dài viên gạch lớn nhất là 8 dm.