Tài Liệu Ôn Tập Toán 10 Học Kỳ 2 Theo Từng Chủ Đề

(1)

PHẦN TỰ LUẬN

CHỦ ĐỀ 1. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

KIẾN THỨC CƠ BẢN Dấu nhị thức bậc nhất

Định lí: Nhị thức f(x) = ax + b Bảng xét dấu:

x  b

a + f(x) = ax +b Trái dấu a 0 cùng dấu a Dấu tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai: f(x) = ax² + bx + c

  0 ( b² 4ac⁾

 Kết luận

x ^ + f(x) Cùng dấu a

a.f(x) > 0 ^x^^

  0 (tam thức bậc hai có nghiệm kép)

 Kết luận

x 

2 b

 a + f(x) cùng dấu a 0 cùng dấu a a.f(x) > 0 ,

2 x b

   a

  0 (Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 < x2)

 Kết luận

x ^ x1 x2 + f(x) cùng dấu a 0 trái dấu a 0cùng dấu a

1 2

. ( ) 0, ( ; ) a f x   x x x

. ( ) 0,

a f x   x S_{với S = (}^_;x1)(x2;+)

Bài toán 1: Giải bất phương trình: f x( ) 0, ( ) 0, ( ) 0 f x  f x  , f x( ) 0 _. Phương pháp

 Đặt điều kiện f(x) có nghĩa (nếu có)

 Biến đổi đưa về tích hoặc thương của nhị thức bậc nhất hay tam thức bậc hai

 Tìm nghiệm của những nhị thức hay tam thức bậc hai.

 Bảng xét dấu

 Dựa vào bảng xét dấu kết luận nghiệm.

BÀI TẬP Giải các bất phương trình sau

1. ⁽²^x^³⁾⁽⁵^x^^{7) 0}^ 2. ^{(3 2 )(4}^ ^x ^x^{ }^{3) 0} 3. ⁽²^x^⁵⁾⁽³^^x⁾⁽⁵^x^{ }^{1) 0} 4. x²3x20 5.  x² 12x13 0 6. x²6x 9 0

7. 2 2

3 1 2 1

x x

  

  8. ¹ ³

2 3

x  x

  9. 5 6

2 5 6 x x

 



(2)

Bài toán 2: Giải hệ bất phương trình

Phương pháp

 Giải từng bất phương trình

 Tập nghiệm của hệ là phần giao của các tập nghiệm của các bất phương trình.

BÀI TẬP Giải hệ bất phương trình:

1. 2 0₂

3 6 9 0

x

x x

  

   

 2. 3 1 2 7

4 3 2 19

x x

  

   

 ^3.

2 2

5 0 6 1 0 x x

x x

   



  



4.

2

3 8 3 0

17 7 6 0

x x

   



  

 ^5.

( 1)(2 3) 0 1 0

x x

x

  

  

 ^6.

2 2

2 7 4 0

2 15 22 0

x x

   



  



Bài toán 3: Giải bất phương trình ^{f x}^{( )} ^^{g x}^{( )} (1) Phương pháp

 (1)^^^g⁽^x⁾^ ^f⁽^x⁾^^g⁽^x⁾

 ( ) ( )⁽²⁾ ) ( ) (









 

x g x f

 Giải hệ (2)

BÀI TẬP Bài 3: Giải phương trình và bất phương trình sau

1. ^{4 3}^ ^x ^⁸ 2. ^x²^⁴^x ^⁵ 3. ²^x^{  }⁴ ^x ¹² 4. ^x²^²^x ^^x 5. ^x²^{ }^{4 2}^x^⁴ 6. ^x²^³^x ^{  }^x ^{2 0}

7. ^x² ^^x ^ ^x² ^¹(NC) 8. x² 2x 2x² 4x3(NC) 9. ⁽^x^¹⁾⁽^x^²⁾ ^^x² ^³^x^⁴ Bài toán 4: Giải bất phương trình ^{f x}^{( )} ^^{g x}^{( )} (1)

Phương pháp

 (1) ^_^{f x}_{f x}^{( )}_{( )}^_{ }^{g x}^{( )(2)}_{g x}_{( )(3)}



 Giải (2) và (3)

 Tập nghiệm của (1) là hợp của (2) và (3) BÀI TẬP Bài 4: Giải bất phương trình sau:

1. ³^X ^{ }² ⁷ 2. ^x^{ }^{3 3}^x^¹⁵ 3. ^x²^²^x^{ }⁸ ²^x

4. ³ ^x^{ }¹ ^x²^{ }^{7 0} 5. ^x² ^⁷^x^¹²^{ }^x ⁴ 6. ^x²^³^x^{ }² ^x² ^²^x^⁰ Bài Bài toán 5: Tìm m để phương trình ax² + bx + c = 0 vô nghiệm

(3)

Phương pháp

 Tính  b² 4ac^hoặc ' b'²acĐiều kiện để phương trình vô nghiệm 0

0 (1) 0

0 (2) ( ') 0 a

b c a

 

 



 

 

 



   



 Giải (1) và (2)

 Giá trị của m là hợp của (1) và (2)

BÀI TẬP Bài 5: Tìm m để phương trình vô nghiệm

1. x² – (2m+1)x + m² +2 = 0 2. (m +1)x²+ (3m – 4)x + m – 11 =0 3. mx² – (m +1)x +m – 1= 0 4. (m + 2)x² + 2x – m + 2 =0

Bài toán 6: Tìm m để phương trình ax² + bx + c = 0 có nghiệm Phương pháp

 Tính  b² 4ac^hoặc ' b'²ac

 Điều kiện để phương trình có nghiệm

0(1) 0

0 (2) ( ') 0 a

b a

 

 

  

  



 Giải (1) và (2)

 Giá trị của m là hợp của (1) và (2)

BÀI TẬP Bài 6: Tìm m để phương trình có nghiệm.

1. x² + (2m – 1)x – m = 0 2. x² – 2mx – 4m + 5 = 0 3. (m – 1)x² – 2(m +1)x + m + 2 = 0 4. mx² + (2 – 3m)x – 6 = 0 Bài toán 7: Tìm m để phương trình ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt

Phương pháp

 Tính  b² 4ac hoặc  ' b'²ac

 Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm pbiệt 0 ( ') 0 a

    ^(*)

 Giải (*)

 Kết luận

BÀI TẬP Bài 7: Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

1. x² + 2(m – 1)x – 2m + 5 = 0 2. (m – 1)x² +2x + 1 = 0

3. (m – 1)x² + 2(m + 1)x – m – 1 = 0 4. (2 – m)x² + 2( m + 3)x + 2m + 6 = 0 Bài toán 8: Tìm m để phương trình ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm trái dấu

(4)

Phương pháp

 Tính biểu thức a.c

 Điều kiện phương trình có hai nghiệm trái dấu ac < 0 (*)

 Giải (*) .Kết luận

BÀI TẬP Bài 8: Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

1. (2m² – 5m + 3)x² +2mx + 2 = 0 2. (m – 3)x² + x + 10 – 3m = 0

3. (2m +3)x² +5x + m²- 20m +36 = 0 4. (m²+ 3)x² + 2mx + m – 7 = 0 Bài toán 9: Tìm m để f(x) = ax² + bx + c luôn dương  x 

Phương pháp

 TH1:Nếu a = 0 thì tuỳ theo kết quả mà nhận hay loại giá trị của tham số vừa tìm đựơc.

 TH2: Nếu a 0 + Tính  ( ')

+ Để f(x) luôn dương ^x^^ 0 ( ') 0 a

    ^(*) + Giải (*)

 Kết luận: TH1TH2

BÀI TẬP Bài 9: Tìm m để f(x) luôn dương ^x^^

1. f(x) = (m – 2)x² + 2(m – 2)x + m + 4 2. f(x) = (3m + 1)x² – (3m + 1)x + m + 4 3. f(x) = (m + 4)x² – (m – 4)x – 2m – 1 4. f(x) = (m +3)x² + 2(m – 1)x + 4m Bài 10: Tìm m để bất phương trình có nghiệm  x 

1. x² – (m – 2)x + 8m + 1 > 0 2.(m -2 )x² + 2x – 4 > 4 3. (m – 1)x² + 2(m +1)x + 3m – 6 > 0 4. (m + 3)x² + 2(m +1)x + 1> 0 Bài 11: Tìm để bất phương trình vô nghiệm

1. x² – 2(m – 2)x + m – 2  0 2. (m – 2)x² – 2(m – 2)x + 1 0 Bài toán 10: Tìm m để f(x) = ax² + bx + c luôn âm ^x^^

Phương pháp

 TH1:Nếu a = 0 thì tuỳ theo kết quả mà nhận hay loại giá trị của tham số vừa tìm đựơc.

 TH2:Nếu a 0 Tính  ( ')

 Để f(x) luôn âm ^x^^  ^^a  _{( ') 0}^⁰ (*) Giải (*)

 Kết luận: TH1TH2

BÀI TẬP Bài 12: Tìm m để f(x) luôn luôn âm  x 

(5)

1. f(x) = –2x² + 2(m – 2)x + m – 2 2. f(x) = 3mx² – mx + 1 Bài 13: Tìm m để bất phương có nghiệm ^x^^

1. –x² + 3x – m + 1 < 0 2. (m – 1)x² – 4mx + 4 < 0 Bài 14: Tìm m để bất phương trình vô nghiệm

1. x² + 2(m + 1)x – m + 3 ^0 2. (m – 1)x² + 3(m – 1)x

(6)

CHỦ ĐỀ 2. HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

Kiến thức cần nhớ

Sử dụng các hệ thức cơ bản:

2 2

sin x c os x1 ^cot ^cos s inx

x x ^{t anx} ^{s inx} cosx

 t anx.cotx1 1 tan² ¹₂

x os

c x

  ² 2

1 cot 1 x sin

  x (6)

BÀI TẬP

Dạng 1: Chứng minh đẳng thức

1. cos²xsin²x 1 2sin²x 2. 2 cos²x  1 1 2sin²x

3. 3 4sin ² x4 cos²x1 4. sin x.cotx+ cos .t anx sinx cosx   x 5. sin⁴x c os⁴x 1 2sin . os² x c ²x 6. cos⁴xsin⁴xcos²xsin²x

7. ^4cos²x  3 (1 2sin )(1 2sin )x  x 8. (1 cos )(sin x ²xcosx c os ) sin²x  ² x 9. sin⁴ xcos⁴ x 1 2 cos²x2sin² x1 10. sin³xcosxsin x cos³xsin x cosx Dạng 2: Rút gọn biểu thức

1. ^{2 cos}² ¹ sinx cos

x x



 2. 2

1 cos 1

sin 1 cos x

x x

 

 3. ^{t anx} ^cos

1 s inx

 x

 4. s inx t anx

s inx.cot

t anx  x

Dạng 3: Biến đổi thành tích

1. 2 cos² x1 2. 3 4sin ²x

3. s inx.cosxcos² x1 4. sin² xs inx.cosx1 5. ^{1 sinx cos}  ^x^{t anx} 6. ^{t anx cot} ^x^{sinx cos} ^x 7. cos .tanx ² x 1 cosx 8. ^{3 4 cos}^ ²^x^^sinx(2sin^x^¹⁾ 9. cos³x c os²x2sinx2 10. cos³xsin³xs inx cos x Dạng 4: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x:

1. cos⁴xsin⁴ x2sin²x 2. sin⁴ xsin . os² x c ²x c os²x 3. cos⁴xsin . os² x c ²xsin²x 4. (t anx cot ) x ²(t anx cot ) x ² 5. cos (2cos⁴x ²x 3) sin⁴x(2sin²x3) 6. sin⁶ x c os⁶x2sin⁴cos⁴xsin² x 7. sin⁴4cos²x cos⁴4sin²x 8. cos .cot²x ² x5cos²xcot² x4sin² x

CHỦ ĐỀ 3. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG

Dạng 1: Tính các giá trị lượng giác của x khi biết một giá trị của nó Loại 1: Cho biết sinx = a và m x n  . Tính tanx, cotx, cosx.

Phương pháp:

 Sử dụng hệ thức cơ bản

 Xác định dấu của gía trị lượng giác với điều kiện cho trước.

BÀI TẬP Bài 1: Tính cosx, tanx, cotx, biết:

1. ^sinx ³

4 và 0⁰ < x < 90⁰ 2. ^{s inx} ⁴

 5 và 90⁰ < x < 180⁰ 3. ^{s inx} ⁵

13 và 2 x

   4. ^{s inx} ¹²

13 và ⁰

x 2

  Bài 2: Tính tanx, cotx, cosx biết:

(7)

1. ^cos ⁴

x5 và ⁰ ^x  2. ^cos ⁵ x 13

 và 180⁰  x 270⁰ 3. ^cos ³

x5 và 0⁰  x 90⁰ 4. ^cos ⁸ x17 và

2 x

   Bài 3: Tính cosx, sinx cotx biết :

1. ^{t anx} ³

 4 và ⁰

x 2

  2. t anx   2 và

2 x

  

3. ^{t anx 2} và 0⁰ x 90⁰ 4. ^{t anx 3} và ^^ ^ ^x^ ^₂^ Bài 4: Tính sinx, cosx, tanx biết:

1. ^cot ² x3 và ⁰

x 2

  2. cotx 2 và ³ x 2

   3. ^cot^x² và 0⁰ x 90⁰ 4. ^cot^x³ và 180⁰  x 360⁰ Bài 5: Cho biết ^{t anx} ². Tính giá trị biểu thức.

1. ^5cot ^{4 tan} 5cot 4 tan

x x

A x x

 

 2. ^2sin ^cos

cos 3sin

x x

B x x

 

 Bài 6: Cho biết cotx 2. Tính giá trị biểu thức 1. ^3sin ^cos

s inx cos

x x

A x

 

 2. ^3cos

sinx 3cos

sinx x

B x

 

 Bài 7: Cho biết ^sinx ²

 3 và 0⁰  x 90⁰. Tính giá trị biểu thức 1. ^{t anx cos}

cot A x

x

  2. 2

t anx.cos

cos .cot sin

B x x x

 x 

Bài 8: Cho biết ^cos ⁴ x 5 và

2 x

   . Tính giá trị biểu thức 1. ^cot ^{t anx}

cot t anx A x

x

 

 2. ^cot ^{s inx}

1 cos

B x

  x



CHỦ ĐỀ

4. CUNG LIÊN KẾT

 sin cos tan cot

 _

2 cos sin cot tan

 -  sin - cos - tan - cot

 + - sin - cos tan cot

BÀI TẬP

Bài 1: Diễn tả giá trị lượng giác của các góc sau bằng giá trị lượng giác của x

1. sin(x90 )⁰ 2. cos(180⁰x) 3. sin(270⁰x) 4. sin(x180 )⁰ 5. cos(x540 )⁰ 6. cot(180⁰x) 7. sin(x450 )⁰ 8. tan(360⁰x) 9. ^tan(¹¹ ⁾

2 x

 10. ^sin( ⁷ ⁾ x 2

 11. ^tan(^x^^{5 )}^ 12. ^os( ⁵ ⁾ c x 2



CHỦ ĐỀ 5. CÔNG THỨC CỘNG – NHÂN ĐÔI

1. ^sin(^{ }^ ^{) sin}^ ^^côs^^^c^{os sin}^ ^ 2. ^sin(^{ }^ ^{) sin}^ ^^côs^^^c^{os sin}^ ^ 3. ^côs(^{ }^ ⁾^^côs^^côs^ ^^{sin sin}^ ^ 4. ^côs(^{ }^ ⁾^^côs^^côs^^^{sin sin}^ ^ 5. ^tan(^{ }^ ⁾^_{1 tan tan}^tan_ ^^_^tan^_ 6. ^tan(^{ }^ ⁾^_{1 tan tan}^tan_ ^ ^_^tan^_

7.sin 2 2sin cos  8. cos 2 cos² sin² 2cos²   1 1 2sin²

(8)

9. ^{tan 2} ^{2 tan}₂ 1 tan

 

 



Bài 1: Tính giá trị biểu thức 1. ^os( ⁾

c x 3

 , biết ^sinx ¹ ⁽⁰ ₂⁾

3 x 

   2. ^sin( ⁾

3 x

  , biết ^cos ¹²⁽ ³ ⁾ 13 2 2 4

x  x 

    3. ^cot( ⁾

x_4

, biết ^sin^x^ ^₅⁴⁽^ ^^x^³₂^⁾ 4. ^tan( ⁾ x_4

,biết ^cot(⁵ ^{) 2} 2 _x _ Bài 2: Cho ^sin ⁴

a5 (0⁰  a 90 )⁰ , ^sin ⁸

b17 (90⁰ b 180 )⁰ .Tính ^sin(^{a b c}^ ^{), os(}^{a b}^ ⁾ Bài 3: Chứng minh đẳng thức

1. sin 2x2sin cosx x 2. cos2x c os²xsin²x 3. ^{tan 2} ^{2 tan}₂ 1 tan x x

 x



4. sin 3x3sinx4sin³ x 5. cos3x4cos³3cosx 6. ^cos ^{s inx} ^{2 os(} ⁾ ^{2 sin(} ⁾

4 4

x c x  x 

    

7. ^cos ^{s inx} ^{2 os(} ⁾ ^{2 sin(} ⁾

4 4

x c x  x 

     8. ^{tan x tan(} ^{) tan(} ^{) tan 3}

3 x 3 x x

 

  

CHỦ ĐỀ

6. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH 1. ^os ^os ^{2 cos} ^{. os}

2 2

c c    ^ c  ^ 2. ^os ^os ^2sin ^.sin

2 2

c c     ^  ^ 3. ^sin ^sin ^2sin ^{. os}

2 c 2

   

    ^ ^ 4. ^sin ^sin ^2cos ^.sin

2 2

   

   ^ ^

BÀI TẬP Bài 1: Rút gọn và tính giá trị biểu thức

1. ^os2 ^os4

sin 4 sin 2

c a c a

A a a

 

 biết a20⁰ 2. ^{cos . os13}

os3 os5 a c a B c a c a

 , biết a 17

 3. ^{cos . os10}

os2 os4 a c a Cc a c a

 , biết a 13

 4. ^{tan 2} ^{sin 2}

tan 2 sin 2

a a

D a a

 

 , biết ^{t ana} ²

15 Bài 2: biến đổi thành tích các biểu thức sau:

1. 1 sinx cos2x 2. 1 s inx cos  x 3. cosxsin 2x c os3x

4. ^{sin 3}^x^{sinx sin 2} ^x 5. ^{1 cos} ^{x c} ôs2^{x c} ôs3^x 6. ^{sin 3}xs inx sin 2 x2(1 cos ) cos x x 7. ^{sinx sin 3} ^x^{sin 7}^x^{sin 5}^x 8. ^cos^{x c} ôs3^x^{2cos 5}^x

CHỦ ĐỀ

7. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG 1. ^{os . os} ¹



^os( ⁾ ^os( ⁾



c c   2 c   c   2.



^cos( ⁾ ^cos( ⁾



2 sin 1

.

sin        3. ^{sin . os =}¹



^sin( ^{) sin(} ⁾



c 2

      

BÀI TẬP Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau:

1. ^c^{os11 . os3}^{x c} ^{x c} ^{os17 . os9}^{x c} ^x 2. sin18 . os13x c xsin 9 . os4x c x 3. s inx.sin 3xsin 4 .sin 8x x 4. sin 2 .sin 6 . os4 ¹ os12x

x x c x4c

CHỦ ĐỀ 8. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Dạng 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng:

Phương pháp:

Để viết phương trình tham số của đường thẳng  ta thực hiện các bước:

(9)

- Tìm một vectơ chỉ phương u ⁽u1^;u2⁾của đường thẳng .

- Tìm một điểm M0(x0; y0) thuộc .

- Phương trình tham số của  là : 









t u x y

t u x x

2 0

1 0

*Chú ý:

- Nếu  có hệ số góc k thì  có vectơ chỉ phương ^u ^ ⁽¹^;^k⁾.

- Nếu  có vectơ pháp tuyến ⁿ ^⁽â^;^b⁾thì  có vectơ chỉ phương û ^⁽^^b^;â⁾hoặc û ^⁽^b^;^â⁾ BÀI TẬP

Bài 1:Lập phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:

a) d đi qua điểm A(2; -5) và có vectơ chỉ phương ^u ^⁽³^;^⁴⁾ b) d đi qua điểm M(-3; -4) và có vectơ pháp tuyến ⁿ ^⁽^²^;^⁵⁾

Bài 2:Lập phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:

a) d đi qua điểm M(7; 1) và có hệ số góc k = -2.

b) d đi qua hai điểm A(6; 4) và B(8; -3)

Bài 3:Cho đường thẳng d có phương trình tham số 









t y

t x

2 4

1 . Viết phương trình tham số của đường thẳng

a) Đi qua M(8; 2) và song song với đường thẳng d b) Đi qua N(1; -3) và vuông góc với d.

Dạng 2: Phương trình tổng quát của đường thẳng.

Phương pháp:

Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng  ta thực hiện các bước:

- Tìm một vectơ pháp tuyến ⁿ^⁽^a^;^b⁾. - Tìm một điểm M0(x0; y0) thuộc .

- Viết phương trình  theo công thức: a(x – x0) + b(y – y0) = 0 - Biến đổi về dạng: ax + by + c = 0

* Chú ý: (d): ^ax^^by^^c^⁰

+ (d1) // (d) ⁽d1⁾^:axbyc1⁰ (^c1 ^^c) + (d2)  (d) ⁽d2⁾^:bxayc2 ⁰

Bài tập:

Bài 1: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:

a) d đi qua điểm M(1; 1) và có vectơ pháp tuyến ⁿ ^⁽³^;^⁷⁾ b) d đi qua điểm M(-4; 2) và có vectơ chỉ phương ^u ^⁽²^;^³⁾ c) d đi qua A(2; -5) và có hệ số góc ^k ^ ₂³

d) d đi qua hai điểm A(3; -6), B(6; 5).

Bài 2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d trong các trường hợp sau:

a) d cắt Ox và Oy lần lượt tại A(2; 0) và B(0; -5) b) d vuông góc với Ox tại M(-4; 0).

Bài 3: Cho tam giác ABC với A(5; 3), B(-1; 2), C(-4; 5). Viết phương trình tổng quát của a) Đường cao AH.

b) Trung tuyến AM, BN, CP.

Bài 4: Cho đường thẳng d: x + y + 7 = 0. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng  trong các trường hợp sau:

a)  đi qua M(1; 3) và có cùng hệ số góc với d.

b)  đi qua M(1; 3) và vuông góc với d.

Bài 6: Cho đường thẳng d có phương trình tham số 









t y

t x

5 3

1 . Viết phương trình tổng quát của đường thẳng  đi qua M(2; 4) và vuông góc với d.

(10)

Bài 7: Cho tam giác ABC với A(2; 2). Lập phương trình các cạnh của tam giác biết rằng 9x + 3y – 4 = 0 và x + y – 2 = 0 là phương trình các đường cao kẻ từ B và C

Dạng 3: Vị trí tương đối của hai đường thẳng:

Phương pháp

Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng (d1): a1x + b1y + c1 = 0 và (d2): a2x + b2y + c2 = 0 ta xét các trường hợp sau: (đk: a2, b2, c2 khác 0)

+ (d1) cắt (d2)

2 1 2 1

b b a a 

 + (d1) // (d2)

2 1 2 1 2 1

c c b b a

a  

 + (d1)  (d2)

2 1 2 1 2 1

c c b b a

a  

 Tọa độ giao điểm của (d1) và (d2) là nghiệm của hệ phương trình 









0 0

2 2

2

1 1 1

c y b x a

Bài tập:

Bài 1: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau và tìm giao điểm (nếu có) của chúng.

a) 











t y

t x

2 3

5 và 











t y

t x

4 7

2

4 b) 







 1 5 y

t

x và x + y

– 5 = 0

c) 2x – y – 13 = 0 và 











t y

t x

3 7

2

4 d) 









t y

t x

1

5 và x + y

– 4 = 0

Bài 2: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau và tìm giao điểm (nếu có) của chúng.

a) d1: 2x + 3y + 1 = 0 và d2: 4x + 5y – 6 = 0 b) d1: 3x – 2y + 1 = 0 và d2: 2x + 3y – 5 = 0 c) d1: 











t y

t x

2 1

4 và d2: 









t y

t x

2 5

4

7 d) d1: 









t y

t x

5 2

4

3 và d2: 5x

+ 4y – 7 = 0

Dạng 4: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng.

Phương pháp:

* Để tính khoảng cách từ điểm M0(x0; y0) đến đường thẳng : ax + by + c = 0 ta dùng công thức:

2 2

0 0 0; )

( a b

c by M ax

d 



 



* Nếu đường thẳng : ax + by + c = 0 chia mặt phẳng Oxy thành hai nửa mặt phẳng có bờ là , ta luôn có:

- Một nửa mặt phẳng chứa các điểm M1(x1; y1) thỏa mãn: (M1) = ax1 + by1 + c > 0 - Nửa mặt phẳng còn lại chứa các điểm M2(x2; y2) thỏa mãn:  (M2)=ax2 + by2 + c < 0

* Cho hai đường thẳng (d1): a1x + b1y + c1 = 0; (d2): a2x + b2y + c2 = 0 Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng (d1) và (d2) là:

2 2 2 2

1 2 1

1 1 1

b a

c y b x a b

a

c y b x a



 

 



BÀI TẬP

Bài 1: Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong các trường hợp sau:

a) A(3; -2) và : 4x – 7y + 1 = 0 b) B(-5; 3) và : 10x – 16y + 2 = 0 c) M(5; -2) và : 









t y

t x

4 6

2 7

Bài 2: Tính bán kính đường tròn có tâm I(1; 5) và tiếp xúc với đường thẳng : 4x – 3y + 1 = 0

Bài 3: Lập phương trình các đường phân giác của các góc giữa hai đường thẳng 1: 2x + 4y + 7 = 0 và

2: x – 2y – 3 = 0

Bài 4: Tìm phương trình của tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng 1: 5x + 3y – 3 = 0 và 2: 5x + 3y + 7 = 0

Bài 5: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2; 5) và cách đều hai điểm A(-1; 2) và B(5; 4).

Bài 6: Cho tam giác ABC, biết A(2; 0), B(4; 1), C(1; 2).

(11)

a) Viết phương trình đường phân giác trong của góc A.

b) Tìm tọa độ tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Bài 7: Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1; 1) và cách điểm B(3; 6) một khoảng bằng 2.

Bài 8: Viết PT đường thẳng d song song với : 3x – 4y + 1 = 0 và có khoảng cách đến d bằng 1 Dạng 5: Góc giữa hai đường thẳng:

Phương pháp

* Cho hai đường thẳng (1): a1x + b1y + c1 = 0; (2): a2x + b2y + c2 = 0 Góc giữa hai đường thẳng 1 và 2 được tính bởi công thức:

2 2 2 2 2 1 2 1

2 1 2 1 2

1 2 1 2

1 .

. . .

) .

;

cos( a b a b

b b a a n

n n n



 





BÀI TẬP

Bài 1: Tìm góc giữa hai đường thẳng (d1): x + 2y + 4 = 0 và (d2): 2x – y – 3 = 0.

Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A, biết phương trình AB: x + 2y – 1 = 0 và BC: 3x – y + 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng AC biết rằng AC đi qua điểm M(1; -3).

Bài 3: Cho ba điểm A(2; 0), B(4; 1), C(1; 2)

a) Viết phương trình đường phân giác trong của góc A b) Tìm tọa độ tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

CHỦ ĐỀ 9. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

KIẾN THỨC CƠ BẢN

a) Phương trình đường tròn có tâm I(a;b) và bán kính R:⁽^x^^a⁾²^⁽^y^^b⁾² ^^R²

b) Nếu a²b²c0thì phương trình ^x² ^^y²^²^ax^²^by^^c^⁰là phương trình của đường tròn tâm I(a,b); bán kính R = a² b² c.

c) Phương trình tiếp tuyến của đường tròn C(I(a;b);R)

Tiếp tuyến tại điểm M(x0;y0) có phương trình: (x0 – a)(x – x0) + (y0 – b)(y – y0) = 0.

CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1. Tìm tâm và bán kính của đường tròn

Xác định tâm và bán kính của đường tròn ^x² ^ ^y² ^²^ax^²^by^^c^⁰ (C)

+ Tìm a,b,c + Tâm I(a,b) + Bán kính R = a²b²cvới a²b²c0

BÀI TẬP

Bài 1. Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau:

a) ^x² ^^y² ^²^x^⁶^y^⁵^⁰ b) ^x² ^^y² ^⁴^x^²^y^²⁰^⁰ c) ^x²^ ^y² ^⁴^x^⁶^y^³^⁰

d) ^x²^ ^y² ^⁴^x^⁶^y^¹^⁰ e) ^x² ^^y² ^⁶^x^²^y^⁶^⁰ f) ¹⁶^x² ^¹⁶^y² ^¹⁶^x^⁸^y^¹¹^⁰ Dạng 2. Lập phương trình đường tròn biết tâm và bán kính

2.1. Phương trình đường tròn có tâm I(x0;y0) và đi qua điểm A(xA;yA) + Bán kính đường tròn: R = IA

+ Phương trình đường tròn tâm I bán kính R: 0 ² ² 2

0) ( )

(xx  y y R

2.2. Phương trình đường tròn có đường kính AB với A(xA;yA) và B(xB;yB) + Tâm I(x0;y0) của đường tròn là trung điểm của AB

+ Bán kính đường tròn: R = IA = IB =

2 AB

+ Phương trình đường tròn tâm I bán kính R: 0 ² ² 2

0) ( )

(xx  y y R

2.3. Phương trình đường tròn có tâm I(x0;y0) và tiếp xúc với đường thẳng ∆ + Bán kính đường tròn: R = d(I; ∆)

(12)

+ Phương trình đường tròn tâm I bán kính R: ⁽^x^^x⁰⁾² ^⁽^y^^y⁰⁾² ^^R²

Dạng 3. Lập phương trình đường tròn sử dụng phương trình đường tròn dạng khai triển 3.1. Phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C

+ Gọi phương trình đường tròn: ^x² ^^y²^²^ax^²^by^^c^⁰ (C) + Thay tọa độ 3 điểm A, B, C vào (C).

+ Giải hệ ta được a, b, c và thay a, b, c vào (C).

Dạng 4. Viết phương trình tiếp tuyến của đư�